Funciones exponenciales y logarítmicas

Transcripción

1 Funciones eponenciales y logarítmicas El camino El camino partía en dos el bosque de hayas; mientras, el sonido del viento susurrando entre los árboles, y los trinos de algún pájaro que no logró reconocer, se mezclaron con el suave quejido de las ruedas del carro y la acompasada respiración de su padre que, a su lado, dormitaba en el pescante. El niño, Gaspard Monge, se acurrucó contra su padre mientras pensaba en que seguramente el Cielo sería así. Poco tiempo después llegaban a su destino, un pequeño grupo de casas que se agrupaban alrededor de una venta, donde su padre, Jacques, entró dejándole encargado de vigilar el carro. Desde allí Gaspard podía ver cómo su padre discutía con el ventero por el precio del vino que transportaban en los barriles. Tras descargar el vino y cobrar, Jacques anotó las cantidades en un cuaderno que volvió a guardar en el interior de su levita. Gaspard, si esto sigue así nuestros días de penurias habrán acabado. podré estudiar? Es una promesa. No solo podrás estudiar, sino que lo harás al lado de los hijos de los nobles. Con el tiempo, Gaspard Monge llegaría a ser ministro de Francia, e hizo grandes aportaciones matemáticas en el estudio de las curvas. 8

2 SOLUCIONARIO DESCUBRE LA HISTORIA Haz un relato biográfico de la vida de Gaspard Monge. En esta página, del profesor Pascual Lucas del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, se puede encontrar una biografía de Gaspard Monge. En el siglo VIII no era fácil acceder a una educación de calidad. Cómo fue posible que Monge tuviera tal posibilidad? En la misma página anterior se puede encontrar la respuesta a esta pregunta. Repasa brevemente las aportaciones de Gaspard Monge a las matemáticas. En la siguiente página, aparecen biografías de hombres ilustres, entre ellas está la de Gaspard Monge, donde se puede consultar sus aportaciones a las matemáticas. EVALUACIÓN INICIAL Efectúa las siguientes operaciones con potencias. a) -? - :( : - - ) c) 6? :( : ) b) 7?? - d) 6? 8? - 9?? 8-6? 7? 6 a) - : -6 = c)?? -?? =? 6 b)?????? =? d) Transforma en radicales estas potencias. - a) b) - 6??? =? -6 6??? c) d n d) d n a) = c) d n b) - - = = = = - d) d n - - = = Calcula la razón y el octavo término de las siguientes progresiones. = = a),,, 8, b) -7, 9, -,, c), -,, -, d),,, 7, a) r = a 8 = 7 = 8 c) r = - a 8 = - b) r=- a8= d) r = a 8 8 = 8

3 Funciones eponenciales y logarítmicas EJERCICIOS Realiza una tabla de valores y representa las funciones eponenciales. a) y = c) y =e o b) y =e o d) y = (,) a) b) c) d) y =,,7,, y = e o 8 7 9,,,7, y = e o 9,6,6 6,,,,6,6,6 y = (,),6,6,6,, 6,,6 9,6 a) y b) c) y d) y =e o y = y =e o y = (,) Estudia y representa estas funciones. a) y = - b) y = - a) b) - y = - y = - -, 8 - -, , 9 - -, - -, -9, -7,7-8, a) y b) y = - y = - 86

4 SOLUCIONARIO Qué ocurre si a = en una función eponencial? si a <? Si a =, la función eponencial es de la forma y = =. Es una función constante igual a. si a <, la función no está definida. Representa y compara estas funciones. a) y = b) y = 6 c) y = - - y =,, y = 6,8, y =,6, 6 Las tres son estrictamente crecientes y cuanto mayor es la base, más cerrada es la gráfica. Representa las funciones. a) y = - b) y= - - a) b) y = - 8 y = - - 9,7,,77,, a) y b) y = - = - y 87

5 Funciones eponenciales y logarítmicas 6 Estudia y representa las funciones eponenciales. a) y = b) y = Razona si son decrecientes o no. a) - y = =e o 6 -,,6 b) = = e o y,777,,7,6 a) b) y = y = Las dos funciones son decrecientes porque son funciones eponenciales con bases menores que. 7 Dibuja la gráfica de la función y =, y a partir de ella, representa estas funciones eponenciales sin realizar las tablas de valores. a) y = - b) y = + c) y = + d) y = - a) y b) La gráfica de la función y = - se obtiene trasladando la gráfica de la función y = tres unidades hacia la derecha, y la gráfica de la función y = + trasladando y = una unidad hacia la izquierda. y = + y = - c) y d) La gráfica de la función y = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad hacia arriba, y la gráfica de la función y = - trasladando y = una unidad hacia abajo. y = + y = - 88

6 SOLUCIONARIO 8 Representa estas funciones ayudándote de la gráfica de la función y =. a) y = (-) + b) y = (+) - a) La gráfica de la función y = (-) + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad hacia la derecha y tres unidades hacia arriba. y = ( - ) + b) La gráfica de la función y = (+) - se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad hacia la izquierda y cuatro unidades hacia abajo. y = ( + ) - 9 Representa y = - - a partir de y =. y = - - y = - Halla el capital que obtendríamos en los primeros años al invertir, a interés compuesto, un capital de a un rédito del,%., C f =? e + o =? (,) = 6, 89

7 Funciones eponenciales y logarítmicas Calcula, gráficamente, el capital que obtendremos al cabo de años y 6 meses al invertir, a interés compuesto, a un rédito del %. t C f =? e + o =? (,) t El capital, en cada instante, es una función eponencial. t C f =? (,) t,, C f F, t Para conocer cuál es el capital al cabo de años y 6 meses hay que ver en la gráfica el valor correspondiente a =,; que es 6. La siguiente gráfica muestra la evolución de un capital invertido a interés compuesto. Calcula cuál es el capital que hemos invertido y eplica cómo lo haces. C f En la gráfica se observa que se han invertido, que es el valor que le corresponde a t =. 6 8 T Calcula, mediante la definición, los logaritmos. a) log 8 b) log 8 c) log a) log 8 = = 8 y 8 = = log 8 = b) log 8 = = 8 y 8 = = log 8 = c) log = = = log = 9

8 SOLUCIONARIO Halla, mediante la definición, estos logaritmos. a) ln e - b) log, c) log, a) ln e - = e = e - = - b) log, = =, = c) log, = = - = - = - = - = - Calcula, utilizando la gráfica de la función y =, el valor aproimado de log. Como log es, en la gráfica de la función y =, el valor de la abscisa que le corresponde al valor de la ordenada, entonces log =,6. 6 Halla los logaritmos, aplicando sus propiedades y dejando indicado el resultado final. a) log 8 e) log b) log f) log c) log g) log 6 d) log h) log 7 7 log a) log8 = = log 8 b) log = log = log c) log = = =,9 log,77 log d) log = log = log =? =, log log e) log = = log log9 f) log= log6? 9= log6+ log9= + = +,= 8, log g) log 6 = h) log 7 7 = 9

9 Funciones eponenciales y logarítmicas 7 Sabiendo que log =,; log =,77 y log 7 =,8, calcula los logaritmos decimales de los primeros números naturales. Sabrías calcular log,? el logaritmo de,? log = log =, log =,77 log = log = log =?, =,6 log = log = log - log = -, =,699 log 6 = log (? ) = log + log =, +,77 =,778 log 7 =,8 log 8 = log = log =,9 log 9 = log = log =,9 log = log, = log 7 = log 7 - log =,8 -, =, log, = log = log - log =,77 -, =,76 8 Halla, sin ayuda de la calculadora, log y log. Comprueba que su producto es. log log = log log log = log =, =,6 log log? log =? log log log = 9 Representa las siguientes funciones logarítmicas, ayudándote de la calculadora para encontrar los valores de puntos por los que pasan. a) y = log b) y = log c) y = log d) y = log y = log y = log - - 6,896 -,8 8 -,9 -,9 y = log y = log,69 -,69,686 -,69,69 -,69,8979 -,898,99 -,99 a) b) y = log y = log y = log y = log 9

10 SOLUCIONARIO Estudia y representa esta función: y = -log 6 8 y = -log - - -,8 - -,9 y = -log El dominio es el intervalo (, + ). Pasa por el punto (, ). Es una función decreciente. Razona por qué las siguientes funciones son iguales: log = -log Aplicando las propiedades de los logaritmos: log log log = = =-log - log log Realiza una tabla de valores, representa y compara estas funciones logarítmicas. a) y = log b) y = log c) y = log 6 8 y = log,896,9 y = log,69,686,69,8979,99 y = log,,98,,6696 log log log Las tres son estrictamente crecientes y cuanto mayor es la base, más cerrada es la gráfica. 9

11 Funciones eponenciales y logarítmicas Representa las funciones. a) y = log b) log a) log = log 6 8 y = log 6 7, ,9678 y = log b) log log = 6 8 y = log,,98,,6696 y = log, Estudia y representa la siguiente función logarítmica: y= logd n a) Razona si es o no creciente. b) Relaciónala y compárala con la función y = log. 6 8 y = logd n -, -,6 -,778 -,9 -, y = logd n - 9

12 SOLUCIONARIO a) La función es decreciente, pues también es decreciente. b) log d n = log - log =-log Las funciones y = log d n y y = log son opuestas, es decir, son simétricas respecto del eje. Dibuja la gráfica de la función y = log, y a partir de ella, representa estas funciones logarítmicas sin realizar las tablas de valores. a) y = log + c) y = log ( - ) b) y = log - d) y = log d+ n 6 8 y = log,896,9 a) y b) a) b) La gráfica de y = log + se obtiene trasladando media unidad hacia arriba la gráfica de y = log. La gráfica de y = log - se obtiene trasladando cuatro unidades hacia abajo la gráfica de y = log. c) y d) d) c) La gráfica de y = log ( - ) se obtiene trasladando cuatro unidades hacia la derecha la gráfica de y = log. La gráfica de y = log d + n se obtiene trasladando media unidad hacia la izquierda la gráfica de y = log. 9

13 Funciones eponenciales y logarítmicas 6 Representa estas funciones, ayudándote de la gráfica de la función y = log. a) y = log ( - ) + b) y = log ( + ) - y = log,68, ,9,68 a) y b) a), b) La gráfica de y = log ( - ) + se obtiene trasladando tres unidades hacia arriba y una unidad hacia la derecha la gráfica de y = log. La gráfica de y = log ( + ) - se obtiene trasladando cuatro unidades hacia abajo y una unidad hacia la izquierda la gráfica de y = log. 7 Representa y = log - - a partir de y = log. log - = -log y = log 6,896 8,9 y = log y = -log y = log - - Hallamos primero la simétrica a la gráfica de y = log respecto del eje, y después la trasladamos hacia abajo tres unidades. 96

14 SOLUCIONARIO 8 Comprueba si los siguientes pares de funciones eponenciales y logarítmicas son o no funciones inversas. a) y = y = log b) y = - y=- c) y = log y = a) y = b) y = log -, 7 Las gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y, por tanto, son inversas. - - y = y=- - - Estas funciones no son inversas porque, por ejemplo, el punto (-, ) pertenece a la función y = -, sin embargo, el punto (, -) no pertenece a la función y=-. y = y = log c) y = log y = 6 Las gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y, por tanto, son inversas. y = y = log 9 Comprueba, sin representarlas, que la función y = log es la inversa de y =. Sea un punto (a, b) que pertenezca a la función y = log. b = log a b = a (b, a) es un punto de la función y =. Según la definición de función inversa que hemos visto, tiene inversa la función de proporcionalidad inversa y =? - - y = La inversa de y = es la misma función. 97

15 Funciones eponenciales y logarítmicas ACTIVIDADES Con ayuda de la calculadora, halla los valores que toma la función y =, para estos valores de. a) = - d) = g) = b) = - e) = h) = c) = - f) = i) = y =,,6,6,6,, 6,,6 9,6 Copia y completa la tabla de valores para la función y =e o y = e o,96,6,6,6,6667,7778,696 7,76 Realiza una tabla de valores y representa las funciones eponenciales. a) y = b) y =e o c) y = - d) y = a) y =,, b) y =e o,, c) y = - -, -, d) y = -,, a) y b) y =e o y = c) y d) y = - y = - 98

16 SOLUCIONARIO Analiza las semejanzas y diferencias de estas funciones eponenciales: f() = g( ) =e o -,6 6 f() = g( ) =e o -,, 6,6 f () = Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto del eje de ordenadas. El dominio de ambas funciones es R y el recorrido es (, + ). Las gráficas de ambas funciones son continuas. La función f() es creciente y la función g() es decreciente. g( ) =e o Estudia y representa la función eponencial. y =e o y =e o -, -,,67, La función es continua en R, su recorrido es (, + ), y es monótona decreciente. 6 Haz una tabla de valores de las funciones. a) y =? b) y =? Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas, y enumera sus propiedades. a) y =? b) y =? -,, -,, El dominio de ambas funciones es R, y el recorrido es (, + ). Las gráficas de ambas funciones son continuas y crecientes., La gráfica de la función y =? corta al eje de ordenadas en el punto (, ), y la gráfica de y =? lo corta en el punto (, ). y =? y =? 99

17 Funciones eponenciales y logarítmicas 7 Representa gráficamente y enumera las propiedades de las funciones. a) y =, b) y =?, c) y = -?, d) y = -, - -, -,,, a) y =,,,6,8,,8, b) y =?,,8,6,6,6,6 c) y = -?, -,8 -,6 -,6 - -,6 -,6 - d) y = -?,, -,6 -,6 - -,6 -,6 - a) y b) c) y d) y =, y =?, y = -?, y = -?, 8 Representa la función y = e. Recuerda que el número e es un número irracional cuyo valor aproimado es e =,788 - f () = e,979 -, -,6788,788 7,896 La gráfica f() = e es: f () 9 Representa las siguientes funciones de tipo eponencial. y y= - a) y = b) = c) y = - d) a) y = -,6 -, 8 6 b) c) y = y = -, 6,6,88, 8,6 d) = - y,7,9,779,7

18 SOLUCIONARIO a) y b) c) y d) y = - y = y = = - y HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA EPRESIÓN ALGEBRAICA DE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL A PARTIR DE SU GRÁFICA? Determina la epresión algebraica de esta función eponencial. PRIMERO. Se determina uno de los puntos, distinto del punto (, ), por el que pasa la gráfica. En este caso, la gráfica pasa por el punto (-, ). SEGUNDO. Se sustituyen estas coordenadas en la epresión algebraica de la función eponencial. y = a = -, y = = a - = a TERCERO. Se calcula el valor de a. = a a = = a CUARTO. No se considera la solución negativa, pues en una función eponencial sucede que a >. La epresión algebraica de la función es y =e o. Determina la epresión algebraica de estas funciones eponenciales. a) b) a) y = b) y =e o

19 Funciones eponenciales y logarítmicas Halla la epresión algebraica de las funciones. a) b) a) y = - b) y= e o + HAZLO ASÍ CÓMO SE REPRESENTA GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN EPONENCIAL, CONOCIENDO ALGUNAS DE SUS CARACTERÍSTICAS? Dibuja la gráfica de una función eponencial del tipo y = a (+b) que es creciente, no corta el eje y pasa por los puntos (, ) y (, 9). PRIMERO. Se representan los puntos por los que pasa la función. SEGUNDO. Si la función es creciente, la parte situada junto al eje será la parte izquierda de la gráfica. si es decreciente, será su parte derecha. (, ) (, 9) Dibuja la gráfica de una función eponencial que verifique estas condiciones. en el punto (, ). en ningún punto. e, o. Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eponencial, y teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una posible gráfica sería: y =? - (, ) e, o

20 SOLUCIONARIO Realiza la gráfica de una función eponencial que tenga las siguientes propiedades. en el punto (, -). Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eponencial, y teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una posible gráfica sería: (, ) y = (, -) 6 Construye la gráfica de la función eponencial que tiene estas propiedades. en el punto (, -).. Conociendo la forma que tiene la gráfica de la función eponencial, y teniendo en cuenta las condiciones del enunciado, una posible gráfica sería: (, -) y = -? - 7 Representa estas funciones. a) y = - b) y = - c) y = - + d) y = - -+ Estas funciones se pueden representar trasladando las gráficas de las funciones y = e y = y =,, y = - -, -, a) La gráfica de la función y = - se obtiene trasladando la gráfica de la función y = dos unidades a la derecha.

21 Funciones eponenciales y logarítmicas b) La gráfica de la función y = - se obtiene trasladando la gráfica de la función y = dos unidades hacia abajo. c) La gráfica de la función y = - + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = - cinco unidades hacia arriba. d) La gráfica de la función y = - -+ se obtiene trasladando la gráfica de la función y = - - una unidad a la derecha. 8 Estudia y representa las funciones. a) y = -+ + c) y = - - e) y= - + b) y= - + d) y= - + f) y= - + Estas funciones se pueden representar trasladando las gráficas de las funciones: y = y = - y = - y = y = y = - y = - y = -, -, 9,6 -, -,, , 9-9, 6 a) La gráfica de la función y = -+ + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = - dos unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba.

22 SOLUCIONARIO y b) La gráfica de la función = - + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = - dos tercios hacia la izquierda y tres unidades hacia arriba. c) La gráfica de la función y = - - se obtiene trasladando la gráfica de la función y = una unidad hacia la derecha y cinco unidades hacia abajo. d) La gráfica de la función y = - + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = - tres unidades hacia la izquierda y dos tercios hacia arriba. e) La gráfica de la función y = - + = se obtiene trasladando la gráfica de la función y = - ocho tercios hacia arriba. f) La gráfica de la función y = - + = + se obtiene trasladando la gráfica de la función y = dos tercios hacia arriba.

23 Funciones eponenciales y logarítmicas 9 Relaciona cada función con su gráfica. a) f() = b) g() = - c) h() = - d) i() = - - La gráfica de la función f() = se corresponde con la gráfica. La gráfica de la función g() = - se corresponde con la gráfica. La gráfica de la función h() = - se corresponde con la gráfica. La gráfica de la función i() = - - se corresponde con la gráfica. 6

24 SOLUCIONARIO Las gráficas de estas funciones son traslaciones de la gráfica de y =e o. 7 Identifícala y escribe la epresión algebraica que corresponde a cada una de las gráficas. + La gráfica es: y= e o 7 La gráfica es: y= e o- 7 La gráfica es: y =e o 7 La gráfica es: y= e o+ 7 La gráfica es: y= e o 7 - Decide cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes sin representarlas. Eplica cómo lo haces. - a) y = c) y= b) y = - + d) y = -+ a) y = = =e o La función es creciente, pues la base es b) y = - + = -? La función es decreciente. c) - y= = = = e o La función es decreciente.? -+ - d) y= =? =? e o La función es decreciente. >. 7

25 Funciones eponenciales y logarítmicas Una especie de paramecio se reproduce por bipartición, completando su ciclo reproductivo cada hora. a) Calcula la epresión de la función que relaciona los paramecios, y, que hay en función del tiempo, t, en horas, que ha transcurrido desde que el primero comienza a dividirse. b) Representa la función. a) La función que relaciona el número de bacterias, y, con el tiempo que ha transcurrido desde que empezó a dividirse, t, es y = t. b) t y = t Bacterias Tiempo Aunque dibujamos la gráfica continua, esta gráfica tiene sentido solo para valores naturales de la variable y. Calcula el capital que obtendríamos en los primeros años al invertir, a interés compuesto, un capital de a un rédito del,6%.,6 t C f =? e + o =? (,6) t t C f =? (,6) t

26 SOLUCIONARIO Halla gráficamente el capital que tendremos al cabo de años y 6 meses al invertir, a interés compuesto, a un rédito del %. t C f =? e + o =? (,) t t C f =? (,) t 6 Si queremos saber cuál será el capital al cabo de años y 6 meses tendremos que hallar, en la gráfica, el valor de la ordenada correspondiente al valor, de la abscisa. Observando la gráfica se ve que el capital es La siguiente gráfica muestra la evolución de un capital invertido, en, a interés compuesto. Calcula cuál es el capital invertido y eplica cómo lo haces. C T Cuánto tiempo, en años, es necesario mantener la inversión para duplicar el capital? Observando la gráfica se ve que se han invertido, porque es el valor que le corresponde a t =. Además, para t = el capital es, luego el rédito es del %, y para duplicar el capital, como la gráfica es eponencial y crece cada vez más deprisa, podemos calcular que se obtendrán en años, aproimadamente. Si queremos calcularlo de forma eacta usamos logaritmos: log =? (,) t = (,) t t = =, años log, 9

27 Funciones eponenciales y logarítmicas 6 Calcula, mediante su definición, los siguientes logaritmos. a) log c) log e) ln e g) log 7 b) log 9 8 d) log, f) ln e - h) log,6 a) log = log = e) ln e = b) log 9 8 = log 9 9 = f) ln e - = - c) log = log 6 = 6 g) log 7 = log 7 7 = d) log, = log - = - h) log,6 = log - = - 7 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULAN ALGUNOS LOGARITMOS UTILIZANDO SUS PROPIEDADES? Calcula log si log =,8. PRIMERO. Se descompone el número en factores primos. =? SEGUNDO. Se aplican las propiedades del logaritmo de un producto. log = log (? ) = log + log = + log =,8 8 Halla log utilizando las propiedades de los logaritmos. log = log (? ) = log + log = log + = log =? + =? + =?,69 + =,897 log, 8 9 Calcula log 6, mediante las propiedades de los logaritmos, y da un resultado eacto. log 6 = log 8 = log ( ) = log = 6 Halla el resultado de estas epresiones, utilizando las propiedades de los logaritmos. a) log 6 + log - log 7 9 b) log 8 + log 7 + log c) log 6 - log log 8 6 a) log + log - log 7 7 =? + -? = b) log + log + log = + + = 9 c) log - log log 8 8 = - + =

28 SOLUCIONARIO 6 Desarrolla las siguientes epresiones. a) log a? b? c d b) log a 6 c 7 b c) log y z a) log a + log b + log c - log d = log a + log b + log c - log d b) log a + log b 6 - log c 7 c) log + log - log y - log z = = log a + 6 log b - 7 log c = log + log - log y - log z = = log - log y - log z 6 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA UN LOGARITMO MEDIANTE UN CAMBIO DE BASE? Calcula log, sabiendo que log =,8. PRIMERO. Se realiza un cambio de base. log log = log SEGUNDO. Se sustituyen el numerador y el denominador por sus valores. log log log = = = =,68 log log,8 6 Si log e =,; cuánto vale ln? log ln = = =,6 log e, 6 Epresa en función de logaritmos neperianos, y obtén el resultado con la calculadora. a) log 6 b) log c) log 6 d) log ln6 a) log 6 = log 6 =? =, ln b) log = log ln = log =? =,77 ln ln c) log 6 = log 6 = log 6 =? =,7 ln6 ln d) log = log =? =,8 ln

29 Funciones eponenciales y logarítmicas 6 Si el valor del logaritmo decimal de es,; calcula el valor de los siguientes logaritmos decimales. a) log c) log e) log, b) log, d) log,6 f) log, a) log = log (? ) = log + log =, + =, b) log, = log - = - log = (-)?, = -,9 c) log = log (? ) = log + log = + log = = +?,699 =,97 6 d) log,6 = log = log 6 - log = log - = log - = =?, - =, e) log, = log = log - log =, - = -,699 f) log, = log = log - log = log - log = = log - log =?, - = -,98 66 Representa las siguientes funciones logarítmicas, ayudándote de la calculadora. a) f() = log c) h( ) = log b) g() = log d) i() = log a) b) c) d) 6 8 f () = log,69,69,69,898,99 g() = log,69,69,898,69,7,768 h( ) = log = log i() = log = log,6,,6,86,, ,69 a) y b) c) d) y = log y = log G y = log y = log Observamos que i() es una función simétrica respecto del eje de ordenadas por ser una función par; y como log = log (-), eiste para valores negativos.

30 SOLUCIONARIO 67 Haz una tabla de valores correspondiente a la función y = log. Representa la función y estudia sus propiedades. 6 8 y = log,,9,,66 La función y = log verifica que: Dom f = (, + ) La imagen de es : log = La imagen de es : log = La función es creciente porque >. 68 Esta gráfica pertenece a y = log. Dibuja las gráficas de estas funciones a partir de ella. a) y = log b) y = log ( + ) a) y = log = log + log = + log La gráfica de la función y = log se obtiene desplazando la gráfica de la función y = log una unidad hacia arriba. b) La gráfica de la función y = log ( + ) se obtiene desplazando la gráfica de la función y = log tres unidades a la izquierda. F y = log y = log y = log ( + )

31 Funciones eponenciales y logarítmicas 69 Representa estas funciones logarítmicas sobre los mismos ejes de coordenadas. a) y = log b) y = log 9 c) y = log ( + ) d) y = log 9( + ) Halla la relación eistente entre sus gráficas. a) b) c) d) y = log y = log 9 = + log y = log ( + ) y = log 9 ( + ) = + log ( + ) 6 8,69,69,69,898,99,69,69,69,898,99,69,69,898,99,69,69,69,898,99,69 y = log 9( + ) F y = log 9 y = log F y = log ( + ) La función y = log 9 se obtiene trasladando la función y = log dos unidades hacia arriba. La función y = log ( + ) se obtiene trasladando la función y = log tres unidades hacia la izquierda. La función y = log 9( + ) se obtiene trasladando la función y = log ( + ) dos unidades hacia arriba. 7 Calcula el valor aproimado de log, utilizando la gráfica de la función y =. y =,, log = log,,

32 SOLUCIONARIO 7 Relaciona cada gráfica con su epresión algebraica. a) y = ln b) y = ln ( + ) c) y = ln ( + ) a) Gráfica b) Gráfica c) Gráfica 7 Comprueba, gráfica y analíticamente, si los siguientes pares de funciones son inversos entre sí. Justifica tu respuesta. a) f( ) = log y g( ) =e o b) h( ) = - yt( ) = + a) - - f( ) = log - -,8 - g( ) = e o,,,,6 Las gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y por tanto son inversas. g() f() b) h() = t( ) = + Estas funciones son inversas porque las gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. h() t()

33 Funciones eponenciales y logarítmicas 7 Para cuáles de los siguientes valores de p y q se verifica la igualdad log (p + q) = log p + log q? q a) p = q = o p = q = c) p= - q q b) p= d) p - q = q q + log p + log q = log (p? q) log (p + q) = log p + log q log p + log q = log (p? q) log (p + q) = log (p? q) -q p + q = p? q p - p? q = -q p? ( - q) = -q p= - q a) p = q = es imposible porque el logaritmo de no eiste. b) c) p = q = log (p + q) = log p + log q log ( + ) log + log log q q -q p= - = q - q - q = -q q + q = q q= Solución no válida q=- Solución no válida q q -q p= - = q - q - q = -q q + q = q = q Solución no válida q q -q d) p= q + = q + - q( - q) = -q( + q) q q = Solución no válida Aunque operando en cada caso aparecen soluciones, estas soluciones no son válidas al sustituir en la ecuación logarítmica. 7 Averigua cuál de estas afirmaciones es verdadera si >. a) log ( + ) < + b) log ( + ) < c) log ( + ) > + a) Es falso, pues para = 99: log (+ 99) = > b) Para comprobarlo representamos las funciones y = log ( + ) e y =. Así, comprobamos que para > la recta y = siempre está por encima de la función logarítmica y = log ( + ). c) Es falso porque para = : log (+ ) =,<, + = 99 y = y = log ( + ) 6

34 SOLUCIONARIO 7 Escribe cuántas cifras tiene el número 6? escrito en el sistema decimal. El número de cifras es igual a la parte entera del logaritmo decimal más uno. log 6 = 6 log = 6?,66 = 9,6; por lo que 6 tiene cifras. log = log =?,69897 = 7,7; por lo que tiene 8 cifras. 76 Calcula el valor de a, sabiendo que a y b son números positivos que verifican que a b = b a y b = 9a. a b a = b b = 9a a 9a = (9a) a a 9a = 9 a? a a a 8a = 9 a a 8 = 9 a = b = 9a a b = 9a = b 9 = La solución es a = yb = 9 77 La suma de las cifras del número ( 9n + ), siendo n >, no es un número etraordinariamente grande. Crees que la suma de las cifras de ese número depende de n? Cuánto vale eactamente? ( 9n + ) = 8n +? 9n + Considerando que n es un número entero positivo, la suma de las cifras no depende del valor de n. La suma de las cifras de cada sumando es: + + = PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES 78 La sensación térmica depende de la temperatura y de la velocidad del viento. 7

35 Funciones eponenciales y logarítmicas Belén ha encontrado una forma para calcularla. Para calcular la sensación térmica se utiliza un índice llamado Windchill. T s = K + K T + K V p + K T V p donde T s (en ºC) es la sensación térmica; K, K, K, K y P son cinco constantes distintas; K =,6, K = -,7 y K =,. T es la temperatura del aire (en ºC) y V es la velocidad del viento (en km/h). En Internet, Belén no ha encontrado los valores de K y P, pero sí ha localizado en los periódicos estos datos para determinarlos. Día T ( C) V (km/h) T S Lunes - -,8 Miércoles - -6,9 Viernes -7-8, Si esta mañana ha escuchado por la radio que la sensación térmica en Moscú es de -7 ºC, cuál es la temperatura? La velocidad del viento es de km/h. a) Tomamos los datos del lunes, el miércoles y el viernes. Lunes -,8 = k +,6? (-) + (-,7)? p +,? (-)? p Miércoles -6,9 = k +,6? (-) + (-,7)? p +,? (-)? p Viernes -8, = k +,6? (-7) + (-,7)? p +,? (-7)? p 8

36 SOLUCIONARIO p b) -,8= k+,6? (- ) + (-,7)? +,? (-)? p - 6,9= k+,6? (- ) + (-,7)? +,? (-)? p p - 8,= k+,6? (- 7) + (-,7)? +,? (-7)? -, 8= k-8, 6-6, 7? p - 6, 9= k-9, -7, 7? - 8, = k-, -, 7? p - 6, 7= k-6, 7? p - 7, 6= k-7, 7? p p, 86=- 6, 7? + 7, 7? p - 6, 7= k-6, 7? p -, 76= k-, 7? - =- + p p, 98 6, 7?, 7? p p - 6,7= k-6,7? - 7,6= k-7,7? -,76= k-,7? Calculamos p a partir de cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo, en la segunda: -,98 = -6,7? p +,7? p -,98 + 6,7? p =,7? p Consideramos las funciones f (p) = -,98 + 6,7? p y g (p) =,7? p, y obtenemos mediante tanteo el valor de p donde coinciden: p p p p p p f(p) g(p),99,79,,98,,,67,8, 7, 7,9 p f(p) g(p),9,98,,,88,9,,87,99,,786,87,,79,8,,86,88,6 6,99 6,9,7 8, 8, Es decir, las funciones se hacen iguales para un valor de p comprendido entre,6 y,7. Si tomamos como solución un valor aproimado p =,6; calculamos el valor de k. -6,7 = k - 6,7?,6 k = -6,7 + 6,7?,6 =,6 La fórmula del índice Windchill es: T S =,6 +,6? T -,7? V,6 +,? T? V,6 c) Para T = -7 ºC y V = km/h: T S =,6 +,6? (-7) +,7?,6 +,? (-7)?,6 = -,8 Luego, la prenda no será suficiente para asegurar el confort calórico. 9

37 Funciones eponenciales y logarítmicas 79 Una granja avícola provoca que el agua de un río cercano aumente sus niveles ácido úrico. Las autoridades dicen que si los niveles no bajan, dentro de 6 meses, cerrarán la granja. En la granja se ha hecho un seguimiento del nivel de ácido úrico del río durante varios meses. El nivel máimo permitido de ácido úrico es,9. Han comprobado que el nivel de ácido úrico se puede describir mediante esta función: f (t) = ln (t + ) - ln (t + ) + 6 siendo t el tiempo, en meses. f(t) t

38 SOLUCIONARIO ERES CAPAZ DE... COMPRENDER a) Realiza una tabla de valores y verifica que la función es creciente en los tres primeros meses. ERES CAPAZ DE... RESOLVER b) Comprueba que la granja cumplirá la normativa en el siguiente control. ERES CAPAZ DE... DECIDIR c) La próima normativa, dentro de años, permitirá una concentración máima de. Cumplirá la granja con los requisitos eigidos? a) t f(t),79,,,6,,97,98,,96 b) La concentración de ácido úrico dentro de seis meses será: f (6) =? ln 7 -? ln =,86 Como la concentración es menor de,9, la fábrica seguirá funcionando. c) años = 6 meses f (6) = ln (7) - ln (8) + 6 =,6 Luego, la granja cumplirá con los requisitos requiridos.