MATEMÁTICA 6 TO AÑO. Módulo de trabajo teórico práctico Instituto Argentino Modelo Mar del Plata. Profesora: Julieta Buroni

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1 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Módulo de trabajo teórico práctico Instituto Argentino Modelo Mar del Plata Profesora: Julieta Buroni 01

2 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 1 Tabla de contenido UNIDAD N 1 FUNCIÓN LINEAL Función lineal Rectas paralelas y perpendiculares Recta que pasa por dos puntos Ecuación general de la recta... 9 GUÍA PRÁCTICA N Ejercicios complementarios UNIDAD N ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA VECTORES Vectores equivalentes Vectores opuestos Suma gráfica de vectores Vectores en el plano coordenado Suma de vectores en función de sus componentes Multiplicación por un escalar Módulo de un vector en función de sus componentes Suma de un punto y un vector... 1 GUÍA PRÁCTICA N Sección ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA... 4 GUÍA PRÁCTICA N Sección... 8 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD UNIDAD N 3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA FUNCIONES Clasificación de funciones Composición de funciones Funciones inversas GUÍA PRÁCTICA N

3 MATEMÁTICA 6 TO AÑO UNIDAD N 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA Función eponencial Características de la función eponencial Función logarítmica Características de la función logarítmica Propiedades de los logaritmos Ecuaciones GUÍA PRÁCTICA N UNIDAD N 5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ángulos y arcos orientados Funciones trigonométricas Circunferencia trigonométrica Funciones trigonométricas: Definiciones Signos de las funciones trigonométricas Gráficas de las funciones trigonométricas I) FUNCIÓN SENO II) FUNCIÓN COSENO... 6 III) FUNCIÓN TANGENTE Relaciones trigonométricas inversas Relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo Identidades trigonométricas Resolución de triángulos Resolución de triángulos rectángulos GUÍA PRÁCTICA N

4 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 3 UNIDAD N 1 FUNCIÓN LINEAL En esta unidad vamos a aprender: Qué es una función lineal Interpretar gráficas Rectas paralelas y perpendiculares Diferentes formas de escribir la ecuación de la recta Recta que pasa por dos puntos Resolver problemas de la vida cotidiana

5 4 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 1.1 FUNCIÓN LINEAL Toda función f : de la forma y f m b, donde m y b son números reales constantes, es una función lineal. En esta formula representa la variable independiente e y la variable dependiente. Son ejemplos de funciones lineales: a) y b) y 4 c) y 0,5 d) y La gráfica de cualquier función del tipo y m b es una RECTA. La ecuación y m b se denomina ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA. ORDENADA AL ORÍGEN: A la constante b se la denomina ordenada al origen. El punto (0, b) es el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas y. PENDIENTE: A la constante m se la denomina pendiente. La pendiente está determinada por el cociente entre la variación de y y la variación de. Observación: La pendiente está relacionada con el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje. Entonces, a partir de la pendiente podemos hallar el dicho ángulo mediante la ecuación: m tan. La función tangente utilizada en esta ecuación la estudiaremos más adelante junto con las demás funciones trigonométricas.

6 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 5 Ejemplo 1.1 Observemos en el gráfico que cuando la abscisa ( ) aumenta unidades, la ordenada ( y ) aumenta 3 unidades. Esto nos dice que la pendiente será m cero, o sea que b 0. Por lo tanto la ecuación de la recta es: 3. Y la recta corta al eje y en el 3 y. y 3 y 3 Ejemplo 1. En este gráfico vemos que la recta corta al eje y en el -3, o sea que el valor de la ordenada al origen es b 3. Para saber la pendiente de esta recta, observemos que si aumentamos en una unidad la abscisa, la ordenada aumenta 3 unidades: 3 m 3 1 Por lo tanto, la ecuación de la recta es: y33

7 6 MATEMÁTICA 6 TO AÑO El signo de la pendiente también está directamente relacionado con la inclinación de la recta: Si m 0, la función es CRECIENTE y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje es AGUDO. Si m 0, la función es DECRECIENTE y el ángulo que forma la recta con el semieje positivo o es OBTUSO. Si m 0, la función es CONSTANTE y la recta es PARALELA al eje.

8 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 7 1. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Rectas paralelas: son aquellas que no se cortan en ningún punto. Rectas perpendiculares: son aquellas que se cortan en un punto formando un ángulo recto. Diremos que dos rectas y m1 b1, y m bson PARALELAS si tienen igual pendiente, o sea, si m1 m. Diremos que dos rectas y m1 b1, y m b son PERPENDICULARES si tienen sus 1 1 pendientes opuestas e inversas, es decir, m1 m. m

9 8 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 1.3 RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Sean P, y y Q, y puntos es: dos puntos del plano. La ecuación de la recta que pasa por estos y y0 0 y y Esta ecuación recibe el nombre de forma continua de la ecuación de la recta. y 1 y Observación: Como ya mencionamos, la pendiente es el cociente entre la variación de la ordenada y la variación de la abscisa. Por lo tanto, en el caso de una recta que pasa por dos puntos, la pendiente es: y y m

10 MATEMÁTICA 6 TO AÑO ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Otra forma habitual de representar una recta es mediante su ecuación general o implícita, dada por: a by c 0 ó a by c

11 10 MATEMÁTICA 6 TO AÑO GUÍA PRÁCTICA N o 1 1. Señala en cada una de las siguientes rectas cuál es la pendiente y la ordenada al origen: 1 a) y 3 c) 3 y 4 b) y31 d) y 1. Encuentra la ordenada al origen y pendiente en cada uno de los siguientes gráficos y escribí la ecuación eplícita de la recta: a) m= b= b) m= b=

12 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 11 c) m= b= 3. Determina la ecuación de la recta en cada caso: a) Tiene pendiente y ordenada al origen -1 b) Tiene pendiente -/7 y pasa por el punto (0,3) c) Corta al eje de abscisas en 4 y al eje de ordenadas en - 4. Indica si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares. Justifica. a) R1 : y 0 R : 4 8y 3 0 b) R1 : 4y 1 0 R : y 5 0 c) R1 : y 1 0 R : y 6 0 d) R1 :5 y 4 0 R :3y e) 1 R1 : y 3 R : y 3 0 f) R1 : y 1 R : y 1

13 1 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 5. a) Halla analíticamente la ecuación de la recta paralela a otra de ecuación y= 6-4, cuya ordenada al origen es -1. b) Determina la ecuación de la recta perpendicular a la recta R1 : y 1 y que 3 pasa por el punto 1,3. c) Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P, y Q 8,3 Luego pasar a la forma general.. 6. PROBLEMAS DE APLICACIÓN A. En algunos países suelen usar la escala Fahrenheit para medir temperaturas. En esta escala el punto de congelación del agua se alcanza a 3 0 F, y el de ebullición a 1 0 F. Nosotros usamos la escala Celsius en la cual esos puntos los alcanzan a 0 0 C y C respectivamente. Halla la ecuación que relaciona 0 C con 0 F y grafícala. A cuántos 0 C equivalen 80 0 F? A cuántos 0 F equivalen 36 0 C? B. En una ciudad tienen una norma que regula el estacionamiento. La norma indica que se debe pagar cierta cantidad de dinero por cada minuto y que no hay un mínimo. José pone $1,35 y el parquímetro indica que dispone de 45 minutos. Sara con $0,84 dispone de 8 minutos. Halla la ecuación que relaciona el precio con el tiempo y dibújala. Cuánto hay que pagar para estacionar 55 minutos? Si pago $,40, de cuánto tiempo dispongo? C. Halla la ecuación de la función que describe la siguiente situación: Un auto está a 3Km. de mí y se acerca a una velocidad de Km/h. D. En un circuito eléctrico el voltaje V en volts y la corriente I en amperes están relacionados linealmente. Cuando I = 9, v = 3 Cuando I = 18, v=6 Epresar V como una función de I. Encontrar el voltaje cuando la corriente es de 11 amperes. E. Un video club ofrece dos opciones para alquilar videos: Opción A: $0 de abono anual más $,5 por video alquilado. Opción B: $30 de abono anual más $ por video alquilado. Hallar para cada opción la epresión del precio a pagar en función del número de videos alquilados y representarlas en un mismo gráfico.

14 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 13 Si el cliente dispone de $90 Cuántos videos puede alquilar con cada una de las dos opciones? F. Una pulsera de plata antigua comprada hoy en $000 aumenta su valor linealmente con el tiempo, de modo tal que a los 15 años valdrá $300. Escribir la fórmula que epresa el valor V de la pulsera en función del tiempo y determinar al cabo de cuánto tiempo se duplicará el valor inicial de la pulsera. G. La dosis en miligramos (mg) de antibiótico se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40 mg y para uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcular la función que da la dosis de medicamento dependiendo del peso. Cuánto debe recetarse a un niño de 7,5 kg? EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Pasa por los puntos A(4, 7) y B(5, -1). b) Es paralela a y = 3 y pasa por el punto P(, 0). c) Pasa por los puntos P(7, 5) y Q(,-3). d) Es perpendicular a y = 5 y pasa por el punto A(0, 6). e) Pasa por los puntos A(15, 10) y B(8, -6). f) Paralela al eje X y que pasa por el punto P(4, 5).. Calcula c para que la recta 5 y = c pase por el punto ( 3, 7). 3. Calcula b para que la recta 3 + by = 5 pase por el punto ( 3, 4). 4. Cuáles son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3 5y + 15 = 0? 5. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas siguientes: a) + 8y = 5 b) 7 3y = c) 4y = 8 d) 4 3y 1 = 0 6. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, y escribe su ecuación en cada uno de los siguientes casos: a) A(5, 3), B(, 1) c) A( 4, ), B(8, 7) e) A( /3, 4), B(1,7/3 )

15 14 MATEMÁTICA 6 TO AÑO b) A( 6, ), B( 3, 5) d) A(0, 7), B( 4, 0) f) A(1/,5/4 ), B(1, 1) 7. Comprueba si eiste alguna recta que pase por los puntos A( 1, 3), B(5, 0) y C(45, 0). Para ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y por B y prueba después si el punto C pertenece a esa recta. 8. En la función y = m + n, cómo debe ser m para que la función sea decreciente? 9. Cuál es la recta que tiene por ecuación y = 0? Y la de ecuación = 0? 10. De cada una de las siguientes rectas, di cuál es su pendiente y, según su signo, clasifícalas en funciones crecientes o decrecientes. Luego graficar. DESAFÍO DE LA UNIDAD 1 Las siguientes rectas son paralelas?

16 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 15 UNIDAD N ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA En esta unidad vamos a aprender: Qué es un vector Vectores equivalentes, opuestos y paralelos Representación gráfica Suma y resta de vectores Ecuación vectorial de la recta Reformulación de lo estudiado en la unidad 1

17 16 MATEMÁTICA 6 TO AÑO.1 VECTORES Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próimo año, etc.). Eisten muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, y que reciben el nombre de escalares, por ejemplo, el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura, etc. También eisten magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración y otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud. Por ejemplo, si a dos personas les decimos: Caminen 5 metros, probablemente no lleguen al mismo lugar, pero si les decimos Caminen 5 metros hacia el Este tendrán el mismo destino. Estas magnitudes se llaman vectoriales. VECTOR Un vector es un segmento de recta orientado, que posee tres atributos: magnitud, dirección y sentido. Un vector está caracterizado por: Figura.1 su origen o punto de aplicación: el punto 1, su etremo: Aa, a en la Figura.1. 1 O o o en la Fig..1. su dirección: la dirección de la recta que lo contiene (la recta r en la figura). su sentido: indicado por la flecha. su módulo: la longitud del vector. Se designa escribiendo el nombre del vector entre dos líneas verticales. Para el vector â, su módulo se indica â. Como se indica también en la figura, un vector se suele designar escribiendo su origen y su etremo con una flecha encima OA, o bien, simplemente mediante una letra mayúscula o minúscula con una flecha encima â.

18 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Vectores equivalentes Dos vectores son equivalentes si son iguales sus respectivas magnitudes, direcciones y sentidos. u v w z.1. Vectores opuestos Figura. Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes y sus direcciones son iguales y sus sentidos son opuestos. U V Figura Suma gráfica de vectores Gráficamente, la suma o resultante de vectores se obtiene uniendo sucesivamente sus orígenes y etremos como se muestra en la siguiente figura: A B C R Figura.4

19 18 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Otra forma de sumar dos vectores gráficamente es uniendo sus orígenes y trazando una línea auiliar paralela a cada vector que pasen por el etremo del otro, formando un paralelogramo. La resultante o suma, es el vector que une el origen en común con la intersección de las líneas paralelas auiliares. Figura.5 AB R Observación: Resta de vectores Restar un vector B a un vector A es lo mismo que sumar A y el opuesto de B. -B A B A B R Figura.6 Vector unitario: es un vector cuya magnitud es uno. Vector nulo: es un vector cuya magnitud es cero. Gráficamente se representa con un punto. Vectores paralelos: son los que tienen la misma dirección. Sus coordenadas son proporcionales.

20 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 19 Componente de un vector: es la proyección ortogonal del vector sobre una recta. Se determina como la magnitud del segmento de recta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella, una que pasa por el origen del vector y otra por su etremo. Esto se ve en la siguiente figura: A L A L Figura Vectores en el plano coordenado cartesiano y y 1 y Figura.8 El origen del vector en la figura.8 es el punto 0, y 0, y su etremo el punto 1, y 1. Como se observa en la figura, es la componente del vector sobre el eje, e y y la componente sobre el eje y. Entonces A A, A, y y y

21 0 MATEMÁTICA 6 TO AÑO.1.5 Suma de vectores en función de sus componentes Dados dos vectores, A a, a y B b, b 1 1, su suma está dada por:,,, A B a a b b a b a b O sea, las componentes de la resultante (suma), es la suma de las componentes de los vectores. Ejemplo 1: Si A 4, y B 3,5, entonces: a) 4 3, 5 1,7 A B b) El opuesto de B es: B 3,5 3, 5 c) A B A B 4 3, 5 7, Multiplicación por un escalar Para multiplicar un vector A por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantiene la dirección del vector. El sentido será el mismo si k es positivo, y contrario, si k es negativo. A a, a En coordenadas, si 1 multiplicando cada coordenada por el número k. En el ejemplo, 3A 34, 34,3 1,6., el producto de un número real k por un vector A se calcula.1.7 Módulo de un vector en función de sus componentes Dado un vector A a, a 1, se define su módulo como: A a a 1

22 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 1 En el ejemplo anterior, el módulo de A es: A Suma de un punto y un vector La suma de un punto A más un vector u es otro punto B que resulta de trasladar el punto A según el vector u. En coordenadas, si Aa1, a y u u1, u Bb, b a u, a u , su suma es el punto Ejemplo : a) Si A3, 4 y el vector 3,5 representa el resultado gráficamente. u, calcular las coordenadas del punto B Au y b) Si A3,0 es el trasladado de A por el vector v cuáles son las coordenadas de v? Solución: a) B Au 3, 4 + 3,5 = 3 ( 3), 4 5 = 0,1 A A v 3,0 3 v, 4 v v 6 y v 4 b) 1 1

23 MATEMÁTICA 6 TO AÑO GUÍA PRÁCTICA N o Sección 1 1. Cuáles son las coordenadas y el módulo de los siguientes vectores?. Dados los puntos A3,6, B 3,0, C 0, 5 y D,7 coordenadas y el módulo de los vectores AB, BC, CD y DA., representa y calcula las 3. Dibuja los vectores AB y BA, siendo A4, 1 y B 5,0 cuestiones:, y contesta a las siguientes a) Son equivalentes? b) Y paralelos? c) Tienen la misma dirección? d) Cómo son sus sentidos? e) Cuáles son el origen y el etremo de cada uno? f) Calcula sus módulos. 4. Las coordenadas de los puntos A, B, C y D son: A 1,3 B 0,6 C 4, 7 D 4,0 Calcula el resultado de estas operaciones. a) AB AB b) CD CD c) AB CD d) AB CD e) AB CD f) CD AB

24 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 3 5. Halla gráficamente el vector suma u v y el vector diferencia u v. 6. Sabiendo que A( 3, 3) y B ( 1, 5), calcula gráfica y analíticamente k AB. a) k b) k 4 c) 1 k d) k 3 7. Si trasladamos el punto A por el vector u para obtener el punto B, calcula los valores e y. Representa los puntos trasladados. a) A0, 5 u, y B5,0 b) A3, u4,3 B y, 8. Los puntos A( 1, 1), B(0, ) y C(, 0) son los vértices de un triángulo. Halla las coordenadas de los vectores que forman sus lados. 9. Si u 3, y 4, 1 w, determina el vector v tal que u v w. 10. Efectúa las siguientes operaciones analítica y gráficamente, si u 6, y,1 a) u 3v b) 1 v u v :

25 4 MATEMÁTICA 6 TO AÑO. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo, si esos puntos son etremos de vectores, podríamos generalizar diciendo que dos vectores dan origen a una recta. Si Aa, b es un punto del plano, y v v, v, podemos obtener cualquier punto P, y 1 de la recta L que pasa por el punto A y tiene la dirección de v de la siguiente manera:, y a, b t v, v La epresión OP OA tv (donde O es el origen) recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta que pasa por A en la dirección de v. v v, v se llama vector director de la recta. 1 El vector 1 También podemos escribir a los puntos P, y de la recta como: Estas son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta. Ejemplo 4: Dados los puntos A,5, B 1,1 de una recta. a) Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta. C 1,9 pertenece a la recta. b) Estudiar si el punto Solución: Como la recta pasa por los puntos A y B podemos tomar como vector director v AB 1 ( ),1 5 1, 4. de la recta a a) Las ecuaciones pedidas son: Ecuación vectorial:, y,5 t 1, 4 t Ecuaciones paramétricas: y 5 4t a t v y b t v b) En las ecuaciones paramétricas sustituimos las coordenadas del punto C por e y : t t. Luego despejamos t en ambas ecuaciones: t t 1 4 1

26 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 5 Como no dio el mismo valor en ambas ecuaciones, significa que el punto C 1,9 no pertenece a la recta. Si Aa, b es un punto específico de una recta, v v, v es su vector director y, 1 un punto genérico, tenemos las siguientes ecuaciones de la recta: P y es Ecuación continua: a y b v v 1 Ecuación punto-pendiente: y b m a Ecuación eplícita: y m n donde m es la pendiente y n la ordenada al origen. v1 v1 La pendiente es m y la ordenada al origen n b a. v v Recordemos que la ecuación general de la recta es A By C 0 donde A, B y C son A números reales. Entonces, el vector director de la recta es v B, A, la pendiente m B C y la ordenada al origen es n. B Ejemplo 5: Dada la recta epresada en forma vectorial:, y,1 t 4,3 a) Halla sus ecuaciones en forma continua, punto pendiente y eplícita. b) Indica su pendiente y su ordenada al origen. Solución: a) Un punto de la recta es A,1, su vector director es 4,3 continua es: y Multiplicando en cruz se tiene que 4 y 1 3 v y la ecuación, y así obtenemos la ecuación 3 punto-pendiente de la recta: y1. 4 Por último, despejando y y operando, obtenemos la ecuación eplícita de la recta: 3 1 y. 4 b) La pendiente es 3 m y la ordenada al origen es 4 1 n.

27 6 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Ejemplo 6: Solución: Dar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1,, Q0,3. Calculamos el vector director: PQ 0 1,3 ( ) 1,5 B, A tanto, 5 y C 0.. Por lo Para hallar el valor de C reemplazamos uno de los puntos, por ejemplo, Q(0,3) y despejamos: 50 3C 0 C 3. Luego, la ecuación general de la recta es: 5 y Posiciones relativas de dos rectas Ejemplo 7:

28 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 7 Observación: Dada la recta que pasa por un punto Aa, b, cuyo vector director es v v, v, si una de sus dos coordenadas es cero, la recta es paralela a uno de los ejes de 1 coordenadas. Si v1 0 y v 0, la ecuación de la recta es y b. Esta es una recta paralela al eje. Si v1 0 y v 0, la ecuación de la recta es a. Esta es una recta paralela al eje y. Las rectas paralelas a los ejes no se pueden epresar mediante una ecuación en forma continua, debido a que una de las coordenadas de su vector director es cero.

29 8 MATEMÁTICA 6 TO AÑO GUÍA PRÁCTICA N o Sección 1. Dados los puntos de coordenadas A( 1, 7) y B(0, 1): a) Calcula el vector director de la recta que pasa por A y B. b) Halla la ecuación vectorial de dicha recta.. Dada la siguiente ecuación vectorial de una recta:, y 4,8 t 3,5 punto de esa recta y su vector director., indica un 3. Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A0, 4 y tiene como vector director v 1,7. 4. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(, 3) y tiene como vector director: a) v 3,4 b) v 3, 4 c) v 6,8 Qué característica tienen en común estas tres rectas? 5. Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A( 5, ) y B (0, 1). 6. Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(0, 4) y tiene como vector director v 1,7. 7. Cuáles son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(, 3) y tiene como vector director v 1,0? 8. Estudia si los puntos A(7, 4), B (1, ) y C (0, 0) pertenecen o no a la recta: 3t. y t 9. Dados los puntos A( 1, 7) y B(0, 1), halla: a) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ellos. b) Tres puntos que pertenezcan a dicha recta. 10. La siguiente gráfica muestra una recta. a) Escribe las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial. b) Pertenece el punto ( 6, 4) a la recta?

30 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Epresa la ecuación que pasa por el punto A(1, ) y que tiene por vector director v 1,1 mediante sus ecuaciones: a) Punto-pendiente. b) Eplícita. 1. Calcula la ecuación continua de la recta que pasa por estos puntos A(3, 1) y B(4, 5). 13. Halla la ecuación continua de la siguiente recta epresada en forma paramétrica: 3t y t 14. Epresa la recta que pasa por los puntos A(1, ) y B(1, ) mediante sus ecuaciones: a) Vectorial. b) Paramétricas. Se puede epresar en forma continua? Por qué? 15. Determina las ecuaciones eplícita y punto-pendiente de la recta que pasa por A(0, 4) y su vector director es v 1,7.

31 30 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 16. Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(0, 1) y B(3,). 17. Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(, ) y B (, 3). 18. A partir de la ecuación 3 y 0 de una recta, halla el vector director, la pendiente y la ordenada en el origen. 19. Cuál es la ecuación general de la recta cuya ecuación vectorial es, y 1,1 t 3,1? 0. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta r : y 5 que pase por el punto (0, 0) de todas las formas indicadas: a) Vectorial. b) Punto-pendiente. c) General. 1. Escribe la ecuación de una recta secante a la recta r : y 5 que pase por el punto (0, 0) de todas las formas indicadas: a) Vectorial. b) Punto-pendiente. c) General.. Indica cuál es la posición relativa de las siguientes rectas en el plano: a) r : 3y 3 0 s : 5y 3 0 b) r : 3y 0 s :3 9y Epresa, mediante las ecuaciones vectorial y eplícita, las siguientes rectas: a) Paralela al eje Y, y que pasa por el punto A 3,0 b) Paralela al eje X, y que pasa por el punto B 0,7 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE LA UNIDAD 1. Dibuja el vector AB, cuyo origen y etremo son: a) A( 1, ) y B(, 0) c) A(, 3) y B(4, 7) b) A(, 0) y B( 1, ) d) A(, 3) y B( 4, 7)

32 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 31. Calcula las coordenadas del vector AB, siendo A y B los siguientes puntos: a) A(0, ) y B(1, 1) c) A(, 1) y B( 5, 1) b) A(, 1) y B(4, 3) d) A(0, 0) y B(6, ) 3. Calcula las coordenadas del punto A: a) Si AB 1,3 y B 5, b) Si AB,3 y B 1,4 c) Si AB 4,1 y B 3,3 4. Calcula las coordenadas del punto B: a) Si AB 0, y A 3,5 b) Si AB 1,0 y A 4,6 c) Si AB,4 y A,4 5. Calcula las coordenadas de los vectores AC, BE y BD en el siguiente gráfico.

33 3 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 6. Calcula el módulo del vector AB : a) A 1,1 y B,3 b) A 4,1 y B5, c) A3, y B1, 1 d) A 3,0 y B 0,4 7. Halla la suma de los vectores AB y CD a) A(0, ), B(, 5), C(, 1) y D(5, ) b) A(3,5), B(-1,6), C(6, 4) y D(5, 0) 8. Halla la diferencia de los vectores AB y CD a) A( 3, ), B(0, 5), C(3, 1) y D(4, ) b) A(0, 5), B( 1, 3), C(, 4) y D(5, 1) 9. Dados los vectores u 6,1 y,3 v, calcula u v y u v. 10. Determina el módulo del vector que resulta de sumar u 3,7 y 6, v. 11. Determina el módulo del vector que resulta de restar u 4, y 3,1 1. Obtener gráficamente la suma y la resta de los vectores AB y CD. v.

34 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Hallar v si u 5,4 y uv,6 14. Hallar v si u 1,6 y u v 3, 15. Representa gráficamente el vector ku, con origen en 0,0, en los siguientes casos: 1 y,3 3 k y u 10,0 5 a) k 4 y u 1, c) k u b) k y u,3 d) 16. Sabiendo que A(8, 3), B(5, 1) y C(4, 3), calcula los siguientes vectores: a) 3 AB b) 5 BC c) CA d) 4 AC e) BA 3 BC f) AC 4 AB 17. Halla el punto trasladado del punto A(4, 5) por estos vectores: a) v,5 b) v 0,4 c) v 1, 3 d) v 4,0 18. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 3) y B(4, 7) en forma vectorial, paramétrica y continua. 19. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(4, 1) y tiene como vector director v 3,1. 0. A partir de la representación de la siguiente recta, calcula sus ecuaciones en todas las formas posibles.

35 34 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 1. Escribe la ecuación de estas rectas de todas las formas posibles: a) t y 3 t b), y 0,3 t,1 d) y c) y 3 1 e) y5 0. Cuáles son las ecuaciones que corresponden a las rectas que forman los ejes de coordenadas? Razona si puedes escribirlas de todas las formas. 3. Estudia la posición relativa en el plano de las siguientes parejas de rectas. a) r :3 y 7 0 s :3 y 5 0 b) r : y 3 0 s : y 6 0 c) r : 3y 4 0 s : y 5 0 d) r : 5 10y 8 0 s :10 0y 16 0 e) r : y 1 0 s : 3y f) r : y 3 0 s : y 8 0 5

36 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 35 UNIDAD N 3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA En esta unidad vamos a aprender: Repaso de la definición de función Clasificación de funciones Composición de funciones Propiedades de la composición Función inversa

37 36 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 3.1 FUNCIONES Definición: Una relación f de un conjunto A en un conjunto B es una función si para cada elemento A eiste un único elemento y B O sea, debe cumplir dos condiciones: tal que f y. 1) EXISTENCIA: para cualquier elemento de A eiste un elemento en B tal que estén relacionados por f. ) UNICIDAD: si f y1 y f y, entonces debe ser y1 y, es decir, a ningún elemento de A le puede corresponder dos elementos distintos de B. El conjunto A se llama DOMINIO de la función f y se escribe Dom f El conjunto B se llama CODOMINIO de f y se escribe Codom f B. A. La IMAGEN de f es el subconjunto del codominio formado por todos los " y " pertenecientes a B tales que y f para algún A y f, se dice que y es la imagen de por la función f. Im f yb / y f, A. Si Clasificación de funciones 1) Una función f : A B se dice que es INYECTIVA si y sólo si para todo 1, A y se tiene que f f. Es decir, elementos distintos del dominio 1 tienen distinta imagen. 1 ) Una función f : A B es SURYECTIVA (o sobreyectiva) si y sólo si Im( f) decir, la imagen es igual al codominio de la función. 3) Una función f : A B es BIYECTIVA si y sólo si es inyectiva y suryectiva. B, es Ejemplos: f : / f A) Para ver si es inyectiva, suponemos que eisten dos elementos que tienen la misma imagen y analizamos si estos elementos pueden ser distintos o deben ser iguales. Supongamos que f ( 1 ) f ( ) 1 1. Por lo tanto, la función es inyectiva.

38 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 37 Observemos que la imagen de f son todos los números naturales pares, es decir que todos los impares no están en la imagen, por lo tanto Im( f ), o sea, la función no es suryectiva, y entonces tampoco biyectiva. f : / f B) y f no es inyectiva pues, por ejemplo, 1, 1,1 1 y f(1) f( 1) 1. Tampoco es suryectiva, ya que eisten números reales que no están en la imagen, como por ejemplo el -3. f : / f 1 C) f es inyectiva pues f f si y sólo si f es suryectiva pues para todo y, eiste un, y, tal que f y. Es decir, la imagen de la función coincide con el codominio. Por lo tanto, f es biyectiva Composición de funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f llamada la composición de f con g. y g, una nueva función,

39 38 MATEMÁTICA 6 TO AÑO La composición de dos funciones, f : A B y g : B C, tales que el codominio de f esté contenido o sea igual al dominio de g, es la función g f : A C, definida por g f g f para todo A. El símbolo gf denota la función compuesta de f con g. El dominio de gf es Dom( g f ) Dom( f ) / f ( ) Dom( g). Ejemplo: Sean f ( ) y g 3 1. Entonces sea, g f 6 1. g f g f g 3 1. O Propiedades: Es asociativa: f g h f g h No es conmutativa: f g g f El elemento neutro es la función identidad Id : f Id Id f f Si f y g son funciones inyectivas, entonces fg es inyectiva. Si f y g son funciones suryectivas, entonces fg es suryectiva. Si f y g son funciones biyectivas, entonces fg es biyectiva.

40 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Funciones inversas Se llama función inversa o recíproca de f a otra función f 1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a. La relación inversa siempre eiste, pero no necesariamente es una función. Para que la función inversa f 1 eista es necesario y suficiente que f sea BIYECTIVA. Si f es una función y f 1 su inversa, se cumple que Recíprocamente, si g es una función tal que fog Id gof entonces Observemos que el dominio de f. Las gráficas de f y tercero. f 1 f 1 Ejemplo: si 4, entonces 1 f es la imagen de f y la imagen de f f Id f f. o g f o 1 f es el dominio de son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante y el f 4 y sus gráficas son: Para calcular la inversa de una función despejamos en función de y y luego intercambiamos con y, o bien, primero intercambiamos e y, y luego despejamos y.

41 40 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Por ejemplo, si y f ( ) 5: y despejamos : y intercambiamos las variables: y luego, f Observación: hay que distinguir entre segunda la inversa de la función. f 1 y f 1 1, la primera es la función inversa y la

42 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 41 GUÍA PRÁCTICA N o 3 1. Determina si las siguientes funciones son inyectivas, suryectivas o biyectivas: f : / f 3 1 a) b) : / f f f : / f c) 3 d) : 0, / f f f :, / f e) f : 0,, / f f). Hallar las funciones compuestas fg o y go f en los siguientes casos. Cuál es el dominio de cada una de ellas? Son iguales las dos funciones compuestas? f g a) ; f 1; g cos b) 1 f ; g 1 c) 1 f ; g d) 3. Hallar la función compuesta pedida en cada caso: a) f g f g ln( ); 1? 1 ; o? 1 b) f g g f c) f g f g 1; 1? d) f sen g f g ( ); 1? 1 ; o? e) f g f g 3 f) f g f g 3 ;? 1 1; o? g) f g g f o o o o

43 4 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 4. Dadas las siguientes funciones definidas en : a) Grafica f b) Determina el dominio e imagen de f c) Analiza biyectividad d) Determina la función inversa cuando sea posible 1 f en el mismo sistema de coordenadas usado para graficar e) Grafica f. 4.1) y 4.) y 4.3) 3 y 1 4.4) y 4.5) 4.6) y 3 y 3 5. Determina en cada caso dominio y codominio como subconjuntos de, para que con cada una de las siguientes fórmulas, obtengas una función biyectiva. Luego halla su inversa. a) b) y y c) y d) e) y y Dadas las funciones f a) go f b) fg o c) hof og 1 1, 1 g 1 y h 1. Calcular: d) e) f) h 1 g 1 f 1 g) Probar que fo f 1 Id

44 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Encuentra la inversa de la función y f f 1? Y la imagen? 1, con 3. Cuál es el dominio de 3 8. Representar gráficamente, clasificar y, si es posible, hallar la inversa de las siguientes funciones: f :, f 1 a) f : 1,, f 1 b) 1 c) f :, f f :, f Dada la función 3 a) Analiza biyectividad 0 f 1 0 b) Calcula f y 1 c) Halla la epresión de f 1 d) Grafica en el mismo sistema f y f e) Calcula f 1 o f y f f o Criterio de la recta horizontal Como ya vimos, no todas las funciones tienen inversa. Además de analizar la biyectividad, se puede utilizar un método que se basa en el gráfico para saber si una función tiene o no tiene inversa. Uno de los métodos consiste en trazar una recta imaginaria paralela al eje y moverla de arriba a abajo. Si intersecta a la función en dos o más puntos, entonces la función NO tiene inversa. Determina, a partir del gráfico, cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. a) b) c) d)

45 44 MATEMÁTICA 6 TO AÑO UNIDAD N 4 FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA En esta unidad vamos a aprender: Definición de función eponencial Características de la función eponencial Gráfica de la función eponencial Definición de función logarítmica Propiedades de logaritmos Gráfica de la función logarítmica Ecuaciones

46 MATEMÁTICA 6 TO AÑO FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición: Una función eponencial es una función : donde a 0, a 1, k 0. f k a, f tal que En particular, si k=1, obtenemos la función eponencial de la forma f a. Ejemplo: En la figura se ve el trazado de la gráfica de y. En los gráficos siguientes se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a. Observa que las gráficas de y a y de 1 y a son simétricas respecto del eje OY. a

47 46 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Características de la función eponencial de la forma f a : El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos. Si a>1 la función es creciente (es decir, al aumentar el valor de, la función crece) y si 0<a<1 es decreciente (la función decrece cuando se aumenta el valor de ). Corta al eje OY en (0,1). El eje OX es asíntota (se acerca continuamente a la recta, sin llegar a intersecarla). La función es inyectiva, esto es si a m n a entonces m n codominio a, la función también es suryectiva, o sea, es biyectiva. y a es simétrica de y con respecto al eje y. a 1. Y si se restringe el En las gráficas que siguen se puede ver como al multiplicar por una constante y k a el punto de corte con el eje OY es (0,k). Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades y la asíntota horizontal pasa a ser y b. Observación: Un caso especial de la función eponencial es aquella cuya base es el número irracional e, , esto es: y e. Esta función se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL.

48 MATEMÁTICA 6 TO AÑO FUNCIÓN LOGARÍTMICA Como vimos, la función eponencial definida como una función biyectiva, y entonces, tiene inversa: f : / f a ( a 0, a 1) es Definición: La función inversa de la función eponencial, 1 f f 1 : definida por log a, con a0, a 1, se denomina función logarítmica de base a, donde y log a si y sólo si y a. Ejemplo: En esta gráfica vemos representadas a las funciones g log siendo f y g f 1. Como se puede observar, las gráficas resultan simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante Características de la función logarítmica El dominio son los reales positivos (o sea, no está definido el logaritmo para números negativos ni para el cero) y el recorrido (la imagen) son todos los reales. Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente. Corta al eje OX en (1,0). El eje OY es asíntota. La función es inyectiva. Observaciones: i. Si la base es a 10, se le llama logaritmo decimal y escribimos log log. 10 ii. Si la base es a e, se epresa log o logaritmo neperiano. iii. ln e ln y e e ln y es llamado logaritmo natural

49 48 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 4.. Propiedades de los logaritmos Logaritmo del producto: Logaritmo del cociente: log z log log z a a a log : z log log z a a a n Logaritmo de una potencia: log n log a 0 En cualquier base: log a 1 0 ya que a 1 y log a a 1 ya que 1 a a logb Cambio de base: loga log a b a 4.3 ECUACIONES Resolver una ecuación, tanto eponencial como logarítmica, es encontrar una de las componentes de un punto perteneciente a la gráfica de la función, conociendo la otra componente. Veremos esto más claramente con ejemplos. Ejemplo 1: Dada y f ( ) 3, determinar para el cual 1 f( ). 7 Solución: 1 Debemos entonces encontrar tal que Aplicamos logaritmo en ambos miembros: log3 log 7 Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos: log 3 log1 log 7 log1 log 7 log log 3 log 3 3 log 3 log 3 3

50 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 49 Ejemplo : Determinar el valor de que satisface la siguiente igualdad: log ( 3) log ( 3) Solución: Primero aplicamos la propiedad del producto: log ( 3) log ( 3) log ( 3) ( 3) Y por definición de logaritmo, ( 3) ( 3) log ( 3) ( 3) 3 si y sólo si Luego, ó 15 Ahora verifiquemos los resultados: log (15 3) log (15 3) 6 6 log 18 log log 181 log 16 3 log ( 15 3) log ( 15 3) 6 6 log 1 log Pero los logaritmos de números negativos no están definidos. Por lo tanto, la solución es 15.

51 50 MATEMÁTICA 6 TO AÑO GUÍA PRÁCTICA N o 4 1. Representa gráficamente y estudia (dominio, imagen, asíntota, intersección con el eje Y, crecimiento o decrecimiento) las funciones: a) f 4 b) f 3 1 c) f 3 d) f 1 5. Indica si el gráfico corresponde a una función con crecimiento eponencial o con decrecimiento. Escribe la función. a) b) 3. Dadas las funciones a. Graficarlas.

52 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 51 b. Analizar para cada caso: Dominio, imagen e intervalos de crecimiento. 4. Siendo f gráfica sea, comparada con la de, obtener la ecuación de una función eponencial g cuya f, simétrica respecto del eje de ordenadas. 5. Representa gráficamente en un mismo sistema de coordenadas y determina el dominio e imagen para cada una de las siguientes funciones: a) f 33 c) f b) f 3 3 d) f e 6. Representa gráficamente en un mismo sistema de coordenadas las funciones f e, f e, f e y f e. 7. Representa y estudia las funciones (Dominio, Imagen, Asíntota, Corte OX, Crecimiento) f log a) 3 f log 1 b) 3 8. Calcula en cada caso aplicando la definición de logaritmo: 1 6 a) log6 e) log181 b) log 4 f) log381 c) log515 g) log d) log3 h) log 1 9. Sabiendo que log 0, calcula sin ayuda de la calculadora: a) log 40 b) log1,6 c) log0,15

53 5 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 10. Con la calculadora halla los siguientes logaritmos: a) log 3,71 b) log3 5678,34561 c) log5 0,37906 d) log7 0, Determina la función inversa en cada caso y grafica ambas funciones en un mismo sistema a) f 3 f log b) 5 1. Calcula el número: a) cuyo logaritmo en base 6 es 3. b) cuyo logaritmo en base 4 es -3. c) cuyo logaritmo en base 10 es. d) cuyo logaritmo en base 1/ es -3. e) cuyo logaritmo en base 1/5 es. 13. En qué base? a) el logaritmo de 0,001 es -3. b) el logaritmo de 43 es 3. c) el logaritmo de 8 es 1. d) el logaritmo de 1/81 es -4. e) el logaritmo de 49 es. 14. Sabiendo que el log 0, y log3 0,4771, calcula: a) log16 b) log51 c) log d) log 4 e) log7

54 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Resuelve las ecuaciones eponenciales: a) b) c) d) e) Calcula el valor de : a) 7 5 b) 5 7 c),13 4,5 17. Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones: a) log 3 log 4 0 b) log log 16 c) log log 10 3 d) 5log log 3log log Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales: a) b) c) e e 6 0 d) 0

55 54 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 19. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: log 9 0 a) 7 b) 5log log c) log 5 log d) log 1 log 0. Lo dado en forma eponencial, epresarlo en forma logarítmica y recíprocamente: 1. Epresar los siguientes logaritmos en función de logaritmos decimales (es decir, aplicar la propiedad de cambio de base):

56 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 55 UNIDAD N 5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En esta unidad vamos a aprender: Sistema seagesimal y circular Circunferencia trigonométrica Funciones trigonométricas: Definición Funciones trigonométricas: Gráficas Relaciones trigonométricas inversas Identidades trigonométricas Resolución de triángulos

57 56 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 5.1 ANGULOS Y ARCOS ORIENTADOS Sea un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen o, al considerar las rotaciones del semieje o con centro o; surgen dos posibilidades: SENTIDO POSITIVO (Contrario al de las agujas del reloj); llamado también sentido antihorario SENTIDO NEGATIVO (Opuesto al anterior); llamado sentido horario Observar que en ambos casos coincide el lado inicial y terminal del ángulo de amplitud + 30 con el de 330. Al igual que con los ángulos, el sentido de rotación orienta a los arcos (generados por cada punto de o ecepto el origen) Si P es un punto cualquiera de o (distinto de o) la razón entre la longitud del arco ' PP y la del segmento OP es siempre la misma, para toda posición de P. Así se origina el sistema circular o radial de medición de ángulos, en el que se adjudica a cada ángulo la medida del correspondiente arco de circunferencia con respecto al radio de la misma.

58 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 57 La medida de un ángulo es el número real que se obtiene de la razón entre la longitud del arco correspondiente y la longitud del radio. El arco de un radian (unidad del sistema circular), es el arco cuya longitud coincide con el radio de la circunferencia. Para el caso particular en que el arco es una circunferencia, la razón entre su longitud y la de su radio (medidas con respecto a la misma unidad), es el número irracional:, o sea: long. de circunsferencia.. radio radio radio con lo que la longitud de la circunferencia, epresada en radianes es: Como el ángulo de 1 giro en sistema seagesimal mide 360 y en sistema radial mide ; es evidente la relación eistente entre ambos sistemas que permitirá el pasaje de uno a otro y viceversa. EJEMPLOS: 1) Epresa en sistema circular ˆ 10315' ,15 ) Epresa en sistema seagesimal..103, , ˆ ) Epresa en sistema seagesimal 360 5, ,3 303,66

59 58 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Pero ,66 60'.0,66 40,0' 1 Y ,0 60".0,0' 1." 1' Finalmente: '1." 5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 5..1 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA: Sea el número real m la longitud del arco considerado a partir del punto (1,0) tomado como origen. Al etremo de dicho arco lo llamamos P, un punto de coordenadas (,y), centro (0;0) y radio 1. Si P recorre la circunferencia en sentido antihorario (positivo) el arco descripto será positivo, en caso contrario será negativo. A cada arco m le corresponde un único punto P(,y), pero a cada punto P(,y) le corresponde infinitos arcos de la forma m k, con k Z. Ejemplo: Al número m le corresponde Q (0,1). Pero a Q (0,1) le corresponden 5 3 m ; m e infinitos valores que difieren en k, k Z. m ;

60 MATEMÁTICA 6 TO AÑO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: DEFINICIONES - P es un punto cualquiera distinto del (0,0). med OP radio vector =abscisa - y=ordenada Para un ángulo ˆ las definiciones de las funciones trigonométricas referidas a un sistema de coordenadas, son: y Sen Cosec y 0 y cos sec 0 y tag 0 cotg y 0 y En particular las coordenadas del P(,y) en la circunferencia trigonométrica son cos, sen o sea : cos ; y sen Sabemos que 1 y según las definiciones: y y sen y sen 1 cos cos 1

61 60 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Tanto la abscisa como la ordenada pueden tomar valores reales en el intervalo 1,1. o sea, cualquiera sea, siempre se cumple: 1 sen 1 1 cos SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Los signos de las funciones trigonométricas dependen de la ubicación del P(,y), que pertenece al lado terminal del ángulo cuyo lado inicial es el semieje o y su centro (0,0) Entonces: Si 0 90 todas las funciones trigonométricas de dicho ángulo son positivas. 0, y 0, 0 Si son positivas el seno y la cosecante y negativas todas las demás funciones 0, y 0, 0 Si son positivas la tangente y cotangente y negativas las demás funciones 0, y 0, 0 Si son positivas el coseno y la secante y negativas las demás funciones 0, y 0, 0

62 MATEMÁTICA 6 TO AÑO GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS I) FUNCIÓN SENO Todo número real determina un punto P sobre la circunferencia trigonométrica. Definimos la función seno asignando al número real la ordenada del punto P. Sobre una circunferencia de radio unitario ubicamos los números reales:,,, etc. y construimos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales (ver el gráfico). Sobre el eje de abscisas se trasladan los valores de los arcos considerados en la circunferencia, luego se trasladan los segmentos y, correspondientes a las ordenadas de cada punto P, al sistema de coordenadas, paralelamente a sí mismos. La gráfica anterior nos muestra una onda de sinusoide, que se repite para valores de, como también para los valores de < 0. Por lo tanto, para todo el número real sen, está definido y es único. Luego: El dominio es: Dom sen La imagen es: Im( sen ) 1,1

63 6 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Ceros o raíces de la función seno Ceros de sen / k., k Periodicidad Una función f es periódica si eiste un número real T 0 tal que para Dom f se cumple que f f T ; el mínimo valor de T para el cual se cumple la igualdad se llama período T. En el caso de la función seno, En general: sen sen k ; k Z. T pues: sen sen ; sen sen 4 ; etc. II) FUNCION COSENO: El análisis de esa función se hace en forma análoga a la descripta para la anterior, pero, teniendo en cuenta que definimos la función coseno asignando al número real, que determina un punto P sobre la circunferencia trigonométrica, la abscisa del punto P. Si etendemos la gráfica, para valores de y para valores de 0, es: Vemos: Domcos Imcos 1,1

64 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 63 Ceros o raíces de la función coseno Ceros de cos / k, k Periodicidad: Análogamente a la de la función seno. III) FUNCION TANGENTE: Si consideramos el punto a, de intersección entre la recta vertical de ecuación = 1, con el lado terminal del ángulo central, por semejanza de triángulos entre los triángulos rectángulos op y oba, es tg y ab ob ab ab 1 es decir la tag med ab Gráficamente, para valores de 0

65 64 MATEMÁTICA 6 TO AÑO Si etendemos la curva a todo el dominio de definición, es: Ceros o raíces de la función tangente Ceros de tg / k., k Z Periodicidad: T = pues tg tg 5..5 RELACIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS A la relación inversa de f tal que f sen se la llama arco seno de y se la simboliza 1 arc sen sen. Ejemplo: 1 1 Si sen arc sen 6 6 Como 6 no es el único número real al que le corresponde por seno el valor 1 se escribe: 1 / arc sen ; 0 6

66 MATEMÁTICA 6 TO AÑO RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO ANGULO A. Relación Pitagórica : sen cos 1 B. tg sen cos 0 cos C. cos cotg sen 0 sen D. 1 tg, ctg 0 ctg 1 E. sec cos 0 cos F. 1 csec sen 0 sen 5..7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor de los ángulos que intervengan en ella. A partir de las definiciones de las razones trigonométricas, de las relaciones fundamentales y de las operaciones elementales, debemos lograr una identidad algebraica evidente. EJEMPLO: Verifica que para todo se satisface: cos sen sen cos cos sen cos sen sen sen cos cos 1 sen cos 1 sen cos 1 sen cos 1 sen cos 1=1

67 66 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 5.3 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS En Geometría, el criterio para asegurar la congruencia de dos triángulos es suficiente que tengan: los tres lados, dos lados y el ángulo comprendido, dos ángulos y el lado comprendido respectivamente congruentes). Esto implica que teniendo por datos las medidas de tres elementos de un triángulo (convenientemente elegidos), es factible determinar las medidas de los tres elementos restantes. El proceso por el cual se calcula estas medidas desconocidas se denomina: "resolución de triángulos RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. La medida de uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es siempre conocida: 90. Para poder resolver un triángulo rectángulo es suficiente entonces dar como datos las medidas de dos elementos entre los que figure al menos un lado. (Dos catetos, hipotenusa y un cateto, un cateto y un ángulo agudo, hipotenusa y un ángulo agudo). Se utilizan los siguientes recursos: *En un triángulo rectángulo, sus ángulos son complementarios. *Teorema de Pitágoras *Definiciones de seno coseno y tangente de un ángulo agudo. Para determinar una incógnita es necesario analizar cuál es la relación que la vincula con los datos. Como ejemplo, trabajaremos con el siguiente problema: Desde el etremo superior de un poste, un tensor lo sujeta al suelo, formando un ángulo de 50 con el mismo. Sabiendo que el tensor está fijado a tierra a 1 metros de la base del poste, determina la altura del poste y la longitud del tensor. Qué es lo que sabemos?, qué es lo que tenemos que determinar? Recurrimos a una figura, para orientarnos: Datos: - = ángulo tpl = 50 - L = cateto adyacente a = 1m Incógnitas: - P = cateto opuesto a - T = hipotenusa

68 MATEMÁTICA 6 TO AÑO 67 Qué relación podemos utilizar? 1) Nos tenemos que preguntar Qué función trigonométrica del ángulo vincula al cateto opuesto P con el cateto adyacente L, es decir cuál es la función trigonométrica que relaciona los dos datos con la incógnita P?. cateto adyacente tg hipotenusa P = L. tg P = 1m. tg 50 P = 1m. 1, P = 14,30 m tg P L ) Análogamente, la función trigonométrica que relaciona los dos datos con la incógnita T es: cos cateto adyacente hipotenusa cos L T T = L cos T = 1m cos50 T 1m 18,67m 0,6479 Rta: La altura del poste es apro. de 14,30m y la longitud del tensor es apro. de 18,67m.

69 68 MATEMÁTICA 6 TO AÑO GUÍA PRÁCTICA N o 5 1. Epresa en sistema circular cada uno de los siguientes ángulos: 1.1) ˆ ) ˆ 30045' 1.) ) ˆ 455' 10 " 1.3) ˆ 15015' 1.6) ˆ 1015' 10". Epresa en sistema seagesimal:.1) ˆ 60.4) ˆ 1, 5.) ˆ 1.5) ˆ 4 5.3) ˆ.6) ˆ Califica de verdadero o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica: 3.1) 1560 C ) 70C ) 610C ) 4815' C 4815' 3.3) 440C ) ' C ' 4. Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica: 7 4.1) y son congruentes 4.) C k., k Z ) k, k N ) y pertenecen a 4 C 5. Calcula la longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ángulo central de 7 y cuyo radio mide 8cm. 6. Calcula la longitud del radio de una circunferencia tal que un arco de 60 tiene una longitud de 6cm. 7. Si la suma de ángulos es 1, radianes y su diferencia es Cuál es la medida de cada uno de ellos?