ANÁLISIS. d) No, se podrían haber considerado infinitas funciones diferenciadas en una constante.

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1 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. ANÁLISIS Junio 99. Sea f: una función cuya primera derivada es f () =. Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, de concavidad y conveidad de la función f(). ( puntos) b) Razonar si eisten máimos, mínimos y puntos de infleión. En caso de que eistan, calcularlos. ( puntos) c) Representar la gráfica de una función cuya primera derivada sea. ( puntos) d) La gráfica representada en el apartado anterior es la única que se podía pintar? por qué?. ( puntos) a) CRECIENTE: (0, ) ; DECRECIENTE: (, 0) (, ) ; CÓNCAVA: (, ) ; CONVEXA: (, ) b) MÍNIMO: = 0 ; MÁXIMO: = ; PUNTO DE INFLEXIÓN: = c) La más sencilla es: f() = / : Mínimo: (0, 0) ; Máimo: (, /) ; Punto de infleión: (, /) Cortes con ejes: (0, 0) ; (, 0) d) No, se podrían haber considerado infinitas funciones diferenciadas en una constante. Junio 99. Dada la función f(), se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Razonar si eisten máimos y mínimos y en caso de que eistan, calcularlos. (6 puntos) b) Estudiar la eistencia de asíntotas. En caso de que eistan, calcularlas. ( puntos) a) CRECIENTE: (, ) (, ) ; DECRECIENTE: (, ) ; MÁXIMO: (, ) ; MÍNIMO: (, ) b) Asíntotas verticales: 0 ; asíntotas oblicuas: y Septiembre 99. Sea f: Se pide: una función que cumple las siguientes condiciones: i) lím f() ii) lím f() iii) lím f() iv) lím f() v) f(0) 0 a) Dibujar la gráfica de una función f que verifique las cinco condiciones anteriores. (Razonar la gráfica dibujada). ( puntos) b) Dar la ecuación de la función representada en el apartado anterior. (Razonar la respuesta). ( puntos) c) Representar la gráfica de la función g() haciendo un estudio de su crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. ( puntos)

2 Y a) b) f() c) La gráfica de la función g(), se corresponde con la anterior: - La función es decreciente. - Es convea en (, ) y cóncava en (, ) 0 X y = = Septiembre 99. Dada la función y = +, se pide: a) Dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Razonar si eisten máimos y mínimos, y en caso de que eistan, calcularlos. ( puntos) b) Dar los intervalos de concavidad y conveidad de la función. Razonar si eisten puntos de infleión, y en caso de que eistan, calcularlos. ( puntos) c) Representar la gráfica de la función. ( puntos) d) Dar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa = 0. ( puntos) a) La función es CRECIENTE. No hay máimos ni mínimos. b) CONVEXA: (, 0) ; CÓNCAVA: (0, ) ; PUNTO DE INFLEXIÓN: (0, ) c) Puntos de corte con los ejes: (, 0) ; (0, ) d) y = Junio 99. a) Considerar la función f() = + a + b siendo a, b. Hallar a y b para que f() tenga un mínimo en el punto (,). Razonar la respuesta. ( puntos) b) Considerar la función f(). Razonar si eisten máimos, mínimos y puntos de infleión; en caso de que eistan, calcularlos. ( puntos) a) a = ; b = b) MÁXIMO: (0, 0) ; No hay PUNTOS DE INFLEXIÓN. Junio 99. a) El coste de la producción de unidades diarias de un determinado producto es 0 0 y el precio de venta de una unidad es (0 ). Calcular el número de unidades del producto que deben venderse diariamente para que el beneficio sea máimo y el beneficio máimo que se obtiene. Razonar la respuesta. ( puntos) b) Hallar la región del plano limitada por las gráficas de las siguientes funciones: y = + e y = + ( puntos)

3 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. a) Deben venderse unidades. El beneficio máimo es de 0. b) S =, u Septiembre 99. Las funciones de oferta, q = S(p), y demanda, q = D(p), que determinan la cantidad q de un producto en función de su precio p, son respectivamente: S(p) p ; D(p) p Se pide: a) Calcular el precio de equilibrio (cuando la oferta y la demanda se igualan), y para este precio la cantidad de producto demandada y ofertada. ( puntos) b) En el mismo sistema de ejes cartesianos, representar gráficamente S(p) y D(p) para p > 0, haciendo previamente un estudio del crecimiento, decrecimiento, conveidad y concavidad de cada una de las dos funciones. ( puntos) c) Calcular el área de la región limitada por las gráficas de S(p), D(p) y la recta p =. ( puntos) a) Precio de equilibrio: p =. Cantidad de producto: b) S(p) D(p) - c) S.ln + / u 7,0 u Septiembre 99. Considerar la función f(). Se pide: a) Dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, de concavidad y conveidad de la función. Razonar si eisten máimos, mínimos y puntos de infleión. ( puntos) b) Razonar si eisten asíntotas y en caso de que eistan, calcularlas. ( puntos) c) Representar la gráfica de la función. ( punto) d) Calcular d. Eplicar qué representa este valor. ( puntos) a) Creciente: (, 0) ; Decreciente: (0, ) ; Cóncava ; No hay máimos, ni mínimos ni puntos de infleión. b) Asíntota vertical: = 0 ; Asíntota horizontal: y = c) 0 d) /. Es el área del recinto limitado por la función, el eje OX y las rectas = y =.

4 Junio 996. a) Encontrar un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máima. Razonar la respuesta. ( puntos) b) Calcular el área del recinto plano limitado por las gráficas de y = 9, y = 7. ( puntos) a) 0, b) 6 u Junio 996. El coste total de fabricación de q unidades de un cierto artículo es C(q) = q + q + 7 dólares. Se define coste medio por unidad como el cociente C(q) / q. Se pide: a) En qué nivel de producción será menor el coste medio por unidad?. Razonar la respuesta. (7 puntos) b) Tiene la función coste medio por unidad puntos de infleión?. Razonar la respuesta. ( puntos) a) unidades. b) No tiene puntos de infleión. Septiembre 996. Considerar la función f() =. Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Razonar si eisten máimos y mínimos y, en caso afirmativo, calcularlos. ( puntos) b) Razonar si eisten puntos de infleión. En caso de que eistan, calcularlos. ( puntos) c) Calcular el área de la superficie comprendida entre la gráfica f() y el eje OX. ( puntos) a) CRECIENTE: (, ) (, ) ; DECRECIENTE: (, ) ; MÁXIMO: (, ) ; MÍNIMO: (, ) b) PUNTO DE INFLEXIÓN: (0, 0) c) S = 9/ u 6 Septiembre 996. La función de beneficios de una empresa es B() donde representa los años de vida de la empresa ( 0) y B() está epresado en millones de pesetas. Se pide: a) Determinar cuándo la empresa tiene ganancias y cuándo pérdidas. ( puntos) b) Determinar si B() tiene máimos, mínimos y puntos de infleión en su dominio de definición. ( puntos) c) Están los beneficios limitados?. Razonar la respuesta. Si lo están, cuál es su límite?. ( puntos) a) Tiene pérdidas los dos primeros años. A partir de entonces, tiene ganancias. b) No tiene etremos relativos ni puntos de infleión. c) Sí están limitados. millones. Junio 997. Sea la función f() = ln ( + ). Se pide: a) Determinar el dominio de definición de f(). ( punto) b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). Razonar si eisten máimos y mínimos. En caso afirmativo, calcularlos. (6 puntos) c) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en = 0. ( puntos) a) Dom (f) = b) DECRECIENTE: (, 0) ; CRECIENTE: (0, ) ; MÍNIMO RELATIVO: (0, 0) c) y = 0 (el eje OX)

5 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. Junio 997. Una empresa emplea un único factor para producir un bien de acuerdo con la función de producción q(), donde es el número de unidades de factor utilizadas en el proceso de producción y q() representa el número de unidades de bien obtenidas en dicho proceso. Cada unidad del bien se vende a 00 unidades monetarias y una unidad de factor cuesta 0. Se pide: a) Determinar una función que represente los beneficios de la empresa en función de la cantidad de factor que se utiliza. ( puntos) b) Qué cantidad de factor se ha de utilizar para maimizar los beneficios de la empresa?, cuál es el máimo beneficio que alcanza la empresa?. Eplicar los pasos seguidos para obtener las respuestas. (7 puntos) a) B() 00 0 b) 6 unidades. Beneficio máimo = 800 Septiembre 997. Considerar la función f() =. Se pide: a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). Razonar si eisten máimos y mínimos de f() y, en caso afirmativo, calcularlos. ( puntos) b) Eisten puntos de infleión de f()?. Razonar la respuesta. ( puntos) c) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en =. ( puntos) a) CRECIENTE: (, 0 ) (, ) ; DECRECIENTE: ( 0, ) ; MÁXIMO: (0, 0) ; MÍNIMO: (, ) b) PUNTO DE INFLEXIÓN:, c) y + 7 = 0 Septiembre 997. Considerar la función f() a bln. Se pide: a) Calcular los valores de a y b para que f() tenga un punto de infleión en el punto (, ). (6 puntos) b) Para a = y b = 0, calcular f() d. Interpretar geométricamente esta integral. ( puntos) a) a = ; b = 6 b) I. Es el área del recinto limitado por la función f() =, el eje OX y las rectas = y =. Junio 998. Dada la función f() = + ln, se pide: a) Cuál es el dominio de definición de f()?. ( punto) b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). Razonar si eisten máimo y mínimo y, en caso afirmativo, calcularlos. ( puntos) c) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad de f(). Razonar si eisten puntos de infleión y, en caso afirmativo, calcularlos. ( puntos) d) Determinar, si eisten, las asíntotas de f(). ( puntos) a) Dom f = + = (0, ) b) La función es creciente en todo su dominio. No hay máimos ni mínimos. c) CONVEXA: (0, ) ; CÓNCAVA: (, ) ; PUNTO DE INFLEXIÓN: (, ) d) Asíntota vertical: = 0 + pues: lím f() 0

6 Junio 998. a) Un cultivador de frutas cítricas estima que si plantan 60 naranjos en un huerto, la producción media por árbol será de 00 naranjas y ésta disminuirá en un promedio de naranjas por árbol por cada árbol adicional plantado en el huerto. Se pide: i) Determinar la función de producción total de naranjas. ( puntos) ii) Cuántos árboles se deben plantar en el huerto para maimizar la producción total de naranjas?, cuál es dicha producción máima?. Razonar la respuesta. ( puntos) b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función y y las rectas = 0, =, y = 0. (puntos) a) i) f() = donde representa el número de árboles que ecede a 60. ii) 70 árboles. Producción máima:.00 naranjas b) u Septiembre 998. Sea la función e si 0 f() a si 0 si con a un parámetro real. Se pide: a) Determinar, razonadamente, el valor del parámetro a para que f() sea continua en = 0. ( puntos) b) Para qué valores del parámetro a es continua f() en =?. Razonar la respuesta. ( puntos) c) Determina el valor del parámetro a para que Septiembre 998. Sea la función f(). Se pide: f() d ( puntos) 0 a) a = b) f() es discontinua en = a pues en = + la función tiene una asíntota vertical c) a = a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(). Razonar si eisten máimos y mínimos y, en caso de que eistan, calcularlos. ( puntos) b) Tiene f() puntos de infleión?. Justificar la respuesta. ( puntos) c) Determinar, si eisten, las asíntotas de f(). ( puntos) a) CRECIENTE: (, 8) (0, ) ; DECRECIENTE: ( 8, 0) ; MÁXIMO: ( 8, 6) ; MÍNIMO: (0, 0) b) No c) VERTICAL: =. OBLICUA: y = Junio 999. Sea la función b si 8 si f() si donde b es un parámetro real. Se pide: a) Calcular el valor del parámetro b para que f() sea continua en = - y en =. ( puntos) b) Calcular el área del recinto plano limitado por y = f(), y = 0, = 0, =. Eplicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. (6 puntos) 7 a) b = 6 b) S u

7 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. Junio 999. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como el producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maimizar su seguridad? Eplicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. (0 puntos) alarmas tipo A y 6 alarmas tipo B b Septiembre 999. Dada la función f() con b un parámetro real distinto de 0. Se pide: a) Determinar las asíntotas de la función f() para cualquier valor del parámetro b. ( puntos) b) Determinar el valor del parámetro b para que la función f() tenga un máimo en el punto (, ). (6 puntos) a) Asíntotas verticales: no tiene ; Asíntota horizontal: y = 0 pues lím f() 0 b) b = 6 Septiembre 999. Dada la función f(), se pide: a) Determinar, en caso de que eistan, los máimos y mínimos de la función f() en el intervalo,. ( puntos) b) Calcular el área del recinto limitado por: y = f(), y = f (). Eplicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. (6 puntos) a) Máimo en, b) 9 u Junio 000. Considerar la función polinómica de tercer grado parámetros reales. Se pide: f() a b c d, siendo a, b, c y d a) Determinar los valores de los parámetros para que f() tenga un máimo en el punto (0, ) y un mínimo en el punto (, 0). (7 puntos) b) Para a = b = c = d =, razonar si f() tiene puntos de infleión y, en caso afirmativo, calcularlos. ( puntos) 0 a) a = ; b = ; c = 0 ; d = b) Tiene un punto de infleión en, 7 Junio 000. a) Determinar el área limitada entre las parábolas b) Determinar una función f() que verifica: y, y. ( puntos) f'() 0, f() ( puntos) 6 a) u b) f() 7

8 Septiembre 000. Considerar la función f() p q, siendo p y q números reales. Se pide: a) Qué valores deben tomar p y q para que f() tenga un mínimo en el punto (, )? Razonar la respuesta. (7 puntos) b) Para p = y q =, razonar si f() tiene puntos de infleión y, en caso afirmativo, calcularlos. ( puntos) a) p =, q = b) Punto de infleión en (, ). Septiembre 000. a) De entre todos los pares de números que suman 0, calcular aquel par cuyo producto sea máimo. Eplicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. ( puntos) b) Calcular el área del recinto plano limitado por las gráficas de y =, y =. ( puntos) a) y. b) u 6 Junio 00. Sea una función f() tal que su primera derivada es f () = + b, con b un parámetro real. Se pide: a) Determinar el valor del parámetro b para que f() tenga un mínimo en =. ( puntos) b) Puede tener f() un máimo en =?. Razonar la respuesta. ( puntos) c) Determinar el valor del parámetro b para que 0 y sean raíces de f(). ( puntos) a) b = b) No, f() solo tiene un punto crítico pues f () es de primer grado. c) b = si Junio 00. Dada la función f(), se pide: 0 si a) Demostrar que f() no es continua en =. ( puntos) b) Eiste una función continua que coincida con f() para todos los valores?. En caso afirmativo, dar su epresión. ( puntos) c) Eiste alguna asíntota oblicua de f()?. En caso afirmativo, calcularla. ( puntos) a) No es continua porque límf() f() b) si f() 0 si c) Asíntota oblicua: y = + Septiembre 00. a) Calcular, si eisten, los puntos de infleión de la función f() ln ( puntos) b) Determinar una función polinómica cuya derivada sea y cuya gráfica pase por el punto,. ( puntos) a) Tiene un punto de infleión en b) F()

9 Septiembre 00. Dada la función f() 6 8, se pide: Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. a) Probar que la recta y es tangente a la curva y f() en algún punto. ( puntos) b) Determinar el área del recinto plano limitado por la curva y f() y el eje de abscisas. (6 puntos) a) Es tangente en el punto, b) S = 8 u Junio 00. Se considera la función f(). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). ( puntos) b) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad de f(). Eisten puntos de infleión?. Razonar la respuesta. ( puntos) c) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en = 0. ( puntos) a) La función es creciente., b) Cóncava: ; convea:, c) y =.. No tiene puntos de infleión pues f () 0. Junio 00. Dada la función f() a b, donde a y b son parámetros reales, se pide: a) Determinar el valor de los parámetros a y b para que f() tenga un etremo relativo en el punto (, ). Es máimo o mínimo? ( puntos) b) Considerando b = 0, determinar el valor del parámetro a para que f() tenga una primitiva cuya gráfica pase por el origen y por el punto (, ). ( puntos) 9 a) a, b. Se trata de un mínimo. b) a = 0 8 0p 0 Septiembre 00. La demanda de un bien en función de su precio viene dada por D(p). p a) Demostrar que al aumentar el precio disminuye la demanda. ( puntos) b) Suponiendo que el precio aumenta indefinidamente, decir qué ocurrirá con la demanda. ( puntos) c) Escribir los ingresos de una empresa en función del precio suponiendo que dicha empresa es la única que produce este bien. ( punto) d) Calcular el precio para que la empresa del apartado anterior maimice sus beneficios sabiendo que los costes vienen dados por C(p) = p /. ( puntos) a) Hay que comprobar que la función es decreciente p b) La demanda se aproimaría cada vez más a 0. 0p 0p c) I (p) d) p = 60 p 9 Septiembre 00. Se considera f() a b a) Calcular el valor de los parámetros a y b para que f() tenga un mínimo en el punto (, 8). (6 puntos) b) Para a = y b = 0, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). ( puntos) 9

10 9 a) a, b b) Decreciente:, 0, ; Creciente:, 0, Junio 00. Se considera la función f() a, con a y b parámetros reales. b a) Determinar si para a =, eiste algún valor de b para el que f() tenga un mínimo en =. ( puntos) b) Si b =, eiste algún valor de a para el que f() tenga un punto de infleión en =? ( puntos) c) Para a = y b = 0, calcular f() d e interpretar geométricamente el resultado. ( puntos) 0 a) b =. b) a 8 c) 6. Es el área limitada por la parábola y =, el eje de abscisas y las rectas = 0 y =. Junio 00. El precio unitario de un bien, en función de la cantidad q que se oferta en el mercado, viene 000 q dado por la función p(q) q a) Demostrar que al aumentar la cantidad ofertada, disminuye el precio. ( puntos) b) Decir cuál será el precio de ese bien si la cantidad que hay en el mercado es ilimitada, por ejemplo si se puede importar cualquier cantidad por grande que sea. (, puntos) c) Escribir, en función de la cantidad ofertada, los ingresos que genera ese bien, si se vende toda la cantidad que hay en el mercado. ( punto) d) Calcular el precio para el que una empresa maimiza sus beneficios, suponiendo que es la única que ofrece ese bien y que los costes vienen dados por la función C(q) (q 00) 0lnq. (, puntos) a) Hay que demostrar que la función p(q) es decreciente q. b) c) I(q) q 00 d) p 9,8 Septiembre 00. Se considera la función f() a) Calcular su dominio de definición. Razonar la respuesta. ( punto) b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). Razonar si eisten máimos y mínimos de f() y, en caso afirmativo, decir cuáles son. (, puntos) c) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad de f(). Razonar si eiste punto de infleión. (, puntos) a) D(f) = {} b) Decreciente:, 0 8, c) Cóncava:, ; convea: ; Creciente: (0, 8) ; Máimo: (8, 6) ; mínimo: (0, 0), ; No tiene puntos de infleión pues f () 0.

11 Septiembre 00. Sea f() si a si Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. a) Calcular los valores del parámetro a para los que f() es continua en =. (, puntos) b) Para qué valor del parámetro a la función f() tiene un máimo o mínimo en =?. Determinar si es máimo o mínimo. (, puntos) c) Para a =, determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). ( puntos) a) a b) a =. Se trata de un mínimo. c) Decreciente:,, ; Creciente:, si Junio 00. Sea f() 0 si a a) Calcular los valores del parámetro a para los que f() es continua en =. (, puntos) b) Para a = 0, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). (, puntos) c) Para a =, calcular las asíntotas verticales y horizontales de f(). ( puntos) 7 a) a,,, c) Asíntota vertical: = ; Asíntota horizontal: y = 0 b) Creciente: ; Decreciente:, Junio 00. Sea f() e a, con a un parámetro real. a) Calcular los valores del parámetro a para que f() tenga un máimo o un mínimo en =. Para estos valores del parámetro, decir si = es máimo o mínimo. ( puntos) b) Para a =, escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f(). (6 puntos) a) a. Se trata de un máimo. b) Decreciente:, ; Creciente:, ; Convea:, ; Cóncava:, Septiembre 00. Se considera la función f() a) Razonar a qué es igual el dominio de definición de f(). (, puntos) b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). (, puntos) c) Determinar los intervalos de concavidad y de conveidad de f() y los puntos de infleión. (, puntos) d) Determinar los valores de a y b para que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto sea y a b ( puntos) Dom(f) b) La función es creciente en todo su dominio a) c) Cóncava en, y convea en,. No tiene puntos de infleión. d) 9 a, b

12 Septiembre 00. Se considera la función f() a b, con a y b parámetros reales. a) Eisten valores de a y b para los que f() tenga un máimo en y un mínimo en? ( puntos),. ( puntos) b) Determinar los valores de a y b para que f() tenga un punto de infleión en c) Para ab, eisten asíntotas verticales de f()?, y asíntotas horizontales?. ( puntos) a) Sí: a 0, b b) a 6, b c) No hay asíntotas ni verticales ni horizontales. Junio 00. Se considera la función f() a ln, siendo a un parámetro real. a) Escriba el dominio de definición de f(). (0,7 puntos) b) Compruebe si hay algún valor de a para el que f() tiene punto de infleión en =. (, puntos) c) Para a calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máimos y mínimos de la función f(). (, puntos) d) Para a = calcule lím f() y lím f() 0 (, puntos) a) D(f) (0, ) b) a = 6 c) lím (ln ) ; lím (ln ) 0 Junio 00. Se sabe que la función de beneficios de una empresa es de la forma B () a b, siendo el número de unidades producidas y a y b parámetros reales. a) Calcule, si eisten, los valores de los parámetros a y b para que una producción de = 00 proporcione un beneficio de 0 unidades monetarias y que además sea el máimo que se puede obtener. (6 puntos) b) Para a y b 6, calcule las cantidades que se han de producir para que el beneficio aumente o disminuya (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y los puntos de infleión de B(), si eisten. ( puntos) a) a, b 0 b) Aumenta hasta = 6 y disminuye desde = 6. No tiene puntos de infleión. Septiembre 00. Se considera la función f() a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los máimos y mínimos. (,7 puntos) b) Determine los intervalos de concavidad y de conveidad y los puntos de infleión. (,7 puntos) c) Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto =. (, puntos) 7 a) Creciente:,. Decreciente: 7,. Máimo en 7,,,. Puntos de infleión en = y en =. b) Convea:. Cóncava: c) 0 y 7 0

13 Septiembre 00. Sea si 0 f() si 0 a Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. a) Eiste algún valor del parámetro a para el que f() sea continua en = 0? (, puntos) b) Para a, calcule los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f(). (6 puntos) c) Para a =, compruebe si es asíntota vertical de f(). (, puntos) a) a c) no es una asíntota vertical. b) Decreciente:,0. Creciente: 0,. Cóncava:,0. Convea: 0, Junio 006. Se considera la función f() a b ln siendo a y b parámetros reales. a) Determine los valores de a y b sabiendo que f y que la derivada de f() es nula en. ( puntos) b) Para a y b, determine los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de f() ( puntos) c) Para ab, calcule lím f() y límf(). ( puntos) 0 a) a, b 6 b) Convea: lím f() ; límf() c) 0 f() a e Junio 006. Se considera la función a siendo a un parámetro real. a) Razone a qué es igual el dominio de f(). (, puntos) b) Determine el valor de a para que la gráfica de f() pase por el punto 0, (, puntos) c) Para a, determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). Eisten máimos y mínimos relativos de f()?, en caso afirmativo, decir dónde se alcanzan y su valor. (7, puntos) a) Dom (f) = b) a c) Decreciente:,, ; Creciente:, Septiembre 006. Se considera la función 0,. Cóncava:,. Punto de infleión en ; Mínimo relativo:, e ; Máimo relativo:, e f() a b siendo a y b parámetros reales. a) Determine los valores de los parámetros a y b para los que f() y la recta tangente a la gráfica de f() en 6 es horizontal. ( puntos) b) Para a y b. b ) Razone cuál es el dominio de f() y la eistencia de asíntotas verticales. ( puntos)

14 b ) Determine los intervalos de concavidad y de conveidad y los puntos de infleión de f(). ( puntos) a) a, b b) b ) D(f) ; b ) Convea:, ; Cóncava:, asíntota vertical. ; no tiene puntos de infleión. Septiembre 006. En una factoría la función de costes es toneladas que se producen. C() ln, donde 0 es el número de a) Calcule el coste mínimo, si eiste, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste. ( puntos) b) Si la función de ingresos es I() escriba la función de beneficios. ( punto) c) Calcule los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente y diga si eiste beneficio máimo y en caso afirmativo el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio. ( puntos) a) El coste mínimo es con una producción de tn. b) B() ln c) Creciente 0 6 Junio 007. a) Derive las funciones f() ln, g(), h() e (, puntos) 6 b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de, si eisten, para los que f() alcanza máimo o mínimo relativo. ( puntos) 6 a) f'() ; g'() ; h'() e 7 b) D (f). En mínimo relativo. Junio 007. a) Derive las funciones f() 8, g(), h() e f() si 0 b) Diga si la función m() es continua en = (0,7 puntos) g() si < (, puntos) c) Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m() en = 9. (, puntos) a) f'() ; g'() ; h'() e b) Sí es continua. c) 8 y 67 0 f(), g(), h() ln Septiembre 007. a) Derive las funciones (, puntos) 0p 00 si 0 p 0 b) La oferta de un bien conocido su precio, p, es S(p). Represéntela y a la p 60p 000 si 0 p 0 vista de su gráfica, diga para qué valor del precio se alcanza la máima y la mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 00 unidades. ( puntos)

15 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. a) f'(), g'() 9 b) 00, h'() ln La máima oferta se alcanza para un precio de 0 u.m. y la mínima oferta para un precio de 0 u.m. Para 0 p Septiembre 007. a) Derive las funciones f() 8, g(), h() e (, puntos) 6 ln b) Razone a qué es igual el dominio de la función f() y calcule los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de dicha función. ( puntos) 96 6 ln a) f'() ; g'() ; h'() e 6 ln b) D (f) 0. Convea:, 0,. Cóncava: 0, ; Punto de infleión en. Junio 008. CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f() ln 8, g(), h() (, puntos) 8 0t t si t0, 8,0 b) La velocidad (en metros/minuto) de un juguete viene dada por V(t) 6 si t, 8 siendo la variable t el número de minutos transcurrido desde que se pone en marcha. b ) Represente la función velocidad. (0,7 puntos) b ) A la vista de la gráfica, diga cuál es la velocidad máima y en qué momento o momentos se alcanza. (0, puntos) b ) Calcule la velocidad del juguete pasados 0 segundos desde su puesta en marcha. Hay algún otro momento en el que lleva la misma velocidad?, en caso afirmativo, diga en cuál. (0,7 puntos), 6 6 a) f'() ln ; g'() ; b ) 0 h'() ln b ) Velocidad máima: 6 m/min. Entre los y los 8 minutos. b ),7 m/min. A los 9 min. 0 seg. 0 0

16 CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f() 7, 9 g() e, h() 0 (, puntos) b) Razone a qué es igual el dominio de la función f() del apartado anterior, y diga los puntos en los que alcanza máimo o mínimo relativo. ( puntos) 9 a) f'() 7 ; Septiembre 008. CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f(), g() ( punto) b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los intervalos de concavidad y conveidad de la función f() del apartado anterior, así como los puntos de infleión. (, puntos) CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f() 8 g() ln ( punto) si 6, b) Sea la función f() si, b ) Razone si f() es continua o discontinua en y en. (, puntos), 9 b ) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() para los valores 6,. (, puntos) g'() e ; h'() 0 b) D(f) 0. : máimo relativo ; : máimo relativo ; a) f'() ; g'() 0 b) D(f). Cóncava:, ; Convea:, 9 a) f'() 6 ; g'() ln b ) Es discontinua en y continua por la izquierda en. b ) Creciente en 6, y decreciente en,. : mínimo relativo. ; No tiene puntos de infleión. Junio 009. CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f() 6 ln, g() e, h() [, puntos] b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de, si eisten, para los que la función f() del apartado anterior, alcanza máimo o mínimo relativo. [ puntos] a) f'() ; g'() e ; b) D(f) 0, ; mínimo relativo. 6 h'()

17 CUESTIÓN B: a) Derive las funciones f() ln, g() Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza., h() [, puntos] 0p p si 0 p 0 b) La demanda de un bien conocido su precio, p, viene dada por D(p) p si 0 p 0 Represéntela. A la vista de su gráfica diga para qué valor del precio se alcanza la máima y la mínima demanda y para cuáles la demanda es mayor que 7 unidades. [ puntos] a) f'() ; b) 00 g'() 0 ; h'() ln Máima demanda para un precio de 0 unidades monetarias. Mínima demanda para 0 unidades monetarias. Para un precio entre 0 y unidades monetarias. Septiembre 009. Cuestión B: a) Derive las funciones f() y g() ln ( punto) si, b) Sea la función f() si, b) Razonar si f es continua en y en. (, puntos) b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() para los valores, (, puntos). a) f'() ; g'() ln b) En tiene una discontinuidad inevitable con salto finito. En es continua por la izquierda. b) Decreciente en, 0 y creciente en 0,. Cuestión B: a) Derive las funciones f() e, g() 8, h() (, puntos) b) Razone a qué es igual el dominio de la función g() del apartado anterior y calcule sus intervalos de concavidad y conveidad, así como sus puntos de infleión. ( puntos) a) f'() e ; g'() 6 ; b) D(g) 0 ; Cóncava:, 0, h'() ; Convea:,0 7

18 Junio 00. a) Derive las siguientes funciones: (, puntos) f() ln ln ln, g() ln, h() ln e b) Razone cuál es el dominio de la función f(). Calcule, si eisten, los máimos y mínimos 6 relativos de f en su dominio. ( puntos) ln ln a) f'() ; g'() ; h'() e ln 6 ln e b) D(f), ;, máimo relativo Junio 00. a) Derive las siguientes funciones: (, puntos) f(), g() ln, h() e si b) Dada la función f() si Estudie la continuidad de f en. Analice el crecimiento de la función f() si. Tiene f algún máimo o mínimo relativo si?. ( puntos) 7 0 a) f'() ; g'() ; h'() e 6 6 b) La función es continua en. Es decreciente. No. Septiembre 00. a) Derive las siguientes funciones: (, puntos) f() ln g() h() e b) Razone cuál es el dominio de definición de la función f(). Calcule, si eisten, los máimos y mínimos relativos de f. Tiene algún punto de infleión?. ( puntos) a) f'() 6 ; g'() b) D f 0. Mínimos relativos en ; h'() e y en. No tiene puntos de infleión. Septiembre 00. a) Derive las siguientes funciones: (, puntos) f() ln g() e ln h() ln e

19 b) Considere la función: si f() si 0 6 b) Estudie la continuidad de f en. (0,7 puntos) b) Calcule la recta tangente a f() en. (, puntos) a) f'() ln ; g'() e ln b) b ) Es continua. b ) y 6 0 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. h'() e e ; Junio 0. a) Derive las siguientes funciones f() ln, g() e b) Calcule d. (0, puntos), ( punto). Halle el dominio de definición, los máimos y mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() ln. a) f'(). Df,. ( puntos) e g'() e b) ln. Máimo relativo: 0, 0 ; Creciente en,0, decreciente en 0, Junio 0.. a) Calcule las derivadas de las funciones b) Calcule e d. (0, puntos) 0 f() ln, g(). ( punto). Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario de monóido de carbono, CO, en el aire en partes por millón (ppm) en una ciudad, está relacionado con la población p epresada en miles p de habitantes por la siguiente epresión C(p) 7. La evolución del tamaño de población en esta ciudad en t años se estima que está dado por la relación p(t),0,t en miles de habitantes. Con qué rapidez estará variando la concentración de CO en esta ciudad dentro de años?. ( puntos) 9

20 . a) f'() 6. 0, ppm ; g'() b) e Septiembre 0.. a) Derive las funciones: f() ln b) Calcule, d. (0, puntos) g(). ( punto). Halle los máimos, mínimos y puntos de infleión de la función f () intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los de concavidad y conveidad.. a). Máimo: ln f'() ; g'() 7 b) ln. Calcule sus ( puntos) ; Mínimo: ; Punto de infleión:.,, ; Decreciente en, ; Convea en, ; cóncava en, Creciente en Septiembre 0.. a) Derive las funciones b) Calcule f() e, d. (0, puntos) g() ( punto) ln. Determine el dominio de definición de la función f(). Halle sus intervalos de concavidad y conveidad así como sus puntos de infleión. ( puntos). a). D(f) e f'() ; e. Convea: g'() 0, e e ; cóncava: b) e e, ; Punto de infleión: e e Junio 0. a) ( punto) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) f() a) g() ln b) (0, puntos) Calcular 0 e d. c) Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad invertida según la fórmula R(), donde representa la cantidad invertida en miles de euros.

21 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. c) ( punto) Qué cantidad de dinero se debería de invertir para obtener el máimo rendimiento? c) ( punto) Es posible perder dinero con este fondo de inversión? a) a) f'() ln a) g'() b) c) c) 000 c) Se pierde dinero al invertir menos de 000. e 0 Junio 0. a) ( punto) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) f() ln e e a) g() e. b) (0, puntos) Calcular d. si ( )( ) c) Considerar la función f() si ( )( ) c) (0,7 puntos) Estudiar la continuidad de f() en. c) (, puntos) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() así como los máimos y mínimos si. a) a) f'() e e a) g'() e c) c) Es discontinua en (discontinuidad no evitable) c) Decreciente en, ; Creciente en, b) ; Mínimo relativo en Septiembre 0. a) ( punto) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: b) (0, puntos) Calcular c) Considerar la función a) f() e f() d.. a) g() c) (0, puntos) Hallar el dominio de definición de f. c) ( punto) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f así como sus máimos y mínimos. c) (0, puntos) Hallar los puntos de infleión de f.

22 a) a) f'() c) c) D(f) a) g'() b) ee c) Creciente en,, ; Decreciente en, ; Mínimo relativo en c) Punto de infleión en 0 Septiembre 0. a) ( punto) Calcular las derivadas de las siguientes funciones: ln a) f() ln a) e g() b) (0, puntos) Calcular 0 e d. c) Se ha realizado una encuesta a una determinada población con el fin de determinar el número de personas que utilizarían el sistema de autobuses si la tarifa admitiera distintos importes. Basándose en los resultados de las encuestas, los analistas de sistemas han determinado una función aproimada que epresa el número diario de pasajeros en función de la tarifa. La función demanda viene dada por D() 0, donde representa la tarifa en euros. c) ( punto) Qué tarifa habrá que aplicar para obtener el mayor número de pasajeros? c) ( punto) Si la tarifa aplicada está entre y euros, cómo es la variación en la afluencia de pasajeros? Creciente, decreciente? ln a) a) f'() a) g'() e c) c),0 c) Entre y,0 es creciente. Entre,0 y es decreciente. b) 6 e 7. Junio 0. a) ( puntos) Disponemos de 000 euros para la campaña de publicidad de un producto y los tenemos que invertir entre televisión y radio. Si llamamos al dinero (en miles de euros) invertido en televisión e y al dinero (en miles de euros) invertido en radio, se estima que las ventas (en miles de unidades del producto) que haremos vendrán dadas por: V y 7y 0 Determinar cuánto dinero tenemos que invertir en televisión y en radio para maimizar las ventas y cuál será el valor máimo de ventas que obtendremos. b) (, puntos) Calcular 0 d. a) 9000 en televisión y 6000 en radio. Valor máimo: unidades b) Junio 0. Dada la función f(), determinar: a) (0, puntos) Su dominio. b) (0, puntos) Sus cortes con los ejes. c) (, puntos) Sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. d) (, puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

23 Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. D(f) a) b), 0 y 0, d) La función es decreciente en su dominio. c) Asíntota vertical: ; Asíntota horizontal: y Septiembre 0. Tenemos que invertir en un fondo de inversión una cantidad de dinero mayor o igual que 000 euros y menor o igual que 9000 euros. El beneficio B que se obtiene depende de la cantidad invertida de la siguiente manera: si B() 0 si 9 donde tanto como B() están epresadas en miles de euros. a) ( punto) Estudiar la continuidad de la función B en el intervalo, 9 b) ( punto) Para qué valores de, 9 el beneficio es positivo? c) (, puntos) Encontrar el máimo valor que alcanza el beneficio con, 9. a) Continua en, 9 b) Beneficio positivo para, 7 c) Beneficio de 000 con una inversión de 000 Septiembre 0. a) ( puntos) Encontrar los etremos absolutos de la función el intervalo, b) (, puntos) Calcular: 6 d f() 6 en a) Máimo absoluto en y mínimo absoluto en b) ln 9 6,7 Junio 0. a) ( puntos) Dada la función sujeto a la restricción y 6. f y definida para 0 b) (, puntos) Calcular: lím 6, y 0, encontrar el punto, y que maimiza f a), b) Junio 0. 6 Dada la función: f(), calcular: a) (0, puntos) Dominio de f. b) ( punto) Para qué valores de es la función positiva? c) (0,7 puntos) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

24 d) (, puntos) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) b),, d) Creciente:, 8, ; Decreciente:,8 c) Asíntota vertical: ; Asíntota oblicua: y Septiembre 0. a) ( puntos) Dada la función: f() b) (, puntos) Calcular:, encontrar los etremos absolutos de f en el intervalo, e d a) Máimo absoluto en y mínimo absoluto en. b) e 6 e. Septiembre 0. a) ( puntos) Dada la función: f y maimiza f sujeto a la restricción b) (, puntos) Calcular: definida para 0,9, y 0,, encontrar el punto y 9. 7 d a) 6, b) 9 ln,y que Junio 0. a) (, puntos) Dada la función f() a, calcular, si eiste, el valor de a de forma que tenga un mínimo relativo en. 9 b) ( punto) Calcular: lím 6 c) (, puntos) Calcular: d a) a b) c) 6ln 6 Junio 0. a) (, puntos) Dada la función: a.) (0,7 puntos) Estudiar la continuidad de f si, 0 f() si 0, si,

25 a.) (,7 puntos) Calcular el máimo valor que toma f para, 6. b) ( punto) Calcular: lím 9 a.) La función es discontinua (salto finito) en b). a.) f Pruebas de Acceso a la Universidad de Zaragoza. 9 8 Septiembre 0. (, puntos) Dada la función: b si, 0 f() si 0, a si, a) ( punto) Calcular a para que la función sea continua en. b) (, puntos) Calcular b para que la función sea derivable en 0. c) ( punto) Calcular: e 8 d a) a 9 b) b c) 0 e e ln Septiembre 0. (, puntos) Sea la función: f() Calcular: a) (0, puntos) Su dominio. b) ( punto) Para qué valores de es f() mayor que 0? c) (, puntos) Sus máimos y mínimos relativos, si eisten. d) 0,7 puntos) Sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si eisten. a) Dom f, b),, c) Máimo relativo:, ; mínimo relativo: d) Asíntotas verticales: y. Asíntota horizontal: y 0.