Clase 3 Función lineal
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- Sofia Zúñiga Fidalgo
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1 Clase 3 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2016
2 Definición Una relación de la forma f(x) = mx + n, donde m, n R, se llama función lineal Gráfica de la función lineal La gráfica de esta función corresponde a una recta en el plano. Ejemplos f(x) = 2x g(x) = 3x
3 Definición Una relación de la forma f(x) = mx + n, donde m, n R, se llama función lineal Gráfica de la función lineal La gráfica de esta función corresponde a una recta en el plano. Ejemplos f(x) = 2x g(x) = 3x Cuál es el dominio y recorrido de las funciones f y g?.
4 Definición Una relación de la forma f(x) = mx + n, donde m, n R, se llama función lineal Gráfica de la función lineal La gráfica de esta función corresponde a una recta en el plano. Ejemplos f(x) = 2x g(x) = 3x Cuál es el dominio y recorrido de las funciones f y g?. 2 f y g son funciones crecientes?, decrecientes?.
5 Gráfica de una función lineal Pendiente de la recta La inclinación de recta y = mx+n respecto del eje X, depende del coeficiente de la variable x, este valor corresponde a la pendiente de la recta.
6 Gráfica de una función lineal Pendiente de la recta La inclinación de recta y = mx+n respecto del eje X, depende del coeficiente de la variable x, este valor corresponde a la pendiente de la recta. Según sea el signo del coeficiente m (m 0), tendremos una de las siguientes situaciones: Pendiente positiva Pendiente negativa (m > 0) (m < 0)
7 Gráfica de una función lineal Pendiente de la recta La inclinación de recta y = mx+n respecto del eje X, depende del coeficiente de la variable x, este valor corresponde a la pendiente de la recta. Según sea el signo del coeficiente m (m 0), tendremos una de las siguientes situaciones: Pendiente positiva Pendiente negativa (m > 0) (m < 0) Notamos que si m > 0, la función lineal es creciente, mientras que si m < 0 la función es decreciente.
8 Función constante Si m = 0 entonces la función es constante, es decir f(x) = n para todo x R y su gráfico corresponde a una recta paralela al eje X. y = n
9 Función constante Si m = 0 entonces la función es constante, es decir f(x) = n para todo x R y su gráfico corresponde a una recta paralela al eje X. y = n Cómo es el gráfico de la recta x = n?
10 Función constante Si m = 0 entonces la función es constante, es decir f(x) = n para todo x R y su gráfico corresponde a una recta paralela al eje X. y = n Cómo es el gráfico de la recta x = n? La ecuación x = n respresenta una función?
11 Intersección con los ejes coordenados El punto de intersección de la gráfica de una función real f y el eje Y es (0, f(0)). Los puntos de intersección con el eje X, son de la forma (x, 0), tales valores de x, es decir aquellos valores para los cuales f(x) = 0, se llaman ceros de f. Coeficiente de posición de la recta En el caso de la función lineal f(x) = mx+n, el punto de intersección con el eje Y es (0, n), por lo cual n recibe el nombre de coeficiente de posición. n
12 Ecuaciones lineales Solución de una ecuación lineal La solución de la ecuación mx + n = 0 (donde m 0), corresponde al único cero de la función lineal f(x) = mx+n. Ejemplo: Resuelva la ecuación 4 3 (x+8) = 3 4 (2x+12)
13 Ecuaciones lineales Solución de una ecuación lineal La solución de la ecuación mx + n = 0 (donde m 0), corresponde al único cero de la función lineal f(x) = mx+n. Ejemplo: Resuelva la ecuación Solución: 4 3 (x+8) = 3 4 (2x+12) 16(x+8) = 9(2x+12) 16x = 18x+108 x = 0 x = 10
14 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1?.
15 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1?. 5 4 Notamos que: y = 3x
16 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1? y = 3x 3 Notamos que: El lado izquierdo de la ecuación representa la recta y = 3x y = x+1 3
17 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1? P(2, 3) y = 3x 3 Notamos que: El lado izquierdo de la ecuación representa la recta y = 3x 3 El lado derecho de la ecuación representa la recta y = x y = x+1 3
18 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1? y = x+1 3 P(2, 3) y = 3x Notamos que: El lado izquierdo de la ecuación representa la recta y = 3x 3 El lado derecho de la ecuación representa la recta y = x+1 Resolviendo algebraicamente la ecuación, obtenemos la solución x = 2.
19 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1? y = x+1 3 P(2, 3) y = 3x Notamos que: El lado izquierdo de la ecuación representa la recta y = 3x 3 El lado derecho de la ecuación representa la recta y = x+1 Resolviendo algebraicamente la ecuación, obtenemos la solución x = 2. La solución corresponde a la primera coordenada del punto de intersección entre ambas rectas.
20 Interpretación geométrica Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x 3 = x + 1? y = x+1 3 P(2, 3) y = 3x Notamos que: El lado izquierdo de la ecuación representa la recta y = 3x 3 El lado derecho de la ecuación representa la recta y = x+1 Resolviendo algebraicamente la ecuación, obtenemos la solución x = 2. La solución corresponde a la primera coordenada del punto de intersección entre ambas rectas. Observación Cuál es la solución de 3x 3 < x+1?
21 Problemas resueltos Problema 1: Resuelva la ecuación [ 2 (x+1) x 3 ] = 2x 2 3 5x 3 + 3x 12
22 Problemas resueltos Problema 1: Resuelva la ecuación [ 2 (x+1) x 3 ] = 2x 2 3 5x 3 + 3x 12 Solución : 2+2(x+1)+ x 3 = x 3 + 3x (x+1)+ 6(x 3) = 8x (5x 3)+36x 9x = 7 x = 3
23 Problemas resueltos Problema 2: Determine los valores de x que satisfacen la ecuación 3(a x) b 2(b x) a = 2b2 6a 2 ab a 0, b 0
24 Problemas resueltos Problema 2: Determine los valores de x que satisfacen la ecuación Solución : 3(a x) b 2(b x) a = 2b2 6a 2 ab a 0, b 0 3a(a x)b(b x) = 2b 2 6a 2 3a 2 3axb 2 + 2bx = 2b 2 6a 2 (3ab)x = 4b 2 9a 2 (2b 3a)(2b+ 3a) x = 3ab x = 3a+2b, siempre que a 2 3 b.
25 Problemas resueltos Problema 2: Determine los valores de x que satisfacen la ecuación Solución : 3(a x) b 2(b x) a = 2b2 6a 2 ab a 0, b 0 3a(a x)b(b x) = 2b 2 6a 2 3a 2 3axb 2 + 2bx = 2b 2 6a 2 (3ab)x = 4b 2 9a 2 (2b 3a)(2b+ 3a) x = 3ab x = 3a+2b, siempre que a 2 3 b. Observación Cuál es el recíproco de la afirmación (a 0 b 0) ab 0?
26 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
27 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos: Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
28 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos: Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario. Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba las otras cantidades conocidas en términos de la variable escogida.
29 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos: Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario. Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba las otras cantidades conocidas en términos de la variable escogida. Haga un resumen de la información dada.
30 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos: Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario. Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba las otras cantidades conocidas en términos de la variable escogida. Haga un resumen de la información dada. Escriba ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas con las incógnitas.
31 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos: Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario. Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba las otras cantidades conocidas en términos de la variable escogida. Haga un resumen de la información dada. Escriba ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas con las incógnitas. Resuelva la ecuación.
32 Resolución de problemas Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos: Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario. Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba las otras cantidades conocidas en términos de la variable escogida. Haga un resumen de la información dada. Escriba ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas con las incógnitas. Resuelva la ecuación. Responda todas las preguntas planteadas en el problema y verifique las soluciones.
33 Problema de planteamiento En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Si en la reunión hay 96 personas, Cuántos hombres, mujeres y niños hay?.
34 Problema de planteamiento En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Si en la reunión hay 96 personas, Cuántos hombres, mujeres y niños hay?. Solución: Sea x el número de hombres en la reunión, entonces x+2x+3(x+2x) = 96, de donde x = 8 y por lo tanto en la reunión hay 8 hombres, 16 mujeres y 72 niños.
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