APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO

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1 APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO - DEFINICIÓN: Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y. : variable independiente (puedo tomar de ella el valor que quiera) y: variable dependiente (su valor me viene dado de manera única por el valor de y la epresión de la función) y = f () = 2+5 (Recta) y = f () = 2 - (Parábola) y = f () = 1 (Hipérbola) y = f () = y = f () = 2 (Potencial) (Logarítmica) - TABLAS DE VALORES: La tabla de valores es una epresión de la función (incompleta) que nos puede ayudar a representar la gráfica de la función. Ésta es otra epresión de la función que nos puede ayudar a conocer el comportamiento de la variable dependiente cuando se varían los valores de la variable independiente. f () = 2+5 f() f () = 2 - f() f () = 1 f() ? f () = 2 f() f () = f()

2 - EJERCICIO: Dadas las tablas de valores anteriores, realizar las gráficas de las cinco funciones de los ejemplos. - PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES: De cada una de las funciones que se estudian, no sólo es necesario conocer algunos valores o intuir la gráfica de la función. De hecho en niveles superiores, conocer la gráfica de la función será algo derivado de un profundo estudio de la función. Para poder conocer las funciones que nos traemos entre manos necesitamos definir una serie de propiedades que van a variar de unas a otras pero que determinaran de forma clara de que función se trata. Dichas propiedades son las siguientes: Dominio [Dom f ]. Recorrido o imagen [Im f]. Puntos de corte con el eje y con el eje y. Continuidad Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos Simetrías Asíntotas Periodicidad Para estudiar el resto de los temas de funciones, primero conoceremos cada propiedad y la aplicaremos a nuestros ejemplos. Una vez conocidas todas las propiedades, generalizaremos los ejemplos para conocer las grandes familias de funciones y sus propiedades: rectas, parábolas, hipérbolas - DOMINIO: El dominio de una función, Dom f, es el conjunto de todos los valores que toma la variable. Dicho de un modo coloquial, es el conjunto de puntos que tienen una imagen. f() = 2+5 Dom f = R. f() = 2 - Dom f = R. f() = 1 Dom f = R-{0} f() = f() = 2 Dom f = R Dom f = (0, )

3 - RECORRIDO: El recorrido o Imagen de una función, Im f, es el conjunto de valores que toma la variable y. Dicho de modo coloquial, es el conjunto de puntos que son imagen de algún. - EJEMPLO: f() = 2+5 Im f = R. f() = 2 - Im f = [-,+ ]. f() = 1 Im f = R-{0} f() = f() = 2 Im f = (0, ) Im f = R - PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: Con el eje X. Son aquellos para los que la imagen es 0. Por tanto se calculan resolviendo la ecuación f()=0. Con el eje Y. Es aquel para el que =0. Por tanto se calcula resolviendo f(0). f() = 2+5 Corte con X: 2+5=0 =- 2 5 (- 2 5,0) Corte con Y: f(0) = = 5 (0,5) f() = 2 - Corte con X: 2 -=0 = ± (-, 0) y (+, 0) Corte con Y: f(0) = 0 2 = - (0, -) 1 1 f() = Corte con X: = 0 No tiene. Corte con Y: f(0) No tiene. f() = f() = No tiene. Corte con Y: 2 0 = 1 (0,1). 2 Corte con X: 2 = 0 Corte con X: = 0 = 1 (1,0) Corte con Y: 0

4 - CONTINUIDAD: Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos donde no hay continuidad se llaman Discontinuidades y pueden ser finitas o infinitas. - EJEMPLOS: f() = 2+5 Continuidad en R. f() = 2 - Continuidad en R. f() = 1 Continuidad en (-, 0) y en (0, + ). Discontinuidad infinita en =0. f() = f() = 2 Continuidad en R. Continuidad en (0, + ) - CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: Una función es Creciente en un intervalo (a,b) si, para todo par de valores pertenecientes a ese intervalo, de manera que 1 < 2 se cumple que f( 1 ) < f( 2 ). Una función es Decreciente en un intervalo (a,b) si, para todo par de valores pertenecientes a ese intervalo, de manera que 1 < 2 se cumple que f( 1 ) > f( 2 ). Una función es Constante en un intervalo (a,b) si, para todo par de valores pertenecientes a ese intervalo, de manera que 1 < 2 se cumple que f( 1 ) = f( 2 ). f() = 2+5 Creciente en R. f() = 2 - Decreciente en (-, 0) y Creciente en (0, + ). f() = 1 Decreciente en (-, 0) y Decreciente en (0, + ). f() = f() = 2 Creciente en R. Creciente en (0, + )

5 - MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS: Una función tiene un máimo relativo en un punto cuando en él, la función pasa de ser creciente a ser decreciente y no tiene picos. Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando en él, la función pasa de ser decreciente a ser creciente y no tiene picos. - EJEMPLOS: f() = 2+5 Creciente en R. No tiene ni máimos ni mínimos. f() = 2 - Decreciente en (-, 0) y Creciente en (0, + ). Tiene un mínimo en =0 y no tiene máimos. f() = 1 Decreciente en (-, 0) y Decreciente en (0, + ). No tiene ni máimos ni mínimos. f() = 2 Creciente en R. No tiene máimos ni mínimos. f() = Creciente en (0, + ) No tiene máimos ni mínimos.

6 - SIMETRÍAS: Una función es simétrica respecto del eje Y cuando la representación de la función de un lado del eje es imagen especular de la representación del otro lado. De modo matemático, cuando f(-) = f(). En este caso la función se dice que es Par. Una función es simétrica respecto del origen (0,0), cuando la representación de la función de un lado del eje Y es imagen especular de la representación del otro lado, reflejada por el eje X. De modo matemático, cuando f(-) = -f(). En este caso la función se dice que es Impar. f() = 2+5 f(-)=2 (-)+5 = f() No es Par. f(-)=2 (-)+5 = f() No es Impar. f() = 2 - f(-)= (-) 2 - = 2 - = f() Es Par f() = f(-) = = = - f() Es Impar. 1 f() = 2 f ( ) = 2 = f ( ) No es par. 2 1 f ( ) = 2 = f ( ) No es impar. 2 f() = f ( ) = ( ) No es par ni impar.