LAS FUNCIONES ELEMENTALES

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1 UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas son: a) y = b) y = + c) y = ( ) + d) y = + e) y = f ) y = + Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de: el conocimiento que ya tienes de algunas de ellas; la comprobación, mediante cálculo mental, de algunos de sus puntos; y, en caso de necesidad, recurriendo a la calculadora para obtener varios de sus puntos. Por orden: d), f), b), e), a) y c). Unidad. Las funciones elementales

2 Página 99 si. Para representar la función y = procedemos así: si > a) Representamos la función y = hasta la abscisa =. Y X b) Representamos la función y = desde = en adelante. Y X c) En = solo es válido el punto correspondiente a la primera rama (el signo = de la epresión sirve para incluir dicho valor). Lo tenemos en cuenta ecluyendo, mediante un circulito, el punto de la otra rama. Y X Representa gráficamente la siguiente función: y = + si < 5 si Unidad. Las funciones elementales

3 Página 0. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = / g) y = / h) y = / i) y = / j) y = / k) y = + l) y = m) y = n) y = ñ) y = + o) y = + p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. a) Á b) [, ) c) (. ] d) [, ] e) (, ] U [, ) f) (, ) U (, ) g) (, ) h) (, ) i) (, ) j) (, ) U (, ) k) Á l) Á {0} m) Á {0} n) Á {, } ñ) Á o) Á { } p) l > 0 Página 0. Representa la siguiente función: y = + 7, (, ].. Una función lineal f cumple: f () = 5, f (7) =, D ( f ) = [0, 0]. Cuál es su epresión analítica? Represéntala. 5 9 m = = y = 5 ( ) = +, [0, 0] Unidad. Las funciones elementales

4 Página 0. Por un consumo de gas de 0 m se han pagado 50 euros y por m se han pagado 7 euros. Cuánto habrá que pagar por 5 m? 7 50 m = = =,5 0 y = 50 +,5 ( 0) =,5 + 5 La recta es f () =,5 + 5; luego f (5) = 7,5 euros.. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 00 km, depende de la velocidad a la que va. A 0 km/h consume 5,7 l y a 90 km/h consume 7, l. Estima cuánto consumirá si recorre 00 km a 70 km/h. 7, 5,7,5 m = = = 0, y = 5,7 + 0,05 ( 0) = 0,05 +,7 La recta es f () = 0,05 +,7; por tanto, f (70) =, litros. Página 0. Representa las parábolas: a) y = + b) y = c) y = + 5 d) y = e) y = + f ) y = + a) b) c) d) e) 8 f) Unidad. Las funciones elementales

5 . Representa la función y = +, [, 5). 8 Página 05. El consumo de gasolina de cierto coche por cada 00 km recorridos es: a 0 km/h 5,7 l; a 90 km/h 7, l; a 0 km/h 0,5 l. Mediante una interpolación parabólica, estima su consumo a 0 km/h. f () = m + n ( 0) + p ( 0) ( 90) f (0) = 5,7 = m f (90) = 7, = m + 0n f (0) = 0,5 = m + 0n + 800p m = 5,7 n = 0,05 p = 0,00 La parábola es f () = 5,7 + 0,05 ( 0) + 0,00 ( 0) ( 90). Luego f (0) = 9, litros. Página 0. Representa y =. A partir de ella, representa: a) y = + 5 b) y = c) y = y = a) b) 0 c) 8 8 Unidad. Las funciones elementales 5

6 Página 07. Representa y = f () = para. A partir de ella, representa: a) y = f ( 5) b) y = f ( + ) c) y = f ( ) a) b) c) Página 08. Representa: a) y = b) y = c) y = + d) y = + e) y = f) y = a) b) c) d) e) f) 8 Unidad. Las funciones elementales

7 Página 09. Representa las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = a) b) 8 c) Página 0. Representa estas funciones: + [, 0) + < a) f () = + [0, ] b) g() = (, 7) a) b) 8 Página. Representa estas funciones: a) y = b) y = a) 0 b) Unidad. Las funciones elementales 7

8 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Cuáles de estas gráficas son funciones? a) b) c) d) e) f) Son funciones a), b) y d). Indica si los valores de : 0; ;,5; ; 0,5 pertenecen al dominio de estas funciones: a) y = b) y = c) y = d) y = + e) y = f) y = 7 a),5; b) Todos salvo c) Todos d) Todos e),5 f ) Todos Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y = + ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = 5 a) Á {, 0} b) Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f ) Á {, } Unidad. Las funciones elementales 8

9 Halla el dominio de definición de las funciones: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = + f ) y = g) y = + 5 h) y = 0 a) (, ] b) [/, + ) c) (, ] d) (, 0] e) (, ] U [, + ) f) [0, ] g) Á h) [ 0, + ) 5 Halla las pendientes de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: a) (, 5) y (7, ) b) (, ) y (7, 8) c) ( 500, 7) y ( 00, ) ( ) 5 7 a) m = = ; b) m = = ; c) m = = 0, Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas: a) y = 5 b) y + = 0 c) y = + 5 d) y = 5 a) b) c) d) 0 7 Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por P(, 5) y Q(0, ). b) Pasa por ( 7, ) y su pendiente es 0,75. c) Corta a los ejes en (,5; 0) y (0, 5). d) Es paralela a y + = 0 y pasa por (, ). ( 5) a) m = = 0 9 y = 5 + ( ) = b) y = 0,75 ( + 7) = 0,75,5 y c) + = y =, 5,5 5 d) m = ; y = + ( + ) = + Unidad. Las funciones elementales 9

10 8 Cuál es la pendiente de cada una de estas rectas? Escribe su ecuación r s 0, 0, 0, t , 0, 0, r: m = ; y = s: m = ; y = t: m = ; y = Asocia a cada recta su ecuación: a) y = b) y = c) y = d) y = 0, e) y =,5 r y = 0, r y = r y = r y =,5 r 5 y = r r r r r 5 5 Página 7 0 Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación: a) b) c) d) , 0, a) y = + b) y = c) y = 0,05 0,05 d) y = 0 Asocia a cada una de estas parábolas una de estas ecuaciones: a) y = b) y = 0,5 c) y = ( + ) d) y = Unidad. Las funciones elementales 0

11 I II 8 III IV 8 a) II b) I c) IV d) III Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: a) y = 0,5 b) y = + c) y = d) y = a) Vértice: (0, ) Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) b) Vértice: (0, ) Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) Unidad. Las funciones elementales

12 c) Vértice: (0, ) Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) d) 8 Vértice: (0, 0) Corte con los ejes: (0, 0) Representa las siguientes funciones: a) y = + + b) y = + + c) y = + 5 d) y = + + a) b) c) d) 8 Unidad. Las funciones elementales

13 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta al eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = ( + + ) b) y = 5 ( + ) + c) y = d) y = ( + ) a) b) Vértice: (, ) Vértice: (, ) c) d) Vértice: (0, ) Vértice: ( 0, ) 5 Estima mediante interpolación lineal el valor correspondiente a = 000 y a = 558, conociendo estos valores: y y = ( 85) 85 y ( 000) = 79,7 y ( 558) = 7,79 Unidad. Las funciones elementales

14 Calcula mediante interpolación lineal el valor de y que falta en esta tabla: 9 y = 8 + ( 7) 5 y(59) = y Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición: Los dominios son, por orden: [, ]; (, ) U (, + ) y [, + ). 8 Representa las siguientes funciones en las que se ha restringido voluntariamente su dominio: a) y =, si [, ] b) y = 5, si [, + ) a) b) De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de. b) Cuál es el dominio de esa función? a) A () = b) (0, ) 0 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. a) V () = b) (0, 0) Unidad. Las funciones elementales

15 Página 8 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones analíticas: a) y = + b) y = c) y = d) y = + I II III IV a) II b) III c) IV d) I PARA RESOLVER El consumo de gasolina por cada 00 km de un automóvil es, dependiendo de la velocidad, 7, l a 90 km/h y 0,8 l a 0 km/h. Estima el consumo cuando la velocidad es 00 km/h. y = 7, + 0,8 ( 90) y (00) = 9 l La factura del gas de una familia, en enero, ha sido,8 euros por m, y en febrero,8 por m. Cuánto pagarán si consumen 8 m? y =,8 + 0, ( ) y (8) =,95 euros. El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros recorridos. Por 57 km he pagado,85 euros y por 8 km,, euros. Calcula el precio de un billete para una distancia de 00 km. y =,85 + 0,095 ( 57) y (00) =,9 euros. Unidad. Las funciones elementales 5

16 5 Un rectángulo tiene 0 cm de perímetro. Escribe la función que da el área de ese rectángulo en función de su base. Cuál es el dominio de esa función? y + y = 0; A = y A () = 0 ; D = (0, 0) Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G =000+5, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I = 0 0,0, también en miles de euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? B () = I () G () = 0 0,0 ( ) = 0, El máimo lo alcanza en el vértice de la parábola: b 5 = = = 750 a 0,0 Han de fabricarse 750 televisiones. 7 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 80 m de ascenso el termómetro baja C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 0 C, cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. Haz una tabla de valores y represéntala. Qué gráfica obtienes? h T (h) = 0 ; T (800) = 5,5 C 80 TEMPERATURA ( C) ALTURA (m) 8 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? Unidad. Las funciones elementales

17 a) ALTURA (m) TIEMPO (s) b) 80 metros. c) segundos. 9 El precio de venta de un artículo viene dado por la epresión p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Representa la función Nº de artículos-ingresos obtenidos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? a) Si se venden 500 artículos, se ingresan 500 cientos de euros = euros. I () = 0,0 b) INGRESOS Nº DE ARTÍCULOS c) Deben fabricar 00 artículos para obtener los ingresos máimos (0 000 euros). 0 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? Unidad. Las funciones elementales 7

18 a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = euros. b) I () = (00 + 0) (00 ) = ( = decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = 5 50 euros a 0 Página 9 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) euros y el precio de venta de una unidad es 50 / euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas. b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (50 /) euros. a) B () = 50 ( ) = b) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: 5 = = 5 Deben venderse 5 unidades Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: y = + 5 si < 5 5 si Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = b) y = Unidad. Las funciones elementales 8

19 a) y = si < + si 8 0 b) y = + si < si 8 0 Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = d) y = a) b) c) d) 5 Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = + d) y = Unidad. Las funciones elementales 9

20 a) b) 8 c) d) 0 0 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. a) Representa la función tiempo-distancia. b) Busca su epresión analítica. a) DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) b) f () = (/0) si 0 0 si 0 < 50 /0 ( 70) si 50 < 70 7 Halla el dominio de definición de las funciones: a) y = b) y = c) y = d) y = + 8 e) y = f ) y = + g) y = h) y = 5 Unidad. Las funciones elementales 0

21 5 a) Á { 0, } b) Á {0} c) Á { } d) (0, + ) e) Á f) Á g) (, ) h) ( ;,5) U (, + ) 8 Encuentra una función polinómica de segundo grado que pase por (0, ), (, ) y (, ). Los puntos están alineados. Los tres pertenecen a la recta y = +. 9 Dada la siguiente tabla de valores, haz una estimación del valor de la función para = mediante interpolación cuadrática. f () = m + n ( ) + p ( ) (,5),5 f () 8 f () = = m f (,5) = = m +,5n f () = 8 8 = m + n +,5p m = n = p = 8/ El polinomio es: 8 f () = ( ) + ( ) (,5) Luego: f () = = 0, ) 0 Una empresa ha obtenido las siguientes ganancias, en millones de euros: Año Euros Determina mediante interpolación parabólica las ganancias de los años 99 y 998. Llama, y 5 a los años que aparecen en la tabla. Hacemos: Año 5 99 Año Ganancias Año Así: f () = m + n ( ) + p ( ) ( ) f () = = m f () = = n f (5) = = n + 8p m = 700 n = 50 p = 00 Unidad. Las funciones elementales

22 El polinomio es: f () = ( ) + 00 ( ) ( ) Año 99 f () = 850 Año 998 f () = 750 Los alumnos matriculados en una universidad han sido: Año Número de alumnos Obtén el polinomio interpolador de segundo grado y utilízalo para estimar el número de alumnos matriculados en 99. Llamando, y 7 a los años que aparecen en la tabla, tenemos que: f () = m + n ( ) + p ( ) ( ) f () = = m f () = = m + 5n f (7) = = m + n + p m = 0 00 n = 50 p = 0 El polinomio es: f () = ( ) 0 ( ) ( ) Año 99 f () = 880 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = 5 d) y = + a) (, 0] U [, + ) b) Á c) [ 5, 5 ] d) (, ] U [, + ) Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 si < a) y = b) y = si 0 < si si si < + si < c) y = d) y = ( 5)/ si + si > Unidad. Las funciones elementales

23 a) b) c) d) Página 0 Representa: / + si ( + )/ si < a) y = b) y = / si > + si + 7 si <,75 c) y = d) y = 7 si,75 si + 5 si < < si a) b) c) d) Unidad. Las funciones elementales

24 5 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y = si b) y = ( )/ si > c) y = si < d) y = si si si > si < 0 si 0 a) b) c) d) Representa: si a) y = si < < b) y = si a) b) / + si < si 7 Busca la epresión analítica de estas funciones: a) b) Unidad. Las funciones elementales

25 a) f () = b) f () = si si > si si > 8 Representa y define como funciones a trozos : a) y = b) y = + c) y = d) y = Mira el ejercicio resuelto número 9. + si < b) y = a) y = si si < + si a) b) si < / d) y = c) y = si / si < + si c) d) 9 Representa y define como funciones a trozos : a) y = b) y = c) y = + d) y = + Mira el ejercicio resuelto número 9. Unidad. Las funciones elementales 5

26 si < a) y = + si b) y = si > si <, + + si,, si >, a) b) ( /) si < c) y = ( /) + si d) y = ( /) si > c) d) + si <,7 + si,7 0,7 + si > 0,7 50 A partir de la gráfica de f () = /, representa: a) g() = f () b) h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () a) Y b) X Y 5 f () 5 h() 5 0 X g() 0 c) 0 Y d) Y 5 f () j () i () 0 X f () X 0 Unidad. Las funciones elementales

27 5 Representa la función f () = y dibuja, a partir de ella: a) g() = + b) h() = c) y = a) Y g() 0,8 0, f () 0, 0, 0,5 0,5 X b) Y 0, 0, 0, 0,8 f () X c) y () Y f () h() X 5 Ésta es la gráfica de la función y = f (): Y X Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f () b) y = f ( ) c) y = f () + a) Y y = f () b) Y y = f ( ) c) (, 5) Y y = f () + (, ) (, ) X X X Unidad. Las funciones elementales 7

28 Dividendo resto 5 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir divisor divisor + la función y = de esta forma: y = +. Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y ha- + + cia arriba. y = y = Representa las funciones y =, y = utilizando el procedimiento del problema anterior. y = = + Unidad. Las funciones elementales 8

29 y = = + Y 8 0 X Página CUESTIONES TEÓRICAS 55 Una parábola corta al eje de abscisas en = y en =. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? f () = k ( + ) ( ) = k ( ) + ( ) Vértice = = ; f () = k = k = La ecuación de la parábola será, por tanto: f () = 5 Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(0, n) y B(, n + m)? y = m + n 57 Recuerda que la pendiente de una recta es lo que aumenta y por cada unidad que aumenta. Demuestra que en la recta y = m + n, m es la pendiente. Calcula el valor de y cuando = a y cuando = a + y halla la pendiente. y (a) = m a + n y (a + ) = m a + m + n y (a + ) y (a) = m = pendiente 58 Encuentra los valores de c para que la función y = + + c tenga con el eje de abscisas: a) Dos puntos de corte. b) Un punto de corte. c) Ningún punto de corte. b ac = + c a) + c > 0 c > b) + c = 0 c = c) + c < 0 c < Unidad. Las funciones elementales 9

30 PARA PROFUNDIZAR 59 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: + 9 a) y = b) y = Halla los valores que anulan el numerador y el denominador y estudia el signo del cociente. + a) > < 0 Dominio = (, ] U (, + ) > 9 b) > < 0 Dominio = (, 0) U [9, + ) 9 < 0 0 El precio del metro cuadrado de un material plástico para suelos depende de la cantidad que compremos,, y viene dado por la función f () definida así: 0 0,05 si 0 50 f () = 7,5 0,0( 50) si 50 < < 00,5 0,00 ( 00) si a) Representa gráficamente esta función. b) Cuál será el precio si compro 00 m? c) Para conseguir un precio inferior a 7 /m, cuántos metros cuadrados, como mínimo, tengo que comprar? a) Es continua en su dominio. Unidad. Las funciones elementales 0

31 b) f (00) =, A, /m, nos costará, 00 = 80 c) 7,5 0,0 ( 50) = 7 = 75 Como mínimo, 75 m. Representa las siguientes funciones y eprésalas en intervalos: a) y = b) y = si 0 a) y = b) y = + si < 0 si 0 si 0 < < si Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si ésta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). b) Obtén la epresión analítica y represéntala. a) INGRESOS CARGA (t) b) f () = 0 si 0 0 [0 ( 0)] si 0 < 0 Es decir: f () = 0 si si 0 < 0 Unidad. Las funciones elementales

32 La gráfica de y = es una semicircunferencia con centro en el origen y radio. Compruébalo. Cuál es su dominio? Cuál será la función que representa la otra semicircunferencia? Haz una tabla de valores y represéntala. y = Dominio = [, ] La función que representa la otra semicircunferencia es y =. PARA PENSAR UN POCO MÁS De una función polinómica de segundo grado, y = p (), sabemos que tiene un máimo en el punto de abscisa 0 = y que p () =. a) Cuánto vale p (0)? b) Tenemos suficientes datos para representarla? Escribe la ecuación de una parábola que cumpla estas condiciones y represéntala. p () = a + b + c Máimo en el punto de abscisa 0 = b a = b = a p () = = a + b + c = a + ( a) + c = a a + c c = a) p (0) = c = b) No tenemos suficientes datos; solo sabemos que: p () = a a + ; a < 0 Un ejemplo podría ser p () = Unidad. Las funciones elementales

33 5 En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua. Un nadador se lanza tomando impulso y elevándose m antes de empezar a caer. El nadador alcanza el agua a 8 m del borde del trampolín. a) Si tomamos como origen de coordenadas la proyección Y del etremo del trampolín sobre el agua y el vérti- X 8 m ce de la parábola es (a, b), cuánto vale b? b) La ecuación del movimiento es y = k ( α) + 9. Justifícala y halla k y α. a) b = 8 + = 9 b) El vértice es (α, 9), por eso la ecuación es y = k ( α) m Como y (0) = 8 8 = k α + 9 Como y (8) = 0 0 = k (8 α) + 9 k = /α k = 9/(8 α) = 9 (8 α) = 9α 8α + α = 0 α (8 α) α + α 8 = 0 α = k = / (vemos por la gráfica que no vale) La ecuación será, por tanto: y = ( ) + 9 Unidad. Las funciones elementales