9 Funciones. Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades. Unidad 9: Funciones

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1 9 Funciones LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.

2 G. W. Leibniz Busca en la web El calculo Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y sin dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años después, pero publicándolos antes, van a crear la herramienta más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de todas las ciencias: el Cálculo. Enlace a la biografía de Leibniz

3 Esquema de contenidos Funciones Coordenadas cartesianas Concepto de función Representación gráfica Tablas Dominio y recorrido Funciones definidas a trozos Estudio de una función Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad

4 Coordenadas cartesianas Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe: P (x, y)

5 Concepto de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

6 Concepto de función No es función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Sí es función

7 Concepto de función No es función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x es la variable independiente, un valor prefijado. Y la variable y es la variable dependiente, valor depende del valor de x. y es y su Sí es función

8 Función expresada mediante tabla de valores Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten. x y Nº personas H

9 Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. Dom f(x) El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Im f(x)

10 Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. Dom f(x) Dom f x =,0 ] [2,5 ] [ 6, El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Im f(x) I m f x =[0, { 1 }

11 Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos.

12 Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. La función definida es: f ( x) = 2 2x x < x 2 2 < x < 4 4 x < +

13 Propiedades de funciones Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad

14 Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.

15 Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. discontinua discontinua continua Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función. continua

16 Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. EJE X, y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. EJE Y, x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.

17 Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. EJE X, y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. (0, 2) corte con eje Y EJE Y, x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. (-3, 0) corte con eje X

18 Crecimiento y decrecimiento Una función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

19 Crecimiento y decrecimiento Una función es creciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. Una función es decreciente en un tramo si, al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. Decreciente en (-, -5) Creciente (5, 4) en Decreciente en (4, + )

20 Máximos y mínimos En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente se dice que la función alcanza un máximo. En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a creciente se dice que la función alcanza un mínimo. Mínimo en x = -5 Máximo en x = 4

21 Simetrías Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y) o simetría par Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando f x = f x Simetría respecto del origen o simetría impar Una función es simétrica respecto del origen cuando f x = f x

22 Simetrías f x =x 2 4 Simetría par f ( x) = f ( x ) f x =x 2 4 f x = x 2 4=x 2 4 f x =x 3 5x Simetría impar f ( x) = f ( x ) f x =x 3 5x f x =[ x 3 5 x ]=[ x 3 5x ]= [ x 3 5x ]= f x

23 Periodicidad Una función es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T, se le llama periodo. periodo T =2 Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por todo el dominio.

24 Estudio de una función I Dominio: Dom f x =, R todoslos números reales Recorrido: Im f x =, R todos los números reales Puntos de corte: Eje X : x = -5 P(-5,0) x = 0 P(0,0) Eje Y : y = 0 P(0,0) Continuidad: la función es continua. Crecimiento y decrecimiento: decrecient e (-3,0) creciente (-,-3) (0, + ) Máximos y mínimos: máximo mínimo en en (-3,3) (0,0) Simetría Pperiodicidad. No No

25 Estudio de una función II Dominio: Dom f x =R 4, 2 Recorrido: Im f x =, 12 ] Puntos de corte: P.C. eje X : x= 4 ; x= 2 ; x=2 ; x=10 P.C. ejey : y= 4 Continuidad: La función NO es continua.en todos los puntos. En el intervalo (-4,-2) no está definida Crecimiento y decrecimiento: Máximos y mínimos: Simetría. Periodicidad No No f en, 4 0,4 f en 2,0 4, Máximo relativo en x=4 Mínimo relativo en x=0

26 Enlaces de interés DivulgaMat Diccionario matemático IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

27 Actividad: La función lineal y la función afín Dirección: En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b. Para conocerlo, sigue este enlace.