El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1

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1 El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1

2 Sistema de coordenadas rectangulares En el cap 2 presentamos la recta numérica real que resulta al establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números reales y puntos sobre una recta. Identifica el punto de la recta numérica de arriba asociado al valor real que se da: - ½ π 1.4 a b c d e Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 2

3 Sistema de coordenadas rectangulares En el sistema de coordenadas rectangulares se usan dos rectas numéricas que intersecan a 90 grados, en el cero de cada recta. La recta horizontal se llama eje de x y la recta vertical, eje de y. La intersección de los dos ejes se llama el origen. Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, I-IV. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 3

4 Cuadrantes y puntos A cada punto P en el plano le corresponden dos coordenadas: La abscisa es la distancia horizontal desde el punto hasta el eje vertical. La ordenada es la distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal. Estas coordenadas se representan mediante un par ordenado (a, b) Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 4

5 El par ordenado (3, 1) corresponde al un punto localizado a 3 unidades a la derecha del origen y 1 unidad hacia arriba. El par ordenado (-2, 4) corresponde al un punto localizado a 2 unidades a la izquierda del origen y 4 unidades hacia arriba. En general los signos en los cuadrantes se distribuyen como se muestra. Cuadrantes y puntos Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 5

6 Sistema de coordenadas rectangulares Notar los puntos P y Q. Cuál punto tiene coordenadas 2, 2? P Q P G Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 6

7 Ecuaciones en dos variables Una ecuación en dos variables describe la relación entre dos cantidades. Ejemplos 2x 5 = 20 es una ecuación en una variable y = 2x 5 es una ecuación en dos variables 3x 4y = 8 es una ecuación en dos variables que no esta despejada para y. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 7

8 Gráfica de una Ecuación La gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todos los pares ordenados, (a,b), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Si un par ordenado satisface una ecuación se dice que es una solución de la ecuación. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 8

9 Solución de una Ecuación La solución de una ecuación en dos variables, x y y, es un par ordenado de números reales, (a,b) que tiene la propiedad que al sustituir el valor de a por x, y el valor de b por y, se produce un enunciado cierto. Ejemplo: Es (2,7) una solución de y = 3x + 1? Solución: Al sustituir x por 2 y y por 7 tenemos 7 = 3(2) = 7 Esto es un enunciado cierto, por lo tanto (2,7) es una solución de y = 3x + 1. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 9

10 Ejemplo Ejemplo: Es (1,-4) una solución de y = 2x 5? Solución: Al sustituir x por 1 y y por -4 tenemos -4 = 2(1) 5-4 = -3 Esto es un enunciado FALSO, por lo tanto (1,-4) NO es una solución de y = 2x 5. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 10

11 Localización de puntos Una forma de bosquejar ( sketch ) la gráfica de una ecuación es localizar suficientes puntos (soluciones), hasta obtener una imagen clara de la forma de la gráfica. Ejemplo: Gráfique : y = 3x + 1. Elegimos algunos valores para sustituir por x: x = -2, 0, 1 3, 1, 2 Construimos una tabla de valores. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 11

12 Graficar y = 3x + 1 Evaluamos la ecuación en los valores de x para determinar los valores correspondientes de y. x y / Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 12

13 Cont. Ejemplo x y / (-2, -5) (0, 1) (1/3, 2) (1, 4) (2, 7) Con cada par de valores, (x, y) construimos un par ordenado. Luego los graficamos en el plano. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 13

14 (2, 7) Cont. Ejemplo (-2, -5) (1, 4) (1/3, 2) (0, 1) Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 14

15 Intervalo de crecimiento Si observamos el comportamiento de los puntos en la gráfica, notamos que a medida que los valores de x se hacen más grandes, los valores de la y también se hacen más grandes. Decimos que la recta sube en el plano. Decimos que la recta es creciente. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 15

16 Ejercicios Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 16

17 Cont. Ejemplo Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 17

18 Cont. Ejemplo a medida que los valores de x se hacen más grandes, los valores de la y se hacen más pequeños. Decimos que la recta baja en el plano. Decimos que la recta es decreciente. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 18

19 Dibujar la grafica de 3x 4y = -8 Primeramente nos conviene despejar la ecuación para y. 3x 4y = -8 3x + 8 = 4y 3x = y y = 3 4 x y = 3 4 x x = = = = = y Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 19

20 Cont. Ejemplo 8, 4 4, 1 0, 2 4,5 8,8 Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 20

21 Cont. Ejemplo Los interceptos de una gráfica son los puntos donde la gráfica corta los ejes. El intercepto en y tiene coordenadas (0,b), donde b es cualquier número real. El intercepto en x tiene coordenadas (a,0), donde a es cualquier número real. El intercepto en x El intercepto en y Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 21

22 Ejemplo Dado 2x 5y = 8, bosqueje la gráfica de la ecuación. SOLUCION: La ecuación es lineal por que el exponente de la variable x y el exponente de la variable y es 1. Método de los interceptos: int-y: (x =0) 2(0) 5y = 8 y = 8 5 0, 8 5 int-x: (y=0) 2x 5(0) = 8 x = 4 (4, 0) Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 22

23 Ecuaciones lineales (ecuaciones de rectas.) Cualquier ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma y = m x + b Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x 1 Nota: Una recta tiene tres características distintivas: su inclinación intercepto y intercepto - x Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 23

24 Noción de pendiente Se describe la inclinación de una recta con una medida llamada pendiente. A mayor pendiente, mayor inclinación. (En la figura L1 está más inclinada que L2.) Para calcular la pendiente, tomamos dos puntos que pertenecen a la recta, x 1, y 1, x 2, y 2, y calculamos: Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 24

25 Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7). Solución: Utilizando la fórmula: 7 3 m = 3 1 m = 4 2 = 2 Observemos la figura 4.2 Nota: La pendiente es positiva, la recta «sube» en el plano (de izquierda a derecha Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 25

26 Hallar la pendiente Haz un bosquejo de la recta que pasa por los dos puntos dados y halla la pendiente. a) A(-1, 4) and B(3, 2) b) A(2, 5) and B(-2, -1) c) A(4, 3) and B(-2, 3) d) A(4, -1) and B(4, 4) Ilustramos: Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 26

27 Hallar la pendiente (continuación) (a) m (b) m Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 27

28 Slope of Line (cont d) (c) m (d) La pendiente no está definida. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 28

29 Pendiente Positiva y Negativa Ilustramos ambos casos: Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 29

30 Sec. 8.4 pag Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 30

31 Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc

32 Forma Pendiente-Intercepto y = mx + b. El número b es el intercepto en y de la gráfica. La gráfica es una recta con pendiente m y que pasa por el punto (0, b). Ilustramos: Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 32

33 Slope-Intercept (cont d) recta con pendiente (inclinación igual a m Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 33

34 Ejemplo Exprese la ecuación 2x 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto. SOLUCION: 2x 5y = 8-5y = -2x + 8 y = 2 8 x y = 2 x Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 34

35 Interpretar gráficas Cuando un médico inyecta un medicamento en el músculo de un paciente, la concentración del fármaco en el cuerpo, depende del tiempo transcurrido después de la inyección. La siguiente figura muestra la gráfica de la concentración del fármaco sobre el tiempo. a. Durante que periodo está la concentración de medicamento aumentando? Solución: La concentración del fármaco está aumentando de 0 a 3 horas. Como intervalo: (0, 3) Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 35

36 b. Durante que periodo está la concentración de medicamento disminuyendo? Solución: La concentración del fármaco está disminuyendo desde las 3 hasta las 13 horas. Como intervalo: (3, 13) c. Cuál es la concentración máxima de la droga? Cuándo ocurre? Solución: Concentración máxima es de 0.05 mg por 100 ml, que se produce después de 3 horas. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 36

37 d. Qué ocurre al final de 13 horas? Solución: Ya no queda medicamento en el cuerpo. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 37

38 Sistema de coordenadas rectangulares Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 38

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