Cálculo I, GIEAI. Rafael Bravo de la Parra. Curso U. D. Matemáticas, Universidad de Alcalá

Transcripción

1 , GIEAI U. D. Matemáticas, Universidad de Alcalá Curso

2 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

3 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. Números enteros, racionales y reales. Números complejos. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

4 Números enteros, racionales y reales. Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Números naturales N = {0, 1, 2, 3,...} Números enteros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Números racionales { } m Q = : m Z, n Z {0} n Desarrollos decimales finitos o infinitos periódicos. Números reales R Todo tipo de desarrollos decimales. Los desarrollos decimales infinitos no periódicos corresponden a los números irracionales, los reales que no son racionales: I = R \ Q.

5 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. Números enteros, racionales y reales. Números complejos. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

6 Forma binómica y operaciones. Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Números complejos C = {z = a + bi : a, b R} 1 Unidad imaginaria i, i 2 = 1 2 Parte real: Re z = a R 3 Parte imaginaria: Im z = b R Suma y producto de números complejos z 1 = a 1 + b 1i y z 2 = a 2 + b 2i SUMA: z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i PRODUCTO: z 1 z 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2) + (a 1 b 2 + b 1 a 2)i R C y las operaciones de C extienden a las de R.

7 Conjugado. Cociente. Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Complejo conjugado El complejo conjugado de z = a + bi es z = a bi. 1 La suma de los conjugados es el conjugado de la suma: z 1 + z 2 = z 1 + z 2. 2 El producto de los conjugados es el conjugado del producto: z 1 z 2 = z 1 z 2. 3 Producto de un número por su conjugado: z z = a 2 + b 2 R. Cociente de números complejos z 1 = a 1 + b 1i y z 2 = a 2 + b 2i z 1 z1 z2 = = z 2 z 2 z 2 1 a (z 1 z 2) = b2 2 a1 a2 + b1 b2 a b2 2 El inverso de un número complejo z = a + bi 0: 1 z = 1 a 2 + b z = 2 a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 i a1 b2 + b1 a2 a i b2 2

8 Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Módulo y argumento de un número complejo Módulo de un número complejo El módulo del número complejo z = a + bi es el número positivo (o 0 si z = 0): z = a 2 + b 2 Se tiene por tanto z z = z 2. Argumento de un número complejo El argumento de un número complejo z = a + bi es el ángulo que comienza en el semieje real positivo y termina en el segmento que une el origen con el punto (a, b). Se representa por arg z. Se considera también argumento a cualquier otro ángulo que se diferencie del anterior en un múltiplo de 2π. El valor del argumento entre 0 y 2π se obtiene mediante la fórmula: arg z = arctg b a si a > 0 y b 0 π 2 si a = 0 y b > 0 arctg b + π a si a < 0 3π 2 si a = 0 y b < 0 arctg b + 2π a si a < 0 y b 0

9 Forma polar Forma polar de un número complejo Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Sea el número complejo z = a + bi, llamamos r = z a su módulo y θ = arg z a su argumento: a = r cos θ b = r sen θ y así z = r(cos θ + i sen θ) Producto y cociente en forma polar Sean z 1 = a 1 + b 1i = r 1(cos θ 1 + i sen θ 1) y z 2 = a 2 + b 2i = r 2(cos θ 2 + i sen θ 2) es decir Si z 2 0 z 1 z 2 = r 1r 2 (cos(θ 1 + θ 2) + i sen(θ 1 + θ 2)) El módulo del producto es el producto de los módulos: z 1 z 2 = z 1 z 2 El argumento del producto es la suma de los argumentos: arg(z 1 z 2) = arg(z 1) + arg(z 2) z 1 z 2 = r1 r 2 (cos(θ 1 θ 2) + i sen(θ 1 θ 2))

10 Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Potencias y raices enteras de un número complejo Potencia entera de un número complejo Sea el número complejo z = a + bi = r(cos θ + i sen θ) y n N: z n = (a + bi) n = r n (cos nθ + i sen nθ) Raíz entera de un número complejo Sea el número complejo z = a + bi = r(cos θ + i sen θ) y n N: Si z 0 entonces z tiene n raíces n-ésimas distintas w k, (w k) n = z. Todas las raíces n-ésimas tienen el mismo módulo: w k = n z y argumentos: arg(w k) = θ n + 2π k con k = 0, 1, 2,..., n 1. n Teorema (Teorema Fundamental del Álgebra) Un polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene n raices (contando las repeticiones).

11 Fórmula de Euler Tema1 Tema2 Tema3 Reales Complejos Fórmula de Euler Así e i θ = cos θ + i sen θ z = a + bi = r(cos θ + i sen θ) = r e i θ Operaciones Producto: Cociente: Potencia: z 1 = r 1 e i θ 1 y z 2 = r 2 e i θ 2 z 1 z 2 = r 1 e i θ 1 r 2 e i θ 2 = r 1r 2 e i (θ 1+θ 2 ) z 1/z 2 = r 1 e i θ 1 /(r 2 e i θ 2 ) = r 1/r 2 e i (θ 1 θ 2 ) z n = ( r e i θ) n = r n e i nθ

12 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

13 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. Definiciones y gráficas. Operaciones: suma, producto y cociente. Funciones racionales. Funciones trascendentes: trigonométricas y exponenciales. Composición de funciones: función inversa, logaritmos y trigonométricas inversas. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

14 Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Terminología sobre funciones Definición Una función f de un conjunto A en un cojunto B es una regla que asigna a cada elemento x de A exactamente un elemento, llamado imagen de x y denotado f (x), del conjunto B. Notación: f : A B. El conjunto A se denomina dominio de f. Si una función f está expresada mediante una fórmula y no se especifica su dominio, éste es el mayor subconjunto de números reales x para los que f (x) es un número real. dom f = {x R : f (x) R} Dos funciones expresadas mediante la misma fórmula si tienen distintos dominios se consideran funciones distintas. El conjunto de todos los elementos y B para los que existe un x dom f tal que y = f (x) se denomina rango, o imagen, de f. rango f = {y B : existe x dom f con y = f (x)} El rango de f no tiene por qué coincidir con B. A x se le denomina variable independiente y a y variable dependiente.

15 Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Gráficas de funciones Definición En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares del plano, la gráfica de una función f es el conjunto de puntos de coordenadas (x, f (x)) donde x pertenece al dominio de f. graf f = {(x, f (x)) R 2 : x dom f } Se puede decir que y = f (x) es la ecuación de la gráfica de f. Si tenemos una curva en el plano, ésta puede ser la gráfica de una función si y sólo si cada recta vertical (paralela al eje y) corta a la curva como mucho en un punto. El dominio de una función es la proyección ortogonal de su gráfica sobre el eje x. El rango de una función es la proyección ortogonal de su gráfica sobre el eje y.

16 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. Definiciones y gráficas. Operaciones: suma, producto y cociente. Funciones racionales. Funciones trascendentes: trigonométricas y exponenciales. Composición de funciones: función inversa, logaritmos y trigonométricas inversas. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

17 Operaciones aritméticas Definición Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Si f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la diferencia f g, el producto fg y el cociente f /g se definen como sigue: (f + g)(x) = f (x) + g(x) con dom (f + g) = dom f dom g (f g)(x) = f (x) g(x) con dom (f g) = dom f dom g (fg)(x) = f (x)g(x) con dom (fg) = dom f dom g (f /g)(x) = f (x)/g(x) con dom (f /g) = {x dom f dom g : g(x) 0} Funciones polinomiales y racionales Una función polinomial tiene la forma: f (x) = a nx n + a n 1x n a 2x 2 + a 1x + a 0 donde los coeficientes a i (i = 0, 1,..., n) son números reales. El dominio de f es todo R = (, ). Una función racional se define mediante el cociente de dos polinomios p(x) y q(x): f (x) = p(x) q(x) El dominio de f es {x R : q(x) 0}, todos los números reales salvo las raices del polinomio denominador.

18 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. Definiciones y gráficas. Operaciones: suma, producto y cociente. Funciones racionales. Funciones trascendentes: trigonométricas y exponenciales. Composición de funciones: función inversa, logaritmos y trigonométricas inversas. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

19 Funciones trigonométricas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Función seno: f (x) = sen x dom f = R y rango f = [ 1, 1]. f (x) se define como el seno de un ángulo de x radianes. f es una función impar, f ( x) = f (x). La gráfica es simétrica respecto del origen. f es una función periódica de periodo 2π, f (x + 2π) = f (x).

20 Funciones trigonométricas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Función coseno: f (x) = cos x dom f = R y rango f = [ 1, 1]. f (x) se define como el coseno de un ángulo de x radianes. f es una función par, f ( x) = f (x). La gráfica es simétrica respecto del eje y. f es una función periódica de periodo 2π, f (x + 2π) = f (x).

21 Funciones trigonométricas Función tangente: f (x) = tan x Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición dom f = R { π + kπ : k Z} y rango f = R. 2 f (x) se define como la tangente de un ángulo de x radianes. f es una función impar, f ( x) = f (x). La gráfica es simétrica respecto del origen. f es una función periódica de periodo π, f (x + π) = f (x).

22 Funciones trigonométricas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Tabla de valores conocidos del seno, coseno y tangente x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π sen x cos x tan x No existe

23 Funciones exponenciales Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Sea b R, b > 0 y b 1 entonces una función exponencial tiene la forma f (x) = b x Al número b se le denomina base y x es el exponente. Propiedades de las potencias Suponemos a > 0, b > 0 y x, x 1, x 2 R: i) b x1 b x 2 = b x 1+x 2 b x 1 ii) b = x bx 1 x 2 iii) (b x 1 ) x 2 = b x 1 x ( iv) b = x b x v) (a b) x = a x b x a ) x a x vi) = b b x

24 Funciones exponenciales Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Propiedades de la función exponencial f (x) = b x con b > 1 dom f = R y rango f = (0, ) (b x > 0). b 0 = 1. f es una función creciente y convexa. Gráfica de f (x) = e x

25 Funciones exponenciales Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Propiedades de la función exponencial f (x) = b x con 0 < b < 1 dom f = R y rango f = (0, ) (b x > 0). b 0 = 1. f es una función decreciente y convexa. Gráfica de f (x) = e x

26 La función exponencial Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición El número e e es un número irracional que se puede definir como ( e = lim ) x = lim x x (1 + x) 1 x x 0 e = 2, Definición La función exponencial natural o simplemente la función exponencial es la que tiene por base el número e: f (x) = e x = exp(x)

27 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. Definiciones y gráficas. Operaciones: suma, producto y cociente. Funciones racionales. Funciones trascendentes: trigonométricas y exponenciales. Composición de funciones: función inversa, logaritmos y trigonométricas inversas. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

28 Composición de Funciones Definición (Composición de funciones) Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Dadas dos funciones f y g, la composición de f y g, denotada g f, es la función definida por (g f )(x) = g(f (x)) y su dominio es dom (g f ) = {x dom f : f (x) dom g}. Propiedades de la composición 1 La composición de funciones es asociativa: h (g f ) = (h g) f 2 La composición de funciones en general no es conmutativa: g f f g 3 La composición de funciones tiene un elemento neutro, la función identidad e(x) = x: e f = f e = f 4 Dada una función f a veces existe su elemento inverso respecto de la composición que se denota f 1 : (f 1 f )(x) = (f f 1 )(x) = e(x) = x y se denomina función inversa.

29 Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Función Inversa Definición (Función uno a uno) Se dice que una función f es uno a uno si cada elemento en el rango de f se asocia con exactamente un elemento de su dominio. Esto es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones: Si x 1, x 2 dom f y x 1 x 2 entonces f (x 1 ) f (x 2 ). Si x 1, x 2 dom f y f (x 1 ) = f (x 2 ) entonces x 1 = x 2. Toda recta horizontal, y = c, que corta a la gráfica de f lo hace en un único punto. Definición (Función inversa) Dada una función f uno a uno con dominio A y rango B. La inversa de f es la función denotada f 1 que tiene dominio B y rango A para la cual Cálculo de la inversa f (f 1 (x)) = x f 1 (f (x)) = x para todo x B para todo x A 1 Comprobar que f es uno a uno en su dominio. Si f no es uno a uno se puede elegir una parte del dominio de manera que la nueva función si lo sea y mantenga el rango de f. 2 El dominio y el rango de la función inversa f 1 son respectivamente el rango y el dominio de f. 3 Obtener f 1 (x) equivale a despejar x en la ecuación y = f (x) obteniéndose x = f 1 (y) y a continuación cambiar el nombre a la variable, cambiar y por x.

30 Funciones logarítmicas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Inversas de las funciones exponenciales Para b > 0 y b 1 tenemos una función exponencial de la forma y = b x, que sabemos que es uno a uno de manera que tiene inversa, f (y), que debe cumplir y = b f (y) y también f (b x ) = x. Definición (Función logarítmica) La función logarítmica de base b > 0 y b 1 se define: f : (0, ) R x log b x donde y = log b x es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener x (b y = x). Propiedades de los logaritmos Suponemos b > 0 y b 1, x, x 1, x 2 R +, c R y n N: ( ) x1 i) log b (x 1 x 2) = log b x 1 + log b x 2 ii) log b = log x b x 1 log b x 2 2 iii) log b x c = c log b x iv) log b n x = 1 n log b x

31 Funciones logarítmicas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Propiedades de la función logaritmo f (x) = log b x con b > 1 dom f = (0, ) y rango f = R. log b 1 = 0. f es una función creciente y cóncava. Gráfica de f (x) = ln x

32 Funciones logarítmicas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Propiedades de la función logaritmo f (x) = log b x con 0 < b < 1 dom f = (0, ) y rango f = R. log b 1 = 0. f es una función decreciente y convexa. Gráfica de f (x) = log 1/e x = ln x

33 Logaritmos naturales Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Definición El logaritmo natural o neperiano es el que tiene por base el número e y que denotaremos por ln x. Propiedades del logaritmo natural 1 La función f (x) = ln x es la inversa de la función exponencial: ln(e x ) = x y e ln x = x 2 ln 1 = 0, ln x < 0 si x (0, 1) y ln x > 0 si x (1, ). 3 Cualquier logaritmo se puede calcular a partir del logaritmo neperiano: log b x = ln x ln b 4 Cualquier exponencial se puede escribir a partir del número e y el logaritmo neperiano: b x (ln b)x = e 5 Cualquier función potencial f (x) = x α, x > 0 y α R, se puede definir a partir de la exponencial y el logaritmo neperiano: x α = e ln(xα) = e α ln x

34 Funciones trigonométricas inversas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Ninguna de las funciones trigonométricas tiene inversa en todo su dominio, pero restrigiéndolo adecuadamente sí. Función arcoseno: f (x) = arcsen x = sen 1 x Es la inversa de y = sen x con dominio [ π, π ]: 2 2 f : [ 1, 1] [ π, π ] 2 2 x arcsen x donde arcsen x es el único ángulo en radianes del intervalo [ π, π ] cuyo seno es x. 2 2 sen(arcsen x) = x para todo x [ 1, 1]. arcsen (sen x) = x para todo x [ π 2, π 2 ].

35 Funciones trigonométricas inversas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Función arcocoseno: f (x) = arccos x = cos 1 x Es la inversa de y = cos x con dominio [0, π]: f : [ 1, 1] [0, π] x arccos x donde arccos x es el único ángulo en radianes del intervalo [0, π] cuyo coseno es x. cos(arccos x) = x para todo x [ 1, 1]. arccos (cos x) = x para todo x [0, π].

36 Funciones trigonométricas inversas Tema1 Tema2 Tema3 Gráficas Operaciones Trascendentes Composición Función arcotangente: f (x) = atan x = tan 1 x Es la inversa de y = tan x con dominio ( π 2, π 2 ): f : R ( π 2, π 2 ) x atan x donde atan x es el único ángulo en radianes del intervalo ( π, π ) cuya tangente es x. 2 2 tan(atan x) = x para todo x R. atan (tan x) = x para todo x ( π 2, π 2 ). La gráfica y = atan x de la función arcotangente tiene una asíntota horizontal y = π 2 cuando x + y otra distinta y = π cuando x. 2

37 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas

38 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas Límites de una función en un punto Límites e infinito. Definiciones rigurosas de límite Funciones continuas. Teorema del valor intermedio Teorema de los valores extremos

39 Límite de una función en un punto Definición Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Sea f una función definida en un entorno de a R aunque no necesariamente en a y L R. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota: lim f (x) = L x a Definición (Límites laterales) El límite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda (derecha) es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x < a (x > a) suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota: ( ) Teorema lim x a f (x) = L lim x a + f (x) = L Sea f una función definida en un entorno de a R aunque no necesariamente en a y L R. Se tiene que lim f (x) = L si y solo si lim x a f (x) = L = lim f (x). x a x a +

40 Límites y operaciones Teorema (Límites y suma y producto) Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Si existen los límites lim x a f (x) y lim x a g(x) entonces lim x a lim x a (f ± g)(x) = lim f (x) ± lim g(x). x a x a (f g)(x) = lim f (x) lim g(x). x a x a Teorema (Límites y cociente) Si existen los límites lim x a f (x) y lim x a g(x) y éste último es distinto de 0 entonces Teorema (Límites y composición) Si lim x a f (x) = b y lim x b g(x) = L, entonces f (x) lim f (x) lim x a g(x) = x a lim g(x). x a lim g(f (x)) = L. x a Se puede sustituir a en todos los enunciados por a o a +.

41 Límites y operaciones Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Límites y cociente: denominador con límite 0 1 Si lim x a f (x) = L 0 y lim x a g(x) = 0 entonces f (x) lim x a g(x) no existe. 2 Si lim x a f (x) = 0 y lim x a g(x) = 0 entonces no sabemos que ocurre con f (x) lim x a g(x) Esta situación se denomina INDETERMINACIÓN y significa que saber que lim f (x) = 0 y lim g(x) = 0 no es suficiente para calcular lim f (x)/g(x). x a x a x a Se puede sustituir a por a o a +.

42 Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Más teoremas sobre límites Teorema Sean a, c R. Entonces: Corolario lim c = c. x a lim x = a. x a Si f (x) es un polinomio o una función racional y a dom f entonces: Teorema lim f (x) = f (a). x a Si f (x) es una función potencial (x α ), trigonométrica (sen x, cos x, tan x,...), exponencial (b x ), logarítmica (log b x) o trigonométrica inversa (arcsen x, arccos x, atan x,...) y a dom f entonces: lim f (x) = f (a). x a

43 Límites y orden Teorema Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Sean f y g dos funciones definidas y que verifican f(x) g(x) en un entorno de a. Si existen lim f (x) y lim g(x) entonces x a x a lim f (x) lim g(x) x a x a Corolario (teorema de compresión o del sandwich) Sean f, g y h tres funciones definidas y que verifican en un entorno de a f(x) h(x) g(x). Si existen lim f (x) y lim g(x) y son iguales entonces existe lim h(x) y x a x a x a se verifica lim f (x) = lim h(x) = lim g(x). x a x a x a Se puede sustituir a en los dos enunciados por a (o a + ) y en ese caso la desigualdad basta que se cumpla en un entorno a la izquierda (o a la derecha).

44 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas Límites de una función en un punto Límites e infinito. Definiciones rigurosas de límite Funciones continuas. Teorema del valor intermedio Teorema de los valores extremos

45 Límites infinitos Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Definición El límite de f (x) cuando x tiende a a es + si podemos hacer tan grandes como queramos los valores de f (x) sin más que coger x suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota: lim f (x) = + x a Definición El límite de f (x) cuando x tiende a a es si podemos hacer negativos y tan grandes en valor absoluto como queramos los valores de f (x) sin más que coger x suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota: lim f (x) = x a Análogamente se definirían los límites infinitos laterales. Definición (Asíntota vertical) Si el límite de f (x) cuando x tiende a a (o a + o a ) es + (o ) se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x).

46 Límites infinitos y operaciones Suma y límites infinitos lim x a f (x) = A y lim x a Producto y límites infinitos lim x a f (x) = A y lim x a Cociente y límites infinitos lim x a Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas g(x) = B son L, + o entonces lim (f + g)(x) = C. x a B\A L IND. IND. g(x) = B son L, + o entonces lim (f g)(x) = C. x a B\A 0 L IND. signo(l) + IND. signo(l) + f (x) f (x) = A y lim g(x) = B son L, + o entonces lim x a x a g(x) = C. B\A L IND. IND. 0 IND. IND.

47 Límites infinitos y operaciones Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Límites y cociente: denominador con límite 0 Si lim x a f (x) = L 0 y lim x a g(x) = 0 entonces 1 2 f (x) lim x a g(x) lim x a no existe. f (x) g(x) = + lim f (x)/g(x) puede ser +, o tomar cada vez valores más grandes sin un x a signo determinado. Se puede sustituir a por a o a +.

48 Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Límites en el infinito Definición El límite de f (x) cuando x tiende a + es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x suficientemente grande. Se denota lim x + f (x) = L Definición El límite de f (x) cuando x tiende a es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x negativo suficientemente grande en valor absoluto. Se denota Definición (Asíntota horizontal) lim f (x) = L x Si el límite de f (x) cuando x tiende a +, o a, es L se dice que la recta y = L es una asíntota horizontal de la curva y = f (x). Análogamente se definirían los límites infinitos en + y.

49 Límites en el infinito y operaciones Teorema (Límites y suma y producto) Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Si existen los límites lim x a f (x) y lim x a g(x) entonces lim x a lim x a (f ± g)(x) = lim f (x) ± lim g(x). x a x a (f g)(x) = lim f (x) lim g(x). x a x a a puede sustituirse por + o. Teorema (Límites y cociente) Si existen los límites lim f (x) y lim g(x) y éste último es distinto de 0 entonces x a x a f (x) lim f (x) lim x a g(x) = x a lim g(x). x a a puede sustituirse por + o. Teorema (Límites y composición) Si lim x a f (x) = b y lim x b g(x) = L, entonces lim x a g(f (x)) = L. a, b y L pueden sustituirse cada una por + o.

50 Límites infinitos en el infinito y operaciones Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas En los resultados siguientes a puede sustituirse por + o. Suma y límites infinitos lim f (x) = A y lim g(x) = B son L, + o entonces lim (f + g)(x) = C. x a x a x a B\A L IND. IND. Producto y límites infinitos lim f (x) = A y lim g(x) = B son L, + o entonces lim (f g)(x) = C. x a x a x a B\A 0 L IND. signo(l) + IND. signo(l) + Cociente y límites infinitos f (x) lim f (x) = A y lim g(x) = B son L, + o entonces lim x a x a x a g(x) = C. B\A L IND. IND. 0 IND. IND. Límites y cociente: denominador con límite 0 Si lim f (x) = L 0 y lim g(x) = 0 entonces lim x a x a x a f (x) g(x) no existe y lim x a f (x) g(x) = +.

51 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas Límites de una función en un punto Límites e infinito. Definiciones rigurosas de límite Funciones continuas. Teorema del valor intermedio Teorema de los valores extremos

52 Límites en un punto Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Definición (Límite de una función en un punto) Sea f una función definida para todo x tal que 0 < x a < η, siendo η un número positivo. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x a < δ entonces f (x) L < ε. Definición (Límite por la izquierda de una función en un punto) Sea f una función definida para todo x tal que 0 < a x < η, siendo η un número positivo. El límite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda es L si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < a x < δ entonces f (x) L < ε. Definición (Límite por la derecha de una función en un punto) Sea f una función definida para todo x tal que 0 < x a < η, siendo η un número positivo. El límite de f (x) cuando x tiende a a por la derecha es L si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x a < δ entonces f (x) L < ε.

53 Límites infinitos y en el infinito. Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Definición (Límites infinitos) Sea f una función definida para todo x tal que 0 < x a < η, siendo η un número positivo. El límite de f (x) cuando x tiende a a es + ( ) si para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < x a < δ entonces f (x) > M (f (x) < M). Análogamente se definirían los límites infinitos laterales. Definición (Límites en el infinito) Sea f una función definida para todo x > K (x < K), siendo K un número positivo. El límite de f (x) cuando x tiende a + ( ) es L si para cada ε > 0 existe un M > 0 tal que si x > M (x < M) entonces f (x) L < ε. Definición (Límites infinitos en el infinito) Sea f una función definida para todo x > K (x < K), siendo K un número positivo. El límite de f (x) cuando x tiende a + ( ) es + ( ) si para cada N > 0 existe un M > 0 tal que si x > M (x < M) entonces f (x) > N (f (x) < N).

54 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas Límites de una función en un punto Límites e infinito. Definiciones rigurosas de límite Funciones continuas. Teorema del valor intermedio Teorema de los valores extremos

55 Funciones continuas Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Definición Una función f (x) es continua en un punto a si 1 a dom f 2 Existe lim x a f (x) 3 lim f (x) = f (a). x a Si alguna de estas condiciones no se cumple se dice que f (x) es discontinua en el punto a. Una función f (x) es continua en un punto a por la derecha (izquierda) si lim f (x) = f (a) x a + ( lim f (x) = f (a)). x a Una función f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b) si es continua en todo punto x (a, b). Una función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en todo punto x (a, b), continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

56 Operaciones con funciones continuas Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Teorema Las funciones polinómicas, racionales, raíces ( n x), potenciales (x α ), trigonométricas (sen x, cos x, tan x,...), exponenciales (b x ), logarítmicas (log b x) y trigonométricas inversas (arcsen x, arccos x, atan x,...) son continuas en todo su dominio. Teorema Sean f (x) y g(x) funciones continuas en el punto a. Entonces también son continuas en a las funciones (f + g)(x), (f g)(x) y, si g(a) 0, (f /g)(x). Teorema Si la función f (x) es continua en el punto a y la función g(x) es continua en el punto f (a) entonces la función (g f )(x) es continua en en el punto a, es decir, la composición de funciones continuas es una función continua. Teorema Si f (x) es continua y uno a uno su función inversa f 1 (x) también es continua.

57 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas Límites de una función en un punto Límites e infinito. Definiciones rigurosas de límite Funciones continuas. Teorema del valor intermedio Teorema de los valores extremos

58 Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Teorema del valor intermedio o de Bolzano Teorema Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea γ cualquier número estrictamente entre f (a) y f (b). Entonces existe c (a, b) tal que f (c) = γ. Corolario Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que f (a) f (b) < 0 (f (a) y f (b) tienen distinto signo). Entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Corolario Sea f (x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) tal que f (x) 0 para todo x (a, b). Entonces f (x) conserva el signo en (a, b) (o f (x) > 0 para todo x (a, b) o f (x) < 0 para todo x (a, b)).

59 Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Método de bisección. Ecuación f (x) = 0 con f función continua. Si f (a) f (b) < 0 sabemos que existe c (a, b) que es raiz de la ecuación. Para aproximarse a ella se puede utilizar el método iterativo denominado Método de Bisección: Paso 1 Hacemos u 1 = a y v 1 = b y procedemos a la bisección de [u 1, v 1 ]: m 1 = (u 1 + v 1 )/2 es el punto medio. Si f (m 1 ) = 0 hemos encontrado la raiz, si no o en [u 1, m 1 ] o en [m 1, v 1 ] habrá cambio de signo de f y denominamos [u 2, v 2 ] a éste intervalo. Paso n Procedemos a la bisección de [u n, v n]: m n = (u n + v n)/2 es el punto medio. Si f (m n) = 0 hemos encontrado la raiz, si no o en [u n, m n] o en [m n, v n] habrá cambio de signo de f y denominamos [u n+1, v n+1 ] a éste intervalo. Al cabo de n iteraciones sabemos que: m n c b a 2 n

60 Método de bisección. Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Ecuación e x = ln x, en [1, 2]. f (x) = e x ln x. α = 1, i u i v i m i f(u i ) f(m i ) f(v i ) ,5 0, , , ,5 1,25 0, , , ,25 1,5 1,375 0, , , ,25 1,375 1,3125 0, , , ,25 1,3125 1, , , , , ,3125 1, , , , , ,3125 1, , , , , ,3125 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5363E-05-0, , , , , , ,5363E , , , , ,77084E-05-1,5363E-05

61 Índice Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas 1 TEMA 1: Conjuntos de números: operaciones y representación. 2 TEMA 2: Funciones: operaciones y representación. Funciones elementales. 3 TEMA 3: Límites de funciones. Funciones continuas Límites de una función en un punto Límites e infinito. Definiciones rigurosas de límite Funciones continuas. Teorema del valor intermedio Teorema de los valores extremos

62 Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Acotación y extremos de un conjunto y de una función. Definición (Cota superior e inferior. Conjunto acotado) Sea S un subconjunto no vacio de los números reales, S R y S. Se dice que M R es una cota superior de S si para todo s S se verifica que s M. Si existe la cota superior se dice que S está acotado superiormente. Se dice que m R es una cota inferior de S si para todo s S se verifica que s m. Si existe la cota inferior se dice que S está acotado inferiormente. Se dice que S está acotado si está acotado superior e inferiormente. Definición (Máximo y mínimo.) Sea S R, S. Se dice que s 0 S es el máximo de S, y se denota s 0 = max S, si para todo s S se verifica que s s 0. Se dice que s 0 S es el mínimo de S, y se denota s 0 = min S, si para todo s S se verifica que s s 0.

63 Teorema de los valores extremos Tema1 Tema2 Tema3 Límite en un punto Infinito Límites ε δ Funciones continuas Definición (Función acotada y extremos absolutos de una función.) Se dice que una función f está acotada (superior o inferiormente) si su rango es un conjunto acotado (superior o inferiormente). Existen M, m R tal que m f (x) M para todo x dom f. Se denominan máximo y mínimo absolutos (extremos absolutos) de una función al máximo y el mínimo de su rango. Se dice que función f alcanza su máximo absoluto (mínimo absoluto) en c dom f si f (x) f (c) (f (c) f (x)) para todo x dom f. Teorema (de los valores extremos (o de Weierstrass)) Si la función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen c, d [a, b] tales que Corolario f (c) f (x) f (d) para todo x [a, b]. Si la función f (x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] existen c, d [a, b] tales que f ([a, b]) = [f (c), f (d)].

64 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición 4 TEMA 4: Funciones derivables 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. 6 TEMA 6: Integración 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

65 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición 4 TEMA 4: Funciones derivables Definición y operaciones 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. 6 TEMA 6: Integración 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

66 Rectas tangentes y velocidades Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición La ecuación de una recta en el plano que pasa por el punto (a, b) y tiene pendiente m es y = b + m(x a). Límite del cociente incremental Sea f (x) una función continua en a. Si existe el límite f (x) f (a) f (a + h) f (a) m = lim = lim x a x a h 0 h entonces la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (a, f (a)) es la recta que pasa por este punto y cuya pendiente es m: y = f (a) + m(x a) Sea s = f (t) el desplazamiento de un objeto que se mueve en línea recta respecto al origen en el tiempo t. En el intervalo desde t = a a t = a + h tenemos velocidad media = desplazamiento f (a + h) f (a) = tiempo h y la velocidad instántanea v(a) en el instante t = a f (a + h) f (a) v(a) = lim. h 0 h

67 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición Derivada de una función en un punto Definición La derivada de la función f (x) en el punto a, denotada f (a), es f f (x) f (a) f (a + h) f (a) (a) = lim = lim x a x a h 0 h si el límite existe. La derivada por la derecha, f +(a), y por la izquierda, f (a), se definen análogamente utilizando, respectivamente, el límite por la derecha y por la izquierda. Notaciones f (x) f prima de x, dy dx derivada de y con respecto a x, y y prima, y d (f (x)) derivada con dx respecto a x de f de x. El valor de la derivada en el punto a: f (a), dy, y (a) y d dx x=a dx (f (x)). x=a Ecuación de la recta tangente La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto a es y = f (a) + f (a)(x a)

68 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición Función derivada Definición La función derivada de f (x), denotada f (x), es la función que tiene por dominio dom(f ) = {x dom(f ) : f (x)existe} y que a cada x le hace corresponder f (x). y = f (x) e y = f (x)

69 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición Función diferenciable y derivadas de orden superior. Definición La función f (x) es diferenciable en a si f (a) existe, y es diferenciable en un intervalo abierto (a, b) (donde a puede ser y b puede ser ) si es diferenciable en todo punto del intervalo. f es diferenciable en un intervalo cerrado [a, b] si es diferenciable en el intervalo abierto (a, b), tiene derivada por la derecha en a y derivada por la izquierda en b. Teorema Si f (x) es diferenciable en a entonces es continua en a. Definición (Segunda derivada y derivadas de orden superior.) La segunda derivada de la función f (x) es la derivada de la función derivada f (x) y se denota: f (x), d2 y dx, 2 y, y d2 (f (x)). dx2 En general, la derivada n-ésima de la función f (x) es la derivada de la función derivada (n-1)-ésima y se denota: f (n) (x), dn y dx, n y(n), y dn (f (x)). dxn

70 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición Linealización de una función en un punto. Definición La linealización de la función f (x) en el punto a es la función polinómica de primer grado: L(x) = f (a) + f (a)(x a) Linealización de f (x) = 3 x en a = 1: L(x) = (x 1) 3 x f(x) = 3 x L(x) = (x 1)

71 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición Derivación mediante tablas. Teorema Las siguientes funciones son diferenciables: 1 Funciones polinómicas y racionales. 2 Funciones potenciales en (0, ). 3 Las funciones raiz salvo en el 0. 4 Funciones trigonométricas. 5 Función arcotangente. Las funciones arcoseno y arcocoseno salvo en 1 y 1. 6 Funciones exponenciales y logarítmicas. 7 La función valor absoluto salvo en el 0.

72 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Definición Derivación y operaciones. Teorema Sean f (x) y g(x) funciones diferenciables en el punto a. Entonces también son diferenciables en a las funciones (f + g)(x), (f g)(x) y, si g(a) 0, (f /g)(x). Además: 1 (f + g) (a) = f (a) + g (a) 2 (f g) (a) = f (a) g(a) + f (a) g (a) 3 (f /g) (a) = f (a) g(a) f (a) g (a) (g(a)) 2 Teorema Si la función f (x) es diferenciable en el punto a y la función g(x) es diferenciable en el punto f (a) entonces la función (g f )(x) es diferenciable en en el punto a y se verifica que: (g f ) (a) = g (f (a)) f (a) Regla de la cadena

73 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio 4 TEMA 4: Funciones derivables 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. 6 TEMA 6: Integración 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

74 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio 4 TEMA 4: Funciones derivables 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. Aplicaciones de la Regla de la cadena. Teorema del valor medio y aplicaciones 6 TEMA 6: Integración 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

75 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Aplicaciones de la Regla de la cadena. Derivación implícita Una función se dice que está definida explícitamente cuando podemos escribir las imágenes de los elementos x del dominio de la forma y = f (x). En ocasiones una función queda definida a través de una relación entre las variables x e y, F(x, y) = 0, en este caso se dice que la función está definida implícitamente. Con ayuda de la regla de la cadena se puede encontrar la derivada de la función mediante derivación implícita que consiste en considerar y como función de x, y(x), y despejar y (x) en la expresión: d F(x, y(x)) = 0 dx Análogamente se puede utilizar la derivación implícita para obtener derivadas de orden superior de la función, por ejemplo la segunda derivada despejando y (x) a partir de: d 2 F(x, y(x)) = 0 dx2

76 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Aplicaciones de la Regla de la cadena. Teorema Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a, b). Si f (x) > 0 para todo x (a, b) o f (x) < 0 para todo x (a, b) entonces f es uno a uno. Teorema (Derivada de la función inversa) Sea f una función diferenciable en el intervalo I y tal que f (x) 0 para todo x I. Si f tiene una inversa, f 1, en I entonces f 1 es diferenciable y su derivada verifica: (f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x))

77 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Aplicaciones de la Regla de la cadena. Derivación logarítmica La derivación de algunas funciones complicadas, y = f (x), que incluyen productos, cocientes y potencias se puede simplificar utilizando la derivación logarítmica: 1 Se toman logaritmos en y = f (x), ln y = ln f (x), y se simplifica todo lo posible el segundo miembro. 2 Se deriva implícitamente la versión simplicada de ln y = ln f (x): d dx (ln y) = d (ln f (x)). dx 3 Y como d dx (ln y) = 1 dy dy se tiene que y dx dx = y d (ln f (x)). dx

78 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Aplicaciones de la Regla de la cadena. Razones de cambio relacionadas La derivación ímplicita se utiliza también para encontrar razones (tasas o velocidades) de cambio de variables relacionadas que están cambiando en el tiempo. 1 Dentro del problema encontrar las cantidades que cambian en el tiempo y asignarles una variable (dependiente del tiempo, e.d., una función). 2 Relacionar las variables implicadas en el problema mediante una o más ecuaciones. 3 Derivar implícitamente con respecto al tiempo en las ecuaciones anteriores para obtener relaciones entre las razones de cambio de las variables (derivadas de la funciones). 4 Utilizar las razones de cambio que proporciona el problema para calcular las que pide, sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en el punto anterior.

79 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio 4 TEMA 4: Funciones derivables 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. Aplicaciones de la Regla de la cadena. Teorema del valor medio y aplicaciones 6 TEMA 6: Integración 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

80 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Teorema del valor medio. Teorema (Teorema de Rolle) Si f es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) con f (a) = f (b) entonces existe al menos un c (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema (Teorema del valor medio) Si f es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) entonces existe al menos un c (a, b) tal que f (c) = f (b) f (a) b a o, equivalentemente, f (b) f (a) = f (c)(b a).

81 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Signo de f y crecimiento de f. Definición La función f (x) es creciente (decreciente) en el intervalo I si, para todo x 1, x 2 I, x 1 < x 2 implica que f (x 1 ) < f (x 2 ) (f (x 1 ) > f (x 2 )). Teorema Sea f es una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). - Si f (x) > 0 para todo x (a, b) entonces f (x) es creciente en [a, b]. - Si f (x) < 0 para todo x (a, b) entonces f (x) es decreciente en [a, b]. - Si f (x) = 0 para todo x (a, b) entonces f (x) es constante en [a, b]. Corolario Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b). Entonces, f (x) = g (x) para todo x (a, b) si y sólo si existe c R tal que f (x) = g(x) + c para todo x [a, b].

82 Extremos locales y puntos críticos Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Definición 1 Se dice que la función f (x) tiene un máximo local o relativo en c si está definida y verifica que f (x) f (c) para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c. 2 Se dice que la función f (x) tiene un mínimo local o relativo en c si está definida y verifica que f (x) f (c) para todo x en algún intervalo abierto que contiene a c. Los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales. Teorema Si la función f (x) tiene un extremo local en c, entonces o f (c) = 0 o f (c) no existe. Definición Sea una función f (x), los puntos c de su dominio para los que f (c) = 0 o f (c) no existe se denominan puntos críticos. Los extremos locales de una función se alcanzan en puntos críticos.

83 Extremos locales Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Teorema (Criterio de la 1 a derivada) Supongamos que c es un punto crítico de la función f (x) y que ésta es continua en c. 1 Si existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x (c δ, c) y f (x) < 0 para todo x (c, c + δ) entonces en c se alcanza un máximo local. 2 Si existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x (c δ, c) y f (x) > 0 para todo x (c, c + δ) entonces en c se alcanza un mínimo local. 3 Si existe δ > 0 tal que el signo de f (x) se mantiene para 0 < x c < δ entonces en c no se alcanza un extremo local. Teorema (Criterio de la 2 a derivada) Supongamos que la función f (x) verifica que f (c) = 0 y que f (c) existe. 1 Si f (c) < 0 entonces en c se alcanza un máximo local. 2 Si f (c) > 0 entonces en c se alcanza un mínimo local.

84 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Extremos absolutos Cálculo de los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado Los valores extremos de una función f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] existen y sólo se pueden alcanzar en sus puntos críticos o en los extremos del intervalo. Procedimiento para encontrarlos: 1 Encuentra los puntos críticos c 1, c 2,...,c n de f en el intervalo abierto (a, b). 2 El máximo y el mínimo de los valores f (a), f (c 1 ),..., f (c n) y f (b) son respectivamente el máximo y el mínimo absolutos de f en [a, b]. Cálculo de los extremos absolutos de una función continua en un intervalo abierto Supongamos que f es continua en el intervalo abierto (a, b) donde a puede ser y b puede ser +. Los extremos absolutos no tienen por qué existir pero si existen se alcanzarán en puntos críticos. Procedimiento para encontrarlos: 1 Calcula, si existen, f (a + ) = lim f (x) y f (b ) = lim f (x). x a + x b 2 Encuentra los puntos críticos c 1, c 2,...,c n de f en el intervalo abierto (a, b). 3 El máximo (el mínimo) de los valores f (c 1 ),...,f (c n) es el máximo (respectivamente el mínimo) absoluto de f en (a, b) si es mayor o igual (respectivamente menor o igual) que f (a + ) y f (b ).

85 Método de Newton. Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Ecuación f (x) = 0 con f función derivable. Algoritmo del Método de Newton: 1 Primera aproximación: x 0 2 Conocida la aproximación x n definimos: x n+1 = x n f (xn) f (x n) = g(xn) Si la sucesión {x n} converge lo hace hacia una raiz de la ecuación y se pueden aceptar como exactas las cifras decimales que se repiten de un paso al siguiente. Si la sucesión {x n} no converge o lo hace hacia una raiz no buscada se debe reiniciar el algoritmo con una mejor primera aproximación x 0. Ecuación cos x = x cos x x = 0 luego f (x) = cos x x, y así g(x) = x cos x x sen x 1 x 0 = 1, x 1 = g(x 0 ) = 0, , x 2 = g(x 1 ) = 0, , x 3 = g(x 2 ) = 0, , x 4 = g(x 3 ) = 0, , x 5 = g(x 4 ) = 0, = x 6

86 Regla de L Hôpital. Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Der.Impl. Valor medio Teorema Sean f (x) y g(x) dos funciones diferenciables en un intervalo abierto que contiene a a, salvo quizá en el propio a, y tal que g (x) 0 para todo x en el intervalo excepto posiblemente en a. Si se verifica una de las dos condiciones siguientes (indeterminaciones de cociente): lim f (x) = 0 y lim g(x) = 0. x a x a lim x a entonces f (x) = ± y lim x a g(x) = ±. f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) tanto si el límite del segundo miembro existe como si es + o. Nota: Se puede sustituir a en el enunciado por a, a +, + o.

87 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Primitivas Integral definida T. Fund. 4 TEMA 4: Funciones derivables 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. 6 TEMA 6: Integración 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

88 Índice Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Primitivas Integral definida T. Fund. 4 TEMA 4: Funciones derivables 5 TEMA 5: Aplicaciones de la derivación. 6 TEMA 6: Integración Integral indefinida. Integral definida. Teorema fundamental del Cálculo. 7 TEMA 7: Integración numérica y aplicaciones de la integración.

89 Tema4 Tema5 Tema6 Tema7 Primitivas Integral definida T. Fund. Primitivas de una función. Definición Se dice que una función F es una primitiva (o antiderivada) de una función f en un intervalo I si F (x) = f (x) para todo x I. Teorema (Las primitivas de una función difieren en una constante) F (x) = G (x) para todo x [a, b] si y sólo si existe C R tal que F(x) = G(x) + C para todo x [a, b]. Notación de la integral indefinida. Si F (x) = f (x) en un intervalo I todas las primitivas de f se representan por f (x)dx = F(x) + C donde es el símbolo integral. La notación f (x)dx se denomina integral indefinida de f (x) respecto a x. La función f (x) se denomina integrando. El proceso de encontrar una primitiva se denomina integración. El número C es la denominada constante de integración.