La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

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1 Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio (gráfica y analíticamente) Recorrido o Imagen (gráficamente) Puntos de corte con los ejes (gráfica y analíticamente) Continuidad (gráficamente) Tasa de Variación Media (gráfica y analíticamente) Monotonía. Intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia (gráficamente) Extremos relativos y absolutos: máximos y mínimos (gráficamente) Curvatura. Intervalos de concavidad y convexidad (gráficamente) Puntos de Inflexión (gráficamente) Simetría: Par o respecto al eje y, Impar o respecto al origen (gráfica y analíticamente) Periodicidad (gráficamente) Asíntotas: Horizontales, verticales, oblicuas (gráficamente). 3. Funciones polinómicas Función polinómica de primer grado. Ecuación de la recta Función polinómica de segundo grado. Ecuación de la parábola Función polinómica de tercer grado o más. Funciones potenciales. 4. Funciones exponenciales 4.1. Función de ecuación y=a x con a> Función de ecuación y=a x con 0<a<1. 5. Funciones de proporcionalidad inversa. 6. Funciones definidas a trozos. 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. Función: es una relación entre dos magnitudes de modo que a cada valor de la primera le corresponde, como máximo, un único valor de la segunda que llamamos imagen La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. (y está en función o depende de x) 1

2 Una función se puede expresar de tres formas distintas: 1ª) Mediante una ecuación: y= 3x-1 2ª) Mediante una tabla: x y ª) Gráficamente (dibujo): Y x 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio (gráfica y analíticamente). El dominio es el conjunto de valores para los que está definida la función. Se representa como Dom (f(x)). a) Cálculo del dominio a partir de la representación gráfica de la función Ej: Dada la función de la figura hallar su dominio 2

3 b) Cálculo del dominio de forma analítica (Significa que nos dan la ecuación de la función): DOMINIO DE LOS DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES: 1) POLINÓMICAS. Su expresión es un polinomio. Ej: F(x)= -3x 5 +2x 2-6x+1). Su dominio son todos los reales. Dom f= IR 2) RACIONALES: su expresión es un cociente de polinomios. Ej: Su dominio son todos los reales menos los valores que anulan el denominador. x 2-5x+6=0, resolviendo la ecuación: x=3, x=2. Por tanto Domf= R-{2, 3} 3) RADICALES: su expresión es un polinomio dentro de una raíz. Ejemplo: Hay dos casos: a) Si tienen índice impar, su dominio son todos los reales. En el ejemplo anterior, por ser 3 impar, Domf= IR b) Si tienen índice par, su domino son los valores que hacen que el polinomio de dentro de la raíz sea mayor o igual a 0. Ej: 2.2. Recorrido o Imagen (gráficamente): El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y. Se representa como Im f. Es, por tanto, el conjunto de puntos del eje y al que corresponde algún punto del eje x Ejemplo: Halla el recorrido de las siguientes funciones f(x)=x 4-2x 2 f(x)=x+3 Im(f(x))=[-1, ) Im(f(x))=(-, ) 3

4 2.3. Puntos de corte con los ejes (gráfica y analíticamente). a) Gráficamente: Con el eje x: P (-1, 0), Q (0.5, 0) y R( 1.5, 0) Con el eje y: S (0,1) b) Analíticamente: -Puntos de corte con el eje x: y=0 -Puntos de corte con el eje y: x=0 Ejemplo: Halla el punto de corte con los ejes de la función Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: 2.4. Continuidad (gráficamente). Una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel. Ejemplos de funciones continuas: 4

5 Ejemplos de funciones discontinuas: 2.5. Tasa de Variación Media (gráfica y analíticamente): Gráficamente, la tasa de variación media representa la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B. Ejemplo: Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 x en el intervalo [1,4] Monotonía. Intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia (gráficamente). Vídeo: La monotonía de una función consiste en determinar si esta es creciente, decreciente o permanece constante Ejemplo: 5

6 Ejemplo: Una función es constante cuando para cualquier valor de x su ordenada y es la misma. Su representación gráfica es una recta paralela al eje x Ej: Hay funciones que son crecientes en algún intervalo y decrecientes en otro. Ejemplo: Decreciente: (-2, -1) U (1, 2) Creciente: (-1, 1) 2.7. Extremos relativos y absolutos: máximos y mínimos (gráficamente): 6

7 2.8. Curvatura. Intervalos de concavidad y convexidad (gráficamente). Una función es cóncava o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Una función es convexa o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva. Intervalos de concavidad y convexidad: 2.9. Puntos de Inflexión (gráficamente). Son aquellos puntos donde la función pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. Ej: Ptos de inflexión: P(-2, 3), Q(1, 0,5) 7

8 2.10. Simetría: Par o respecto al eje y, Impar o respecto al origen (gráfica y analíticamente). Simetría par (gráficamente): Una función es par cuando es simétrica respecto al eje y. Simetría par (analíticamente o con cálculos numéricos): Todas las funciones que son pares cumplen que:f(-x) = f(x) Ejemplo: comprobar que la función es par Simetría impar (gráficamente): Una función es impar cuando es simétrica respecto al origen de coordenadas. Al girar media función respecto al origen, coincide con la otra mitad 8

9 Simetría impar (analíticamente): Toda función impar cumple que f(-x) = -f(x). Ejemplo: comprueba que la función es una función impar, luego sí es impar OJO!!! Puede ocurrir que una función no sea par ni impar. La única función que es par e impar a la vez es f(x) = 0 ó y= Periodicidad (gráficamente). Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable x recorre un cierto intervalo. El valor de ese intervalo es el periodo Ejemplos: Asíntotas: Horizontales, verticales, oblicuas (gráficamente). Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente pero sin llegar a tocarlas. Pueden ser horizontales (paralelas al eje x), verticales (paralelas al eje y) u oblicuas (inclinadas). Si una función no puede tener a la vez asíntotas horizontales y oblicuas. Ejemplo: 9

10 3. Funciones polinómicas. Son aquellas cuya expresión es un polinomio. Su dominio son los números reales 3.1. Función polinómica de primer grado. Ecuación de la recta. Son del tipo y= mx+n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen. Si n=0 es una función lineal y si n 0 es una función afín Función polinómica de segundo grado. Ecuación de la parábola. La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola de eje vertical. Su expresión general es: y= ax 2 +bx+c. SI a>0 es cóncava y si a<0 es convexa. Su vértice V (-b/2ª, f(-b/2a)). (poner ejemplos de hallar el vértice y puntos de corte con los ejes) 3.3. Función polinómica de tercer grado o más. Funciones potenciales. (distinguir los tipos) Las funciones polinómicas de tercer grado son del tipo y= ax 3 +bx 2 +cx+d Las funciones potenciales son funciones polinómicas del tipo y= ax n, donde a y n pueden ser cualquier par de números reales (suponemos a>0 y n número natural). Al aumentar a más cerrada es la curva. Características principales: n par n impar Dominio IR IR Recorrido IR + IR Simetría Respecto al eje y (par) Respecto al origen (impar) Continuidad Continua Continua Crecimiento Creciente para x>0 y Creciente en todo el dominio decreciente para x<0 10

11 4. Funciones exponenciales 4.1. Función de ecuación y=a x con a> Función de ecuación y=a x con 0<a<1. Función y=a x con a>1 y=a x con 0<a<1. Dominio IR IR Imagen o recorrido (0, ) (0, ) Continuidad Es continua Es continua Cortes con los ejes No cortan al eje x No cortan al eje x Con eje y: (0,1) Con el eje y: (0,1) Monotonía Creciente en todo su dominio Extremos No hay No hay Curvatura Convexa No hay Convexa No hay Cóncava R Cóncava R Puntos de inflexión No tiene No tiene Simetría No es simétrica No es simétrica Periodicidad No es periódica No es periódica Asíntotas Horizontal y=0 Horizontal y=0 Decreciente en todo su dominio 5. Funciones de proporcionalidad inversa. Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación: K<0 k>0 Dominio IR -Valores que anulan el denominador IR - Valores que anulan el denominador Imagen o recorrido IR -Valores que anulan el denominador IR -Valores que anulan el denominador Continuidad No es continua No es continua Cortes con los ejes No tiene No tiene Monotonía Creciente (, 0) U (0, ) Decrec en todo IR - 0 Extremos No tiene No tiene Curvatura Convexa de (, 0) y cóncava de (0, ) Cóncava de (, 0) y convexa de (0, ) Puntos de inflexión No hay No hay Simetría Impar f(-x)=-f(x) Impar f(-x)=-f(x) Periodicidad No hay No hay Asíntotas X=0 Y=0 X=0 Y=0 11

12 k > 0, se representa a modo de una gráfica de dos ramas simétricas con respecto al origen y con respecto a la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrantes del plano. 6. Funciones definidas a trozos Se llaman así porque tienen una definición diferente en cada tramo en el que están definidas (es decir, un dibujo diferente para cada trozo). Vamos a representar gráficamente la siguiente función definida a trozos: Representemos primero las tres expresiones por separado como si fueran independientes y luego las consideraremos en común teniendo en cuenta los subdominios. En primer lugar, g(x) = 5 Es una función contante que pasa por los puntos (x, 5) con x (x libre toma cualquier valor). Su gráfica es: En segundo lugar la función, h(x)=x 2-6x+10 (para representarla es necesario calcular algunas cordenadas de la función cuadrática y calcular el vértice de la parábola) El vértice es (-b/2a, h(-b/2a)) (3, h(3)) (3, 1). Recuerda que el eje de simetría de la parábola es x = 3. Gráficamente: 12

13 Por último la función: j(x) = 4x -15 Es una función afín creciente y para representarla basta con obtener dos coordenadas por donde para la función (que es una recta). Su gráfica es: Y ya finalmente la función a trozos f(x), atendiendo a la información vista, queda del siguiente modo: Alguna de sus características serían: Dom f(x) = Rec f(x) = [1, + ) f(x) en continua en \ {2}; La función corta al eje Y en el punto (0, 5). Es una función constante en ], es decreciente en (2, 3) y creciente de (3, ). Presenta un mínimo relativo en x = 3. 13

14 Más ejemplos de funciones a trozos con sus gráficas correspondientes: Representa las funciones definida a trozos: 14

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