Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

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1 Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre:

2 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y quitando paréntesis: Pasando todos los términos al primer miembro y agrupando los semejantes: Despejando: 9 5 Como no eiste ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, la ecuación no tiene solución Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general: a) ( -)( + ) = b) ( + ) = ( + ) a) Operamos: Agrupamos los términos y resulta una ecuación de segundo grado incompleta: 5 Resolvemos: 5 5 b) Operamos: Agrupamos los términos y resulta una ecuación en la que podemos sacar factor común : ( - ) = 0 Entonces, = 0 ó - = 0, es decir, = Resuelve la siguiente ecuación: ( ) ( ) ( ) Multiplicamos por el mcm(,, )=: 8(+) - (-) = - (+) Quitamos los paréntesis: = - -

3 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Agrupamos y resolvemos: = - 9 = - Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general: a) b) ( 5) c) Operamos y agrupamos términos: Es incompleta Ponemos como factor común: ( - 7) = 0, luego, = 0; = 7 d) Al agrupar los términos resulta una ecuación incompleta de segundo grado: Resolver la siguiente ecuación sin utilizar la fórmula general: 7 Multiplicamos en cruz los términos: ( + )( - ) = Operamos y resulta una ecuación incompleta de segundo grado: Resolvemos: Resuelve la siguiente ecuación: 5 5 Multiplicamos por 5(-): ( - )( + ) - ( - ) = 5 Operamos y agrupamos términos: Resolvemos: Se comprueba que las dos soluciones son válidas 7 Resuelve la siguiente ecuación:

4 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO ( ) ( ) 0 9 0( ) 80( ) Multiplicamos por el mcm(,, 9) = 8: Quitamos los paréntesis y dividimos por 0: = 9 - Agrupamos y resolvemos: 6 8 = Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado, formando un cuadrado perfecto: Buscamos el cuadrado de un binomio con los términos con : ( + + ) = 0 Lo completamos con el cuadrado del segundo término del binomio: ( + + 9) = 0 Despejamos el paréntesis en: 6 9 ( + ) - 6 = 0 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y y 5 7 Multiplicamos la ª ecuación por 6, y la ª por 5, para eliminar los denominadores: y 66 5 y 05 Multiplicamos en el último sistema la ª ecuación por 5, y la ª por : 5 0y 0 5 9y 5 Ahora, aplicamos método de reducción Restamos las ecuaciones: y = 5 Sustituyendo el valor hallado en la ª ecuación:

5 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 5 = (, 5) 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5 y 8 y 6 Quitando denominadores: 0 y 8 6 y 0 y 8 6 y Multiplicando por la ª ecuación y sumando: y y y Se calcula y: 7 6 La solución es = 5, y = y 7 6 La densidad del alcohol puro es 0,79 kg/litro y la del agua kg/litro Si tenemos un alcohol cuya densidad es de 0,86 kg/litro, qué proporción de alcohol puro y de agua contiene? Llamamos e y a las cantidades de alcohol y de agua, respectivamente, en un litro del alcohol del problema Entonces: + y =, y la igualdad de pesos por litro nos da la ecuación: 0,79 + y = 0,86 Multiplicamos por 00 la última, y tenemos el sistema: y 79 00y 86 y Sustituimos = - y en la ª ecuación: 79( - y) + 00y = 86 y = = 7 Sustituyendo: Es decir, contiene / de alcohol puro y / de agua

6 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO La suma de un número más su inverso es /6 Calcúlalo Lamamos al número pedido 6 El enunciado dice: Quitamos denominadores y ordenamos los términos: Resolvemos: Halla a y b para que sea correcta la siguiente igualdad: ( )(a b) Tenemos que multiplicar e igualar los coeficientes de igual grado de ambos polinomios: ( )(a b) a b a (b a) b a 6 b a 6 b a b 6 Igualando los coeficientes de igual grado : En la primera, obtenemos a = ; y en la segunda, b = -; que también verifican las demás Dado el polinomio P(n) = n(n+)(n+), justifica que P(n+) - P(n) es un múltiplo de 6 La epresión para P(n+) es: P(n+) = (n+)(n+)(n+) Y la diferencia que plantea el problema: P(n+) - P(n) = (n+)(n+)(n+) - n(n+)(n+) Sacando factor común y operando: (n 7n 6 n n) (n+)[(n+)(n+) - n(n+)] = (n+) = 6(n+)(n+) Es decir, seis veces el cuadrado de un número, luego, es múltiplo de 6

7 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 5 P() 6 Halla una raíz entera del polinomio, y dividiendo por el método de Ruffini halla un segundo factor del polinomio Tiene más raíces reales el polinomio P()? ; ; ; 6 Las raíces enteras están entre: Se comprueba que = - es la raíz entera buscada: P(- ) = = 0 El polinomio es divisible por: ( + ) El cociente de la división por + será un nuevo factor de P() El factor buscado, por lo tanto, es: + La factorización del polinomio dado es: ( )( ) El binomio reales no se anula nunca, es siempre positivo, luego el polinomio dado no tiene otras raíces 6 P() 8 El polinomio es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los correspondientes a las raíces = y = - Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor El enunciado nos da las raíces enteras y -, luego, el polinomio es divisible por ( - ) y por ( + ) Dividimos por el primer factor, y el cociente resultante por ( + ), como se indica en la siguiente disposición de los coeficientes: El último de los cocientes, -, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P() = ( - )( + )( - ) 7 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio: 9 9

8 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO ( 9 9) El polinomio tiene como factor común en sus términos, luego, una de las raíces es = 0: Los divisores de 9, término independiente del paréntesis, son: ; ; 9 Los valores numéricos para dichos números son: P() = = 0 P(- ) = = 6 P() = = 0 P(-) = = 0 Las otras tres raíces del polinomio son: =, = y = - El polinomio dado es el producto: ( - )( - )( + ) 8 El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de polinomios: Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y escribe P() como un producto de tres binomios más un número Para la primera división: D() Se debe verificar: D() = C()d() + R() Operamos:, d() = -, C() 6 y R() = 6 ( 6)( ) 6 Luego, es correcta Para la segunda división debe verificarse: D() C() = C ()( + ) + R(), con Operamos: C () y R() = 0 ( )( ) 0 6 C() También son correctos los resultados Sustituyendo la epresión C() = ( ) ( + ) de esta última división en la primera, obtenemos el

9 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO resultado pedido: D() = ( ) ( + )( -) Simplifica las siguientes epresiones: a) b) 8 y z 0y z 8( 6 )( ) a) Suprimiendo los factores comunes en numerador y denominador, resulta: 5y 6 z b) Sacando factor común en el denominador, resulta: 8( )( ) ( ) 6( ) 0 Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:, Simplificamos sacando factor común, y factorizando la diferencia de cuadrados: Por lo tanto, son equivalentes NOTA: Puede resolverse el ejercicio por el procedimiento del producto en cruz 5 Descompón en factores y simplifica la siguiente fracción: Las posibles raíces enteras del numerador son:,

10 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Se comprueba que = lo es, y dividimos utilizando el método de Ruffini: C() = - es el segundo factor del numerador Es decir: 5 ( )( ) El denominador se descompone sacando factor común, y desarrollando la diferencia de cuadrados: ( ) ( )( ) Sustituyendo en la fracción: ( )( ) ( )( ) Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea Dividiendo el nuevo denominador entre el antiguo, obtenemos el factor por el cual debemos multiplicar numerador y denominador de la fracción: Luego, el factor por el que debemos multiplicar es ( - ), y la fracción pedida es: ( ) ( )( ) Reduce a común denominador las siguientes fracciones:, Las posibles raíces enteras del denominador de la primera son: Se comprueba que solamente = lo es Dividimos utilizando el método de Ruffini: 0 0 -

11 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 0 El cociente C(), que no tiene raíces reales, es el factor buscado, resultando: ( )( ) El denominador de la segunda fracción tiene como posibles raíces enteras: Solamente = lo es: = = 0 Dividimos:, Obtenemos el mismo cociente que anteriormente, resultando el polinomio factorizado: ( )( ) El denominador común, por lo tanto, es: ( )( )( ) y las fracciones, respectivamente, son: ( ) ( )( )(, ) ( ) ( )( )( ) Calcula una fracción equivalente a, cuyo denominador sea 8 El nuevo denominador debe obtenerse multiplicando ( + ) por un factor, P() Es decir, ( + ) está como 8 factor en Dividiendo por el método de Ruffini, obtenemos el factor P(): El cociente es el factor buscado, es decir, P() = -, y la fracción pedida es: ( )( ) ( )( ) A(), P() B() C() y Q() R() Dadas las fracciones algebraicas, sabemos que R() = P()Q() Qué polinomio es el denominador común para dichas fracciones? Por qué factores hay que multiplicar los numeradores A(), B() y C(), para tener fracciones equivalentes a las dadas con dicho denominador común? El polinomio R() es el mínimo común múltiplo de los tres denominadores, al ser el producto de los dos

12 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO primeros es múltiplo de ellos Al numerador de la primera fracción hay que multiplicarle por Q(), y al de la segunda por P(), pues, en ambos casos, los denominadores serían P()Q() = R(), que es el denominador común 6 Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan las simetría que se indica: a) Par Impar c) Ni par, ni par Y Y Y O X O X O X Y Y Y O X O X O X 7 Representa aproimadamente la gráfica de f() sabiendo que su dominio es R Y X 8 Halla los puntos de corte con los ejes para las siguientes funciones: a) f() b) f()

13 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO a) Puntos de corte con el eje OX: y y 0 Punto A(,0) Puntos de corte con el eje OY: y y 0 Punto B(0,-) b) Puntos de corte con el eje OX: y 0 y 0 Punto A(,0) Puntos de corte con el eje OY: y y 0 Punto B(0,) 9 Dada la función g(), epresa cuál es su dominio e intenta esbozar su gráfica El dominio de esta función son todos los números reales, salvo los que hagan cero el denominador Así: Dom f() R 0 0 A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máimos y mínimos relativos y absolutos

14 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Y O X La función es creciente si (, ) (0 ) (, 5) ( 5, ) (, 0) (, ) y es decreciente si La función tiene dos máimos relativos en y un mínimo absoluto en y 0, mínimo relativo en, un máimo absoluto en El cociente y el resto de una división entera son iguales a Epresa el dividendo en función del divisor En cualquier división: Dividendo = divisor cociente + resto (D = d c+r) La función será: D d d Dec() La función parte decimal de,, es una función que hace corresponder a cada número real no entero, el número decimal que se consigue al poner la parte entera como cero Representa esta función y estudia si es periódica Es una función periódica de periodo Dadas las siguientes representaciones de funciones razona si son pares o impares a) b)

15 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO c) d) a) Esta función es una recta, que no es simétrica con respecto del origen de coordenadas ni con respecto del eje de f(),f( ) 0 f( ) f() f( ) f() ordenadas, luego no es ni par ni impar Por ejemplo, así que y, por lo tanto como eiste al menos un valor del dominio de esta función para el que la función no es ni par ni impar, ésta tampoco lo es en general b) Esta función es par ya que la imagen de cualquier valor del dominio es igual que la imagen de su opuesto f() f( ) Dom f() c) Esta función también es par,, para todo d) Esta última función es impar, dado que la imagen para cualquier valor de su dominio es la opuesta de la imagen f( ) f( ) Dom f() de su opuesto, es decir,, Dada la función f que asocia a cada número entero su triple menos dos: a) Escribe la epresión que nos proporciona f 0,, b) Calcula la imagen para f() a) f(0), f( ) 5, f() 7 b) 5 Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica el periodo: a) b) Ninguna de las dos es periódica

16 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 6 y e y Representa las rectas de ecuación, y calcula el punto que tienen en común El punto de intersección de estas dos rectas es 5, Dada la recta dos rectas y, calcula una recta paralela a ella que tenga ordenada en el origen Representa las Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir ; por tanto la ecuación es: y Y X 8 En un restaurante, el coste de un menú es de euros Cuando el camarero trae la cuenta descubrimos que además del coste por cada menú, pagamos una cantidad fija de euros por el pan consumido en cada mesa Cuál será la función lineal que nos da el coste de la comida de una familia dependiendo del número de sus miembros? El coste vendrá dado por: C(m) m, siendo m el número de miembros de la familia

17 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 9 Dada la siguiente recta, calcula su ecuación y determina su pendiente y su ordenada en el origen Y X (0,) (,0) y m n Dos puntos por los que pasa esta recta son y La ecuación de una función lineal es m0 n 0 m n Así, y a la vez Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: m y n Por lo tanto, la ecuación de la recta será: y, con pendiente y ordenada en el origen, 0 Calcula los puntos de las parábolas y e y, que cortan el eje de abscisas Para la primera de las parábolas los puntos de corte con el eje de abscisas son (, 0) y (-,0) 0 La segunda parábola no corta el eje de abscisas, ya que la ecuación, no tiene solución en los números reales Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo: y y y y y y Abiertahaciaarriba Abiertahaciaabajo Abiertahaciaabajo

18 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Calcula las ecuaciones de las parábolas que pasan por los puntos vértice al origen de coordenadas es de cuatro unidades (,) y (,) y cuya distancia del La abscisa del vértice de cada una de ellas es 0, así que los vértices son Las ecuaciones son: y 7 y y ( 0,) y (0, ) Calcula la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (, -) y pasa por (, 0) Necesitamos un tercer punto para poder calcular la ecuación La parábola es simétrica con respecto del eje =, así que el punto simétrico de (, 0) es (-, 0) La ecuación es: y Calcula los puntos de intersección de las parábolas: y e y Serán las soluciones del sistema de ecuaciones: y y Los puntos son:,0 y,0 5 Comprueba si los puntos (, -), (, ) y (-, ), pertenecen a la parábola y Los puntos pertenecerán a y si verifican la ecuación (, -) no pertenece a la parábola, ya que (, ) sí pertenece a la parábola porque (-, ) también pertenece a la parábola, ya que ( ) 6 Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica el periodo: a) b)

19 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO a) Es una función periódica de periodo b) Es una función periódica de periodo 7 f() Si, indica si, y pertenecen a su dominio y en el caso de que así sea cuál f() sería su imagen mediante Si f(), 0 0 R Por tanto pertenece al dominio, y su imagen es 0 Si, f() R Por lo tanto no pertenece al dominio Si f() 5 R, Por tanto pertenece al dominio y su imagen es 5 8 Las dos cifras de un número suman 9 Si se invierte el orden de las cifras, el número disminuye en 9 Qué número es? Sean la cifra de las decenas e y la de las unidades El número en cuestión es: 0+y El número con las cifran en orden inverso: 0y+ Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema: y 9 0y 0 y 9 Agrupando los términos y simplificando, resulta: y 9 y Sumando las dos ecuaciones: y = 8 y =, = 5 El número pedido es el 5

20 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 9 La suma de un número más la mitad de su cuadrado es 8 Calcúlalo Llamamos al número pedido 8 El enunciado dice: 68 0 Quitamos denominadores: 67 6 Resolvemos: Hay dos números que lo cumplen, y - 50 Un cesto tiene 7 unidades entre manzanas, peras y naranjas Sabiendo que el número de manzanas es cinco veces el de peras y que el de naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto Número de peras, Número de manzanas, 5 Número de naranjas, 5 En el cesto hay 7 unidades: Multiplicando por y quitando denominadores: Despejando: = 8 Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 0 manzanas y naranjas Para que las soluciones de a b 0, a 0, sean números enteros, qué condición deben cumplir a y b? Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor común: (a + b) = 0 = 0, b a Para que la última sea un número entero, b debe ser un múltiplo de a 5 Resuelve por el método que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones: y 5 5 y

21 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Se despeja y en la primera ecuación: y 5 Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación: * Se calcula y: y La solución es = 5, y = Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: y 5 y y Se despeja en la segunda ecuación: Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuación que resulta: y y 5 y y 5 y 9 y Se calcula : La solución es =, y = 5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5y y Quitando paréntesis: 5y y

22 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO 5y 5 y Agrupando los términos: Sustituyendo en la primera: 0-7 y y= Se calcula y: 0 7 La solución es =, y = 5y 5 y Despejando y de la segunda ecuación: =5+5 =0 = 55 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y y y Quitando paréntesis: Agrupando los términos: y y y y y y y 5 5 Multiplicando por la ª ecuación y sumando: y y y 5 5 Se calcula y: La solución es =, y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: y 8 5

23 C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO ( 6) y ( y) 8 6y y Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones: 8 y 6 y 8 6 6y y 6 Agrupamos los distintos términos: y 6 5 y 6 (*) Multiplicamos la ª ecuación por, y restamos: 9 y 78 5 y 6 - = 8 = -6 Sustituyendo el valor hallado en la ª ecuación de (*): 8 + y = 6 y = 8 (-6, 8) 57 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5 y y 9 Operamos y quitamos paréntesis y denominadores en las ecuaciones: 5y 6y 9 Agrupando los términos: 5y 9 6y 9 5y y 9 9y 8 y Multiplicando por la primera ecuación y sumando: Se calcula : La solución es = 7, y =