Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Save this PDF as:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO"

Transcripción

1 Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre:

2 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y quitando paréntesis: Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes: Despejando: 9 5 Como no eiste ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, la ecuación no tiene solución Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general: a) ( -)( + ) = b) ( + ) = ( + ) a) Operamos: Agrupamos los términos y resulta una ecuación de segundo grado incompleta: 5 Resolvemos: 5 5 b) Operamos: Agrupamos los términos y resulta una ecuación en la que podemos sacar factor común : ( - ) = 0 Entonces, = 0 ó - = 0, es decir, = Resuelve la siguiente ecuación: ( ) ( ) ( ) Multiplicamos por el mcm(,, )=: 8(+) - (-) = - (+) Quitamos los paréntesis: = - -

3 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Agrupamos y resolvemos: = - 9 = - Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general: a) b) ( 5) c) Operamos y agrupamos términos: Es incompleta Ponemos como factor común: ( - 7) = 0, luego, = 0; = 7 d) Al agrupar los términos resulta una ecuación incompleta de segundo grado: Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula general: 7 Multiplicamos en cruz los términos: ( + )( - ) = Operamos y resulta una ecuación incompleta de segundo grado: Resolvemos: Resuelve la siguiente ecuación: 5 5 Multiplicamos por 5(-): ( - )( + ) - ( - ) = 5 Operamos y agrupamos términos: Resolvemos: Se comprueba que las dos soluciones son válidas 7 Resuelve la siguiente ecuación:

4 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO ( ) ( ) 0 9 0( ) 80( ) Multiplicamos por el mcm(,, 9) = 8: Quitamos los paréntesis y dividimos por 0: = 9 - Agrupamos y resolvemos: 6 8 = Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado, formando un cuadrado perfecto: Buscamos el cuadrado de un binomio con los términos con : ( + + ) = 0 Lo completamos con el cuadrado del segundo término del binomio: ( + + 9) = 0 Despejamos el paréntesis en: 6 9 ( + ) - 6 = 0 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y y 5 7 Multiplicamos la ª ecuación por 6, y la ª por 5, para eliminar los denominadores: y 66 5 y 05 Multiplicamos en el último sistema la ª ecuación por 5, y la ª por : 5 0y 0 5 9y 5 Ahora, aplicamos método de reducción Restamos las ecuaciones: y = 5 Sustituyendo el valor hallado en la ª ecuación:

5 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 5 = (, 5) 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5 y 8 y 6 Quitando denominadores: 0 y 8 6 y 0 y 8 6 y Multiplicando por la ª ecuación y sumando: y y y Se calcula y: 7 6 La solución es = 5, y = y 7 6 La densidad del alcohol puro es 0,79 kg/litro y la del agua kg/litro Si tenemos un alcohol cuya densidad es de 0,86 kg/litro, qué proporción de alcohol puro y de agua contiene? Llamamos e y a las cantidades de alcohol y de agua, respectivamente, en un litro del alcohol del problema Entonces: + y =, y la igualdad de pesos por litro nos da la ecuación: 0,79 + y = 0,86 Multiplicamos por 00 la última, y tenemos el sistema: y 79 00y 86 y Sustituimos = - y en la ª ecuación: 79( - y) + 00y = 86 y = = 7 Sustituyendo: Es decir, contiene / de alcohol puro y / de agua

6 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO La suma de un número más su inverso es /6 Calcúlalo Lamamos al número pedido 6 El enunciado dice: Quitamos denominadores y ordenamos los términos: Resolvemos: Halla a y b para que sea correcta la siguiente igualdad: ( )(a b) Tenemos que multiplicar e igualar los coeficientes de igual grado de ambos polinomios: ( )(a b) a b a (b a) b a 6 b a 6 b a b 6 Igualando los coeficientes de igual grado : En la primera, obtenemos a = ; y en la segunda, b = -; que también verifican las demás Dado el polinomio P(n) = n(n+)(n+), justifica que P(n+) - P(n) es un múltiplo de 6 La epresión para P(n+) es: P(n+) = (n+)(n+)(n+) Y la diferencia que plantea el problema: P(n+) - P(n) = (n+)(n+)(n+) - n(n+)(n+) Sacando factor común y operando: (n 7n 6 n n) (n+)[(n+)(n+) - n(n+)] = (n+) = 6(n+)(n+) Es decir, seis veces el cuadrado de un número, luego, es múltiplo de 6

7 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 5 P() 6 Halla una raíz entera del polinomio, y dividiendo por el método de Ruffini halla un segundo factor del polinomio Tiene más raíces reales el polinomio P()? ; ; ; 6 Las raíces enteras están entre: Se comprueba que = - es la raíz entera buscada: P(- ) = = 0 El polinomio es divisible por: ( + ) El cociente de la división por + será un nuevo factor de P() El factor buscado, por lo tanto, es: + La factorización del polinomio dado es: ( )( ) El binomio reales no se anula nunca, es siempre positivo, luego el polinomio dado no tiene otras raíces 6 P() 8 El polinomio es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces = y = - Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor El enunciado nos da las raíces enteras y -, luego, el polinomio es divisible por ( - ) y por ( + ) Dividimos por el primer factor, y el cociente resultante por ( + ), como se indica en la siguiente disposición de los coeficientes: El último de los cocientes, -, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P() = ( - )( + )( - ) 7 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio: 9 9

8 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO ( 9 9) El polinomio tiene como factor común en sus términos, luego, una de las raíces es = 0: Los divisores de 9, término independiente del paréntesis, son: ; ; 9 Los valores numéricos para dichos números son: P() = = 0 P(- ) = = 6 P() = = 0 P(-) = = 0 Las otras tres raíces del polinomio son: =, = y = - El polinomio dado es el producto: ( - )( - )( + ) 8 El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de polinomios: Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y escribe P() como un producto de tres binomios más un número Para la primera división: D() Se debe verificar: D() = C()d() + R() Operamos:, d() = -, C() 6 y R() = 6 ( 6)( ) 6 Luego, es correcta Para la segunda división debe verificarse: D() C() = C ()( + ) + R(), con Operamos: C () y R() = 0 ( )( ) 0 6 C() También son correctos los resultados Sustituyendo la epresión C() = ( ) ( + ) de esta última división en la primera, obtenemos el

9 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO resultado pedido: D() = ( ) ( + )( -) Simplifica las siguientes epresiones: a) b) 8 y z 0y z 8( 6 )( ) a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta: 5y 6 z b) Sacando factor común en el denominador, resulta: 8( )( ) ( ) 6( ) 0 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:, Simplificamos sacando factor común, y factorizando la diferencia de cuadrados: Por lo tanto, son equivalentes NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz 5 Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción: Las posibles raíces enteras del numerador son:,

10 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Se comprueba que = lo es, y dividimos utilizando el método de Ruffini: C() = - es el segundo factor del numerador Es decir: 5 ( )( ) El denominador se descompone sacando factor común, y desarrollando la diferencia de cuadrados: ( ) ( )( ) Sustituyendo en la fracción: ( )( ) ( )( ) Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea Dividiendo el nuevo denominador entre el antiguo, obtenemos el factor por el cual debemos multiplicar numerador y denominador de la fracción: Luego, el factor por el que debemos multiplicar es ( - ), y la fracción pedida es: ( ) ( )( ) Reduce a común denominador las siguientes fracciones:, Las posibles raíces enteras del denominador de la primera son: Se comprueba que solamente = lo es Dividimos utilizando el método de Ruffini: 0 0 -

11 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 0 El cociente C(), que no tiene raíces reales, es el factor buscado, resultando: ( )( ) El denominador de la segunda fracción tiene como posibles raíces enteras: Solamente = lo es: = = 0 Dividimos:, Obtenemos el mismo cociente que anteriormente, resultando el polinomio factorizado: ( )( ) El denominador común, por lo tanto, es: ( )( )( ) y las fracciones, respectivamente, son: ( ) ( )( )(, ) ( ) ( )( )( ) Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea 8 El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando ( + ) por un factor, P() Es decir, ( + ) está como 8 factor en Dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos el factor P(): El cociente es el factor buscado, es decir, P() = -, y la fracción pedida es: ( )( ) ( )( ) A(), P() B() C() y Q() R() Dadas las fracciones algebraicas, sabemos que R() = P()Q() Qué polinomio es el denominador común para dichas fracciones? Por qué factores hay que multiplicar los numeradores A(), B() y C(), para tener fracciones equivalentes a las dadas con dicho denominador común? El polinomio R() es el mínimo común múltiplo de los tres denominadores, al ser el producto de los dos

12 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO primeros es múltiplo de ellos Al numerador de la primera fracción hay que multiplicarle por Q(), y al de la segunda por P(), pues, en ambos casos, los denominadores serían P()Q() = R(), que es el denominador común 6 Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan las simetría que se indica: a) Par Impar c) Ni par, ni par Y Y Y O X O X O X Y Y Y O X O X O X 7 Representa aproimadamente la gráfica de f() sabiendo que su dominio es R Y X 8 Halla los puntos de corte con los ejes para las siguientes funciones: a) f() b) f()

13 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO a) Puntos de corte con el eje OX: y y 0 Punto A(,0) Puntos de corte con el eje OY: y y 0 Punto B(0,-) b) Puntos de corte con el eje OX: y 0 y 0 Punto A(,0) Puntos de corte con el eje OY: y y 0 Punto B(0,) 9 Dada la función g(), epresa cuál es su dominio e intenta esbozar su gráfica El dominio de esta función son todos los números reales, salvo los que hagan cero el denominador Así: Dom f() R 0 0 A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máimos y mínimos relativos y absolutos

14 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Y O X La función es creciente si (, ) (0 ) (, 5) ( 5, ) (, 0) (, ) y es decreciente si La función tiene dos máimos relativos en y un mínimo absoluto en y 0, mínimo relativo en, un máimo absoluto en El cociente y el resto de una división entera son iguales a Epresa el dividendo en función del divisor En cualquier división: Dividendo = divisor cociente + resto (D = d c+r) La función será: D d d Dec() La función parte decimal de,, es una función que hace corresponder a cada número real no entero, el número decimal que se consigue al poner la parte entera como cero Representa esta función y estudia si es periódica Es una función periódica de periodo Dadas las siguientes representaciones de funciones razona si son pares o impares a) b)

15 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO c) d) a) Esta función es una recta, que no es simétrica con respecto del origen de coordenadas ni con respecto del eje de f(),f( ) 0 f( ) f() f( ) f() ordenadas, luego no es ni par ni impar Por ejemplo, así que y, por lo tanto como eiste al menos un valor del dominio de esta función para el que la función no es ni par ni impar, ésta tampoco lo es en general b) Esta función es par ya que la imagen de cualquier valor del dominio es igual que la imagen de su opuesto f() f( ) Dom f() c) Esta función también es par,, para todo d) Esta última función es impar, dado que la imagen para cualquier valor de su dominio es la opuesta de la imagen f( ) f( ) Dom f() de su opuesto, es decir,, Dada la función f que asocia a cada número entero su triple menos dos: a) Escribe la epresión que nos proporciona f 0,, b) Calcula la imagen para f() a) f(0), f( ) 5, f() 7 b) 5 Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica el periodo: a) b) Ninguna de las dos es periódica

16 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 6 y e y Representa las rectas de ecuación, y calcula el punto que tienen en común El punto de intersección de estas dos rectas es 5, Dada la recta dos rectas y, calcula una recta paralela a ella que tenga ordenada en el origen Representa las Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir ; por tanto la ecuación es: y Y X 8 En un restaurante, el coste de un menú es de euros Cuando el camarero trae la cuenta descubrimos que además del coste por cada menú, pagamos una cantidad fija de euros por el pan consumido en cada mesa Cuál será la función lineal que nos da el coste de la comida de una familia dependiendo del número de sus miembros? El coste vendrá dado por: C(m) m, siendo m el número de miembros de la familia

17 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 9 Dada la siguiente recta, calcula su ecuación y determina su pendiente y su ordenada en el origen Y X (0,) (,0) y m n Dos puntos por los que pasa esta recta son y La ecuación de una función lineal es m0 n 0 m n Así, y a la vez Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: m y n Por lo tanto, la ecuación de la recta será: y, con pendiente y ordenada en el origen, 0 Calcula los puntos de las parábolas y e y, que cortan el eje de abscisas Para la primera de las parábolas los puntos de corte con el eje de abscisas son (, 0) y (-,0) 0 La segunda parábola no corta el eje de abscisas, ya que la ecuación, no tiene solución en los números reales Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo: y y y y y y Abiertahaciaarriba Abiertahaciaabajo Abiertahaciaabajo

18 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Calcula las ecuaciones de las parábolas que pasan por los puntos vértice al origen de coordenadas es de cuatro unidades (,) y (,) y cuya distancia del La abscisa del vértice de cada una de ellas es 0, así que los vértices son Las ecuaciones son: y 7 y y ( 0,) y (0, ) Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (, -) y pasa por (, 0) Necesitamos un tercer punto para poder calcular la ecuación La parábola es simétrica con respecto del eje =, así que el punto simétrico de (, 0) es (-, 0) La ecuación es: y Calcula los puntos de intersección de las parábolas: y e y Serán las soluciones del sistema de ecuaciones: y y Los puntos son:,0 y,0 5 Comprueba si los puntos (, -), (, ) y (-, ), pertenecen a la parábola y Los puntos pertenecerán a y si verifican la ecuación (, -) no pertenece a la parábola, ya que (, ) sí pertenece a la parábola porque (-, ) también pertenece a la parábola, ya que ( ) 6 Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica el periodo: a) b)

19 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO a) Es una función periódica de periodo b) Es una función periódica de periodo 7 f() Si, indica si, y pertenecen a su dominio y en el caso de que así sea cuál f() sería su imagen mediante Si f(), 0 0 R Por tanto pertenece al dominio, y su imagen es 0 Si, f() R Por lo tanto no pertenece al dominio Si f() 5 R, Por tanto pertenece al dominio y su imagen es 5 8 Las dos cifras de un número suman 9 Si se invierte el orden de las cifras, el número disminuye en 9 Qué número es? Sean la cifra de las decenas e y la de las unidades El número en cuestión es: 0+y El número con las cifran en orden inverso: 0y+ Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema: y 9 0y 0 y 9 Agrupando los términos y simplificando, resulta: y 9 y Sumando las dos ecuaciones: y = 8 y =, = 5 El número pedido es el 5

20 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 9 La suma de un número más la mitad de su cuadrado es 8 Calcúlalo Llamamos al número pedido 8 El enunciado dice: 68 0 Quitamos denominadores: 67 6 Resolvemos: Hay dos números que lo cumplen, y - 50 Un cesto tiene 7 unidades entre manzanas, peras y naranjas Sabiendo que el número de manzanas es cinco veces el de peras y que el de naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto Número de peras, Número de manzanas, 5 Número de naranjas, 5 En el cesto hay 7 unidades: Multiplicando por y quitando denominadores: Despejando: = 8 Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 0 manzanas y naranjas Para que las soluciones de a b 0, a 0, sean números enteros, qué condición deben cumplir a y b? Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor común: (a + b) = 0 = 0, b a Para que la última sea un número entero, b debe ser un múltiplo de a 5 Resuelve por el método que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones: y 5 5 y

21 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Se despeja y en la primera ecuación: y 5 Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación: * Se calcula y: y La solución es = 5, y = Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: y 5 y y Se despeja en la segunda ecuación: Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuación que resulta: y y 5 y y 5 y 9 y Se calcula : La solución es =, y = 5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5y y Quitando paréntesis: 5y y

22 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 5y 5 y Agrupando los términos: Sustituyendo en la primera: 0-7 y y= Se calcula y: 0 7 La solución es =, y = 5y 5 y Despejando y de la segunda ecuación: =5+5 =0 = 55 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y y y Quitando paréntesis: Agrupando los términos: y y y y y y y 5 5 Multiplicando por la ª ecuación y sumando: y y y 5 5 Se calcula y: La solución es =, y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y 8 5

23 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO ( 6) y ( y) 8 6y y Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones: 8 y 6 y 8 6 6y y 6 Agrupamos los distintos términos: y 6 5 y 6 (*) Multiplicamos la ª ecuación por, y restamos: 9 y 78 5 y 6 - = 8 = -6 Sustituyendo el valor hallado en la ª ecuación de (*): 8 + y = 6 y = 8 (-6, 8) 57 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5 y y 9 Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones: 5y 6y 9 Agrupando los términos: 5y 9 6y 9 5y y 9 9y 8 y Multiplicando por la primera ecuación y sumando: Se calcula : La solución es = 7, y =

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 4 5 5 6 Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado

6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado 8985 _ 009-08.qd /9/07 5:7 Página 09 Ecuaciones de. er y. o grado INTRODUCCIÓN La unidad comienza diferenciando entre ecuaciones e identidades, para pasar luego a la eposición de los conceptos asociados

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología Índice Unidad 0 Números reales........................................... 7. Evolución histórica................................... 8. Números reales......................................

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

b) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados.

b) Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números naturales consecutivos. Halla dichos lados. Problemas Repaso MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I Profesor:Féli Muñoz Reduce a común denominador el siguiente conjunto de fracciones: + ; y Común denominador: ( + )( ) MCM + ( )( ) ( )( + )( ) ( ) (

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

2. Si P(x)= x 3 -x 2-3x+1, Q(x)= 2x 2-2x+1 y R(x)= 2x 3-6x 2 +6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q.

2. Si P(x)= x 3 -x 2-3x+1, Q(x)= 2x 2-2x+1 y R(x)= 2x 3-6x 2 +6x-1, opera: a) P+Q; b) P-Q+R; c) 2P-3R; d) P.Q-R; e) P+Q-R; f) Q. ejerciciosyeamenes.com POLINOMIOS 1. Si P()= - +1 y Q()= -+, opera: a) P-Q b) P+Q c) P+Q P.Q Sol: a) P-Q= -6 +-1 b) P+Q= 1 - -6+7 c) P+Q= -+ P.Q= 1 5-1 +17 - -+. Si P()= - -+1, Q()= -+1 y R()= -6 +6-1,

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Teoría Tema 1 Inecuaciones

Teoría Tema 1 Inecuaciones página 1/7 Teoría Tema 1 Inecuaciones Índice de contenido Qué es una inecuación?...2 Inecuaciones de primer grado...3 Sistemas de inecuaciones con una incógnita...4 Inecuaciones de segundo grado...5 Inecuaciones

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42 PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006

Selectividad Septiembre 2006 SEPTIEMBRE 2006 Bloque A SEPTIEMBRE 2006 1.- En una fábrica trabajan 22 personas entre electricistas, administrativos y directivos. El doble del número de administrativos más el triple del número de directivos, es igual

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

Polinomios y fracciones

Polinomios y fracciones BLOQUE II Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Función exponencial y Logaritmos

Función exponencial y Logaritmos Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

Raíces cuadradas y radicales

Raíces cuadradas y radicales Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS

EJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS 1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables

Más detalles

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 - SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMA: ECUACIONES CON NÚMEROS NATURALES INTRODUCCIÓN: Las ecuaciones sirven, básicamente, para resolver problemas ya sean matemáticos, de la vida diaria o de cualquier ámbito- y, en ese caso, se dice que

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado Igualdad Ecuaciones de primer y segundo grado Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. 2x + 3 = 5x 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2 (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1 2.

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO

Problemas Tema 1 Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO página / Problemas Tema Enunciados de problemas de Repaso 4ºESO Hoja. Calcula las medidas de un rectángulo cuya superficie es de 40 metros cuadrados, sabiendo que el largo es 6 metros mayor que el triple

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables

PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver

Más detalles

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones 5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de

Más detalles

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

) = 5. Operaciones con polinomios 54 SOLUCIONARIO 1. POLINOMIOS. SUMA Y RESTA 2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 54 SOLUCIONARIO 5. Operaciones con polinomios. POLINOMIOS. SUMA RESTA PIENSA CALCULA Dado el cubo de la figura, calcula en función de : a) El área. b) El volumen. a) A ( ) = 6 b) V ( ) = CARNÉ CALCULISTA

Más detalles