f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y)."

Transcripción

1 TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones: Suma, producto, división y composición. Inversa de una función respecto de la composición. 8.5 Transformaciones de una función. 8. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL. DOMINIO. Se define función real de variable real a una aplicación que a cada elemento del subconjunto D de IR (, variable independiente) le hace corresponder un único número real llamado imagen (y, variable dependiente). f: D IR IR f() v. indep. v. dependiente, imagen de mediante f, y = f(). A se le llama antiimagen de y por f, y se denota por = f - (y). Al conjunto de todos los números reales que tienen imagen por f se le llama dominio de f y se denota por Domf. Domf = { IR / y = f() IR }. Al conjunto de números reales que son imagen mediante f se le llama imagen de f o recorrido y se denota por Rec f. Rec f = {f() con Domf} = {y IR / Domf con y= f()}. Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y las imágenes para el mismo valor de coinciden, es decir, Domf=Domg y f() = g() Domf. La gráfica de una función f está formada por los pares de puntos (,f()) con Domf. Ejercicio : Epresa mediante una función: a) El precio de una cierta cantidad de café que vale el kilo. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0 y la tarifa por un minuto es de 0. c) La relación entre la altura y la base de un triángulo cualquiera de 6 cm de área, si la base es la variable dependiente. d) El área de un cuadrado en función de su diagonal. Ejercicio : Representa las siguientes funciones elementales a) f() = 3 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = f) f() = ½ g) f() = e h)f()= Ln i) f() = log j) f() = log / k) f() = sen l)f()= cos Ejercicio 3: Página 90, ejercicio 4. Voluntario.

2 Para ellos: página 95, estudio del recorrido, ya resuelto. Para clase: Página, ejercicios: 4 (dominio y recorrido), 7, 8, 9, 5, 6 y. 8. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. Para poder representar una función no es suficiente una tabla de valores. Para representarla necesitamos saber sus características: dominio, recorrido, puntos de corte, signo, continuidad, crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos, etc. La primera que vamos a aprender son los dominios. Para calcular el dominio de una función debemos tener en cuenta que los únicos problemas que tenemos al calcular una imagen son dividir por cero, raíz de índice par de un número negativo y logaritmo de cero o de un número negativo, y por supuesto las restricciones que nos dé un problema o la persona que nos plantea la función. Para calcular el dominio de una función necesitamos atender al tipo de función (polinómica, racional, eponencial, etc) que depende de la forma de su fórmula: Ejercicio 4: Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f() = - + b) f() = 3 + Conclusiones: Las funciones polinómicas son aquellas cuya epresión viene dada por un polinomio. Su dominio es todo IR, ya que no hay ningún problema para hacer una potencia n-sima, ni para sumar o multiplicar por un número. c) f() e) f() d) f() f) f() Conclusiones: Las funciones racionales son de la forma P() El dominio de una función Q() racional es el conjunto de todos los números reales salvo aquellos que anulan el denominador (Q() 0). g) f() i) f() h) f() j) f() Conclusiones: Las funciones irracionales son de la forma f() = n g (), su dominio coincide con el dominio de g() si n es impar y si n es par para calcular su dominio tendremos que tener en cuenta el dominio de g y que el radicando sea positivo o nulo. k) f() l) f() sen m) f() sen( ) 3 n) f() tg sen ñ) f() cos o) f() sen

3 Conclusiones: En aquellas funciones en cuya epresión interviene las razones trigonométricas, debemos tener en cuenta que el seno y coseno de un ángulo no presentaba ningún problema mientras que la tangente, cotangente, secante y cosecante dan problemas cuando el denominador se anula. p) f() s) f() e sen q) f() e t) f() e r) f() e u) h() e Conclusiones: Si una función es composición de una eponencial y otra función, para calcular su dominio tan solo tendremos que tener cuidado con la función que está en el eponente. v) f() log3 ( ) w) f() Ln( 6) ) f() Ln Conclusiones: Si una función es de la forma f()=log a (g()) a>o, calcularemos su dominio teniendo en cuenta el dominio de g y que la función g() sea positiva (no nula). En los siguientes apartados estudiaremos el dominio de funciones a trozos, si estudias la inercia de un objeto en el agua veréis que no sigue la misma fórmula en el líquido, en el hielo que en el vapor. Por ello en determinadas circunstancias debemos definir un fenómeno a través de varias fórmulas, dando lugar a las funciones definidas a trozos. Para estudiar su dominio debemos estudiar el dominio de cada función en el intervalo correspondiente y prestando especial atención a los intervalos de definición. y ) f() /3 5 si 6 3 si si z) Ln g() 5 si si aa) h() 3 ** Trabajo de dominios. si si si 6 bb) i() si 3 si 8.3 CARÁCTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: SIGNO, MONOTONÍA, ACOTACIÓN, SIMETRÍA Y PERIODICIDAD. Determinar el signo de una función es hallar para qué valores de su dominio la imagen f() es positiva y para cuáles es negativa. Se dice que una función f es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores e y de dicho intervalo con < y entonces f() < f(y). 3

4 Se dice que una función f es creciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores e y de dicho intervalo con < y entonces f() f(y). Se dice que una función f es estrictamente decreciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores e y de dicho intervalo con < y entonces f() > f(y). Se dice que una función f es decreciente en el intervalo (a,b) si para cualesquier par de valores e y de dicho intervalo con < y entonces f() f(y). Una función f es constante en un intervalo (a, b) si para cualesquier par de valores e y de dicho intervalo se verifica que f() = f(y). Al estudio del crecimiento y decrecimiento de una función se le llama monotonía. El crecimiento y decrecimiento de una función da lugar a definir unos puntos muy especiales llamados etremos relativos. Una función f tiene un máimo relativo en = a, si eiste un entorno de a en el cual se verifica que para todo perteneciente a dicho entorno reducido se tiene que f() < f(a). Una función f tiene un mínimo relativo en un = a, si eiste un entorno de a en el cual se verifica que para todo perteneciente a dicho entorno reducido se tiene que f() > f(a). Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si para todo perteneciente a su dominio se verifica que f() = f(-). También se llama simetría par. Una función f es simétrica respecto del origen de coordenadas si para todo perteneciente a su dominio se verifica que f(-) = - f(). También se llama simetría impar. Esta característica nos ayuda a su representación gráfica. Una función f está acotada superiormente si eiste un número real k tal que todos los valores que toma la función son menores o iguales que k, es decir, Domf se tiene que f() k. Y a k le llamaremos cota superior. Una función f está acotada inferiormente por un número real k si todos los valores que toma la función son mayores o iguales que k, es decir, si Domf se tiene que f() k. Y a k le llamaremos cota inferior. Una función f está acotada se está acotada superior e inferiormente. Una función f es periódica, de período T (T es un número real positivo) si verifica que f ( + kt) = f() para todo perteneciente a su dominio y para todo entero k. A T le llamamos período de la función f. Ejercicio 5: Indica las características de las siguientes funciones (no olvidar dominio y recorrido): a) f() = b) f() = + c) f() = 4 d) f() = Ln e) f() = e f) f() = sen g) f() = 3 h) f() = i) f() = j) f() si si si Ejercicio (Trabajo para los alumnos): Indica las características de las siguientes funciones: 4

5 a) f() = b) f() = - c) f() = cos d) f() = tag e) f() = log f) f() = log / g) f() = 3 h) f() = Voluntarios: página, ejercicios: OPERACIONES CON FUNCIONES. Ejercicio 6: Dadas las funciones f() = + 3 y g() =. Calcular: a) f() + g() = (f+g) () b) f() g() = (f g) () c) f() : g() = (f:g) () Para clase: página, ejercicios: 34, 35, 37, 38. Son las operaciones que conocemos con los polinomios, con los números, Con las funciones podemos definir otro tipo de operaciones, qué ocurre si queremos que actúe una función y después otra?, hay una función sea capaz de hacer en un solo paso la aplicación de las dos funciones? Dadas dos funciones f y g definimos la función f compuesta con g como la función que asigna a cada del dominio de f el número g[f()]. Dicha función se denota por gof. f: D IR IR g: D IR IR f() g() gof : D IR IR gof() = g[f(). Ejemplo: Dadas la funciones f() = + 3 y g() = /. a) Calcula f(), g(7) b) Calcula (gof) () c) Calcula (gof) (), qué observas? d) Calcula (fog) (), qué observas? Propiedades de la composición de funciones: a) Propiedad asociativa: h o (g o f) = (h o g) o f b) No tiene la propiedad conmutativa: g o f f o g Ejercicio 7: Dadas las funciones f() =, interesa poner =, g() =, 4 h() =, i() = 4 y j() = -. Calcula f + g, g. h, g : i, f o i, i o f, f o g, i o j y j o i. 5

6 Ejercicio 8: Dadas las funciones f() = y g() =. Calcula f o g y g o f. Para clase: Pág., ejercicios: 40 (añado los apartados d, e, f que están debajo), 4, 4 d) f() = cos y g() = e) f() = y g() = e f) f() = Ln y g() = e De la definición de composición de funciones podemos obtener la definición de función inversa respecto de la composición, la inversa de f es otra función f - que verifica que f o f - () = f - o f() =. A la función f() = se llama función identidad. No debemos confundir con la inversa respecto de la división. Para calcular la función inversa debemos seguir los siguientes pasos: ) cambiar f() por y ) cambiar por y 3) despejar y, la función obtenida será la inversa. Ejercicio 9: Calcula la función inversa de las siguientes funciones: a) f() b) g() c) h() = 3 d) i() = e) j() 4 f) k() = g) l() = h) m() = e i) n() = Ln Si quieres comprobar si has hecho bien los cálculos pueden hacer la composición de la función y su inversa. Página, ejercicios: 44, TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. A partir de una función conocida (elemental) podemos dibujar gráficas de funciones no tan conocidas, por ejemplo sabemos dibujar f() =, sabrías representar g() = 4? Vamos a ver, de forma intuitiva, las transformaciones de funciones que pueden estar desplazadas, dilatadas, contraídas o invertidas. Debemos tener en cuenta: a) Para representar g() = f() + a realizamos un desplazamiento vertical hacia arriba de a unidades. Ejemplo. b) Para representar g() = f() - a realizamos un desplazamiento vertical hacia abajo de a unidades. Ejemplo. c) Para representar g() = f( + a) realizamos un desplazamiento horizontal hacia la izquierda de a unidades. Ejemplo. d) Para representar g() = f( - a) realizamos un desplazamiento horizontal hacia la derecha de a unidades. Ejemplo. e) Para representar g() = - f() realizamos una inversión de la gráfica. Ejemplo. f) Para representar g() = a. f() realizamos una dilatación o contracción de la gráfica. Ejemplos. Página, ejercicios: 46 a, b, 47 Voluntarios, ejercicios:,, 7, 8, 9 6

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO

FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría

Más detalles

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).

Más detalles

TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco.

TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. 2009 TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2009 1º E.S.O. TEMA 08: Funciones. TEMA 08: FUNCIONES. 1. Correspondencia.

Más detalles

Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)

Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x) TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable

Más detalles

1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los nº reales ( R ) en otro subconjunto de R f : D R R Se representa de la siguiente forma: Una

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 7: FUNCIONES 1º BACHILLERATO 1 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN...3 1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN...3. Definición de Dominio...3.1. CÁLCULOS DE DOMINIOS...3 3. Composición de funciones...4

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento

Más detalles

TEMA 0 FUNCIONES ***************

TEMA 0 FUNCIONES *************** TEMA 0. Definición y terminología.. Funciones conocidas. 3. Operaciones con funciones. 4. Funciones inversas. FUNCIONES ***************. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente:

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente: INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Crecimiento de una Función en un Intervalo Tasa de Variación Media (T.V.M.) Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y f() en un intervalo

Más detalles

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se

Más detalles

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones

Tema 7.0. Repaso de números reales y de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números

Más detalles

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial

TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones

Más detalles

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =

FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x = Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES

FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES . NOCIONES INTRODUCTORIAS.. Concepto de función. Dominio e Imagen. Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x, le asocia un único valor de

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le

Más detalles

, 0 ; Decrece: 0 2, 0 ; 0, 2. d f x x x x. a f x. b f x. Solucionario tema 9: Estudio de Funciones. Ejercicio 1. Ejercicio 2

, 0 ; Decrece: 0 2, 0 ; 0, 2. d f x x x x. a f x. b f x. Solucionario tema 9: Estudio de Funciones. Ejercicio 1. Ejercicio 2 Solucionario tema 9: Estudio de Funciones Ejercicio Estudia la gráica siguiente: Dominio Recorrido 0, 4 Puntos de corte con los Ejes Con el Eje Y: 0, 4 Puntos máimos y mínimos: Máimo absoluto: 0, No hay

Más detalles

UNIDAD 8.- Funciones racionales (tema 8 del libro)

UNIDAD 8.- Funciones racionales (tema 8 del libro) (tema 8 del libro). FUNCIÓNES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Las funciones de proporcionalidad inversa son funciones cuya epresión es de la forma f ( ) Las gráficas de estas funciones son o se llaman hipérbolas

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Tema 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL UAH Funciones reales de variable real 1 Tema FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento

Más detalles

UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES

UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES 1. EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera

Más detalles

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo

Más detalles

Si x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO.

Si x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO. R = { (, y) A B / + y > } Si lr y > - lr, y lr Dom( R) = lr, Ran( R) = lr Funciones en una variable Real Para aproimar el gráfico realizamos una tabulación: X y : y > -. y y : y > 0. y : y > -.. RELACIONES.

Más detalles

= x De este modo: Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.

= x De este modo: Esto es un ejemplo de FUNCIÓN. IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 6 FUNCIONES REALES. PROPIEDADES GLOBALES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal:

Más detalles

= x. o bien: De este modo, 3 6. Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.

= x. o bien: De este modo, 3 6. Esto es un ejemplo de FUNCIÓN. IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 8 FUNCIONES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble.

Más detalles

UNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro)

UNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro) (temas 6 del libro). EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto

Más detalles

4º ESO APLICADAS FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES

4º ESO APLICADAS FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable independiente, ) le corresponde un valor o

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D R con D Œ R, es decir, a cualquier correspondencia que asocia

Más detalles

Funciones, límites y continuidad

Funciones, límites y continuidad 8/0/016 Funciones, límites y continuidad C U R S O 0 1 5-0 1 6 Funciones, limites y continuidad Los puntos rojos son los que entran en el eamen de º evaluación 1) Concepto de función. Dominio y recorrido.

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES I ) DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN: Es el conjunto de puntos donde tiene sentido realizar las operaciones indicadas en el criterio de definición de la

Más detalles

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.

Unidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)

Más detalles

Unidad 5. Funciones. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. José L. Lorente Aragón

Unidad 5. Funciones. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. José L. Lorente Aragón TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones

Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones 0.- Introducción 1.- Crecimiento y Decrecimiento de una función. Monotonía..- Máimos y mínimos de una función.1.- Etremos relativos...-

Más detalles

TEMA 1: Funciones elementales

TEMA 1: Funciones elementales MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo

Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo página 1/9 Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo Índice de contenido Dominio de una función...2 Rango o recorrido de una función...3 Simetría...4 Periodicidad...5

Más detalles

ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012)

ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012) ANÁLISIS MATEMÁTICO I (2012) TRABAJO PRÁCTICO 4 Etremos y teorema del valor medio Ejercicio 1. Decir si las siguientes afirmaciones son correctas. En caso contrario, justificar la respuesta. 1. El teorema

Más detalles

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales

Problemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=

Más detalles

Funciones en explícitas

Funciones en explícitas Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos

Más detalles

3º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES

3º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable

Más detalles

DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x):

DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x): 1 FUNCIONES ELEMENTALES CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder un único número real, f(x): Lo denotamos por : f : Dom -----> R x

Más detalles

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN . DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.

Más detalles

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo

Más detalles

Dos curvas interesantes: Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRACTRIZ INTRODUCCIÓN

Dos curvas interesantes: Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRACTRIZ INTRODUCCIÓN Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES INTRODUCCIÓN Concepto de función Una de las ideas más fecundas y brillantes del siglo XVII fue la de la coneión entre el concepto de función y la representación gráfica

Más detalles

10.1 LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS REALES

10.1 LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS REALES TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS REALES Las funciones describen fenómenos cotidianos, económicos, psicológicos,

Más detalles

CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,

CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3, RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan

Más detalles

en su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h =

en su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h = RELACIÓN DE PROBLEMAS ) Encontrar los etremos absolutos de y 6+ definida en [0, ]. Sol. Má en 0 y ; mín -/ en,5. ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Sol.:

Más detalles

2.2.1 Límites y continuidad

2.2.1 Límites y continuidad . Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial. Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial.. Límites y continuidad 3. Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: a) f () = b)

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites

Más detalles

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

FUNCIONES DE UNA VARIABLE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 1- Definiciones 2- Algunas funciones reales 3- Ecuaciones de curvas planas en coordenadas cartesianas 4- Coordenadas polares 5- Coordenadas paramétricas 6- Funciones hiperbólicas

Más detalles

1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b)

1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b) MATEMÁTICAS - SEPTIEMBRE TAREA DE VERANO 4º E.S.O.-B 1. a) Qué significa una potencia de eponente negativo?..... b) Simplificar: b 1) : b 4 ) b ) 9 1 b 4) 1 4. Simplificar potencias: a) 4 ( ) d) 9000 0'000000006

Más detalles

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO PROGRAMA DE INGENIERÍA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO PROGRAMA DE INGENIERÍA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO PROGRAMA DE INGENIERÍA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I FUNCIONES Instructivo de trabajo Autor: Ing. Roger J. Chirinos S., MSc. Ciudad Ojeda,

Más detalles

Mapa Curricular: Funciones y Modelos

Mapa Curricular: Funciones y Modelos A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones. A.PR.11.2.2 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros,

Más detalles

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.

-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva. EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

9 Continuidad. Solucionario ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones.

9 Continuidad. Solucionario ACTIVIDADES INICIALES EJERCICIOS PROPUESTOS. 9.I. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Solucionario 9 Continuidad 9.I. Dibuja la gráfica de las guientes funciones. ACTIVIDADES INICIALES a) < f( ) > b) f ( ) a) Si (, ). El segmento de recta pasa por el punto (, ) y se acerca al (, ). Si [,

Más detalles

Gráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático. Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1. F(x)= 2^x

Gráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático. Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1. F(x)= 2^x Gráfico Exponencial, Polinominal y Cuadrático Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1 F(x)= 2^x Rec: R+ F(x):creciente en su recorrido ( la curva crece de izquierda a derecha) Asintótica

Más detalles

1. Nociones básicas. Oct, 2007

1. Nociones básicas. Oct, 2007 Cálculo 1. Nociones básicas Oct, 2007 Nociones básicas Números complejos Funciones reales de variable real Valor absoluto Funciones polinómicas y racionales Función exponencial y logarítmica Funciones

Más detalles

lím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

lím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN . ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal

Más detalles

Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real

Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.1. Generalidades sobre funciones reales de variable real En la primera parte de este tema vamos a tratar con funciones reales de variable real, esto es, funciones

Más detalles

INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULA ASIGNATURA: MATEMATICAS GRADO: 11 AÑO 2013

INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULA ASIGNATURA: MATEMATICAS GRADO: 11 AÑO 2013 FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

lím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 =

lím lím Veamos como ejemplo el límite de la función polinómica f(x)=3x 2-8 en 1: x 1 (3x2 )-lím 8 x 1 =2 x 1 x)2 -lím x 1 8 = LÍMITES LECCIÓN 7 Índice: Cálculo de ites en un punto. Epresión indeterminada L/0. Epresión indeterminada 0/0. Algunos ites de funciones irracionales. Otras técnicas básicas para el cálculo de ites. Problemas..-

Más detalles

Funciones reales de variable real.

Funciones reales de variable real. CONOCIMIENTOS PREVIOS. Funciones reales de variable real.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.

Más detalles

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor RESUMEN TEORÍA FUNCIONES: 4º ESO Op. B DEFINICIONES: Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor

Más detalles

ESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN

ESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN ESTUDIO LOCAL DE LA FUNCIÓN Dominio : x Calcular máximo, mínimo, Punto de Inflexión, intervalos crecimiento y decrecimiento e intervalos de curvatura de la y = (x 1) 3 y = 3 (x 1) 2 ; y = 0 3 (x 1) 2

Más detalles

SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES.

SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES. SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES. Análisis de funciones 1. a) y c) son funciones, porque para cada valor de hay un único valor de y. b) no es una función, porque para cada valor de hay dos valores de y. 2.

Más detalles

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.

INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función

Más detalles

Tema 8: Funciones I. Características.

Tema 8: Funciones I. Características. Tema 8: Funciones I. Características. Iniciamos la primera parte de los dos temas que vamos a dedicar al bloque de análisis, en el cual vamos a conocer y definir el concepto de función y los principales

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1

1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1 6 Derivadas CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los

Más detalles

Alumno/a: Curso: PLAN DE RECUPERACIÓN PARA ALUMNOS/AS PEDIENTES DE MATEMÁTICAS I

Alumno/a: Curso: PLAN DE RECUPERACIÓN PARA ALUMNOS/AS PEDIENTES DE MATEMÁTICAS I Alumno/a: Curso: PLAN DE RECUPERACIÓN PARA ALUMNOS/AS PEDIENTES DE MATEMÁTICAS I Se realizarán tres pruebas a lo largo del Curso: 1ª prueba: 19 de noviembre (jueves), a las 9:1 en el Salón de Actos. ª

Más detalles

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),

Más detalles

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real Tema Funciones reales de variable real Introducción En este primer tema del Bloque de Cálculo tendremos como objetivo fundamental el recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y escribir su función derivada: si < ( ) f 7 si < 7 si b) f c) f La función f(

Más detalles

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. pág.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que

Más detalles

Funciones reales de variable real

Funciones reales de variable real 84 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 8 Funciones reales de variable real 8. Los números reales Los números reales son de sobra conocidos, sus operaciones básicas así como su identificación

Más detalles

4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente:

4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente: U.D.4: DERIVADAS 4.1 Ecuaciones de una recta. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. Es el cociente del crecimiento en vertical entre el crecimiento

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES

TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES Contenido 1. Definición y formas de definir una función 2 1.1. Definición de función 2 1.2. Formas de definir la función: 4 1.2.1. A partir de una representación gráfica

Más detalles

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Teoría Práctica Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes: ) Hallar el Dominio de la función. En dicho

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

Senos (truco): (Coseno truco = pero el cero ponerlo del 90 a la izquierda y /2.

Senos (truco): (Coseno truco = pero el cero ponerlo del 90 a la izquierda y /2. SENOS, COSENOS Y TANGENTES (REPASO): Grados Radianes Seno Coseno Tangente 0 0 0 1 0 30 pi / 6 un medio Raíz de 3 / 2 raíz de 3 / 3 45 pi / 4 raíz de 2 / 2 Raíz de 2 / 2 1 60 pi /3 raíz de 3 / 2 Un medio

Más detalles

TEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES TEMA 7. FUNCIONES ELEMENTALES 8.1. Funciones cuya gráfica es una recta. - Función constante. - Función de proporcionalidad. - Función lineal. - Pendiente. 8.2. Función cuadrática. - Representación gráfica

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 03 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

x y = x x y = x

x y = x x y = x FUNCIONES ELEMENTALES: Indice: Algebraicas Polinómicas Racionales Irracionales Trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométrica Trigonométricas recíprocas Algebraicas Funciones polinómicas: X f(x)=

Más detalles

Por extensión, también se puede hablar de la preimagen de un conjunto. Si B 0 B, la preimagen de B 0 es

Por extensión, también se puede hablar de la preimagen de un conjunto. Si B 0 B, la preimagen de B 0 es Definiciones A La idea de función aparece por todas partes: cada persona tiene una edad o un número de hijos o una cantidad de dinero en el bolsillo. No necesariamente tenemos que referirnos a números,

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles