TEMA 8 Y 9 FUNCIONES. (El valor de la y es función de lo que valga x, depende de x).

Transcripción

1 TEMA 8 Y 9 FUNCIONES. FUNCIÓN Una función relaciona dos variables: x (variable independiente) e y (variable dependiente). (El valor de la y es función de lo que valga x, depende de x). y = 3x 5 Una función asocia a cada valor de x un único valor de y. Así, por ejemplo, en la gráfica de aquí abajo, para x = 3 sólo tenemos un valor de y, que es y = 1. La siguiente gráfica no es una función, porque a cada valor de x le corresponden varios de y. Así, por ejemplo, para x = -2,5 hay tres valores de y: 4,5, 0 y -4,5.

2 DOMINIO (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA X ) Es el tramo donde la función existe en x RECORRIDO (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA Y ) Es el tramo donde la función existe en y CRECIENTE Y DECRECIENTE (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA X ) La función es creciente si la gráfica sube, al recorrerla de izquierda a derecha.

3 La función es decreciente, si la gráfica baja, al recorrerla de izquierda a derecha. MÁXIMO (COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS) Es el punto donde la función pasa de creciente a decreciente. MÍNIMO (COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS) Es el punto donde la función pasa de decreciente a creciente. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Una función es continua cuando al dibujar la gráfica no levantamos el lápiz del papel, mientras que si levantamos el lápiz se dice que es discontinua.

4 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA: y = mx Es una recta que SIEMPRE pasa por el origen de coordenadas (0,0). La m es la PENDIENTE DE LA RECTA. m = y x 1. Dominio: Dom f(x)= 2. Recorrido: Im f(x) = 3. Continuidad: Función continua 4. Crecimiento y decrecimiento: - si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x - si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x 5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos. 6. Tabla de valores: Ejemplo: y = 2x x y Representación: Ejemplo: y = 2x

5 2. FUNCIÓN AFÍN: y = mx+n Es una recta que NUNCA pasa por el origen de coordenadas (0,0). La m es la PENDIENTE DE LA RECTA. m = y n x La n es la ORDENADA DE LA RECTA ( donde corta al eje y ) 1. Dominio: Dom f(x)= 2. Recorrido: Im f(x) = 3. Continuidad: Función continua 4. Crecimiento y decrecimiento: - si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x - si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x 5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos. 6. Tabla de valores: Ejemplo: y = 2x + 1 x y Representación: Ejemplo: y = 2x + 1

6 3. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS y=mx+n Sean los puntos A(x 1, y 1 ) y B(x 2, y 2 ). Como la ecuación de la recta será y = mx + n, tendremos que hallar m y n. La m es igual a: Ejemplo: Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 5)? Para no confundirnos y hallar la m sin errores es conveniente entretenernos en asignar valores: x 1 = 2; y 1 = 1; x 2 = 4; y 2 = 5. En la fórmula de arriba sustituimos las letras por sus respectivos valores para hallar la m: y2 y1 5 1 m = = = 2 x x Cómo hallamos n? En la ecuación general y = mx + n sustituimos la m por el valor que acabamos de hallar (2), la y, por la ordenada del punto A (que es y 1 = 1) y la x, por la abscisa x del punto A (que es x 1 = 2) [podríamos haber utilizado también las coordenadas del punto B, en lugar de las del punto A, y el resultado hubiera sido el mismo], con lo que nos queda: y = mx + n 1 = n 1 = 4 + n 1 4 = n n = -3 Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(4, 5) es y = 2x 3

7 4. LA FUNCIÓN CONSTANTE: y=k Se llama constante porque el valor de y siempre es el mismo, es igual a la constante k y no depende de x. Su fórmula general (su ecuación) es Su representación en k. y = k gráfica es una recta paralela al eje X, que corta al eje Y 1. Dominio: Dom f(x)= 2. Recorrido: Im f(x) = n 3. Continuidad: Función continua 4. Crecimiento y decrecimiento: Ni crece ni decrece, es constante. 5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos. 6. No se hace tabla de valores: 7. Representación: Ejemplo: y = 3

8 5. FUNCIÓN CUADRÁTICA y=ax 2 +bx+c Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: Ejemplo: f(x) = x² 4x Vértice x v = ( 4) 2 1 = 4 = 2 2 y v = 2² = 1 V(2, 1) 2. Puntos de corte con el eje OX Eje OX y=0 cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x 1, 0) y (x 2, 0) si b² 4ac > 0 Un punto de corte: (x 1, 0) si b² 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² 4ac < 0 x² 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0) 3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0² + b 0 + c = c (0,c) x² 4x + 3 = 0 f(0)=(0) 2-4(0)+3=3 (0,3)

9 4.Tabla de valores y representación gráfica Colocamos los puntos obtenidos en la tabla (el vértice, y los cortes con los ejes) V OX OX OY x y Estudio de la función: DIBUJO 1. Dominio: Dom f(x)= 2. Recorrido: Im f(x) = (Vy,+ ) Im f(x) = (-,Vy) 3. Continuidad: Funciónn continua 4. Crecimiento y decrecimiento: 5. Máximos y mínimos: Decrece (-,Vx) y crece (Vx,+ ) Mínimo (Vx,Vy) Crece (-,Vx) y decrece (Vx,+ ) Máximo (Vx,Vy).

10 6. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA A PARTIR DEL DIBUJO a y= 2 3 x+1 b y= 5 2 x+2 c y= 5 2 x d y= 3 1 x e y=-2