FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

Transcripción

1 FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

2 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría Periodicidad 0peraciones Suma de Funciones Producto de un número real por una función Producto de dos funciones Cociente de dos funciones Composición Función inversa Función inyectiva Función opuesta Función recíproca Funciones Reales

3 Un función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B conjunto final, es una correspondencia por la cual a cada elemento de un subconjunto de A, llamado dominio de la función y denotado por Domf, le corresponde un elemento y solo uno de un subconjunto de B, llamado imagen o recorrido de f, y denotado Im f. En Matemáticas, normalmente se trabaja, con funciones reales de variable real, es decir, funciones en las cuales el conjunto final es el de los números reales y el conjunto inicial también es el de los números reales. Esta función se denota por: FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN

4 ENTERAS O POLINÓMICAS RACIONALES ALGEBRAICAS RACIONALES IRRACIONALES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TRASCENDENTES EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS FUNCIONES REALES. CLASIFICACIÓN

5 Funciones racionales enteras o polinómicas Una función polinómica es una combinación lineal de funciones potencias de base real y exponente natural. Su dominio es el conjunto de números reales, es decir, Dom f = R Ejemplos: FUNCIONES REALES. DOMINIO

6 Funciones racionales fraccionarias Son las funciones son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente nulo. Dominio son todos los números reales menos los valores que anulan el denominador. Dom f = R {x ε R / Q(x) = 0 Ejemplos: FUNCIONES REALES. DOMINIO

7 Funciones irracionales Son aquellas en las que la variable independiente aparece bajo el signo radical o elevada a exponente racional no entero. Dominio: Si el índice es impar entonces el Dom f = R Si el índice es par entonces el Dom f = {x ε R/ g(x) 0}, siendo f(x) = Ejemplos: FUNCIONES REALES. DOMINIO

8 Funciones trigonométricas Son las funciones de un ángulo.: seno, coseno tangente etc. Dominio: De las funciones tipos f(x) = sen(g(x)); f(x) = cos (g(x)); es Dom f = R De las funciones tipo f(x) = tg (g(x)), es Dom f = { x ε R / g(x) π/2 + k π, k ε Z} Ejemplos: FUNCIONES REALES. DOMINIO

9 Funciones exponenciales Son las funciones del tipo f(x) = a g(x), siendo a >0 y a 1 Domino: Dom f(x) = Dom g(x) Ejemplos FUNCIONES REALES. DOMINIO

10 Funciones logarítmicas Son las funciones del tipo f(x) = log a (g(x))., con a >o y a 1 Dominio: Dom f = {x ε R/ g(x) > 0 } Ejemplos: FUNCIONES REALES. DOMINIO

11 Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y las imágenes para el mismo valor de x coinciden. FUNCIONES REALES. IGUALDAD DE FUNCIONES

12 Monotonía Estrictamente crecientes Una función es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si Estrictamente decrecientes Una función es estrictamente decreciente en un intervalo (a, b) si FUNCIONES REALES.MONOTONÍA

13 Extremos Relativos Máximo relativo La función f(x) presenta un máximo relativo en x o, cuando existe un entorno E(x o ) tal que: Mínimo relativo La función f(x) presenta un mínimo relativo en x o, cuando existe un entorno E(x o ) tal que: FUNCIONES REALES. EXTREMOS RELATIVOS

14 Acotación. Extremos absolutos Función acotada superiormente Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) k. K es la cota superior Función acotada inferiormente Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) k. K es la cota inferior Una función está acotada si lo está superiormente e inferiormente a la vez k f(x) k FUNCIONES RELAES.ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS

15 Acotación. Extremos absolutos Máximo absoluto Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la menor de las cotas superiores. Se llama Máximo absoluto de una función acotada superiormente al extremo superior o supremo cuando es alcanzado por la función Mínimo absoluto Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor de sus cotas inferiores. Se llama Mínimo absoluto de una función acotada inferiormente al extremo inferior o ínfimo cuando es alcanzado por la función FUNCIONES RELAES.ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS

16 Funciones simétricas Simetría par o respecto al eje de ordenadas Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f( x) = f(x). Define una simetría axial, cuyo eje es el eje de ordenadas Simetría impar o respecto al origen de coordenadas Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica: f( x) = f(x). Define una simetría central de centro el origen de coordenadas. FUNCIONES REALES. SIMETRÍA

17 Funciones Periódicas Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + z T) T es el periodo principal de la función, pero cualquier múltiplo de este también es periodo. FUNCIONES REALES. PERIODICIDAD

18 Operaciones con funciones Suma de dos funciones La suma de las funciones f y g, que representamos por f + g, de la forma (f + g) (x) = f(x) + g(x). El Dom (f+g) = Dom f Dom g El producto de un número real por una función La función producto de un número real t por la función f, t f, es de la forma (t f) (x) =t f(x). El Dom (t f) = Dom f El producto de dos funciones El producto de dos funciones f y g, que se representa por f g, de la forma (f g) (x) = f(x) g(x). El Dom (f g) = Dom f Dom g El cociente de dos funciones El cociente de dos funciones f y g, que representamos por f/g, de la forma (f/g) (x) = f(x) / g(x). El Dom (f/g) = Dom f Dom g con g(x) 0 FUNCIONES REALES. OPERACIONES

19 Composición de funciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Ejemplo: (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = = 7 Dominio de la función composición: Dom (gof) = {x Dom f / f(x) Dom g} No cumple la propiedad conmutativa. La función identidad es la función i definida por i(x) = x. Se define como la función que trasforma cualquier número real en si mismo. Es decir, i: R R x i(x) = x Tiene la propiedad: f o i = i o f = f FUNCIONES REALES. COMPOSICIÓN

20 Función inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f 1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a. Podemos observar que: El dominio de f 1 es el recorrido de f. El recorrido de f 1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. f o f -1 = f -1 o f = x Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante FUNCIONES REALES. FUNCIÓN INVERSA

21 Función inyectiva Una función es inyectiva si cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f Función opuesta Dada una función f definimos su función opuesta y la denotamos por f de la siguiente manera: (-f) (x) = - f(x). El Dom f = Dom f Función recíproca Dada una función f, definimos su función recíproca y la denotamos por 1/f de la siguiente manera: (1/f) (x) = 1 / f(x). El Dom (1/f) = Dom f { x/ f(x) = 0} Proceso para calcular la función inversa de una dada Calcular la inversa de la siguiente función: 1º paso: llamamos y a la función y despejamos la x 2º paso: llamamos a la x f(x) y a la y x, y la función que obtenemos es la inversa de la función dada FUNCIONES REALES. OTROS TIPOS DE FUNCIONES

22 Aplicación de las TIC S: Cualquiera de los siguientes instrumentos o programas los podemos utilizar en el estudio de las propiedades de las funciones, así como para el cálculo de dominio e imagen de funciones. Calculadora gráfica Geogebra Derive FUNCIONES REALES. APLICACIÓN DE LAS TIC S

23 Peter Gustav Lejeun Dirichlet Lectura recomendada ( ) fue el sucesor de Gauss en la cátedra de la Universidad de Gotinga. Expuso, junto con Riemann, la formulación más general de función como correspondencia entre dos conjuntos de números. En 1857 formuló la definición de función tal como la conocemos hoy día. El Teorema del loro Autor: Denis Guedj FUNCIONES REALES. ANEXO