UNIDAD 8: LÍMITE Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

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1 UNIDAD 8: LÍMITE Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Concepto de límite de una función Una aproximación al concepto de límite : Informalmente hablando se dice que el límite de una función es el valor al que tiende dicha función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito. Sea f una función definida en algún intervalo abierto del dominio que contenga a P. El límite de f (x) cuando x tiende a P es L, y se escribe: de modo que: Para cualquier ε> 0 lo suficientemente pequeño existe δ >0 tal que 0< entonces Propiedades de los límites Si c es una constante, 2-3- Si c es un número real cualquiera, siempre que g(p) 7- Prof. Liliana Collado Página 1

2 Esta lista de propiedades no es exhaustiva, pero permite trabajar calculando límites sencillos. Infinitésimos Una función f es un infinitésimo para un elemento x del dominio que tiende a un valor determinado a si, también se puede expresar.lo esencial es la variabilidad y tener por límite 0. x 2 es infinitésimo en x=0 pues x 2 tiende a 0 en x=0 senx es infinitésimo en x=0 porque tiende a 0 en x=0 1+x 2 no es infinitésimo porque tiende a 1 en x=0 sen(1+x) no es infinitésimo en x=0 y sí es infinitésimo en x=-1 La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo. Dos infinitésimos f y g son de igual orden cuando. Dos infinitésimos son equivalentes si. senx y x son infinitésimos equivalentes cuando x tiende a 0, esto significa que Los siguientes infinitésimos son equivalentes: sen2x y 2x, tg6x y 6x, ln(1+x) y x, e x -1 y x. Principio de sustitución: si en una expresión de un límite se sustituye un factor o divisor (nunca elementos que estén sumando)por otro equivalente, el límite no varía. Puede sustituirse un factor finito por su límite siempre que no sea nulo. Puede sustituirse un factor infinitésimo por otro equivalente. Prof. Liliana Collado Página 2

3 Límites laterales 1-Existen funciones que no están definidas para ciertos números reales. Si por ejemplo, uno de los elementos para los que la función no está definida es a, el estudio del comportamiento de la misma en un intervalo suficientemente pequeño que contenga a a, puede realizarse a través del concepto de límite. En estos casos puede suceder que el comportamiento de la función para valores menores que a no sea el mismo que para valores mayores que a, es decir, no da lo mismo acercarse a a por la derecha que por la izquierda. 2- En el siguiente caso la función sí está definida para todos los elementos del dominio, pero se observa un salto en las imágenes. También el comportamiento de la función para valores menores que a no es el mismo que para valores mayores que a, es decir, no da lo mismo acercarse a a por la derecha que por la izquierda. 3- Y existe una tercera posibilidad, cuando la función no está definida para un determinado número real, pero el comportamiento de la función para valores menores que a es el mismo que para valores mayores que a, es decir, da lo mismo acercarse a a por la derecha que por la izquierda. La representación gráfica presenta un ejemplo de esta situación: Para x=2 no existe imagen, pero si nos acercamos desde la izquierda de 2 o desde la derecha de 2, obtenemos el mismo resultado. Por ello, cualquiera sea el comportamiento de la función en estudio, es útil considerar lo siguiente: Prof. Liliana Collado Página 3

4 a-al límite de la función cuando tomamos sólo valores inferiores a x = a, se le llama límite lateral por la izquierda y se designa por. b-si la variable x sólo toma valores superiores a x = a, se le llama límite lateral por la derecha y se designa por. hallar el límite de las siguientes funciones: a) b) c) d) NO EXISTE De esta conceptualización se concluye: a) Una función tiene límite en un punto si sus límites laterales existen y coinciden. b) Una función no puede tener dos límites diferentes en un punto. Límites en el infinito Una función tiene límite L en el infinito, si los valores de f(x) tienden hacia L cuando x toma valores suficientemente grandes. Se expresan:. Indeterminaciones Existen situaciones en las que no es inmediata la solución de un límite aplicando las reglas conocidas. Algunos de ellos son:. Ejemplos: Prof. Liliana Collado Página 4

5 Se pueden calcular límites con indeterminación aplicando una de las siguientes técnicas: a) descomponiendo el polinomio en factores b) multiplicando o dividiendo por la mayor potencia expresada. c) Multiplicando y dividiendo por el conjugado de un binomio establecido. Cálculo de límites por factorización Cálculo de límite por el conjugado Cálculo de límite dividiendo por la mayor potencia También se puede tener en cuenta que si estudia una función racional: coeficientes. si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x) y los signos dependerán de los si el grado de P(x) es menor que el de Q(x) de los términos de mayor grado. si el grado de P(x) es igual al de Q(x) y a y b son los respectivos coeficientes Prof. Liliana Collado Página 5

6 Caso del límite para la función exponencial El número e Uno de los límites de mayor importancia fue estudiado por Leonard Euler y tiene la siguiente forma. Si calculamos directamente el límite llegamos a la expresión y concluimos erróneamente que.. Pero sabemos que, cualquiera sea x elegido Observemos la siguiente tabla: x 10 2, , , , , , Si x tiende a infinito, los valores de la expresión se aproximarán al llamado número e, número trascendente ya que no se puede expresar como un racional ni un irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas. Por lo tanto : Cualquier variable que ocupe los lugares correspondientes en la expresión, producirán el mismo número e. Indeterminaciones del tipo Prof. Liliana Collado Página 6

7 Para estos casos los límites se determinan como: Concepto de función continua FUNCIÓN CONTINUA Anteriormente hemos destacado algunos comportamientos de funciones que no están definidas en todos los elementos de su conjunto de partida como es R, es como si la función se rompiera en ese punto. Cuando la función está definida en todos los puntos de su conjunto de partida, se denomina continua. Definición: Una función f es continua en un punto determinado a si Volviendo sobre la definición de límite podemos expresar que una función f es continua en x=a si: Continuidad de una función en un punto En una función continua se observa que a pequeños incrementos de la variable independiente le corresponden pequeños incrementos de la función, así estamos reconociendo a dichos incrementos como infinitesimales. Esto significa que: Las condiciones de continuidad en un punto son: 1- Debe existir la imagen de la función en el punto. 2- Debe existir el límite de la función para cuando x tienda a dicho punto. Prof. Liliana Collado Página 7

8 3- Deben coincidir la imagen del punto con el límite de la función para x tendiendo a dicho punto. Algunas funciones continuas en un punto: a) Toda función constante es continua en R. La función identidad es continua en todo R. b) Las funciones polinómicas son continuas en R. c) Las funciones racionales con denominador no nulo, son continuas en R. d) Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todos los puntos en las que están definidas. e) Las funciones exponenciales de la forma a x, con a>0 son continuas en todos los puntos en las que están definidas. f) Las funciones logarítmicas de la forma con a>0 son continuas en todos los puntos en las que están definidas. Continuidad de una función en un intervalo Una función es continua en un intervalo abierto si lo es en todo punto de dicho intervalo. Una función f es continua en un intervalo cerrado mismo y si además y si lo es en todo punto interior del Teorema de Bolzano Si una función es continua en todos los puntos de un intervalo y toma valores extremos de distinto signo, existe al menos un punto en el interior de dicho intervalo para el que la función se anula. Tipos de discontinuidades Prof. Liliana Collado Página 8

9 Cuando una función no es continua su estudio también se realiza a través del concepto de límite. Una función es discontinua en un punto cuando: a)la función no está definida en el punto. b) La función está definida en el punto pero que no tiene límite en dicho punto. c)la función está definida en el punto, tiene límite en dicho punto, pero el valor del límite no coincide con el valor de la función. En estos casos se debe estudiar la función con los límites laterales, de modo que se tenga en cuenta si existen o no. Una discontinuidad es evitable en un punto si : a) Existe f(a) y los límites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f(a). Una discontinuidad de este tipo se denomina discontinuidad evitable. Ejemplo gráfico: son distintos a f(1) Una discontinuidad es de salto en un punto: cuando los límites laterales son finitos y distintos. La diferencia entre dichos límites nos da la medida del salto. y esta es de salto finito. Sea Prof. Liliana Collado Página 9

10 En x=0 f(0)=1 pero y, la discontinuidad es de salto finito. Ejemplo gráfico: cuando f(a) no está definida y alguno de los límites laterales es infinito. En este caso hay una discontinuidad de salto infinito. Ejemplos gráficos: Una discontinuidad es esencial si la función en el punto no está definida o uno de los límites laterales no existe en x=5 f(5) no está definida Asíntotas Cuando una función en la proximidad de un punto x=a se aproxima a una recta tanto como se quiera, se tiene una asíntota. Las funciones racionales tienen asíntotas, que pueden ser de tres tipos: horizontal, vertical, oblicua. Prof. Liliana Collado Página 10

11 Asíntota vertical: es una recta vertical en un punto x=a de modo que Las posibles asíntotas verticales de una función se encuentran entre los puntos que no están en el dominio de la función., en x=0 tiene una asíntota vertical infinito.,la discontinuidad es de salto Asíntota horizontal: cuando, la función tiene asíntota horizontal y =L. Dicho en forma de límites, una función tiene una asíntota horizontal en y = L cuando para alguno de los dos límites, o ambos. también tiene asíntota horizontal, la asíntota horizontal es y=0 Asíntota oblicua: una función f en la proximidad del infinito tiene asíntota oblicua cuando se aproxima a una recta. Dicho a través del concepto de límite, una recta de la forma es una asíntota oblicua de f si: La asíntota horizontal es un caso de la oblicua cuando m=0 Una función racional de la forma y tiene la asíntota oblicua si el polinomio numerador es mayor en un grado respecto del polinomio denominador. Sea Prof. Liliana Collado Página 11

12 La asíntota oblicua es y=x-1 Máximos y mínimos absolutos Una función f tiene máximo absoluto en un punto a del dominio si para cualquier otro punto x del dominio se cumple. Una función f tiene mínimo absoluto en un punto a del dominio si para cualquier otro punto x del dominio se cumple. Teorema Una función continua en un intervalo cerrado tiene máximo y mínimo absolutos. Teorema de los valores extremos Sea f una función continua en un intervalo cerrado. Entonces: a) Existe un punto xmin del intervalo que es un mínimo absoluto para f. b) Existe un punto xmax del intervalo que es un máximo absoluto para f. Teorema de los valores intermedios Si una función f es continua en el intervalo cerrado y existe una imagen k que cumpla : entonces existe al menos un valor tal que Prof. Liliana Collado Página 12

13 DERIVADA Concepto de derivada de una función Variación media en un intervalo cerrado: se denomina así a la expresión : donde f es la función en estudio, a y b son los extremos del intervalo cerrado sobre el que se experimenta el comportamiento de la función f. Gráficamente, la variación media se representa como la pendiente de la recta que contiene a los puntos (a;f(a)) y (b;f(b)). Observando la figura, M y P son los puntos de la curva que corresponden a los extremos del intervalo cerrado a estudiar. En este caso P se va a ir acercando cada vez más a M, por lo que la variación media va a ir cambiando punto a punto, La variación media se expresará: representa a la función f. Aquí llamaremos variación instantánea: de ese modo se observa la recta secante a la curva se transformará en recta tangente a la curva que Esta expresión sirve para calcular la pendiente de una función en un punto determinado. Hay que tener en cuenta que la recta hallada ES TANGENTE EN UN PUNTO DETERMINADO de la curva, esto significa que: a) podría cortar a la curva en otro punto b) podría atravesar a la curva en el punto determinado. Prof. Liliana Collado Página 13

14 Definición de derivada Sea f una función definida en D y a un elemento de D. Se define derivada de la función f en x=a al siguiente límite cuando existe y es finito: Para que la derivada exista, la función debe estar definida en el entorno del punto. Se pueden considerar equivalentes: la definición de derivada, la definición de pendiente de la recta y la definición de variación instantánea. Si el límite es infinito significa que la derivada no existe y geométricamente que la recta tangente es perpendicular al eje x. a)calcular la derivada de la función f tal que en x=2 Primero calcularemos la imagen de la función para x=2, Expresaremos la derivada y reemplazaremos por los valores correspondientes c) Interpretar dicha derivada La derivada se representa con la recta tangente a la curva en el punto (x,y)=(2,4) Por lo tanto el valor de la tangente es 4 y la variación instantánea es: de la que se deduce la ecuación de la recta tangente muestra la recta tangente en x=2. La gráfica cartesiana Prof. Liliana Collado Página 14

15 CONTINUIDAD Y DERIVADA Cuando se definió función continua se plantearon 3 condiciones necesarias para ello: a)que la función estuviera definida en el punto. b)que existiera el límite de la función al tender a dicho punto. c)que la función en el punto y el límite de la función en dicho punto coincidieran. La derivabilidad de una función como parámetro para asegurar su continuidad es un concepto de gran importancia junto con las tres condiciones anteriormente expuestas. Puede suceder: Que la función no sea continua en un punto determinado, por lo tanto no tiene derivada en dicho punto. Que la función sea continua pero no tenga derivada en dicho punto. Si una función es derivable en un punto determinado, es continua en dicho punto. Derivadas laterales Como la derivada se define como límite, también podremos definir las derivadas laterales. Prof. Liliana Collado Página 15

16 Sea f una función definida en el entorno de x=a La derivada por izquierda de f en a es La derivada por derecha de f en a es Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a x, entonces f (x) existe si y solo si existen la derivadas laterales f (x - ), f (x + ) y son iguales. demostrar que no es derivable en x=0 Primero establecemos f Ahora calculamos las derivadas laterales Como las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en x=0. Analizar gráfica y analíticamente Las derivadas laterales no son iguales, no es derivable en x=0. Gráficamente se observa con cambio de dirección. Derivada en un intervalo Una función f definida en un intervalo abierto (a,b) es derivable en dicho intervalo si lo es en cada punto perteneciente a él. Reglas de derivación Prof. Liliana Collado Página 16

17 1-Derivada de una constante: sea f una función constante, f(x)=c, para todo x real y c también número real 2-Derivada de la potencia: Sea calcular la derivada de ; 3-Suma: hallar la derivada de 4-Producto: Hallar la derivada de 5-Cociente: calcular la derivada de 6-Regla de la cadena: Sean las funciones f y g derivables en x, se define hallar la derivada de Derivadas de las funciones trascendentes hallar la derivada de Prof. Liliana Collado Página 17

18 Procedimiento logarítmico para derivar Este procedimiento consiste en aplicar logaritmos en ambos miembros de la igualdad y derivar, para después simplificar. Este tipo de derivación se aplica cuando hay funciones de la forma simplificar productos y cocientes. o cuando hay que Derivar FUNCIONES Características de una función para graficarla Si necesitamos graficar una función f se pueden prescindir de las tablas de valores y reconocer ciertas características que darán una aproximación valiosa a la forma de la curva que representa a f. Si tenemos la forma analítica de la función podemos obtener: el dominio de definición ( los puntos de discontinuidad) la imagen los puntos de intersección con los ejes la positividad o negatividad la periodicidad la simetría Si analizamos los límites de la función podemos conocer: el tipo de discontinuidad las asíntotas Si calculamos las derivadas podemos saber: crecimiento y decrecimiento máximos y mínimos Prof. Liliana Collado Página 18

19 puntos de inflexión concavidad Puntos de intersección con los ejes La curva intersecta al eje x cuando la función se anula, f(x)=0, así se hallan los ceros. La curva intersecta al eje y cuando la variable x se anula, f(0); sólo puede cortar una vez al eje. Dada f tal que Los ceros son 1 y (-1), la curva corta al eje x en los puntos (1,0) y (-1,0) La curva corta al eje y cuando f(0)= -1, el punto de corte es (0,-1) No existe corte con el eje x. Corta al eje y en (0,1) Positividad y negatividad A partir de conocer el dominio de definición y los cortes con el eje x se establecen los intervalos de estudio del comportamiento de la función. Dada f tal que Si los ceros son -1 y 1, se establecen los intervalos positiva negativa positiva Periodicidad Una función f es periódica si se verifica que, para todo x del dominio. La gráfica se repetirá de a tramos. La longitud de cada tramo es el menor valor de k para el cual se verifica la igualdad: k es el período de f(x) y siempre es positivo. toda función trigonométrica es periódica. Para Prof. Liliana Collado Página 19

20 Para Se repiten los valores en un período de 2 Simetría La función f es par si cumple respecto del eje y. La función f es impar si cumple simétrica respecto del origen de coordenadas.,, f es una función par.,, f es impar. para todo x del dominio. La gráfica es simétrica para todo x del dominio. La gráfica es Continuidad o discontinuidad Todas las funciones polinómicas son continuas. Las funciones racionales son discontinuas de acuerdo al denominador de la forma analítica, por ello hay que indicar las asíntotas. Las funciones exponenciales tienen la base positiva y mayor que 1, el dominio es R y la imagen es. También se pueden indicar las asíntotas. Las funciones logarítmicas son continuas, su dominio de definición es y su rango o imagen es R. Para analizar la continuidad de la función f en x=a habrá que tener en cuenta las tres condiciones: Tiene que existir f(a). Ha de existir también el límite de f cuando x tiende a a. Ambos valores deben ser iguales. Asíntotas Definimos asíntota de una función a la recta a la que se aproxima la función en el infinito. Puede ocurrir esto en el infinito de la variable x o en el infinito de la imagen de la variable f(x). Existen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Asíntota horizontal: la recta es una asíntota horizontal de la función f si : o Prof. Liliana Collado Página 20

21 es discontinua en x=0, entonces la asíntota horizontal es y=1. Aclaración: una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, una por cada límite. Asíntota vertical: la recta x=a es una asíntota vertical de la función f si: o o es discontinua en x=1 y en x=-1, entonces Tiene dos asíntotas verticales x=1, x=-1 Aclaración: una función puede tener infinitas asíntotas verticales, como por ejemplo f(x)=tg(x) Asíntota oblicua: la recta es una asíntota oblicua de la función f si: el valor de la pendiente es el valor de la ordenada al origen es tiene asíntota vertical y calcularemos la asíntota oblicua: La asíntota oblicua es y=x Crecimiento y decrecimiento de una función Decimos que una función continua f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si cumple para todo elemento x del intervalo: Geométricamente, la derivada de la función f en dicho punto x es la pendiente de la curva que representa a f en dicho punto. Entonces, si la derivada es positiva, la pendiente también lo es, y así se asegura que f es CRECIENTE. Prof. Liliana Collado Página 21

22 Decimos que una función continua f es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) si cumple para todo elemento x del intervalo: Geométricamente, la derivada de la función f en dicho punto x es la pendiente de la curva que representa a f en dicho punto. Entonces, si la derivada es negativa, la pendiente también lo es, y así se asegura que f es DECRECIENTE. Puntos críticos de una función Se le llama punto crítico de una función f a: un punto singular, aquel en el que la derivada es nula un punto donde no exista la derivada un punto extremo a ó b del dominio [a,b] de definición de la función. Máximos y mínimos Recordando el Teorema (de los extremos absolutos de Weierstrass) Sea f(x) una función continua en [a,b]. Entonces f(x) alcanza un máximo y un mínimo absolutos sobre [a,b]. podremos analizar la existencia de estos puntos críticos: En el gráfico se observa que: para x=d, f(d) es un máximo dentro del intervalo [a,b]. para x=c, f(c) es un mínimo dentro del intervalo [a,b]. En este gráfico se observa que uno de los extremos del intervalo [a,b] es el máximo y un punto interior de dicho intervalo, c, es el mínimo. Y en este gráfico se observa que el extremo inferior del intervalo [a,b] es un mínimo pero que en dicho intervalo no existe máximo. Prof. Liliana Collado Página 22

23 Aclaración: pueden existir funciones que tienen máximo y/o mínimo en un intervalo determinado, pero eso no asegura que la función sea continua. en el intervalo[-1,1] la función no es continua y sin embargo tiene máximo y mínimo. También puede suceder que la función no sea derivable en el punto y sin embargo tenga un mínimo en él, como es el caso de. Entonces para asegurar que se tiene un mínimo o un máximo dentro del intervalo de del dominio de la función f, se debe partir de la base de que la función f es derivable en el punto a en cuestión, que la derivada es nula (la tangente a la curva en dicho punto es horizontal) y que además si derivamos nuevamente: existe un mínimo en x=a existe un máximo en x=a Qué sucede si f (a)=0? Deberemos hallar la derivada tercera y con ella establecer si la función es creciente o decreciente. A partir de ello, hallar la derivada cuarta y comparar respecto de 0, entonces sabremos si hay un mínimo o hay un máximo. Y así sucesivamente, en caso de tener derivadas sucesivas nulas. Concavidad Una función es cóncava en un punto si a izquierda y a derecha de ese punto, en puntos muy próximos a él, los valores que toma la recta tangente en esos puntos son mayores que el valor de la función en x=a. Una función es convexa en un punto si a izquierda y a derecha de ese punto, en puntos muy próximos a él, los valores que toma la recta tangente en esos puntos son menores que el valor de la función en x=a. Prof. Liliana Collado Página 23

24 La concavidad o convexidad de una función puede estudiarse mediante la segunda derivada de la función en el punto x = a. Después de conocer máximo o mínimo de la función en el punto, se aplica la derivada segunda en el punto y si es positiva es cóncava. Si la derivada segunda en el punto es negativa, la curva es convexa en dicho punto. para, hay un mínimo en x=0 porque y por lo tanto es cóncava en x=0 para, hay un máximo en x=0 porque y por lo tanto es convexa en x=0 Puntos de inflexión Se llama punto de inflexión de una curva que representa a la función f a aquel valor del dominio de f para el que la función cambia de concavidad, es decir: pasa de cóncava a convexa o viceversa. En este caso, analíticamente se expresa y se calcula. Si existe un punto de inflexión. Ejemplo : la función Tiene un punto de inflexión en x=0 porque: y entonces calculamos Prof. Liliana Collado Página 24

25 APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA ANALIZAR Y GRAFICAR UNA FUNCIÓN Prof. Liliana Collado Página 25