Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3

Transcripción

1 EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0 6y y y La ordenada en el origen es n. Puntos de corte con los ejes: Eje Y 0, Eje X y 0 6y 0 0 La pendiente es m. 6 Luego, 0 EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y b) y c) y a Hacemos una tabla de valores: 0 y 0 b) y Es una recta paralela al eje X que pasa por 0,. c) y Pasa por el 0, 0. Basta dar otro punto para representarla: Si y

2 EJERCICIO : Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas: a) y b) y c) + y = d) y + = 0 Calculamos la pendiente de cada una de ellas: y y ma y m b 0 y y y m c y 0 y y m d Son paralelas la a y la d por tener la misma pendiente. Representamos ambas haciendo una tabla de valores: a y d y EJERCICIO : Representa la siguiente recta tomando la escala adecuada en cada eje: y Observando que la pendiente de la recta es m, lo más adecuado es tomar la escala en el eje X de en. Hagamos una tabla de valores para ver cuál es la escala más adecuada en el eje Y: En el eje Y, tomamos la escala de en. EJERCICIO : Representa las rectas siguientes: 7 a) y = -, + b) y c) y = - Qué relación hay entre las rectas a y c? a Hacemos una tabla de valores:

3 b Es una recta paralela al eje X que pasa por 0,. 7 c y a y c son rectas paralelas, puesto que tienen la misma pendiente, m,. EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, ) y B(, ). Cuál es la ordenada en el origen? Empezamos hallando su pendiente: m Ecuación de la recta que pasa por A(, ) y cuya pendiente es m y +.( ) y La ordenada en el origen es n. EJERCICIO 7 : Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientes rectas y halla la ecuación de cada una de ellas: Para calcular la ordenada en el origen, basta con observar el punto de corte de cada una de las rectas con el eje Y: r n r n r n Calculamos la pendiente de cada una de ellas: r m 0 0 r pasa por 0, y, 0 m 0 0 r pasa por 0, y, 0 m 0 La ecuación de cada recta será: r y r y r y

4 EJERCICIO 8 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de etremos A(, ) y B(, ) y es paralela a la recta 7 y 0. Empezamos calculando el punto medio del segmento de etremos A(, ) y B(, ): y Punto medio: P, La recta tiene la misma pendiente que 7 y + 0 por ser paralelas: 7 7 y 7 y m Ecuación de la recta pedida: y Ecuación en la forma punto-pendiente y y EJERCICIO 9 : Indica cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,-) y B,0 Escribe su ecuación y la de la paralela a ella que pasa por el origen de coordenadas. Pendiente: m Observamos que los puntos que nos dan son los puntos de corte con los ejes; concretamente, de A(0, ) se obtiene que n. Así, la ecuación de la recta es: y La recta paralela a la anterior que pasa por (0, 0) será: y EJERCICIO 0 : La gráfica de una función lineal determina con los ejes coordenados el triángulo rectángulo que se vé en la figura. Halla la epresión analítica de dicha función. Como corta al eje Y en (0, ), entonces, n. Pendiente: m La ecuación de la recta es: y

5 Parábolas EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes parábolas a) y b) y c) y d) y 7 e) y a) b Vértice: y El vértice es V,. a Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0, Con el eje X y Puntos de corte con el eje X:, 0 y, 0 Puntos próimos al vértice: Representación X - 0 Y / -/ - -/ / b) Puntos de corte con los ejes: Con el eje X y Hallamos su vértice: y V, , 0, que coincide, lógicamente, con el vértice. Con eje Y 0 y 0, Puntos próimos al vértice: Representación X 6 Y / 0 / c) Calculamos su vértice: y V, Puntos de corte con los ejes:

6 Con eje Y 0 y 0, Con eje X y 0 0 Los puntos de corte con el eje X son:, 0 y, 0 Puntos próimos al vértice: Representación: X - 0 / Y /8 - d) 7 Hallamos el vértice: y V, 0 Puntos de corte con los ejes: Con eje Y 0 y 0 0, 0 0 0, 0 Con eje X y , 0 Tabla de valores para obtener puntos próimos al vértice: X 0 / Y 0 0 / 0-00 Representación: e) 0, 0 Puntos de corte con los ejes: Con eje Y 0 y 0, Con eje X el único punto de corte será el vértice:, 0 Hallamos su vértice: y V Puntos próimos al vértice: Representación: X - 0 Y

7 EJERCICIO : Halla las epresiones analíticas de estas parábolas: a) b) c) a) La epresión analítica de ambas parábolas será de la forma y a b c, donde a, b, c son números reales que tenemos que calcular a partir de las gráficas. Ecuación de la parábola I: Punto de corte con el eje Y: 0, 6 c 6 Vértice: V,, que además es un punto de la parábola. b b 6a Así: a a b 6 9a 8a 6 9 9a a b 6 La ecuación de la parábola I es: y 6 6 Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, c b b a V Vértice, 0 a a a : 0 a b a b a a a b La epresión analítica de la parábola II es: y b) Sus ecuaciones serán de la forma y a b c, a, b, c, números reales. Ecuación de la parábola I: Corta al eje Y en el punto 0,, luego: c V El vértice es,, que así mismo es un punto de la parábola. Luego de aquí ecuaciones cuyas incógnitas son a y b: b b 6a a 9a 8a a b 9a b 9a 8a 0 9 8a a b La ecuación de la parábola I es: y obtendremos dos

8 Ecuación de la parábola II: Corta al eje Y en 0, c b V, b aa a a a a b a b a b La ecuación de la parábola II es: y c) Observamos que ambas son parábolas, luego sus ecuaciones serán de la forma y a b c, donde a, b, c son números reales. Ecuación de la parábola I: c porque pasa por 0,. Vértice V, 0, de donde sacamos dos ecuaciones: b b 8a a 6a a 6a a 0 6a b b La ecuación de la parábola I es: y Ecuación de la parábola II: c porque pasa por 0,. b V, b a a a a b a b a b 6 La ecuación de la parábola II es: y EJERCICIO : Completa las epresiones de estas dos gráficas: a y b y Parábola a Punto de corte con el eje Y: 0, 0 c 0 V, b a a b a Ecuación de a: y 0 Parábola b c la ecuación será de la forma y a. Un punto de la parábola es el,, así: a a La ecuación buscada es: y

9 EJERCICIO : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones: a y b y 8 c y d y 8 7 a IV b I c II d III EJERCICIO : Relaciona cada una de las siguientes epresiones con su gráfica correspondiente: a y 8 b y 0 c y d y a I b III c IV d II EJERCICIO 6 : Relaciona cada gráfica con una de las siguientes epresiones: a y b y c y d y a III b I c II d IV

10 EJERCICIO 7 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones: a y b) y c) y d) y = 7 a III b II c IV d I EJERCICIO 8 : Relaciona cada una de las siguientes epresiones con su gráfica correspondiente: a y b y c y d) y = a I b IV c II d III Rectas y parábolas EJERCICIO 9 : Resuelve gráfica y analíticamente los sistemas siguientes: y y y 8 a) b) c) y y 0 y 0 a) Resolución analítica: Despejamos y de cada ecuación e igualamos: Si y Si y 0 Las soluciones son:, y ;, y 0 Resolución gráfica Representamos la parábola y : b Vértice: a y Cortes con los ejes: Eje Y 0 y 0, V,

11 Eje X y 0 0, 0 y, 0 Valores en torno al vértice: X Y Representamos la recta y : 0 y 0 Observamos en la gráfica que la parábola y la recta se cortan en, y, 0. b) Resolución analítica : Despejamos y de cada ecuación e igualamos: y y El sistema no tiene solución. 6 6 Resolución gráfica Representamos la parábola y : b Vértice: y 8 V, a Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0, Con el eje X y Puntos próimos al vértice: X 0 Y La parábola no corta al eje X. Representamos la recta y y.

12 0 y 0 Se observa en la gráfica que la parábola y la recta no se cortan. c) Resolución analítica : Se despeja y de cada ecuación y se igualan: y 8 y La solución del sistema es:, Resolución gráfica Se representa la parábola y 8 : b 8 Vértice: a V, y 8 6 Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y 0 y 0, Con el eje X y Puntos próimos al vértice: X 0 Y No corta al eje X. Por otro lado, se representa la recta y, constante. y Hay un único punto de corte entre la recta y la parábola, que corresponde al punto,.

13 Funciones a trozos EJERCICIO 0 : Representa las funciones cuyas epresiones analíticas son: si - si 0 a) y si - b) y si 0 c) y - 0 si - 6 si - 7 si si - d) y - si e) y si - si 6 si si - si - f) y si - g) y ( ) si - si si a) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: X Y si si - si 6 Representamos los tres trozos en los mismos ejes: b) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y c) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y

14 d) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y e) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y f) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X / 0 + Y - 0 -/ 0 g) Calculamos la tabla de valores en los tres trozos: Representamos los tres trozos en los mismos ejes: X Y

15 EJERCICIO : Halla las epresiones analíticas de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: a) b) c) d) a) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas que forman la función: Para <, la recta es y =. Para, la recta pasa por (, ) y (, ): m y y y Para >, la recta es y. si Así pues, la epresión analítica de esa función es: y si si b) De cada tramo de la recta, buscamos la ecuación: Para < 0, la recta pasa por (, 0) y (, ): m y Si 0, la recta pasa por (0, ) y (, ): m y y Para >, la recta es y. si 0 La epresión analítica de la función es: y si 0 si c) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de recta que forman la función: Para <, la recta pasa por los puntos (, ) y (, ): m y Para <, la recta es y. Para, la recta pasa por (, ) y (, 0): m y y si La epresión analítica pedida es: y si si d) Buscamos la ecuación de cada uno de los tramos de rectas observando que hay dos que son constantes: Si <, la recta es y. Si, la recta es y. Si, la recta pasa por los puntos (, ) y (0, ): m y y si La epresión analítica de la función es: y si si

16 EJERCICIO : Observa la gráfica de la función f, completa la siguiente tabla de valores y halla su epresión analítica: Completamos la tabla observando la gráfica: 0 y 0 0 Para hallar la epresión analítica de la función f, buscamos la ecuación de cada tramo de recta: Si <, la recta pasa por (, ) y, 0 : m y y 0 Si, la recta pasa por (0, 0) y (, ): m y La epresión analítica de la función f es: 0 si y si Funciones de proporcionalidad inversa EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: 7 a) y b) y c) y a) Dominio de definición: R {-} Tabla de valores X Y Las asíntotas son la recta y 0 y la recta. b) Dominio de definición: R {} X Y - -, , - Las asíntotas son las rectas e y.

17 c) 7 y y Dominio de definición: R {} X Y Las asíntotas son las rectas, y. Funciones radicales EJERCICIO : Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = b) y = c) y = a) Dominio de definición: (-,0] Hacemos una tabla de valores: X Y - - -, -0,7 - b) Dominio de definición:, Hacemos una tabla de valores: X / + Y 0,,,8 + c) Dominio de definición:, Tabla de valores: X -/ - / + Y Funciones radicales y de proporcionalidad inversa EJERCICIO : Resuelve gráficamente el siguiente sistema: y y Representamos gráficamente cada una de las funciones: y Es una función radical.

18 Dominio de definición:, Tabla de valores: X 6 + Y y Es una función de proporcionalidad inversa. Dominio de definición: Tabla de valores: X Y Las asíntotas son las rectas, y 0. En la gráfica se observa que el sistema tiene una solución: y EJERCICIO 6 a) De la siguiente hipérbola, di cuál es su dominio, cuáles son sus asíntotas y represéntala: y = b) Halla el valor de k para que el dominio de la función y = k sea [,+). Haz la representación gráfica. a Dominio de definición: 0 Tabla de valores en puntos próimos a 0: X Y - -, , - Luego las asíntotas son las rectas 0, y. b Para que el dominio de definición sean los valores de, se necesita tomar k así, 0. Hacemos una tabla de valores X 8 + Y +

19 Eponenciales y logarítmicas EJERCICIO 7 : Representa las siguientes funciones haciendo en cada caso una tabla de valores: a y 0, b y log 6 0, a) y equivale a y X Y 0 / / + b Se observa en la gráfica que es una función creciente, cosa que ya sabíamos puesto que a. X /6 / y EJERCICIO 8 a Pon en forma eponencial 0, y representa la función y 0,. b Comprueba si pertenecen a la gráfica de y log los puntos,,,, (,) 0, 0, a) Representar la función y 0, equivale a representar la función y. Hacemos una tabla de valores: X Y 0 / / +,, (,-) y

20 b El dominio de definición de y log es 0,, luego el punto, no pertenece al dominio por ser 0. El resto de puntos tienen abscisa positiva, luego pueden pertenecer a la gráfica de la función:, log Pertenecen a la gráfica., log, log No pertenece a la gráfica., Pertenece a la gráfica. log Los puntos que pertenecen a la gráfica son:,,, y, EJERCICIO 9 a Halla el valor de k y a para que la gráfica de y ka pase por los puntos, 6 y,. Indica razonadamente si la función obtenida será creciente o decreciente, sin representarla. b Representa la función y log 7. a) y ka pasa por los puntos, 6 y, : 6 ka ka a a a 6 k k 6a k 6 ka ka 6 8 a k La función es y, función decreciente por ser a. b X /9 / y EJERCICIO 0 : Escribe el dominio de la función y y represéntala gráficamente. Escribe la epresión analítica y representa la función inversa de y. y es una función eponencial su dominio son todos los números reales. Hagamos una tabla de valores para representarla: X Y 0 /6 ¼ 6 +

21 La epresión analítica de la función inversa de y es y log, cuya tabla de valores será: X 0 /6 ¼ 6 + Y EJERCICIO a Construye la gráfica de y 0,7 y, apartir de ella, representa la función y 0,7. b Indica cuál es el dominio de la función y log y escribe tres puntos que pertenezcan a la gráfica. a y 0,7 : función eponencial de base a 0,7, luego decrece en su dominio, que es. Hagamos una tabla de valores: X Y +,0, 0,7 0,9 0 La función y 0,7 se obtiene desplazando dos unidades hacia arriba la gráfica anterior, o lo que es igual, sumando unidades a los valores obtenidos anteriormente para y. b y log 0 dominio de definición: 0, 0, log 0 00, log , log EJERCICIO : Calcula, usando la definición de logaritmo, y sin calculadora: a) log 8 b) log 0,00 c) log d) log e) log f) log 6 g) log 7 9 h) log i) log 0, 008 j) log k) log 0, l) log 6 m) log 0, 0 n) log 6 ñ) log 0 a log 8 log log log b log 0,00 log 0 log 0 log c log log log log d) log log log log a log 0 e) b log log log f log log log

22 g) a log log log log i) c log0,008 log log log log 000 j) a log log log log log k) b log0, log log log m) a log 0,0 log log 0 log0 00 h) b log log 9 9 log 9 l)c log 6 log 8 8 log 8 n) b log6 log6 log6 6 log 6 6 ñ) c log log log 0 6 EJERCICIO : Resuelve estas ecuaciones: a) b) log ( ) c) 6 e) 6 0, d) log ( ) f) log ( ) g) - = 9 +6 h) log ( -+8) = 8 i) j) log ( ) = - a Epresamos como potencia de el segundo miembro e igualamos los eponentes: b Aplicamos la definición de logaritmo: log Comprobación de la solución log 6 log 7 log log Solución válida c Epresamos el segundo miembro como potencia de. A continuación, igualamos eponentes: d log 0, aplicando la definición de logaritmo, equivale a Comprobación de las soluciones Si log log 0 es solución. Si log log log 0 también es solución. e) Epresamos el primer miembro como potencia de 7 e igualamos eponentes: f Aplicando la definición de logaritmo, se obtiene: log

23 Comprobación de la solución: log log log log válida La solución es: g Epresamos como potencia de el segundo miembro e igualamos eponentes: h log 8 8 hemos aplicado la definición de logaritmo 8 = 6 9 = 0 Comprobación de las soluciones Si log log log log es solución. Si log 8 log log log es solución. i) a equivale a 0 Igualando eponentes: 0 0 Luego 0 y son las soluciones. j log equivale a 0 hemos aplicado la definición de logaritmo log log log 0 log 0 Comprobación de la solución 0 0 La solución es válida. 0 Problemas EJERCICIO : Colocamos en el banco 000 al de interés anual. a Escribe la función que epresa el capital acumulado en función del tiempo, t, que permanezca el dinero en el banco. b Cuánto tardará el dinero en duplicarse? a C capital acumulado de interés anual significa que el capital que hay a principios de año se multiplica por,0 al final. La t epresión que da el capital acumulado al cabo de t años es: C 000,0 t 0 b Nos piden calcular t para que el capital se duplique: 000,0 t 0 000,0 t t años Tardará en duplicarse, aproimadamente, años. EJERCICIO : Se cerca una finca rectangular de área A con m de alambrada, sin que sobre ni falte nada. a Epresa el área de la finca en función de uno de sus lados b Representa gráficamente la epresión anterior. c Cuál es el dominio de definición? d Para qué valor de los lados obtenemos la finca de área máima? Las dimensiones de la finca son,. a A área de la finca La epresión analítica buscada es A A, que es una función cuadrática. b Será una parábola abierta hacia abajo: Vértice: y 0, V 0,; 0,

24 Puntos de corte con los ejes: 0 Eje X y , 0 y, 0 Eje Y 0 y 0 0, 0 Tabla de valores: X 0 0, 0 Y , 90 0 c Por ser una longitud y A un área, la gráfica corresponde solo al primer cuadrante. Dominio de definición: 0, d El área es máima en el vértice, y mide 0, m. Se obtiene tomando como lados 0, m y 0, = 0, m es decir, el área es máima si la finca es cuadrada. EJERCICIO 6 : Epresa el lado de un cuadrado en función de su área. Qué tipo de función obtienes? Cuál es su dominio? Represéntala gráficamente. A área del cuadrado A l l lado del cuadrado l A La función obtenida es una función radical. Dominio de definición 0, Para representarla gráficamente, hacemos una tabla de valores: X Y 0 + EJERCICIO 7 : Una central nuclear tiene kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada años. a Qué cantidad de esa sustancia tendremos al cabo de 0 años? b Cuál es la función que da la cantidad de sustancia radiactiva según los años transcurridos, suponiendo que el ritmo de desintegración se mantiene? a Al cabo de años habrá 0, kg de sustancia radiactiva, luego al cabo de 0 años habrá 0, kg 0 g de sustancia radiactiva. b Llamamos C cantidad de sustancia radiactiva kg t tiempo años 0, La función que describe el problema es: Ct Ct EJERCICIO 8 : María se quiere comprar una parcela rectangular que tenga como área 00 m. a Escribe la función que da el ancho de la finca en función del largo. b Haz la gráfica correspondiente. t t a Llamamos largo de la finca y ancho de la finca

25 El área de la finca será y = 00 y 00 b Puesto que e y son longitudes, ambas han de ser positivas, luego el dominio de definición será 0, Hacemos una tabla de valores para representarla: X Y Recopilación EJERCICIO 9 : a Representa esta función: y 0 b Asocia a cada una de las gráficas, una de las siguientes epresiones. y. y. y. y a y 0 Hacemos una tabla de valores: b II IV III I EJERCICIO 0 : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A, y B,, y haz su gráfica. b Halla la ecuación de la siguiente parábola: 7 7 a Calculamos el valor de la pendiente: m 6 6

26 7 7 y y La representación gráfica de la recta y es: 6 6 La ecuación será de la forma: b Por ser una parábola, su ecuación será de la forma: y a b c Por ser el punto de corte con el eje Y el 0, 0 c 0 Para calcular a y b, observamos que la parábola pasa por los puntos, 0 y, 0: 0 a b 0 a b 0 a b 0 a b 7a 7 a Luego b b Por tanto, la ecuación de la parábola es: y 0 EJERCICIO : a Halla la ecuación de la recta representada: b Representa esta parábola: y 8 9 a Por ser una recta, su ecuación será de la forma: y m n Como pasa por 0, n Además, (, ) es un punto de la gráfica m m La ecuación buscada es: y b Calculamos el vértice que tiene la parábola y 8 9 : b 8 a y 6 9 V, Puntos de corte con los ejes: Eje Y 0 y 9 0, 9 Eje X y La parábola corta al eje X en 9, 0 y, 0. Tabla de valores en torno al vértice: X 6 Y

27 EJERCICIO : a Calcula la ecuación de la recta que pasa por (,) y cuya pendiente es m = /. Represéntala gráficamente. b Asocia a cada gráfica una de las siguientes epresiones:. y. y. y. y a Ecuación punto-pendiente: y y y b II III IV I EJERCICIO : a Halla la ecuación de la recta dada por la siguiente gráfica: b Representa la parábola siguiente: y 8 a La ecuación de la recta será de la forma: y m n Por ser el punto de corte con el eje Y 0, n Además, la recta pasa por, 0, luego: 0 m m Por tanto, la ecuación es: y b y 8 b 8 Vértice y 6 V, a Puntos de corte con los ejes: Eje Y 0 y 0, Eje X y Los puntos de corte con el eje X son 6, 0 y, 0.

28 Tabla de valores en torno al vértice: X 7 Y EJERCICIO : Asocia cada gráfico con una de estas epresiones: a) y = b) y log ( ) c) y = d) y = a) II b) IV c) III d) I EJERCICIO : Asigna a cada gráfica, la epresión que le corresponde: a) y, b) y log c) y = d) y = - + a) III b) IV c) II d) I EJERCICIO 6 : Relaciona cada gráfica con su epresión correspondiente: a) y = b) y = - c) y log ( ) d) y = 9 a) I b) III c) IV d) II

29 EJERCICIO 7 : Asocia cada gráfica con una de estas epresiones: a) y log b) y,7 c) y = 7 d) y = a) IV b) III c) I d) II EJERCICIO 8 : Asocia cada gráfica con la epresión que le corresponda: a) y 0,8 b) y = - c) y = d) y log 6 ( ) a) III b) I c) II d) IV EJERCICIO 9 : Asocia a cada gráfica la epresión que le corresponde: a) y = + b) y = - + c) y = d y log a I b IV c III d II EJERCICIO 0 : Asocia a cada gráfica una de estas epresiones: a) y = - b) y = c,7 d y log a III b IV c I d II

30 EJERCICIO : Asocia a cada gráfica una de las siguientes epresiones: a y log 7 b) y = c) y d) y = a III b I c IV d II EJERCICIO : Asocia a cada gráfica una de estas epresiones: a) y = + b y c y log d) y = a II b III c I d IV EJERCICIO : Relaciona cada gráfica con la epresión analítica correspondiente: a y, b) y = c y log d) y = 0, a II b I c III d IV