PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva 1, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 1 3 Sea la función f ( ). Calcule: 3 a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Las coordenadas de sus etremos relativos. c) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a y b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero: f '( ) ; 4 (,0) (0, 4) (4, ) Signo f '( ) + Función f ( ) D C D 3 mínimo (0,0) Máimo 4, 3 La función es creciente en (0, 4) y decreciente en (,0) (4, ). Tiene un máimo en un mínimo en (0,0). c) Igualamos la derivada a , 3 y f '( ) 4 4 Luego, el punto es 16, 3.

3 Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 3 e a) f( ) 1 g( ) ln (1 3 ) b) 5 1 c) h ( ) SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) f '( ) e (1 ) e e (3 3 ) (1 ) (1 ) b) g( ) ln (1 3 ) ln ( 3 3 ) ; 1 9 g'( ) 3 3 c) h'( ) 5 ln 5 ln

4 En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la epresión: B( ) , siendo la inversión en publicidad, en miles de euros, con en el intervalo 0,10. a) Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?. b) Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?. c) Cuál es el beneficio si no invierte nada en publicidad?. Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?. SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X ; La empresa tiene pérdidas para todos los valores del intervalo(,6). b) El mayor beneficio se obtiene para 10. c) Si no se invierte nada en publicidad 0, el beneficio es Para 8 también se obtiene el mismo beneficio.

5 Sea la función f( ) si si 1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función. b) Represéntela gráficamente. SOCIALES II RESERVA 1. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La función es continua y derivable para todos los valores ecepto en 0 ; la función 4 5 es continua y derivable para todos los valores. Vamos a estudiar si la función f ( ) es continua y derivable en 1. lim f f lim (1) lim ( ) Continua en 1 1 si 1 Calculamos la función derivada: f '( ) y como: 4 si 1 f f '(1 ) f '(1 ) f '(1 ) Derivable en 1 '(1 ) Luego la función f() es continua y derivable en 0 b)

6 Sean las funciones 3 si 1 0 si 1 0 f( ) ; h ( ) 3 si 0 1 si 0 1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en 0. b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en 0. c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) 3 lim( ) 0 (0) lim ( ) 3 f f Continua en 0 0 lim( ) 0 Calculamos la función derivada: f '( ) 3 si si 0 1 f '(0 ) 0 f '(0 ) f '(0 ) f '(0 ) 0 Luego la función f() es continua y derivable en 0 b) y como: Derivable en 0 lim( ) 0 f (0) lim f ( ) Continua en 0 0 lim( ) 0 1 si 1 0 Calculamos la función derivada: f '( ) y como: 1 si 0 1 f '(0 ) 1 f '(0 ) f '(0 ) No derivable en 0 f '(0 ) 1 Luego la función h() es continua en 0 y no derivable en 0 c) f() corresponde al arco redondeado (túnel) y h() al arco puntiagudo de una catedral por no ser derivable.

7 El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f( ), dependen de la inversión,, según la función: f ( ) ( es la cantidad invertida, en millones de euros) a) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máimo. A cuánto asciende éste?. c) Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B Si hacemos la gráfica de la función, tenemos: a) Calculamos los puntos de corte de la función con el eje X ; 10 En el intervalo (1,10) la función beneficio es no negativa. b) Calculamos el vértice de la parábola. Luego, el valor de la inversión es El beneficio es: 11 b a f( ) (5 5 millones de euros). c) En el intervalo (1,5'5) el beneficio es creciente y no negativo.

8 Sea la función definida por si 0 f si 4 1 si 4 3 ( ) a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La función para 0 4; la función es continua y derivable para 0 ; la función 4 1 f ( ) es continua y derivable en 0 y 4. 4 es continua y derivable 3 es continua y derivable para 4. Vamos a estudiar si la función lim 0 (0) lim ( ) 0 lim Calculamos la función derivada: f f Continua en lim f (4) lim f ( ) 0 Continua en 4 4 lim si 0 f si 4 si 4 '( ) y como: f f f '(0 ) 0 f '(0 ) f '(0 ) Derivable en 0 f '(0 ) 0 '(4 ) 16 1 f '(4 ) f '(4 ) No derivable en 4 '(4 ) 4 Luego la función f() es continua en y derivable en 4 b) La ecuación de la tangente es: y f () f '() ( ) y 8 4 ( ) y 4

9 Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de 3 agua, en m, que hay en cada momento en el depósito, desde que empieza a vaciarse, viene dado t por la funciónv ( t) 8 t, donde t es el tiempo en minutos. 3 a) Cuál es la capacidad del depósito?. b) Cuánto tiempo tarda en vaciarse?. c) Represente gráficamente la función V() t. d) Calcule la derivada de esa función en t 8 e interprete su significado. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La capacidad del depósito es 8 3 m. b) Calculamos el punto de corte de la función con el eje X. t t 8 0 t 3t Tarda 16 minutos en vaciarse. c) t 1 1 d) V ' 1 V '(8) 1. Es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. 16

10 Sea la función f ( ) a b a) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un etremo local en el punto de abscisa. b) Tomando a 8 y b 10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula. SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Pasa por (1,3) a b 3 Etremo local en f '( ) 0 8 a 0 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, obtenemos que: a 8 ; b 7. b) La función es: f ( ) Calculamos la primera y segunda derivada. f '( ) f ''( ) 4 Como f ''( ) 4 0 la función es convea. Tiene un mínimo en (, 18). Calculamos los puntos donde se anula la función: ; 5 4 4

11 a) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 5 1 f( ) 3 1 b) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de h ( ) SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B ; g( ) 3 ln1 a) f 5 5 (1 ) 0 50 '( ) (3 ) '( ) 3 3 ln ln 1 g 1 1 b) Asíntota vertical: Asíntota horizontal: 1 lim lim y 1 Asíntota oblicua: No tiene Puntos de corte con los ejes Eje X: Eje Y: 1 1 y 0 1 0, y 0,

12 Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La epresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N( t) 4t t. a) A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo?. b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará?. c) Represente gráficamente N( t) 4t t, con Nt ( ) 0. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero: N '( t) 4 t 0 b) Igualamos la función a cero. (,) (, ) Signo N'( t ) + Función Nt () C D Máimo, 4 N t t t t t ( ) ; 4 Luego, cerrará a las 9 de la noche. c)

13 a si 3 1 Sea la función: f( ) a 6 5 si 1 a) Calcule el valor de a para que f sea continua en 1. b) Para a 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus etremos locales. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Para que sea continua los limites laterales tienen que coincidir, luego: b) a a 1 a 1 lim a 3 a 1 lim a 6 5 a 1 1 La función es creciente en (, 1) (3, ) y decreciente en ( 1,3).Tiene un máimo en ( 1, 4) y un mínimo en (3, 4).