Si x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO.

Transcripción

1 R = { (, y) A B / + y > } Si lr y > - lr, y lr Dom( R) = lr, Ran( R) = lr Funciones en una variable Real Para aproimar el gráfico realizamos una tabulación: X y : y > -. y y : y > 0. y : y > -.. RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO. Definición.. Sean A, B subconjuntos de lr, A B su producto cartesiano. Diremos que el conjunto R A B es una relación de A en B si ciertos elementos de A y B satisfacen proposición verdadera. R = { ( a, b) / a esta en relación con b ( a R b ) } Dominio de la relación Â : Dom( R) = { a A / b B, a R b } Rango de la relación Â : Ran( R) = Im( R) = R(Dom( R)) = { b B / a A, a R b } Ejemplo: A = {,, 3, 4, 5 } y B = {,, 3, 4, 5, 6 } 6 R ={(a, b) A B / b = a } = {(, ), (, 4), (3, 6) } Dom( R) = {,, 3 } Ran( R) = {, 4, 6 } 4 3 Ejemplo: A = lr, B = lr R = { (, y) A B / + y > }

2 5) Tabulación: Consiste en construir una tabla de valores para y. Para esto despejar una de las variables de E(, y) = 0 dando valores a la otra de acuerdo a la etensión. Funciones en una variable Real 6) Trazo del gráfico aproimado en el plano XY: Usamos los pasos,, 3, 4, 5. Gráfico Ejemplo: aproimado Aproimemos en el el gráfico plano lrlr de Rde = { una (, y) relación / E(, y) tipo = y curva (E(, + y = y) 0 } = 0) Dada una relación R ={(, y) lrlr/ E(, y) = 0}. Se quiere los puntos del plano que satisfacen ) a) Intersección dicha relación con eje. Cabe X señalar E(, que 0) = uno - = de 0 los objetivos = 0 finales de este curso es poder trazar b) Intersección el gráfico de con relaciones eje Y especiales, E(0, y) que = y más = 0 adelante y = le 0 llamaremos funciones. ) ) a) Intersección Despejando con y = los ejes Coordenados: lr sí - + Intersección Dom( Rcon ) = el lr eje X; {-} en E(, y) hacer y = 0, hallar los valores de. Luego los puntos (, 0) son los puntos de intersección con el eje X. b) Intersección Despejando con el = y eje Y; en Dom( E(, y) ) hacer = 0, < - hallar los valores > - de y. Luego los puntos (0, y) son los puntos R y de intersección con y y el eje y Y. y Ran( R) = lr {} 3) ) De Etensión ()(a) se ( Dominio tiene que y Rango) = - es asíntota vertical. De Es el ()(b) conjunto se tiene de que valores y = reales es asíntota que pueden horizontal. tomar las riables e y dependiendo de 4) E(, como y) esté E(, definida -y) la No relación hay simetría ó hallar respecto Dom( R) del y Ran( eje XR ). 3) Asíntotas a la curva: Vienen a ser las - 6 rectas - que a medida que se comienzan a alejar del origen se aproiman a los puntos de la curva. a) Asíntotas Verticales ( = a): En E(, y) = 0 despejar y luego hallar todos los valores de para los cuales el denominador se anula, estos valores darán asíntotas verticales. b) Asíntotas Horizontales (y = b): En E(, y) = 0 despejar hallar todos los valores de y para los cuales el denominador se anula los valores de y daran asíntotas horizontales. 4) Simetría de la curva respecto de los ejes y del origen: a) Simetría respecto del eje X: La curva E(, y) = 0 es simétrica respecto del eje X si solo si E(, -y) = E, y). b) Simetría respecto del eje Y: La curva E(, y) = 0 es simétrica respecto del eje Y si solo si E(-, y) = E(, y). c) Simetría respecto del origen: La curva R(, y) = 0 es simétrica respecto del origen si solo si E(-,-y) = E(, y).

3 E(, y) E(-, y) No hay simetría respecto del eje Y E(, y) E(-, -y) No hay simetría respecto del Origen. 5) Tabulación 6) Gráfico X y = y FUNCIONES ESPECIALES EN UNA VARIABLE REAL. Definición.. Diremos que una relación f de A en B es una función si satisface: i) Condición de eistencia y B / (, y) f para algún A. ii) Condición de unicidad sí (, y ) f (, y ) f y = y Definición.3. Dos funciones f, g son iguales f() = g(), Dom(f) = Dom(g) Observación: ) Para la función f = {(, y) AB / f y y = f()}. Denotaremos f : A B / y = f() Aquí si Dom(f) = A entonces f es llamada aplicación. ) Si (, y) f y = f() se llama imagen de a través de f. se llama pre-imagen de y a través de f. 3) No toda relación es función. Contraejemplo R = { (, y) lrlr / = }. No es función. No se cumple la condición (ii) pues (, ) R (, ) R pero. 4) Si A Dom(f) f(a ) = {y B / A, f() = y} es el conjunto imagen de A. En particular f(dom(f)) = Ran(f) 5) Si B Ran(f) f - (B ) = { A / y B, f() = y} es el conjunto imagen inversa de B. En particular f - (Ran(f)) = Dom(f) - 7 -

4 Funciones especiales con gráficos aproimados: ) Función Constante: f : lr lr / f() = c (constante). Dom(f) = lr, Ran(f) = { c } Sí c = 0 entonces f se llama función nula. ) Función Identidad: lr : lr lr / lr () = Dom( lr ) = lr Ran( lr ) = lr 4) Función Valor Absoluto: f : lr lr / f() = = Dom( f ) = lr Ran( f ) = [ 0, + sí 0 - sí < 0 5) Función Máimo Entero: f : lr lr / f () = [[ ]] Dom(f ) = lr Ran(f ) = Z 6) Función Raíz Cuadrada: f : lr lr / f() = Dom(f) = [ 0, + Ran(f) = [ 0, + 7) Función Signo: - Sí < 0 f : lr lr / f() = sig() = 0 Sí = 0 Sí > 0 Dom(f) = lr Ran(f) = { -, 0, }.3. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES. ) Función restricción: Dada la función f : lr lr y A Dom(f) se dice que h : A lr es la restricción de f a A si: h() = f(), A. Notación: h = f A ó sea y = f() ; A - 8 -

5 Ejemplo: Si consideramos la función f() =, A = [, ] Dom(f). Se tiene la restricción y = f() ; A Gráfico de f Gráfico de f A ) Función traslación: Dada la función y = f() y sean h, k lr tales que h 0, k 0 entonces la función t() = f(+h)+k es llamada la función traslación de f. Notar que si Dom(f) entonces -h Dom(t). Si y Ran(f) entonces y-k Ran(t). Por otro lado si h = 0 entonces se tiene traslación en el eje de las ordenadas. Si k = 0 entonces se tiene traslación en el eje de las abscisas. Ejemplo: Si consideramos la función f() =, Dom( f ) = [ 0, +, Ran( f ) = [ 0, + Para h =, k = se tiene la función traslación t() = f(+)+ = Dom( t ) = [-, +, Ran( t ) = [, tal que: 3) Función sucesión: Sea K Z, una función f : K lr tal que y = f(k) = a k se dice que es una función sucesión ó simplemente una sucesión. Notaciones: f = (a k ) k K Ejemplo: La sucesión ( ) k k N a k / /3 3 k 4) Función acotada: Una función y = f() se dice que es acotada si Ran(f) es acotado. Ó sea eiste k lr tal que f() k, Dom(f). Ejemplo: La función restricción f() = ; [, ] es acotada pues si entonces -3 f() 3 entonces eiste k = 3 tal que f() 3, [, ]. 5) Función periódica: Sea A lr, se dice que f : A lr es una función periódica sí p lr, p 0 tal que Dom(f) se tiene i) +p Dom(f), ii) f(+p) = f() El número p se denomina periodo de f. El menor periodo positivo T es llamado periodo fundamental de f. Ejemplo: f : Z lr / f() = (-) Dom(f) = Z Rang(f) = {-, } Para hallar el periodo se quiere t tal que f(+t) = (-) +t = (-) = f() (-).(-) t = (-) pero (-) 0 Z - 9 -

6 y B Dom(f) tal que y = f() Ran(f) = B. iii) Una función f : A B es biyectiva(biunívoca) si es inyectiva y sobreyectiva Funciones en una variable Real Ejemplo: La función y = f() = es inyectiva pues si, Dom(f) = [ 0, +, f( ) = (-) t = t = f( ) entonces =. k, k Z. Por lo tanto t = k, k Z es periodo de f Para Sin embargo k = entonces la función T = y = es f() el = periodo no es fundamental inyectiva pues = -, = Dom(f) = lr, f( ) = f( ) pero. 6) Funciones Pares e Impares: Dada una función f : lr lr tal que, - Dom(f) es par si f(-) = f() e impar si f( f(-) ; = -f(). A Observación: Si f() = es función tal que f, f son inyectivas en A, A f f() = 4 ( ) ; A Ejemplo:, lr es función par pues Dom(f) lr, - Dom(f) respectivamente entonces Además f(-) = (-) 4 f = () 4 será inyectiva si: Ran(f = f() ) Ran(f ) = Φ. Esto se puede generalizar para funciones con más de dos correspondencias. Ejemplo: La función f() = 5, lr es impar pues Dom(f) = lr se tiene (-) Dom(f) lr además + 3 f(-) ; = (-) 0 Ejemplo: f() = 5 = -( ) 5 = - f() + 4 ; 4 < 0 Inmediatamente 7) Funciones Monótonas: f () = +3 Estrictamente es inyectiva en creciente [0, +, y decreciente. i) Una función f es estrictamente creciente en I Dom(f) si:, I con < entonces f( ) < f( ). ii) Una función f es estrictamente decreciente en I Dom(f) sí:, I con < entonces f( ) > f( ). Ejemplo: f() = La función es creciente en I = [ 0, pues si i 0 i I y < entonces ( ) < ( ) entonces f( ) < f( ) La función es decreciente en I = -, 0 pues si i < 0 i I y 3 < 4 entonces 3 > entonces (- 4 ) < (- 3 ) entonces ( 4 ) < ( 3 ) entonces f( 4 ) < f( 3 ) 8) Funciones Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva: i) Una función f: A B es inyectiva, Dom(f) con f( ) = f ( ) =, Dom(f) y f( ) f( ) ii) Una función f : A B es sobreyectiva y B Dom(f) tal que y = f() Ran(f) = B.

7 f () = es inyectiva en [-4, 0 Además si 0 0 f () = +3 3 Si 4 < < < < - f () < Por tanto Ran(f ) Ran(f ) = Φ entonces f será inyectiva..4. OPERACIONES CON FUNCIONES, FUNCIÓN COMPUESTA E INVERSA. Definición.4. (Suma resta, producto y cociente de funciones) Dadas las funciones f, g : A B definimos: ) f ± g : A B tal que ( f ± g)() = f() ± g(), Dom( f ± g) = Dom( f) Dom( g) ) f. g : A B tal que ( f. g)() = f(). g(), Dom( f. g) = Dom( f) Dom( g) f f f ( ) 3) : A B tal que ( )( ) =, g 0 g g g ( ) f Dom( ) = ( Dom( f) Dom( g) ) - { A tal que g() = 0} g Ejemplo: Dada f() = -[[]] hallar dominio rango graficar. Considerando g() =, h() = [[]] entonces f() = g()-h(). De allí que Dom(f) = Dom(g) Dom(h) = lr Para determinar el rango en estos tipos de ejemplos se sugiere primeramente dividir el dominio de f en intervalos con una sola correspondencia alrededor de cero, determinar el rango de f en estos intervalos y con ello deducir el rango total de f. Si [-, - f() = -+ 3, 4] y Si [-, 0 f() = -+, ] Si [0, f() = [0, 3 Si [, f() = - [0, Ahora sea: n Z + entonces: Si [-n, -n+ f() = -+n n-, n] Si [n, n+ f() = -n [0, Por tanto: Ran(f) = [0, n, n] U n Z Definición.5. (Función compuesta) Sean f : A B y g : B C dos funciones tales que Rang(f) Dom(g) φ la función composición de f con g es dada por g o f : A C / (g o f)() = g(f()). Dom(g o f) = { Dom(f) / f() Dom(g) } Ejemplo: Dadas las funciones f() =, g() =. Dom(f) = [ 0,, Dom(g) = lr Ran(f) = [ 0,, Ran(g) = [-, Ran(g) Dom.(f) = [ 0, + φ Por definición : (f o g)() = f(g()) = f( ) = - 3 -

8 Veamos: Dom(f) = Ran(f - ) Funciones en una variable Real i) Sea Dom(f) f() = y Ran(f) f - (y) = f - (f()) = Ran(f - ) entonces Dom(f) Ran(f Dom(f o g) = { - ) Dom(g) / g() Dom(f) } = { lr / - [0, } = { lr / - 0 } = { lr / -,-] [, } ii) Sea Ran(f - ) y Dom(f - ) tal que f - (y) =, y = f( ), Dom(f) f - (f( )) = -,-] [, =, y = f() Dom(f) entonces Ran(f - ) Dom(f) De (i) y (ii) se tiene Dom(f) = Ran(f - ). Observación: La composición de funciones es asociativa (f o g) o h = f o (g o h) Análogamente Pero se no tiene: es conmutativa Dom(f - ) = f Ran(f) o g g o f Definición.6. (Función Inversa) De la observación anterior(4): Diremos que una función f : A B tiene inversa si eiste una función g : B A tal que (a, b) Gráfico de f (b, a) Gráfico de f. - f o g = B, g o f = A. La función g es llamada la función inversa de f. Notación g = f O sea las gráficas - de f y f - son simétricas respecto de la recta y = Teorema.. Una función f : A Ran(f) es inyectiva tiene inversa. Demostración: ( ) Si f es inyectiva b Ran(f) a(único) / f(a) = b definimos g : B A / g(b) = a y f(a) = b Ran(f) por unicidad de a la - función 3 - g está bien definida Así g(f(a)) = g(b) = a = A (a) y f(g(b)) = f(a) = b = A (b) entonces g o f = A y f o g = B ( ) Sí f tiene inversa g : B A tal que g o f = A ó sea g(f()) = Sí f(a ) = f(a ) g(f(a )) = g(f(a )) a = a Observaciones: ) f : A B es biyectiva tiene inversa Dom(f) = Rang(f ) Dom(f - ) = Ran(f), ) De la proposición anterior. Si f no es inyectiva no tiene inversa. 3) 4) Si f, g son invertibles entonces f o g es invertible y (f o g) - = g - of - Como f - of = A y f o f - = B entonces: Dom(f) = Rang(f - ),

9 Ejemplo: Considerar f() = 5+3. Averiguar la inversa. Como f es biyectiva tiene inversa. Además f(f - (y)) = y Entonces f(f - (y)) = 5(f - y 3 (y)) + 3 = y f ( y) = 5 f ( ) = 3 5 Teorema.. Sean f : A B, g : B C dos funciones entonces: i) Si f, g son inyectivas entonces g o f es inyectiva. ii) Si f, g son sobreyectivas entonces g o f es sobreyectiva. iii) Si g o f es inyectiva entonces f es inyectiva iv) Si g o f es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva Demostración: i) Si Dom(g o f), (g o f)( ) = (g o f)( ) f( ) = f( ) pues g es inyectiva = pues f es inyectiva. ii) Sea c C b B tal que g(b) = c pues g es sobreyectiva. a A tal que f(a) = b pues f es sobreyectiva. a A tal que g(f(a)) = g(b) = c g o f sobreyectiva iii) Sea f( ) = f( ) g o (f( )) = g o (f( )) (g o f)( ) = (g o f)( ) = pues g o f es inyectiva f es inyectiva. iv) Sea c C a A tal que g(f(a)) = c pues g o f es sobreyectiva. f(a) = b B tal que g(b) = c g es sobreyectiva. Ejemplo Dada la función h() = ; -7. Determinar h - () si eiste. Consideremos f() = +6-7, g() = -. Como f, g son inyectivas

10 Por el teorema anterior h() = (g o f)() es inyectiva. Entonces h - además h(h - ()) = = ( h ( )) + 6( h ( )) 7 h - () = -3 ± 6 tal que Dom(h) = -, -7] Ran(h - ) = -, -7], 6 4 h - () = -3 6 ; 0.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS. Recordemos previamente el Círculo Trigonométrico Unita io: Sabemos: sen() = b, cos() = a, b a tg() = ; a 0, ctg() = ; b 0, a b sec() = ; a 0, csc() = ; b 0 a b También: 80 o = πrad Sistemas angulares de valores que puede tomar. Claramente cada ángulo puede ser considerado como un número real. Funciones trigonométricas ó elementales: ) Función Seno: f : lr lr / f() = sen() Del círculo Unitario Dom(f) = lr, Ran(f) = [-, ] La función seno es periódica de periodo fundamental T = π En efecto supongamos sen(+t) = sen() sen()cos(t)+cos()sen(t) = sen() π/ Si = cos(t) =, también cos (T)+sen (T) = cos(t) = sen(t) = 0 entonces el menor valor T > 0 sería T = π La función seno es impar pues sen(-) = -sen(). O sea simétrica respecto del Origen tabulando: 0+k π π/+k π (3 π)/+kπ Sen() 0 - Por periodicidad por periodicidad

11 ) Función Coseno: f : lr lr / f() = cos() Del Circulo Unitario: Dom(f) = lr, Ran(f) = [-,] La función coseno es periódica de periodo fundamental T = π La función coseno es par pues cos(-) ) = cos(). O sea simétrica respecto del eje Y Tabulando: π/+k π k π π +kπ cos() 0 - por periodicidad Por periodicidad 3) Función Tangente: f : lr sen lr / f() = tg() = cos Dom(f) = { lr / cos() 0 }= lr - { π/+k π : k Z }. Ran(f) = lr La función tangente es periódica de periódo fundamental T = π La función tangente es impar ó sea simétrica respecto del Origen. El gráfico tiene asíntotas para cos() = 0 L : = π/+k, k Z cos 4) Función Cotangente: f : lr lr / f() = ctg() = sen Dom(f) = { lr / sen() 0 } = lr - { k π : k Z }. Ran(f) = lr La función cotangente es periódica de periodo fundamental T = π La función es impar ó sea simétrica respecto del Origen. El gráfico tiene asíntotas para sen() = 0 L : = k π, k Z. Grafico

12 5) Función Secante: f : lr lr / f() = sec() = cos Dom(f) = { lr / cos() 0 } = lr -{ π/+k π : k Z }. Ran(f) = -, -] [, La función secante es periódica de periódo fundamental T = π La función secante es par ó sea simétrica respecto del eje Y. El gráfico tiene asíntotas para cos() = 0 L : = π/+k, k Z Gráfico 6) La función Cosecante: f : lr lr / f() = csc() = sen Dom(f) = { lr / sen() 0 } = lr - { k π : k Z }. Ran(f) = -, -] [, La función cosecante es periódica de periodo fundamental T = π La función cosecante es impar ó sea simétrica respecto del origen. E l gráfico tiene asíntotas para sen() = 0 L : = k π, k Z Funciones trigonométricas inversas: Considerando las siguientes restricciones de las funciones trigonométricas elementales f() = sen() : [- π/, π/ ] es inyectiva luego tiene inversa. f() = cos() : [0, π ] es inyectiva luego tiene inversa. f() = tang() : - π/, π / es inyectiva luego tiene inversa. f() = ctg() : 0, π es inyectiva luego tiene inversa. f() = sec() : [0, π / π/, π ] es inyectiva luego tiene inversa. f() = csc() : [- π /, 0 0, π/ ] es inyectiva luego tiene inversa. ) Función inversa del seno g : lr lr / g() = arcsen() : [-, ] Dom(g) = [-, ], Ran(g) = [- π/, π/]

13 ) Función inversa del coseno g : lr lr / g() = arccos() : [-, ] Dom(g) = [-, ], Ran(g) = [0, π ] 3) Función inversa de la tangente g : lr lr / g() = arctg() : lr Dom(g) = lr, Ran(g) = - π/, π / 4) Función inversa de la cotangente g : lr lr / g() = arcctg() : lr Dom(g) = lr, Ran(g) = 0, π ]

14 5) Función inversa de la secante g : lr lr / g() = arcsec() : -,-] [, Dom(g) = -, -] [,, Ran(g) = [ 0, π / π/, π] 6) Función inversa de la cosecante g : lr lr / g() = arccsc() : -, -] [, Dom(g) = -, -] [,, Ran(g) = [- π /, 0 0, π/ ].6. FUNCIONES EXPONENCIALES, HIPERBÓLICAS Y LOGARÍTMICAS. ) Función Eponencial f : lr lr / f() = a, a, a lr + Primer caso: Si 0 < a <. Dom(f) = lr, Para determinar el Rango podemos tener en cuenta lo siguiente: Sí = 0 f(0) = a 0 = Sí se aproima a - f() = a se aproima a Sí se aproima a f() = a se aproima a 0 Entonces la función es decreciente y Ran(f) = 0,

15 Segundo caso: Si a > Dom(f) = lr, Para determinar el Rango podemos tener en cuenta lo siguiente: Sí = 0 f(0) = a 0 = Si se aproima a - f() = a se aproima a 0 Si se aproima a f() = a se aproima a Entonces la función es creciente y Rang(f) = 0, Observación: Particularmente se tiene las funciones f() = e, g() = e - donde e = Número de Euler. ) Funciónes hiperbólicas De la observación anterior obtenemos las llamadas funciones hiperbólicas. e e Seno hiperbólico: y = f() = senh() = e + e Coseno hiperbólico: y = f() = cosh() = senh( ) Tangente hiperbólica: y = f() = tgh() = cosh( ) cosh( ) Cotangente hiperbólica: y = f() = ctgh() = senh( ) Secante hiperbólica: y = f() = sech() = cosh( ) Cosecante hiperbólica: y = f() = csch() = senh( ) 3) Función Logaritmo f : lr lr / f() = Log a ; a, a lr + Primer caso: Si 0 < a < Dom(f) = 0,, Para determinar el Rango podemos tener en cuenta lo siguiente: Si = f() = Log a = 0 Sí se aproima a 0 f() = Log a se aproima a Sí se aproima a f() = Log a se aproima a - Entonces la función es decreciente y Ran(f) = lr

16 Observaciones: Funciones ) Sí f() en = una a variable, g() = Real Log a entonces: (log ) a (f o g)() = f(g()) = f(log a ) = a = = d () (g o f)() = g(f()) = g(a ) = Log a a = = d () Por lo tanto las funciones logaritmo y y eponencial son inversas una de otra. ) Usando propiedades de biyectividad y Log crecimiento, a () ; 0 < a decrecimiento < podemos solucionar las siguientes ecuaciones e inecuaciones con eponenciales y logaritmos en una misma base. i) Sí a > ( a b = a c b = c ) y ( Log a b = Log a c b = c ) ( a b < a c b < c ) 0 y ( Log a b < Log a c b < c ) ( a b > a c b > c ) y ( Log a b > Log a c b > c ) ii) Sí 0 < a < ( a b = a c b = c ) y ( Log a b = Log a c b = c ) Segundo caso: Sí a > ( a b < a c b > c ) y ( Log a b < Log a c b > c ) Dom(f) = 0, (, a b Para > a c determinar b < c ) el Rango y podemos ( Log tener en cuenta lo siguiente: a b > Log a c b < c ) Sí = f() = Log a = 0 Sí se aproima a 0 f() = Log a se aproima a - Sí se aproima a f() = Log a se - 40 aproima - a Entonces es creciente y Ran(f) = lr y Log a() ; a > 0

17 3) 4) En eponenciales y logaritmos también se tiene: i) a +y = a.a y ii) Log a (y) = Log a + Log a y iii) Log a (/y) = Log a - Log a y iv) Si r lr rlog a = Log a r Particularmente sí a = e (Número de Neper). Denotaremos Log e = Ln De allí si y = Log a a y = por() Ln a y = Ln yln a = Ln ln y =. Por lo tanto Loga = ln a ln ln a 4z + 7 Ejemplo: Dada la inecuación log z < se quiere el conjunto solución. 8 5z 4z + 7 ln z Primeramente sabemos: log z < = = log z z 8 5z ln z Por contenido teórico debemos tener que: 4z + 7 4z + 7 4z + 7 > 0 [ ( 0 < z < > z ) ( z > < z ) ] 8 5z 8 5z 8 5z 4z i) > 0 z, C.S. =, 8 5z ii) 0 < z < (4z+7) > z(8-5z) C.S. = 0, iii) 8 > z > (4z+7) < z(8-5z) C.S.3 = Φ iv) z (4z+7) > z(8-5z) C.S. 4 = [, iv) C.S. C.S. 3 C.S. 4 = C.S. 5 = 0,, 5 Por lo tanto C.S. = C.S. C.S. 5 = 0, 3 ( + ) Ejercicio: Resolver 4 + > Solución: ( 4 + ) 3 + > > > > C. S. =,

18 5) Funciones Hiperbólicas inversas e e Dado el seno hiperbólico y = f() = senh() = Si e e e e e e e ( e ) e ( e ) Por tanto la función seno hiperbólico es inyectiva. Análogamente todas las funciones hiperbólicas son inyectivas en su dominio y por lo tanto tienen inversa: i) Inversa del seno hiperbólico: y = f() = senh - () Dom(f) = lr, Ran(f) = lr y y Si y = senh - e e (), lr = senh(y) =, y lr e y ( ) y y y = e ( e ) e = 0 ± ( ) + 4 e y = e y = + + > 0 y = ln( + + ), lr Por lo tanto y = senh - () = ln( + + ), lr ii) Inversa del coseno hiperbólico: y = f() = cosh - () Dom(f) = [, +, Ran(f) = lr Análogamente y = cosh - () = ln( + ),. iii) Inversa de la tangente hiperbólica: y = f() = tgh - () Dom(f) = -,, Ran(f) = lr y y e e Si y = tgh - (), < = tgh(y) = y y e + e + e y + = y = ln Por lo tanto y = tgh - + () = ln, < iv) Inversa de la cotangente hiperbólica: y = f() = ctgh - () Dom(f) = +, -, +, Ran(f) = lr-{0} Análogamente y = ctgh - + () = ln, > - 4 -

19 v) Inversa de la secante hiperbólica: y = f() = sech - () Dom(f) = 0, ], Ran(f) = lr Si y = sech - (), lr = sech(y) = y y e e y y ( e ) e + = 0 e y ± = + e y = > 0 y = ln + Por lo tanto y = sech - () = ln +, 0, ] vi) Inversa de la cosecante hiperbólica: y = f() = csch - () Dom(f) = lr-{0}, Dom(f) = lr-{0} Análogamente y = csch - () = ln + +,

20 .7. RELACIÓN DE EJERCICIOS. I. II. Dadas las relaciones hallar Dominio, Rango y aproimar grafico. = { (, y) lr / y = 4 } ; 6 = { (, y) lr 3 + R R / y = 4 Dadas las funciones hallar Dominio, Rango y Graficar: 4.( ) ) f() = ) f() = } 3) f() = 4) f() = 4 + ; ; f ( ) + f ( ) f ( ) f ( ) III..- Dada la función f probar: es par,.- Hallar los intervalos en que la función es Creciente y Decreciente: es impar f() =, f() = +, f() = (-) +, f() = 4, f() = ( ) 3 IV..- Dadas f() = 3, g() = Hallar (f+g)(), (f-g)(), (f.g)().- Dadas a) f() = 3, g() = b) f() =, g() = Hallar f o g, g o f, f o f y sus dominios 3.- Dadas las funciones determinar f o g y su Dominio f() = + ; > 3, g() = 4 [[ ]] ; 0 3 V. Verificar sí las siguientes funciones son biyectivas y hallar la inversa: + + f() =, f() =, f() = +, f() = 3 3 e, f() = f : lr -, / f() =, f() = + + e VI. ) Sí [ - π, π ] graficar: f() = sen( π[[]]), f() = sen, f() = sen p [[ ]] p p f() = cos( ), f() = cos( ), f() = tg + sen, f() = sen( - ) 4 ) Graficar: f() = e -, f() = ln(), f() = arcsen