Contenido Objetivos Ceros de Polinomios. Ceros de Polinomios. Carlos A. Rivera-Morales. Precálculo 2
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- Gabriel Cárdenas Hidalgo
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1 Carlos A. Rivera-Morales Precálculo 2
2 Tabla de Contenido 1
3 Tabla de Contenido 1 2 eros reales
4 : Discutiremos: el Teorema de los de Polinomios
5 : Discutiremos: el Teorema de los de Polinomios uso de la Calculadora Gráfica en la búsqueda de ceros reales
6 : Discutiremos: el Teorema de los de Polinomios uso de la Calculadora Gráfica en la búsqueda de ceros reales la Regla de los Signos de Descartes
7 : Discutiremos: el Teorema de los de Polinomios uso de la Calculadora Gráfica en la búsqueda de ceros reales la Regla de los Signos de Descartes el Teorema de las Cotas Inferior y Superior
8 Teorema de los Si el polinomio P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 tiene números enteros como sus coeficientes numéricos, entonces todo cero racional de P (x) es de la forma p q, en su forma más simple o reducida, donde p es un factor o divisor de a 0
9 Teorema de los Si el polinomio P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 tiene números enteros como sus coeficientes numéricos, entonces todo cero racional de P (x) es de la forma p q, en su forma más simple o reducida, donde p es un factor o divisor de a 0 q es un factor o divisor de a n
10 El Teorema de los : Provee una herramienta para hacer un listado de todos los posibles ceros racionales de un polinomio con coeficientes entero.
11 El Teorema de los : Provee una herramienta para hacer un listado de todos los posibles ceros racionales de un polinomio con coeficientes entero. No necesariamente todos los números en el listado serán ceros del polinomio, pero todos los ceros racionales del polinomio estarán en el listado.
12 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2.
13 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2
14 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de p)
15 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de p) a 3 = 4
16 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de p) a 3 = 4 factores o divisores: ±1, ±2, ±4 (posibles valores de q)
17 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de p) a 3 = 4 factores o divisores: ±1, ±2, ±4 (posibles valores de q) posibles ceros racionales: ± 1 1, ± 1 2, ± 1 4, ± 2 1, ± 2 2, ± 2 4
18 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de p) a 3 = 4 factores o divisores: ±1, ±2, ±4 (posibles valores de q) posibles ceros racionales: ± 1 1, ± 1 2, ± 1 4, ± 2 1, ± 2 2, ± 2 4 Simplificados: ±1, ± 1 2, ± 1 4, ±2, ±1, ± 1 2
19 Ejemplo: Detetmine todos los ceros racionales de: P (x) = 4x 3 5x 2 7x + 2. a 0 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de p) a 3 = 4 factores o divisores: ±1, ±2, ±4 (posibles valores de q) posibles ceros racionales: ± 1 1, ± 1 2, ± 1 4, ± 2 1, ± 2 2, ± 2 4 Simplificados: ±1, ± 1 2, ± 1 4, ±2, ±1, ± 1 2 Los últimos dos simplificados son redundantes.
20 Primero trataremos con c = 1 mediante sustitución directa. P(1)= 4(1) 3 5(1) 2 7(1) + 2 = 6 0
21 Primero trataremos con c = 1 mediante sustitución directa. P(1)= 4(1) 3 5(1) 2 7(1) + 2 = 6 0 Por lo tanto, 1 no es un cero de P(x).
22 Primero trataremos con c = 1 mediante sustitución directa. P(1)= 4(1) 3 5(1) 2 7(1) + 2 = 6 0 Por lo tanto, 1 no es un cero de P(x). También se pudo haber verificado haciendo uso de división sintética.
23 Primero trataremos con c = 1 mediante sustitución directa. P(1)= 4(1) 3 5(1) 2 7(1) + 2 = 6 0 Por lo tanto, 1 no es un cero de P(x). También se pudo haber verificado haciendo uso de división sintética.
24 Primero trataremos con c = 1 mediante sustitución directa. P(1)= 4(1) 3 5(1) 2 7(1) + 2 = 6 0 Por lo tanto, 1 no es un cero de P(x). También se pudo haber verificado haciendo uso de división sintética. No se obtuvo residuo cero; por lo tanto 1 no es cero de P(x).
25 Tratemos ahora con c = 2 mediante división sintética.
26 Tratemos ahora con c = 2 mediante división sintética.
27 Tratemos ahora con c = 2 mediante división sintética. Como se obtuvo residuo cero, 2 es cero de P(x). pause Por el Teorema del Factor (x 2) es un factor lineal de P(x) y el cociente de la división sintética es Q(x) = 4x 2 + 3x 1.
28 Tratemos ahora con c = 2 mediante división sintética. Como se obtuvo residuo cero, 2 es cero de P(x). pause Por el Teorema del Factor (x 2) es un factor lineal de P(x) y el cociente de la división sintética es Q(x) = 4x 2 + 3x 1. Por lo tanto, P(x) = (x - 2)(4x 2 + 3x 1) = (x 2)(4x 1)(x + 1) Los ceros de P(x) son: 2, 1 4, -1.
29 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3.
30 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3
31 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3 factores o divisores: ±1, ±3 (posibles valores de p)
32 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3 factores o divisores: ±1, ±3 (posibles valores de p) a 3 = 2
33 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3 factores o divisores: ±1, ±3 (posibles valores de p) a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de q)
34 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3 factores o divisores: ±1, ±3 (posibles valores de p) a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de q) Posibles ceros racionales: ±1, ±3, ± 1 2, ± 3 2
35 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3 factores o divisores: ±1, ±3 (posibles valores de p) a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de q) Posibles ceros racionales: ±1, ±3, ± 1 2, ± 3 2 Se puede verificar que 3 2 es un cero racional de P(x) y que P (x) = (x 3 2 )(2x2 4x 2).
36 Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 7x 2 + 4x + 3. a 0 = 3 factores o divisores: ±1, ±3 (posibles valores de p) a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 (posibles valores de q) Posibles ceros racionales: ±1, ±3, ± 1 2, ± 3 2 Se puede verificar que 3 2 es un cero racional de P(x) y que P (x) = (x 3 2 )(2x2 4x 2). Ejercicio: Determine los ceros restantes de P(x).
37 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6.
38 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6. a 0 = 6 factores o divisores: ±1, ±2, ±3, ±6 a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2
39 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6. a 0 = 6 factores o divisores: ±1, ±2, ±3, ±6 a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 Posibles ceros racionales: ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1 2, ± 3 2
40 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6. a 0 = 6 factores o divisores: ±1, ±2, ±3, ±6 a 3 = 2 factores o divisores: ±1, ±2 Posibles ceros racionales: ±1, ±2, ±3, ±6, ± 1 2, ± 3 2 Se puede probar cada uno de los posibles ceros racionales c determinando P (c). Sin embargo, explorando primero la gráfica de y = P (x) usualmente podemos determinar cuáles números en el listado son los mejores candidatos para ser ceros.
41 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6
42 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6 Usando las capacidades trace y value de la calculadora, vemos que 3, 2 y 1 2 son ceros racionales de P (x).
43 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6 Usando las capacidades trace y value de la calculadora, vemos que 3, 2 y 1 2 son ceros racionales de P (x). Lo podemos verificar mediante evaluación directa de P (x) o mediante división sintética.
44 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = 2x 3 + 9x 2 + 7x 6 Usando las capacidades trace y value de la calculadora, vemos que 3, 2 y 1 2 son ceros racionales de P (x). Lo podemos verificar mediante evaluación directa de P (x) o mediante división sintética. No hay necesidad de probar los candidatos restantes en listado de posibles ceros racionales.
45 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = x 4 6x x 2 14x + 5.
46 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Ejemplo: Determine todos los ceros de: P (x) = x 4 6x x 2 14x + 5. a 0 = 5 factores o divisores: ±1, ±5 a 3 = 1 factores o divisores: ±1 Posibles ceros racionales: ±1, ±5
47 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = x 4 6x x 2 14x + 5
48 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = x 4 6x x 2 14x + 5 Analizando la gráfica de y = P (x) vemos que 1 es un cero. La gráfica sugiere que en 1 hay un cambio de dirección o rebote. Por lo tanto, es posible que 1 sea un cero de múltiple.
49 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Figura: P (x) = x 4 6x x 2 14x + 5 Analizando la gráfica de y = P (x) vemos que 1 es un cero. La gráfica sugiere que en 1 hay un cambio de dirección o rebote. Por lo tanto, es posible que 1 sea un cero de múltiple. Usando división sintética tenemos que P (x) = (x 1)(x 3 5x 2 + 9x 5)
50 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Los posibles ceros racionales del polinomio Q(x) = x 3 5x 2 + 9x 5 son ±1, ±5.
51 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Los posibles ceros racionales del polinomio Q(x) = x 3 5x 2 + 9x 5 son ±1, ±5. Figura: Q(x) = x 3 5x 2 + 9x 5
52 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Los posibles ceros racionales del polinomio Q(x) = x 3 5x 2 + 9x 5 son ±1, ±5. Figura: Q(x) = x 3 5x 2 + 9x 5 Examinando la gráfica de Q(x) vemos que 1 es un cero. Luego de división sintética tenemos que Q(x) = (x 1)(x 2 4x + 5).
53 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Se puede verificar que el polinomio x 2 4x + 5 no tiene ceros reales; sus ceros son complejos.
54 Ceros Reales: Uso de la Calculadora Gráfica Se puede verificar que el polinomio x 2 4x + 5 no tiene ceros reales; sus ceros son complejos. Por lo tanto, los ceros reales de P(x) son: 1 (multiplicidad 2). Ejercicio: Determine los ceros complejos de P(x).
55 Ceros Reales: Ley o Regla de los Signos de Descartes En algunos casos, la regla siguiente atribuida al filósofo y matemático francés René Descartes ( )es útil para eliminar candidatos de listados largos de posibles ceros racionales.
56 Ceros Reales: Ley o Regla de los Signos de Descartes En algunos casos, la regla siguiente atribuida al filósofo y matemático francés René Descartes ( )es útil para eliminar candidatos de listados largos de posibles ceros racionales. La regla usa el concepto de variación de signos.
57 Ceros Reales: Ley o Regla de los Signos de Descartes En algunos casos, la regla siguiente atribuida al filósofo y matemático francés René Descartes ( )es útil para eliminar candidatos de listados largos de posibles ceros racionales. La regla usa el concepto de variación de signos. Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, escrito en orden descendente según las potencias de x (omitiendo las potencias con coeficiente numérico 0), entonces una variación de signo ocurre siempre que los coeficientes adyacentes tengan signos opuestos.
58 Ceros Reales: Ley o Regla de los Signos de Descartes En algunos casos, la regla siguiente atribuida al filósofo y matemático francés René Descartes ( )es útil para eliminar candidatos de listados largos de posibles ceros racionales. La regla usa el concepto de variación de signos. Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, escrito en orden descendente según las potencias de x (omitiendo las potencias con coeficiente numérico 0), entonces una variación de signo ocurre siempre que los coeficientes adyacentes tengan signos opuestos. Por ejemplo, P (x) = 3x 7 3x 5 2x 4 + 5x 3 + x 9
59 Ceros Reales: Ley o Regla de los Signos de Descartes En algunos casos, la regla siguiente atribuida al filósofo y matemático francés René Descartes ( )es útil para eliminar candidatos de listados largos de posibles ceros racionales. La regla usa el concepto de variación de signos. Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales, escrito en orden descendente según las potencias de x (omitiendo las potencias con coeficiente numérico 0), entonces una variación de signo ocurre siempre que los coeficientes adyacentes tengan signos opuestos. Por ejemplo, P (x) = 3x 7 3x 5 2x 4 + 5x 3 + x 9 tiene tres variaciones de signos.
60 Ceros Reales: La Regla de los Signos de Descartes La Regla de los Signos de Descartes Teorema: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales. El número de ceros reales positivos de P(x) es igual al número de variaciones de signos de P (x) o menor que eso por un número entero positivo par.
61 Ceros Reales: La Regla de los Signos de Descartes La Regla de los Signos de Descartes Teorema: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales. El número de ceros reales positivos de P(x) es igual al número de variaciones de signos de P (x) o menor que eso por un número entero positivo par. El número de ceros reales negativos de P(x) es igual al número de variaciones de signos de P ( x) o menor que eso por un número entero positivo par.
62 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = x 6 + 5x 5 + 2x 2 x + 9
63 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = x 6 + 5x 5 + 2x 2 x + 9 Solución: P (x) tiene dos variaciones de signos.
64 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = x 6 + 5x 5 + 2x 2 x + 9 Solución: P (x) tiene dos variaciones de signos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros positivos.
65 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = x 6 + 5x 5 + 2x 2 x + 9 Solución: P (x) tiene dos variaciones de signos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros positivos. P ( x) = ( x) 6 + 5( x) 5 + 2( x) 2 ( x) + 9 = x 6 5x 5 + 2x 2 + x + 9
66 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = x 6 + 5x 5 + 2x 2 x + 9 Solución: P (x) tiene dos variaciones de signos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros positivos. P ( x) = ( x) 6 + 5( x) 5 + 2( x) 2 ( x) + 9 = x 6 5x 5 + 2x 2 + x + 9 P ( x) también tiene 2 variaciones de signo. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros negativos.
67 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = x 6 + 5x 5 + 2x 2 x + 9 Solución: P (x) tiene dos variaciones de signos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros positivos. P ( x) = ( x) 6 + 5( x) 5 + 2( x) 2 ( x) + 9 = x 6 5x 5 + 2x 2 + x + 9 P ( x) también tiene 2 variaciones de signo. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros negativos. Por lo tanto, P(x) tiene 0, 2 o 4 ceros reales.
68 Resumiendo: Posibles combinaciones de tipos de ceros: Reales positivos Reales negativos Complejos
69 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = 3x 5 + 2x 4 x 3 8x 2 7
70 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = 3x 5 + 2x 4 x 3 8x 2 7 Solución: P (x) tiene una variación de signos. Por lo tanto, tiene 1 cero real positivo.
71 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = 3x 5 + 2x 4 x 3 8x 2 7 Solución: P (x) tiene una variación de signos. Por lo tanto, tiene 1 cero real positivo. P ( x) = 3( x) 5 + 2( x) 4 ( x) 3 8( x) 2 7 = 3x 5 + 2x 4 + x 3 8x 2 7
72 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = 3x 5 + 2x 4 x 3 8x 2 7 Solución: P (x) tiene una variación de signos. Por lo tanto, tiene 1 cero real positivo. P ( x) = 3( x) 5 + 2( x) 4 ( x) 3 8( x) 2 7 = 3x 5 + 2x 4 + x 3 8x 2 7 P ( x) tiene 2 variaciones de signos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros reales negativos.
73 Ejemplo: Aplique la regla de los signos de Descartes para determinar el número de ceros reales positivos y negativos del polinomio P (x) = 3x 5 + 2x 4 x 3 8x 2 7 Solución: P (x) tiene una variación de signos. Por lo tanto, tiene 1 cero real positivo. P ( x) = 3( x) 5 + 2( x) 4 ( x) 3 8( x) 2 7 = 3x 5 + 2x 4 + x 3 8x 2 7 P ( x) tiene 2 variaciones de signos. Por lo tanto, tiene 2 o 0 ceros reales negativos.
74 Ejercicio: Llene la tabla a continuación y realice el análisis de los posibles ceros del polinomio P (x) = 3x 5 + 2x 4 x 3 8x 2 7. Reales positivos Reales negativos Ceros Complejos
75 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Teorema: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales. 1 Si se divide P(x) entre (x - b) (con b > 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números no negativos, entonces b es un cota superior para los ceros reales de P(x).
76 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Teorema: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales. 1 Si se divide P(x) entre (x - b) (con b > 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números no negativos, entonces b es un cota superior para los ceros reales de P(x). 2 Si se divide P(x) entre (x - a) (con a < 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números alternativamente no positivos y no negativos, entonces a es un cota inferior para los ceros reales de P(x).
77 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Teorema: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales. 1 Si se divide P(x) entre (x - b) (con b > 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números no negativos, entonces b es un cota superior para los ceros reales de P(x). 2 Si se divide P(x) entre (x - a) (con a < 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números alternativamente no positivos y no negativos, entonces a es un cota inferior para los ceros reales de P(x). Nota: El número cero se puede considerar positivo o negativo, según convenga.
78 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Teorema: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales. 1 Si se divide P(x) entre (x - b) (con b > 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números no negativos, entonces b es un cota superior para los ceros reales de P(x). 2 Si se divide P(x) entre (x - a) (con a < 0) por medio de la división sintética y si el renglón que contiene el cociente y el residuo son números alternativamente no positivos y no negativos, entonces a es un cota inferior para los ceros reales de P(x). Nota: El número cero se puede considerar positivo o negativo, según convenga.
79 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Ejemplo: Demuestre que los ceros reales del polinomio P (x) = x 4 3x 2 + 2x 5 están entre -3 y 2.
80 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Ejemplo: Demuestre que los ceros reales del polinomio P (x) = x 4 3x 2 + 2x 5 están entre -3 y 2.
81 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Ejemplo: Demuestre que los ceros reales del polinomio P (x) = x 4 3x 2 + 2x 5 están entre -3 y 2.
82 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Ejercicio: Determine una cota superior y una cota inferior, ambas números enteros, para los ceros reales del polinomio P (x) = x 4 2x 3 + x 2 9x + 2.
83 Ceros Reales: Teorema de las Cotas Superior e Inferior Ejercicio: Determine una cota superior y una cota inferior, ambas números enteros, para los ceros reales del polinomio P (x) = x 4 2x 3 + x 2 9x + 2.
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