INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.

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1 el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos; en un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden entrar los extremos Gráficamente se indica con un círculo negro si el extremo se considera del intervalo y un círculo blanco si el extremo no se considera del intervalo Por supuesto, se escribe y representa siempre a la izquierda el menor de los extremos del intervalo Se tienen los siguientes casos: 3 x 5 3 < x < 5 3 x < 5 3 < x 5 [3,5] (3,5) [3,5) (3,5] [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] Cerrado Abierto abierto por la derecha abierto por la izquierda Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él Según que entre o no el origen de la semirrecta, se tienen los siguientes casos: 3 x 3 < x x 3 x < 3 [3,+) (3,+ ) (-,3] (-,3) [a,+ ) (a,+ ) (-,a] (-,a) INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que aparece alguna incógnita en uno o en los dos miembros de la desigualdad Se cumple para algunos valores de la incógnita Las expresiones que aparecen a cada lado de la desigualdad se llaman miembros de la inecuación y el conjunto de números que satisfacen la desigualdad es la solución Resolver una inecuación es obtener el conjunto de todos los valores que la verifican El proceso consiste en buscar inecuaciones equivalentes a la dada, cada vez más sencillas Inecuaciones de primer grado Si en algún miembro de la desigualdad aparece un polinomio de primer grado, y no hay ninguno de grado superior, se dice que es una inecuación lineal o de primer grado Una solución de la inecuación de primer grado 5x 15 es, por ejemplo, x=-, pues 5 (-) = Dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones Las siguientes reglas permiten pasar a inecuaciones equivalentes: Regla de la suma: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene otra inecuación equivalente a la dada

2 el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág P(x) Q(x) equivale a P(x) + c Q(x) + c Regla del producto: Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un número: mayor que cero: se obtiene otra inecuación equivalente a la dada c P(x) c Q(x), c > 0 menor que cero: se obtiene otra inecuación equivalente a la dada cambiando el sentido de la desigualdad c P(x) c Q(x), c < 0 Dicho de otra forma, las siguientes operaciones dan lugar a inecuaciones equivalentes a P(x) Q(x): Sumar el mismo número en ambos miembros de la inecuación: P(x) Q(x) equivale a P(x) + c Q(x) + c Multiplicar por el mismo número positivo en ambos miembros: c P(x) c Q(x), c > 0 Multiplicar por el mismo número negativo en ambos miembros de la inecuación y cambiar el sentido de la desigualdad: c P(x) c Q(x), c < 0 Las expresiones P(x)=x-a toman siempre valores negativos a la izquierda de x=a y positivos a la derecha Las inecuaciones 5x + 4 < 8x + 9 y 5x 8x < 9 4 son equivalentes porque la segunda se ha obtenido de la primera sumando a los dos miembros 8x 4 Una inecuación se resuelve transformándola en otra equivalente en la que aparezca la incógnita aislada en un miembro Para resolver la inecuación 8x - 4 < 5x - 10 se agrupan los términos en x en el primer miembro y las constantes en el segundo: 8x 5x < , es decir, 3x < -6 Dividiendo ahora cada miembro por 3 se obtiene x < - Por tanto, la solución de la inecuación es la semirrecta (-,-) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Si P(x) es un polinomio de segundo grado, las inecuaciones de segundo grado son de la forma P(x) < 0, P(x) > 0, P(x) 0 y P(x) 0 Resolver la inecuación es hallar los valores de la incógnita para los que se verifica la desigualdad Para obtener la solución se factoriza el polinomio y se estudia el signo de los factores Para resolver: x 4x 3 0 se factoriza el primer miembro hallando las soluciones de x 1 x 3 x 4x 3 0, que son x=1 y x=3 Así, la inecuación se escribe: 0 El diagrama de signos de la figura sirve para conocer el signo del producto Por tanto, la inecuación se verifica para los valores de x en el intervalo (1,3)

3 el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 3 Resolución gráfica y analítica: Se trata de resolver la inecuación: x 6x 8 0 La gráfica de esta figura representa los valores numéricos de P ( x) x 6x 8 Observando la gráfica se ve claramente dónde P(x) es positivo o negativo Analíticamente se descompone en factores P(x): x x 4 0 Esta inecuación es cierta cuando los dos factores son positivos o los dos negativos Por tanto, hay que estudiar el signo de cada factor Puede ocurrir que el polinomio tenga una raíz doble en vez de dos distintas 3x 6x 3 0, se resuelve primero la ecuación 3x 6x 3 0 se puede factorizar de la forma: 3 6x 3 3 x 1, cuya solución es x=-1 El polinomio x, con lo que la inecuación queda: x Como 3 es positivo y el cuadrado de una expresión es siempre positivo, la inecuación se cumple para todos los valores de x, y no es necesario hacer un diagrama de signos Si la inecuación es de sentido contrario, 3x 6x 3 0, razonando análogamente se escribe de la forma: 3x 1 0 Como 3 es positivo y el cuadrado de una expresión es siempre positivo, no hay ningún valor de x que cumpla la desigualdad, es decir, la inecuación no tiene solución Al resolver una inecuación de segundo grado pueden darse los siguientes casos: Si la ecuación ax bx c 0 tiene dos soluciones reales distintas, x 1 y x, con 1 x entonces el signo del polinomio ax bx c coincide con el signo de a en los intervalos, x 1 y x y es su opuesto en el intervalo x, 1, x x, Si la ecuación ax bx c 0 tiene solución doble, x 1, entonces el signo del polinomio ax bx c coincide con el signo de a en toda la recta real excepto en x 1, donde el polinomio es igual a cero Si la ecuación ax bx c 0 no tiene soluciones reales, entonces el signo del polinomio ax bx c coincide siempre con el signo de a INECUACIONES RACIONALES (CON COCIENTES DE POLINOMIOS) Para resolver inecuaciones con cocientes de polinomios se factorizan el numerador y el denominador y se estudian los signos de todos los factores

4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Álgebra III: Inecuaciones pág 4 x 5 x 4 0 Utilizando el diagrama de signos: La solución es el intervalo (-4,5); es decir, si 4 < x < 5, se cumple la desigualdad SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que forman el sistema Pasos para resolver un sistema de inecuaciones: 1º- Se resuelve cada inecuación por separado º- Se representan gráficamente las soluciones 3º- Se buscan las soluciones comunes x 4 0 x 7 x 3 La soluciones de este sistema son los puntos del intervalo (-,4], que es la intersección (lo que tienen en común) los intervalos (-,) y (-,4], soluciones de ambas inecuaciones INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Llamamos inecuación lineal con dos incógnitas a toda inecuación equivalente a una de las siguientes: ax + by + c > 0 ax + by + c 0 ax + by + c < 0 ax + by + c 0 es decir, cuando después de reducirla, tiene dos incógnitas de grado 1 Los valores que cumplen la ecuación ax + by + c = 0 son los puntos situados sobre una recta Esta recta divide al plano en dos semiplanos, que van a ser las soluciones de las inecuaciones asociadas a la ecuación ax + by + c = 0 Las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas forman un semiplano Los pasos a seguir para encontrar las soluciones son los siguientes: 1º- Se despeja la y: y ax c b º- Se considera la función: a y x b c b Se dibuja su gráfica, que es una recta 3º- Las soluciones buscadas son los infinitos puntos de uno de los dos semiplanos que determina esa recta Para decidir cuál de los dos semiplanos es la solución, se toma un punto P cualquiera que no pertenezca a la recta, y se sustituyen sus coordenadas en la inecuación; si la verifican, el semiplano al que pertenece P es la solución En caso contrario la solución será el otro semiplano

5 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Álgebra III: Inecuaciones pág 5 Resolvamos la inecuación: x + y < Representemos la ecuación asociada x + y = y = x Todo punto de esta recta puede escribirse de la forma (x,-x) Puntos de la recta son: (-,4), (-1,3) (0,), (1,1) y (,0) Si tomamos los puntos (-1,4), (0,3), (0,4), (1,),, que están situados por encima de la recta, ninguno de ellos cumple la inecuación x + y < Los puntos (-1,1), (0,0), (0,1), (1,0) (1,-1),, situados por debajo de la recta x + y =, cumplen todos ellos la inecuación x + y < Por tanto, las soluciones de la inecuación x + y < son todos los puntos del semiplano situado por debajo de la recta EJERCICIOS 13- Dibuja el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas: a) x - y - 4 < 0 b) x + y + 1 > 0 c) x + 3y < 6 Solución: INECUACIONES LINEALES RACIONALES CON DOS INCÓGNITAS ax b cy d 3x 6 y Son expresiones de la forma: 0 Resolvamos la inecuación: 0 Las posibilidades son: Numerador no negativo y denominador positivo: 3x 6 0 x y 0 y Numerador no positivo y denominador negativo: 3x 6 0 x y 0 y (La ralla continua indica los puntos de la recta que se incluyen en la solución, mientras que la ralla discontinua indica los puntos que no se incluyen en la solución)

6 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Álgebra III: Inecuaciones pág 6 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS Son inecuaciones de la forma: ax bx c y Su resolución se basa en el análisis de la parábola asociada: Resolver la inecuación: x 1 y Representamos la parábola asociada: y x 1 Sustituimos un punto del interior de la parábola en la inecuación inicial Si se cumple, esta es la región solución Si no se cumple la desigualdad, la solución será la región exterior a la parábola Recuerda que para representar una parábola se realiza una tabla de valores calculando el vértice, el (o los) puntos de corte con el eje OX y el punto de corte con el eje OY SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de dos o más inecuaciones, que debe satisfacerse a la vez Para su resolución, se procede de la manera siguiente: - Se resuelve cada inecuación por separado - El conjunto solución del sistema, también llamado región factible, está formado por las soluciones comunes a todas las inecuaciones SISTEMAS LINEALES DE DOS INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS: resolvamos el sistema lineal con dos incógnitas: 3x 4y 3x 0 y 4 5x y 10 y 5x 10 4y 3x 0 5x y 10 El semiplano solución es el marcado arriba y a la izquierda El semiplano solución es el marcado a la derecha La intersección de ambos semiplanos es la solución del sistema

7 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Álgebra III: Inecuaciones pág 7 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEAL Y DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS: Resuelve el sistema: x y 0 x 4 y Representamos la recta: x y 0 y x Marcamos la región solución de la inecuación lineal Representamos la parábola: y x 4 Marcamos la solución de la inecuación de segundo grado La intersección de las dos áreas es la solución Resuelve el sistema: Representamos la recta: y x 0 x y y x Marcamos la región solución de la inecuación lineal Representamos la parábola: y x Marcamos la solución de la inecuación de segundo grado La intersección de las dos áreas es la solución SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON DOS INCÓGNITAS: Los sistemas de inecuaciones de segundo grado con dos incógnitas son los que se pueden reducir a las a1x b1 x c1 0 formas, con cualquiera de los signos de la desigualdad a x b x c 0 La resolución de este tipo de sistemas se hace siguiendo estos pasos: 1º- Se calculan los posibles puntos de corte de las dos parábolas asociadas a las inecuaciones del sistema º- Se representan estas parábolas 3º- Se indica el posible recinto solución del sistema x 1 y Resuelve el sistema: x 1 y Los puntos de corte de las parábolas asociadas son se obtienen resolviendo el sistema formado por ambas curvas: y x 1 x 0 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 0 y x 1 x 1 Las parábolas se cortan en los puntos A(0,1) y B(1,0)

8 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Álgebra III: Inecuaciones pág 8 Para representar la curva se realiza una tabla de valores calculando el vértice, el (o los) puntos de corte con el eje OX y el punto de corte con el eje OY SISTEMAS DE VARIAS INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS: Los procedimientos desarrollados en las actividades anteriores se hacen extensivos a sistemas con mayor número de inecuaciones Son lo que se llama restricciones en los problemas de programación lineal Encuentra la región factible del sistema: x 0 y 0 6x 5y 30 x y 8 Representamos cada una de las rectas: x = 0, y = 0, 6x + 5y = 30, x + y = 8 Buscamos para cada una de las inecuaciones su semiplano de soluciones y, por último, la región común a todos los semiplanos En la representación gráfica puede verse la región factible o región de soluciones del sistema Determina el recinto solución del siguiente sistema de inecuaciones: x 0 y 0 y x y 6 x