EJERCICIOS UNIDADES 5, 6 y 7: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACIÓN DE FUNCIONES.

Transcripción

1 IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES 5, 6 y 7: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACIÓN DE FUNCIONES 1 (001-M1;Sept-A-) Las ganancias de una empresa, en millones de pesetas, se ajustan a la función f ( ) =, donde representa los años de vida de la empresa, cuando a) ( puntos) Represente gráficamente la función y = f ( ), para (, + ), indicando: dominio, corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento b) (05 puntos) A partir de qué año la empresa deja de tener pérdidas? c) (05 puntos) A medida que transcurre el tiempo, están limitados sus beneficios? En caso afirmativo, cuál es su límite? a f a < ( a R ) > a) (1 punto) Calcule el valor de a para que f sea continua en = b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f cuando a = c) (1 punto) Dibuje la gráfica de la función que se obtiene cuando a = (001-M1;Sept-B-) Dada la función ( ) (001-M-A-) Sea la función f ( ) + a) (1 punto) Represéntela gráficamente b) (05 puntos) Estudie su continuidad < c) (1 punto) Obtenga, eiste, la derivada de f en =, = y = 0 d) (05 puntos) Indique posee máimos y mínimos relativos y en qué puntos 4 (001-M-B-) El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inverón de millones de pesetas produce una ganancia de f ( ) millones de pesetas, endo: f ( ) > 5 a) (1 punto) Represente la función f ( ) b) (075 puntos) Halle la inverón que produce máima ganancia c) (075 puntos) Halle el valor de la inverón que produce ganancia nula d) (05 puntos) Razone lo que ocurre con la rentabilidad la inverón se incrementa indefinidamente 5 (001-M-A-) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura h (en metros) a la que se encuentra en cada instante t (en segundos) viene dada por la epreón: h( t) = 5t + 40t a) (075 puntos) En qué instante alcanza la altura máima? Cuál es esa altura? b) (1 punto) Represente gráficamente la función h ( t) c) (075 puntos) En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? d) (05 puntos) En qué instante llega al suelo? 1

2 IES Padre Poveda (Guadi) 6 (001-M-B-) ( puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función 4 + b < 1 f ( ) sea derivable a (001-M4-A-) La gráfica de la función derivada de una función f ( ) es una parábola de vértice ( 1, 4) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 1,0) y (,0) A partir de la gráfica de f : a) (175 puntos) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f Para qué valores de se alcanzan los máimos y mínimos relativos? b) (15 puntos) Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada 8 (001-M4-B-) El consumo de luz (en miles de pesetas) de una vivienda, en función del tiempo transcurrido, nos viene dado por la epreón: () 1 f t = t + t t 1 5 a) (1 punto) En qué periodo de tiempo aumenta el consumo? En cuál disminuye? b) (1 punto) En qué instante se produce el consumo máimo? Y el mínimo? c) (1 punto) Represente gráficamente la función 9 (001-M5;Jun-A-) Calcule las funciones derivadas de las guientes: Ln a) (1 punto) f ( ) = b) (1 punto) g( ) = ( 1 ) cos 1 c) (1 punto) h( ) = e (001-M5;Jun-B-) Sea la función f ( ) < > a) ( puntos) Dibuje su gráfica y, a la vista de ella, estudie monotonía y etremos b) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad 11 (001-M6-A-) Un agricultor comprueba que el precio al que vende cada caja de fresas es euros, su beneficio diario, en euros, será: B ( t) = a) (1 punto) Represente la función precio-beneficio b) (1 punto) Indique a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máimo beneficio Cuál será ese beneficio máimo? c) (1 punto) Determine a qué precios de la caja obtiene pérdidas el agricultor 1 (001-M6-B-) f = + +, determine los valores b y c sabiendo a) (15 puntos) Dada la función ( ) b c que dicha función alcanza un máimo relativo en el punto ( 1,) b) (15 puntos) Calcule a para que el valor mínimo de la función ( ) a igual a a) (15 puntos) Represéntela gráficamente b) (15 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad 1 (00-M1-A-) Sea la función f ( ) < < 5 5 g = + + sea

3 IES Padre Poveda (Guadi) 14 (00-M1-B-) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilogramos de un artículo viene dado por la función: B ( ) = a) (1 punto) Represente gráficamente esta función b) (1 punto) Determine el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo c) (1 punto) Determine cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máimo, para que la empresa no tenga pérdidas 15 (00-M-A-) a) ( puntos) Determine los valores de a y b para que sea derivable la función a + b 1 f ( ) b 4 > 1 b) (1 punto) Represente gráficamente la función f a = 1 y b = f = + a) (075 puntos) Determine sus puntos de corte con los ejes de coordenadas b) (15 puntos) Represéntela gráficamente c) (075 puntos) Obtenga las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de la función que tienen pendiente cero y diga cuáles son los puntos de tangencia 16 (00-M-B-) Sea la función ( ) t + 5t 0 t < 17 (00-M;Jun-A-) Sea f () t t + 1t 9 t 5 t < t 10 a) ( puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en t = y t = 5 b) (1 punto) Razone f posee algún punto de infleión y calcúlelo, en caso afirmativo 18 (00-M;Jun-B-) Sea, en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen etra 4 Sea f ( ) =, con 0, la función que representa el balance económico quincenal, en + 1 miles de euros, de una empresa agrícola a) ( puntos) Represente la función f b) (05 puntos) A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c) (05 puntos) Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? Y las pérdidas? 19 (00-M4-A-) Sea la función f ( ) > a) (1 punto) Represéntela gráficamente b) (15 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad Calcule sus etremos c) (05 puntos) Eiste algún punto donde la pendiente de la recta tangente a su gráfica sea cero? En caso afirmativo, determine cuál es 0 (00-M4-B-) Sea la función f ( ) = a + b + c a) ( puntos) Halle el valor de los coeficientes a, b y c, se sabe que en el punto ( 0,0) su gráfica posee un etremo relativo y que el punto (, 16) es un punto de infleión b) (1 punto) Para a = 1, b = 1 y c = 0, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa =

4 IES Padre Poveda (Guadi) 1 (00-M5-A-) Sea la función ( ) 4 1 f = + a) (1 punto) Represente gráficamente su función derivada determinando los puntos de corte con el eje de abscisas y su vértice b) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica de f donde la recta tangente es paralela a y = + c) (1 punto) Calcule los máimos y mínimos de f < 1 + a 1 < a) (15 puntos) Halle los valores de a para los que f es continua y derivable b) (15 puntos) Para a = 4, halle las asíntotas y etremos relativos (00-M5-B-) Se condera la guiente función: f ( ) (00-M6;Sept-A-) Calcule las funciones derivadas de las guientes: 5 e a) (075 puntos) f ( ) = b) (075 puntos) g ( ) = 4 Ln( + 1) 1 + c) (075 puntos) h( ) = ( 1) ( + ) d) (075 puntos) p ( ) = 4 (00-M6;Sept-B-) a a) (15 puntos) Sea la función f ( ) = + b Calcule los valores de los parámetros a y b para que f tenga un etremo relativo en el punto ( 1,) b) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g = Ln en el punto de abscisa 1 ( ) 5 (00-M1-A-) El número medio de clientes que vitan un hipermercado entre las 11 y las 0 horas está dado por f ( ) = , en función de la hora, endo 11 0 a) (1 punto) Halle los etremos relativos de esta función b) (1 punto) Represente esta función y determine las horas en las que crece el número medio de clientes c) (1 punto) Halle los valores máimos y mínimos del número medio de clientes que vitan el hipermercado entre las 11 y las 0 horas 6 (00-M1-B-) a) (15 puntos) Sea la función f ( ) + a + b por el punto (, 5) = Calcule a y b para que su gráfica pase 0 y que en este punto la recta tangente sea paralela a la recta y = 4 b) (15 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función g cuya derivada tiene por gráfica la recta que pasa por los puntos (,0) y (,1) 7 (00-M;Jun-A-) a) ( puntos) Sea la función ( ) ( 1) + b f a( ) + > Halle a y b para que la función sea continua y derivable en = + 1 e b) (1 punto) Halle la función derivada de g( ) = 1 ( ) 4

5 IES Padre Poveda (Guadi) ( + 1) < < 4 a) (1 punto) Represéntela gráficamente b) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad c) (1 punto) Calcule sus etremos y asíntotas horizontales y verticales 8 (00-M;Jun-B-) Sea la función f ( ) f = 1 a) (1 punto) Determine su dominio y asíntotas Estudie su continuidad y derivabilidad b) (1 punto) Determine sus máimos y mínimos relativos, los hubiere Estudie su crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad c) (1 punto) Represéntela gráficamente 9 (00-M;Sept-A-) Sea la función ( ) 1 1 1< 1 > a) ( puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f en = 1 y en = b) (1 punto) Represéntela gráficamente 0 (00-M;Sept-B-) Sea la función f ( ) 1 (00-M4-A-) Los beneficios esperados de una inmobiliaria en los próimos 5 años vienen dados por la función B() t = t 9t + 4t (t indica el tiempo, en años, 0 t 5 ) a) ( puntos) Represente la evolución del beneficio esperado en función del tiempo b) (1 punto) En ese periodo, cuándo será máimo el beneficio esperado? > 4 a) (15 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (15 puntos) Represente gráficamente la función y determine máimos y mínimos relativos, los hubiere, así como el crecimiento y decrecimiento (00-M4-B-) Sea la función f ( ) < < 1 k + 1 a) ( puntos) Calcule el valor que debe tomar el parámetro k para que la función sea continua en R y estudie su derivabilidad para el valor de k obtenido b) (1 punto) Dibuje la gráfica de la función para k = 1 (00-M5-A-) Sea la función f ( ) 4 (00-M5-B-) Sea la función f ( ) = + a 1 + b a) (15 puntos) Halle a y b para que la función se anule en = 1 y tenga un punto de 1 infleión en = b) (15 puntos) Para a = y b =, calcule sus máimos y mínimos relativos 5

6 IES Padre Poveda (Guadi) 5 (00-M6-A-) Se conoce que el rendimiento de un jugador de fútbol durante los primeros f : 0,45 cuya epreón analítica es 45 minutos de un partido viene dado por la función [ ] R f () t = 7t 016t, donde t es el tiempo, epresado en minutos a) (15 puntos) Represente gráficamente esta función b) (15 puntos) Cuál es el máimo rendimiento del jugador? En qué momento lo congue? En qué instantes tiene un rendimiento igual a? 1 f = + 1 a) (15 puntos) Indique el dominio de definición de f, sus puntos de corte con los ejes, sus máimos y mínimos, eisten, y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento b) (15 puntos) Obtenga las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de f, las tiene, y represente la gráfica de la función 6 (00-M6-B-) Sea la función ( ) 7 (004-M1-A-) f = Ln y mplifique el + 1 a) (1 punto) Halle la función derivada de la función ( ) resultado b) (1 punto) Obtenga las asíntotas de la función ( ) 8 (004-M1-B-) Sea la función ( ) 9 (004-M-A-) Sea la función ( ) + f = 1 c) (1 punto) Obtenga los intervalos de concavidad y conveidad de la función f ( ) = 4 1 f = a) ( puntos) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y represéntela gráficamente b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva y = f ( ) en el punto de abscisa = 0 < 1 f a) (1 punto) Analice su continuidad y su derivabilidad b) (15 puntos) Estudie la monotonía, determine sus etremos y analice su curvatura c) (05 puntos) Represente la gráfica de la función 40 (004-M-B-) Sea la función f ( ) = a) (1 punto) Estudie la monotonía y calcule los etremos relativos de f b) (1 punto) Estudie la curvatura y calcule el punto de infleión de f c) (1 punto) Represente gráficamente la función 41 (004-M;Sept-A-) Calcule las derivadas de las guientes funciones (no es necesario mplificar el resultado): 1 a) (075 puntos) f ( ) ( 5 ) = b) (075 puntos) g( ) = ( 1) Ln 5 c) (075 puntos) h( ) = d) (075 puntos) i ( ) = ( 6 ) ( +1) f a) (15 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f b) (15 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por ( 0,1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto 4 (004-M;Sept-B-) De una función f se sabe que su función derivada es ( ) =

7 IES Padre Poveda (Guadi) 4 (004-M4-A-) a) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a = 1 y = en el punto de abscisa 1 b) (15 puntos) En qué punto de la gráfica de la función f ( ) = tangente es paralela a y = 5? c) (05 puntos) Sea g ( ) = 8 + a, la recta Halle a para que el valor mínimo de g sea 44 (004-M4-B-) a) ( puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función: f ( ) 4 > + 1 b) (1 punto) Calcule la derivada de g ( ) = ( + 1) e 45 (004-M5;Jun-A-) La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epreón: T () t = 40t 10t con 0 t 4 a) (15 puntos) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máima que alcanza la pieza b) (15 puntos) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? 46 (004-M5;Jun-B-) a) (15 puntos) Halle los valores de a y b para que la función f ( ) = + a + b un etremo relativo en el punto (,) tenga b) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva y = 4 + en su punto de infleión 47 (004-M6-A-) a) (15 puntos) Dada la función f ( ) = a + b un etremo relativo en el punto ( 1,4), calcule a y b para que la función tenga b) (15 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) Ln g = + en el punto de abscisa = > a) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (1 punto) Estudie su monotonía y calcule sus etremos relativos c) (1 punto) Represéntela gráficamente 48 (004-M6-B-) Sea la función f ( ) f = + a) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa = 1 b) (05 puntos) Halle su punto de infleión c) (15 puntos) Dibuje la gráfica de la función, estudiando previamente la monotonía y los etremos relativos 49 (005-M1-A-) Sea la función ( ) 7

8 IES Padre Poveda (Guadi) 50 (005-M1-B-) a) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f ( ) = 1+ Ln( 1) en el punto de abscisa = 1 b) (1 punto) Deduzca razonadamente las asíntotas de la función g, definida de la forma g ( ) = c) (05 puntos) Determine la poción de la gráfica de la función g respecto de sus asíntotas < 1 51 (005-M;Jun-A-) Sea la función f ( ) 1 a) (15 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (05 puntos) Calcule sus asíntotas c) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 5 (005-M;Jun-B-) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f () t = t + 1t 1, 4 t 7 a) (15 puntos) Represente la gráfica de la función f b) (15 puntos) Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máimo y a cuánto asciende? Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste? 1 < 0 5 (005-M-A-) Sea la función f ( ) = 1 0 a) (15 puntos) Dibuje la gráfica de f y estudie su monotonía b) (075 puntos) Calcule el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente es 1 c) (075 puntos) Estudie la curvatura de la función a + 1 < 1 54 (005-M-B-) ( puntos) Sea f la función definida por f ( ) + b + 1 Determine los valores que deben tener a y b para que f sea derivable 55 (005-M4-A-) a) (15 puntos) Determine a y b en la ecuación de la parábola y = a + b + 5 sabiendo que ésta tiene un máimo en el punto (,9) b) (15 puntos) Calcule las asíntotas de la función ( ) 56 (005-M4-B-) ( puntos) Halle f ( ), g ( 4) y ( 0) 16 f + guiente forma: ( ) = ; g ( ) = ( + 9) ; ( ) = Ln( +1) 1 f = + h para las funciones definidas de la h 57 (005-M5;Sept-A-) El valor, en miles de euros, de las eistencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función f ( t) = 4t + 60t 15, 1 t 8 a) (1 punto) Cuál será el valor de las eistencias para t =? Y para t = 4? b) (1 punto) Cuál es el valor máimo de las eistencias? En qué instante se alcanza? c) (1 punto) En qué instante el valor de las eistencias es de 185 miles de euros? 8

9 IES Padre Poveda (Guadi) = 4 8 > 4 a) (15 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función b) (15 puntos) Represéntela gráficamente e indique, a la vista de la gráfica, su monotonía y sus etremos 58 (005-M5;Sept-B-) Sea la función f ( ) a > 0 a) (15 puntos) Para a = represente gráficamente la función f, e indique sus etremos relativos b) (15 puntos) Determine el valor de a para que la función f sea derivable 59 (005-M6-A-) Sea la función f ( ) + 1 f = + a) ( puntos) Determine su dominio, puntos de corte con los ejes, las asíntotas y la monotonía b) (1 punto) Represente gráficamente esta función 60 (005-M6-B-) Sea la función ( ) 61 (006-M1-A-) Sean las funciones f ( ) = y g( ) = a) ( puntos) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura Represéntelas gráficamente b) (1 punto) Determine el valor de para el que se hace mínima la función h ( ) f ( ) g( ) = 6 (006-M1-B-) Calcule las derivadas de las guientes funciones: 1 a) (1 punto) f ( ) = + ( 5 ) g = + Ln + b) (1 punto) ( ) ( ) ( ) h = 5 + e c) (1 punto) ( ) 6 (006-M;Sept-A-) a) (15 puntos) La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice ( 0,) que corta al eje de abscisas en los puntos (,0) y (,0) A partir de dicha gráfica, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f b) (15 puntos) Calcule los etremos relativos de la función g( ) 64 (006-M;Sept-B-) Se condera la función f ( ) = = a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa = 1 b) (1 punto) Estudie su monotonía c) (1 punto) Calcule sus asíntotas 65 (006-M;Jun-A-) a) (15 puntos) Halle los valores de a y b para que la gráfica de la función f ( ) = a b pase por el punto ( 1, ) y tenga el punto de infleión en = 1 b) (15 puntos) Halle los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la función definida por g ( ) = + 7 9

10 IES Padre Poveda (Guadi) > 0 a) ( puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = 1 66 (006-M;Jun-B-) Sea la función f definida por f ( ) 1 1 a) (1 punto) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (1 punto) Determine la monotonía de f c) (1 punto) Represente gráficamente esta función 67 (006-M4-A-) Conderemos la función f ( ) 1 > 1 68 (006-M4-B-) a) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( ) punto de abscisa = 1 b) (15 puntos) Se condera la función f ( ) = a b + 4 parámetros a y b para que f tenga un etremo relativo en el punto ( 1,10) g = en el + 1 Calcule los valores de los 69 (006-M5-A-) El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene dado por la función B definida por t + 7t 0 t < 5 B () t 10 5 t 8 donde t indica el tiempo transcurrido en años a) ( puntos) Represente gráficamente la función B y eplique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) (1 punto) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11 5 millones de euros 70 (006-M5-B-) Sea la función ( ) = 1 f a) (15 puntos) Determine la monotonía y los etremos relativos de f b) (075 puntos) Calcule su punto de infleión c) (075 puntos) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, represéntala 71 (006-M6-A-) a) ( puntos) Dada la función f ( ) = a( ) + b esta función pase por el punto de coordenadas (,) punto de abscisa = b) (1 punto) Calcule g ( ) endo g( ) 1, calcule a y b para que la gráfica de 1 y tenga un etremo relativo en el = 1 7 (006-M6-B-) a) (15 puntos) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f, es la recta de ecuación y = + 4 Estudie razonadamente la monotonía de la función f, a la vista de la gráfica de la derivada 4 4 g =, calcule la ecuación de la recta tangente a b) (15 puntos) Dada la función ( ) su gráfica en el punto de abscisa =

11 IES Padre Poveda (Guadi) 7 (007-M1-A-) + a 0 a) (15 puntos) Sea la función f ( ) + b + 1 > 0 Halle a y b para que la función sea continua y derivable b) (15 puntos) Calcule la derivada de las guientes funciones: e g( ) = + Ln( 1 ), h( ) = (007-M1-B-) ( ) a) (15 puntos) Determine dónde se alcanza el mínimo de la función f ( ) = 6 + a Calcule el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5 1 b) (15 puntos) Calcule g (), endo g ( ) = e 75 (007-M;Jun-A-) Para la función : R R determine: a) (15 puntos) Su monotonía y sus etremos relativos b) (15 puntos) Su curvatura y su punto de infleión f definida de la forma f ( ) =, 76 (007-M;Jun-B-) a) ( puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f = a 1,5 sea la recta y = + ( ) b en el punto ( ) 1 b) (1 punto) Para ( ) = g e + Ln( + ), calcule g ( 1) 77 (007-M;Sept-A-) Sea la función f : R R, definida por f ( ) + m + 5 a) (1 punto) Calcule m para que la función sea continua en = 1 b) (1 punto) Para ese valor de m, es derivable la función en = 1? c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = 0 78 (007-M;Sept-B-) 1 > 1 a) ( puntos) Sea la función definida para todo número real por f ( ) = a + b Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (,1) pendiente de la recta tangente es b) (1 punto) Si en la función anterior monotonía y sus etremos 79 (007-M4-A-) Se condera la función f ( ) 1 y que en ese punto la 1 a = y b = 4, determine sus intervalos de > 0 a) (15 puntos) Estudie su derivabilidad en = 0 b) (15 puntos) Determine eisten asíntotas y obtenga sus ecuaciones 80 (007-M4-B-) Se condera la función f ( ) = a) ( puntos) Determine los etremos relativos de f Estudie la monotonía y la curvatura b) (1 punto) Represente gráficamente la función f 11

12 IES Padre Poveda (Guadi) a) (15 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de f 81 (007-M5-A-) Se condera la función definida por f ( ) b) (1 punto) Represente la gráfica de f c) (05 puntos) Indique los etremos relativos de la función 1 > 1 k > a) ( puntos) Calcule el valor de k para que la función f sea continua en = 0 Para ese valor de k, es f derivable en = 0? b) (1 punto) Para = 0 lím f lím f 8 (007-M5-B-) Sea la función f ( ) k, calcule ( ) y ( ) (007-M6-A-) El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función f ( ) < 10 donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros a) (075 puntos) Represente la función f b) (075 puntos) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas c) (075 puntos) Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) (075 puntos) Calcule el gasto en publicidad que produce máimo beneficio Cuál es ese beneficio máimo? 84 (007-M6-B-) a) (15 puntos) La función f ( ) = + a + b tiene un etremo relativo en = y un punto de infleión en = Calcule los coeficientes a y b y determine el citado etremo es un máimo o un mínimo relativo b) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( ) = en el punto de abscisa = (008-M1-A-) Sea la función f definida mediante f ( ) = 1 a) (05 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Estudie su curvatura c) (1 punto) Determine sus asíntotas d) (05 puntos) Represente la función 86 (008-M1-B-) a) (15 puntos) La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos ( 0, ) y ( 4,0) Estudie la monotonía de la función f b) (15 puntos) Calcule la derivada de las guientes funciones: e g( ) = ( + 1) L( + 1 ); h( ) = (008-M;Sept-A-) f = en el a) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ( ) punto de abscisa = 1

13 IES Padre Poveda (Guadi) b) (15 puntos) Halle los valores de a y b para que la función ( ) etremo relativo en el punto ( 1,) 88 (008-M;Sept-B-) Dada la función f ( ) 4 +, 1 b g = a + tenga un = determine: a) (15 puntos) La monotonía y la curvatura de f b) (05 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus etremos relativos c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 89 (008-M;Jun-A-) Sea la función definida de la forma f ( ) a) (05 puntos) Halle el dominio de f b) (15 puntos) Estudie la derivabilidad de f en = 1 10 < c) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 + a + b < 1 f L( ) 1 a) (15 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en = 1 b) (15 puntos) Para a = 1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en = 1 y en = 1 90 (008-M;Jun-B-) Sea la función definida de la forma ( ) 91 (008-M4-A-) El beneficio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función B ( ) = , 0 donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros a) (075 puntos) Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios b) (075 puntos) Calcule el valor de que produce máimo beneficio Cuánto es ese beneficio? c) (075 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa d) (075 puntos) Represente gráficamente la función B 9 (008-M4-B-) Calcule las derivadas de las guientes funciones: 7 a) (075 puntos) f ( ) = ( + 1) e b) (075 puntos) g( ) = L( ) 5 c) (075 puntos) h( ) = ( + 1) ( 6) d) (075 puntos) i ( ) ( 1) = + 9 (008-M5-A-) Sea la función f ( ) = 6 a) (1 punto) Determine sus puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión c) (1 punto) Represente gráficamente la función 94 (008-M5-B-) Sea la función f ( ) a) ( puntos) Calcule a y, + 4 a + b 6 1 > 1 b sabiendo que ( ) = 7 f y que f es continua en =1

14 IES Padre Poveda (Guadi) b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 e 0 f > 0 a) (1 punto) Es f continua en = 0? Es continua en su dominio? b) (1 punto) Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? c) (1 punto) Estudie la monotonía de f 95 (008-M6-A-) Sea la función definida de la forma ( ) 96 (008-M6-B-) a) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) de abscisa 1 b) (15 puntos) Sea la función g ( ) + a + b presenta un punto de infleión en el punto (,5) = en el punto = Calcule a y b sabiendo que su gráfica 97 (009-M1-A-) a) (15 puntos) Halle las funciones derivadas de las funciones definidas por las guientes epreones: f ( ) = ( ) ; ( ) ln( ) ; g = h ( ) = e + b) (15 puntos) Determine el dominio y las asíntotas de la función m ( ) = 4 98 (009-M1-B-) 1 0 a) (15 puntos) Sea la función f ( ) 1 > Estudie su continuidad y su derivabilidad 1 b) (15 puntos) Se conderan las funciones: g ( ) = ( + 1), h ( ) = Halle sus funciones derivadas 99 (009-M;Sept-A-) La función derivada de una función f viene dada por f ( ) = a) (15 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de en los que dicha función alcanza sus etremos locales b) (075 puntos) Determine los intervalos de concavidad y conveidad de la función f c) (075 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (,5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto 100 (009-M;Sept-B-) Sea la función f ( ) = a + b + a) (15 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máimo en = 1 y que f ( 1 ) = b) (15 puntos) Para a = b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 + < 0 f a) ( puntos) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función en su dominio 101 (009-M;Jun-A-) Sea la función ( ) 14

15 IES Padre Poveda (Guadi) b) (05 puntos) Determine la asíntota horizontal, la tiene c) (05 puntos) Determine la asíntota vertical, la tiene 10 (009-M;Jun-B-) Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C () t = 0t + 4t + 5, 0 t 5 (t = años transcurridos desde el año 000) a) (1 punto) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) (1 punto) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C ( t) en t = 8 Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento 10 (009-M4-A-) Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (Kg) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B ( ) = + 4 endo B ( ) el beneficio por Kg y el precio de cada Kg, ambos epresados en euros a) (15 puntos) Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista? b) (15 puntos) Qué precio maimiza los beneficios? c) (05 puntos) Si tiene en el almacén Kg de fresas, cuál será el beneficio total máimo que podrá obtener? > 1 a) ( puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = 104 (009-M4-B-) Sea la función f ( ) 105 (009-M5-A-) Sea la función f ( ) = 1 a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, los tuviese b) (1 punto) Determine su curvatura y punto de infleión c) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 106 (009-M5-B-) Sea la función real de variable real f ( ) a) (1 punto) Represente gráficamente la función b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función c) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función < f = 1 a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto ( 0,1) b) (1 punto) Estudie la monotonía de f c) (1 punto) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función 107 (009-M6-A-) Sea la función ( ) 108 (009-M6-B-) Sea la función : R R f definida mediante f ( ) e > 0 15

16 IES Padre Poveda (Guadi) a) (1 punto) Es f continua en = 0? Es continua en su dominio? b) (1 punto) Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = (010-M1-A-) En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inverón en publicidad, y han llegado a la concluón de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la epreón B ( ) = , endo la inverón en publicidad, en miles de euros, con en el intervalo [ 0, 10] a) (1 punto) Para qué valores de la inverón la empresa tiene pérdidas? b) (1 punto) Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio poble? c) (05 puntos) Cuál es el beneficio no se invierte nada en publicidad? Hay algún otro valor de la inverón para el cual se obtiene el mismo beneficio? > 1 a) (15 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función b) (1 punto) Represéntela gráficamente 110 (010-M1-B-) Sea la función f ( ) 111 (010-M-A-) Sean las funciones f ( ), h ( ) = + 0 < < 1 a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en = 0 b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en = 0 c) (05 puntos) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (n picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel 11 (010-M-B-) El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f ( ), dependen de la inverón,, según la función f ( ) = a) (075 puntos) Determine los valores de la inverón para los que la función beneficio es no negativa b) (1 punto) Halle el valor de la inverón para el cual el beneficio es máimo A cuánto asciende éste? c) (075 puntos) Entre qué valores ha de estar comprendida la inverón para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? 11 (010-M;Sept-A-) Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes La epreón que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N( t) = 4t t a) (1 punto) A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) (05 puntos) Representa gráficamente N( t) = 4t t, con N ( t) 0 a + 1 a > 1 a) (05 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en = (010-M;Sept-B-) Sea la función f ( ) 16

17 IES Padre Poveda (Guadi) b) ( puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus etremos locales 0 f 4 0 < > 4 a) (175 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (075 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = 115 (010-M4-A-) Sea la función definida por ( ) 116 (010-M4-B-) Un depóto lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja El volumen de agua, en m, que hay en cada momento en el depóto, desde que empieza a t vaciarse, viene dado por la función V () t = 8 t +, donde t es el tiempo en minutos a) (05 puntos) Cuál es la capacidad del depóto? b) (05 puntos) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? c) (08 puntos) Represente gráficamente la función V d) (07 puntos) Calcule la derivada de esa función en t = 8 e interprete su gnificado 1 f = Calcule: a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento b) (1 punto) Las coordenadas de sus etremos relativos c) (05 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es (010-M5;Jun-A-) Sea la función ( ) 118 (010-M5;Jun-B-) Calcule las derivadas de las guientes funciones: e a) (08 puntos) f ( ) = 1+ g = ln 1+ b) (08 puntos) ( ) { ( )} h c) (09 puntos) ( ) 10 (010-M6-B-) a) (15 puntos) Calcule las derivadas de las guientes funciones: 5 1 f ( ) = + ; g ( ) = ( + ) ln( 1+ ) 1+ b) (1 punto) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de h ( ) = 11 (011-M1-A-) Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c ( ), epresado en litros, viene dado por la función c ( ) = , 17 = (010-M6-A-) Sea la función f ( ) = + a + b a) (15 puntos) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto ( 1, ) y alcanza un etremo local en el punto de abscisa = b) (15 puntos) Tomando a = 8 y b = 10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula

18 IES Padre Poveda (Guadi) endo la velocidad en km/h y a) (05 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c ( ) c) (1 punto) A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máimo consumo y cuáles son éstos? + a) (15 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (1 punto) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función 1 (011-M1-B-) Se condera la función dada por f ( ) 0 > 0 1 (011-M-A-) Un banco lanza al mercado un plan de inverón cuya rentabilidad R ( ), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad,, que se invierte, también en miles de euros, por la guiente epreón: R ( ) = , con 10 a) (05 puntos) Calcule la rentabilidad para una inverón de euros b) (15 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máima rentabilidad c) (05 puntos) Qué rentabilidad máima se obtendría? 14 (011-M-B-) Sea la función 1 1 f ( ) a + 1 < > a) (075 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en = 1 b) (175 puntos) Para a = estudie la continuidad y la derivabilidad de f 15 (011-M-A-) El beneficio, en miles de euros, alcanzando en una tienda de ropa el pasado B t epresada a continuación año, viene dado por la función ( ) 1 t t t 6 8 B () t, t es el tiempo transcurrido en meses t < t 1 a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses b) (05 puntos) Cuándo fue mínimo el beneficio? Cuál fue dicho beneficio? c) (1 punto) Represente gráficamente la función B ( t) Cuándo fue máimo el beneficio? A cuánto ascendió? 16 (011-M-B-) a) (15 puntos) La gráfica de la función derivada, f, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos ( 1, 0) y (, 0), y tiene su vértice en ( 1, 4) Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada etremo relativo b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g( ) = e en el punto de abscisa = 0 18

19 IES Padre Poveda (Guadi) 17 (011-M4;Jun-A-) a) (1 punto) Calcule la función derivada de f ( ) = e ( + ) b) (15 puntos) Se sabe que la epreón que representa el número medio de clientes N ( t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N() t = a t + b t, 0 t 8, a, b R Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha do de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b 18 (011-M4;Jun-B-) Las funciones I( t) t = + 51t y ( t) = t t + 96 G con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años a) (05 puntos) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntala gráficamente c) (1 punto) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máimos? Calcule el valor de ese beneficio 19 (011-M5;Sept-A-) a) (15 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función 4 f ( ) = + 1 b) (15 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los etremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de infleión de la función g( ) = (011-M5;Sept-B-) Sea la función + 4 f ( ) a 4 > a) (15 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a b) (1 punto) Para a = 1, eiste alguna asíntota vertical de esa función? Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas 11 (011-M6-A-) Sea la función + 4 < 4 f ( ) < a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (05 puntos) Determine los etremos locales de f c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = 1 (011-M6-B-) (5 puntos) Calcule las derivadas de las guientes funciones: f ( ) = ; g ( ) = ( + 1) ln( e + 4) ; h ( ) = 19

20 IES Padre Poveda (Guadi) 1 (01-M1-A-) De la función f se sabe que su función derivada es f ( ) = a) (15 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f b) (1 punto) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto 14 (01-M1-B-) a) (15 puntos) Dada la función f ( ) = + a + b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, ) y alcanza un etremo en = b) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g ( ) = + 1, en el punto de abscisa = 1 15 (01-M-A-) Se condera la función f ( ) = 1 + a) (08 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función b) (08 puntos) Calcule sus asíntotas c) (09 puntos) Represéntela gráficamente 16 (01-M-B-) Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t 0 t 5 P ( t) 100t 50 t > 5 t + 5 a) (05 puntos) Estudie la continuidad de la función P b) (075 puntos) Estudie la derivabilidad de P en t =5 c) (075 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas d) (05 puntos) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? 17 (01-M;Sept-A-) (5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función + a 7 < 1 f ( ) sea derivable en R 4 b 1 18 (01-M;Sept-B-) En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina La 11t + 0 superficie afectada, en km, viene dada por la función f ( t) =, endo t el tiempo t + transcurrido desde que empezamos a observarla a) (05 puntos) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (15 puntos) Estudie la mancha crece o decrece con el tiempo c) (075 puntos) Tiene algún límite la etenón de la superficie de la mancha? 19 (01-M4;Jun-A-) a) (15 puntos) Sea la función a + f ( ) b 4 > Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en = b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función + g ( ) = en el punto de abscisa = 0 1 0

21 IES Padre Poveda (Guadi) 140 (01-M4;Jun-B-) Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los at t 0 t 6 próimos 10 años viene dado por la función B ( t), endo t el t 6 < t 10 tiempo transcurrido en años a) (075 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá c) (075 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor 141 (01-M5-A-) a a) (075 puntos) Para la función f definida de la forma f ( ) =, determine, + b razonadamente, los valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación = y como asíntota horizontal la de ecuación y = b) (175 puntos) Para la función g, definida de la forma g ( ) = +, determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos relativos Con esos datos haga un esbozo de su gráfica a 14 (01-M5-B-) Sea la función f ( ) b > a) (15 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en = 1 b) (1 punto) Represente gráficamente la función para a = 15 y b = (01-M6-A-) Sean dos funciones, f y g, tales que las epreones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f ( ) = + y g ( ) = a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g b) (075 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula c) (075 puntos) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? 144 (01-M6-B-) Calcule las derivadas de las guientes funciones: a) (08 puntos) f ( ) = e ln( 5) b) (08 puntos) g( ) = 1 6 c) (09 puntos) h( ) = ( + 5 1) + ln 1