Tema 3: Expresiones algebraicas

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José Manuel Palma Bustamante
hace 6 años
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1 Tema 3: Expresiones algebraicas

2 Monomios y polinomios Un monomio es una expresión algebraica en las que las únicas operaciones que aparecen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma o diferencia de varios monomios. 2x 4 Estas expresiones son monomios 3 4 x7 3x 2 3 x Estas expresiones NO son monomios Coeficiente Parte literal Partes de un monomio 5x 4 y 6 Grado:4+6=10 Término principal Término independiente Partes de un polinomio 3x 2 + 2x 7 Coeficiente principal: 3 Grado del polinomio: 2

3 Polinomios Valor numérico de un polinomio Se llama valor numérico de P(x) para x=a(a es cualquier número), y se escribe P(a), al número que se obtiene al sustituir x por a. P x = 5x 3 x 2 + 3x 2 P 2 Supongamos que queremos conocer el valor numérico de este polinomio cuando x=-2 = = = 52 Raíces de un polinomio Se llaman raíces de un polinomio P(x) a aquellos números que hacen que el valor numérico del polinomio sea 0. ax 2 + bx + c = 0 Ejemplo: Haya las raíces de P(x) Como las raíces son aquellos números que hacen que el valor de un polinomio sea 0 vamos a igualarlo a 0 y resolveremos la ecuación resultante. P x = 2x 2 x + 3 2x 2 x + 3 = 0 x = 1 ± ( 1) ( 2) = Fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado P 1 = 0 P 3 2 = 0 b ± b 2 4ac 2a

4 Operaciones con polinomios Suma y resta Se suman/restan los coeficientes correspondientes a una misma parte literal. P x = 5x 2 + 3x 6 Q x = 3x P x Q x = 5x 2 + 3x 6 3x = 5x 2 + 3x 6 + 3x 2 2 = = 8x 2 + 3x 8 Producto de un número por un polinomio Se multiplican los coeficientes por el número. P x = 5x 2 + 3x 6 3 P x = 15x 2 + 9x 18

5 Producto de monomios Multiplicamos los coeficientes entre sí, y la parte literal entre sí. 3x 2 y 5 5x 4 y 2 z = 15x 2+4 y 5+2 z = 15x 6 y 7 z Producto de polinomios P x = 5x 2 + 3x 6 Q x = 3x Los he cambiado de orden por comodidad ya que da igual hacer P*Q que Q*P P x Q x = 5x 2 + 3x 6 3x = 3x x 2 + 3x 6 = Multiplicamos cada uno de los monomios del primero por todos los del segundo. = 15x 4 9x x x 2 + 6x 12 = 15x 4 9x x 2 + 6x 12

6 División de monomios Dividimos los coeficientes entre sí, y la parte literal entre sí. 15x 3 y 3xy = 5x3 1 y 1 1 = 5x 2 División de polinomios 3x 4 7x x : (3x 2 x + 1) 3x 4 7x 3 +12x 2 +0x +7 3x 2 x +1 3x 4 +x 3 x 2 x 2 2x +3 6x 3 +11x 2 +0x 6x 3 2x 2 +2x 9x 2 +2x +7 9x 2 +3x 3 5x +4 Como en toda división, el resultado de dividir dos polinomios es igual al cociente más el resto entre el divisor. 3x 4 7x x : 3x 2 x + 1 = x 2 5x + 4 2x x 2 x + 1 1ºPaso: Se divide el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor: 3x4 3x 2 = x2. Este se coloca en el cociente. 2ºPaso: Se multiplica el resultado anterior por todos los términos del divisor y se colocan CAMBIADOS DE SIGNO debajo del dividendo. 3ºPaso: Se suman y se repite el proceso hasta que quede un polinomio de grado inferior al divisor. Este será el resto.

7 Regla de Ruffini Cuando dividimos por un binomio del tipo (x-a) podemos aplicar una sencilla regla para dividir. 3x 3 + 4x 6 : (x + 2) Colocamos los coeficientes del dividendo por orden poniendo un 0 cuando no exista el término correspondientes en este caso x 2 Se coloca el número que acompaña a la x del divisor CAMBIADO DE SIGNO º Paso: Se baja el primer número (el 3) y se multiplica, en este caso, por = 6 2ºPaso: Se suma con el número de arriba. En este caso = 6 3ºPaso: Se multiplica el nuevo número por -2 y se repite el ciclo. 6 2 = 12

8 Regla de Ruffini 3x 3 + 4x 6 : (x + 2) x 3 +0x 2 +4x 6 x +2 Vamos a comparar la división hecha por Ruffini con la división normal. Si nos fijamos el último número de Ruffini se corresponde con el resto de la división. Por otra parte, los otros coeficientes que nos han salido se corresponden con los coeficientes del cociente de la división. Pero aún hay más. Si calculamos el valor numérico de P x = 3x 3 + 4x 6 para x=-2 va a coincidir con el resto. 3x 3 6x 2 3x 2 6x +16 6x 2 +4x 6x 2 +12x 6 P 2 = = 38 16x 6 16x 32 38

9 Factorización de polinomios Al igual que podemos factorizar un número en factores primos más pequeños, por ejemplo 6 = 2 3, también podemos hacerlo con los polinomios, descomponiendo un polinomio en un producto de polinomios de menor grado. Para ello necesitaremos hallar las raíces. Veamos varios ejemplos: P x = 2x 2 7x + 3 Para hallar las raíces hacemos como al principio del tema, igualamos el polinomio a 0 y resolvemos la ecuación. 2x 2 7x + 3 = Una vez que tenemos las raíces las expresamos como (x raíz). RECORDAD: SE CAMBIA EL SIGNO. P x = 3x 2 3x 2 = 0 2x 2 7x + 3 = 2(x 1 )(x + 3) 2 Es muy importante añadir el coeficiente principal cuando sea distinto de 1 al factorizar, si no la factorización es incorrecta. Ejemplos de factorización de polinomios de grado 1. x = 2 3 3x 2 = 3(x 2 3 ) P x = x + 1 x + 1 = x + 1

10 Factorización de polinomios Si el polinomio es de grado superior a 2, entonces debemos de recurrir a Ruffini. P x = 6x 4 5x 3 11x x Importante: Un polinomio no puede tener más raíces que grado. Gracias a que el resto de Ruffini coincide con el valor numérico podemos averiguar las raíces mediante esta técnica. Para ello hay que probar con los divisores del último término de la fila que es -3. En este caso son 1,-1,3 y -3. Una vez obtenido resto 0, realizamos el mismo procedimiento. Ahora hay que probar con los divisores del último número que es 3, en este caso 1,-1,3 y -3. Aquí habría que probar de nuevo con los divisores de -3 que son 1,-1,3 y -3 sin embargo no va a salir resto 0 con ninguno. Llegados a este punto resolvemos la ecuación de segundo grado resultante x 2 + 7x 3 = Las raíces de P(x) son 1, 1, 1/3 y -3/2. De forma que P(x) factorizado sería: IMPORTANTE: Los números obtenidos pueden repetirse, aquí sale el 1 repetido. Sin embargo si un divisor no da resto 0 para la primera fila tampoco lo dará en las demás. P x = 6 x 1 x 1 x 1 3 x = 6 x 1 2 x 1 3 x + 3 2

11 Factorización de polinomios Si la ecuación no tiene solución no se puede factorizar. P x = x Si el polinomio no tiene término independiente es conveniente extraer la x y después aplicar uno de los casos anteriores. En el siguiente ejemplo al extraer la x el polinomio queda factorizado. x = 0 x 2 = 2 x = 2 x = x P x = x 2 + x P x = x 2 + x = x(x + 1)

12 Fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas x 2 + 2x + 1 x 2 1 = x x + 1 x 1 = x + 1 x 1 1ºPaso: Factorizar. 2ºPaso: Simplificar. Operaciones fracciones algebraicas: sumas y restas En general cuando haya sumas o restas es más sencillo factorizar solo del denominador y luego hacer los productos que salgan en el nominador que factorizar todo. 5 x x x x x 2 = = 4 x + 2 x 2 7x 9 x + 2 x 2 = 7x 9 x 2 4 1ºPaso: Factorizar denominadores y hacer mínimo común múltiplo. En este caso x+2 y x-2 ya están factorizados y x 2 4 se puede factorizar como (x+2)(x-2). x + 2 = x + 2 x 2 = x 2 x 2 4 = (x + 2)(x 2) 2ºPaso: Multiplicamos cada numerador por el factor necesario. Cogemos los comunes y no comunes de mayor exponente, en este caso mcm = (x + 2)(x 2) 3ºPaso: Realizamos las operaciones. Si nos fijamos no se puede simplificar más ya que el numerador factorizado sería 7(x-9/7). Así que aquí se acaba el ejercicio. Podemos hacer si queremos el producto del denominador.

13 Fracciones algebraicas Producto y divisiones con fracciones algebraicas x 2 + 2x + 1 x 2 1 x + 1 x 1 = x (x + 1)(x 1) x + 1 x 3 = x x + 1 (x 1)(x 3) = x (x 1)(x 3) 1ºPaso: Factorizar 2ºPaso: Realizar las multiplicaciones agrupando factores 3ºPaso: Simplificar x 2 + 2x + 1 x 2 1 : x + 1 x 1 = x (x + 1)(x 1) : x + 1 x 3 = x (x 3) x (x 1) = x 3 (x 1) 1ºPaso: Factorizar 2ºPaso: Realizar las multiplicaciones agrupando factores. Tan solo cambia con el anterior que cuando se divide hay que multiplicar en cruz 3ºPaso: Simplificar

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