Raíces cuadradas y radicales

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1 Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama radical y x es el radicando. Observa que la raíz cuadrada principal es siempre positiva. Ejemplos: porque 3 2 = 9 y 3 > 0. porque 5 2 = 25 y 5 > 0. porque (1/2) 2 = 1/4 y 1/2 > 0. porque 0 2 = 0. El opuesto de la raíz cuadrada principal de x está dado por negativo. Por ejemplo,, de manera que será Cuando tenemos, estamos considerando ambas raíces: la principal(positiva) y la negativa. Por tanto,. La raíz cuadrada de un número negativo no está definida como número real ya que ningún número real elevado al cuadrado puede dar por resultado un número negativo. Por ejemplo, no está definido como número real porque no existe un número que al cuadrarse nos de -1. De manera que ninguna de las siguientes raíces cuadradas están definidas:,. Cuando estudiamos anteriormente el tema de conjuntos, vimos que todo número racional se puede representar como un decimal que termina o como un decimal que no termina, pero se repite (decimal periódico). Siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto, el resultado de la raíz cuadrada será un número racional. Si usas tu calculadora (haciendo uso de la tecla de raíz cuadrada) puedes comprobar que son todos números racionales porque se pueden expresar como decimales que terminan o que se repiten. Sin embargo, cuando el radicando no es un cuadrado

2 Raíces Cuadradas y Radicales p. 2 perfecto, el resultado es un número irracional porque son decimales que no terminan ni se repiten. Ejemplos:,. Raíces de orden mayor Cuando tenemos la expresión, n representa el índice del radical e indica el tipo de raíz que estamos buscando. Si n = 2, estamos trabajando con raíz cuadrada y el índice no se escribe, si n = 3, estamos trabajando con raíz cúbica, si n = 4, estamos trabajando con la raíz cuarta, etc. De manera que si x es un número real, la raíz enésima de x se representa con el símbolo donde si. Ejemplos: porque 3 3 = 27 porque 2 4 = 16 porque (-2) 3 = -8 porque (-2) 5 = -32 Ejemplo: no está definido porque no existe un número real que al elevarse a la cuarta potencia nos dé negativo uno. Observa que si el radicando(x) es negativo y el índice (n) es par, y el índice es impar, no es un número real. Sin embargo, si el radicando es negativo es un número real negativo. No es lo mismo que. no es un número real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia da por resultado -81. Sin embargo, opuesto de Forma exponencial de que es 3. Por tanto, es el Cuando trabajamos con radicales, estamos trabajando con exponentes racionales. Por definición, (si x es negativo n debe ser impar). A menos que se indique lo contrario, supondremos que todas las variables en el radicando representan números reales no negativos y que el radicando es un número no negativo. De esta manera no será necesario indicar que la variable es no negativa siempre que tengamos un radical con un índice par.

3 Raíces Cuadradas y Radicales p. 3 Ejemplo: Escribe cada expresión en forma exponencial (con exponentes racionales). a) b) c) d) Respuestas: a) b) c) d) De igual forma, las expresiones exponenciales pueden convertirse en expresiones radicales, si invertimos el procedimiento. Ejemplo: Expresa en forma radical (sin exponentes racionales). a) b) c) d) Respuestas: a) b) c) d) Simplificación de raíces cuadradas Un número es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de una expresión. Ejemplos de números que son cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... ya que se pueden expresar como 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2, etc. Las variables con exponentes también pueden ser cuadrados perfectos. Ejemplos de cuadrados perfectos: x 2, x 4, x 6, x 8,... ya que se pueden expresar como (x) 2, (x 2 ) 2, (x 3 ) 2, (x 4 ) 2,...Observa que todos los exponentes de las variables son pares o múltiplos de dos. Al simplificar una raíz cuadrada lo que hacemos es remover del radicando todo factor que sea un cuadrado perfecto. En el caso en que el radicando no sea un cuadrado perfecto, hacemos uso de la regla del producto para raíces cuadradas:

4 Raíces Cuadradas y Radicales p. 4 Observa que expresamos el radicando como producto de factores donde al menos uno de los factores sea un cuadrado perfecto, si es posible. Observa que en este ejemplo, el factor cuadrado perfecto más cercano a 32 es 16, pero también pudimos haber trabajado el ejercicio de la siguiente manera: Los factores de 10 son 1, 2, 5 y 10. Como ninguno de ellos es un cuadrado perfecto (excepto el 1), no puede simplificarse. Cuando el radicando contiene una variable, si ésta está elevada a un exponente par, entonces es un cuadrado perfecto. Es importante indicar que sólo si x asume un valor no negativo. Por ejemplo: si x = 3: Sin embargo si x = -3: Por tanto, podemos concluir que Tal como indicamos anteriormente, asumiremos que toda variable en el radicando asume un valor real no negativo y no tendremos la necesidad de trabajar con valores absolutos. porque (x 2 ) 2 = x 4. x 8 porque (x 8 ) 2 = x 16. Observa que para hallar la raíz cuadrada de una variable elevada a un exponente par divides entre dos el exponente original. Si la variable está elevada a un exponente impar, el factor cuadrado perfecto mayor tiene un exponente que es uno menos que el exponente original.

5 Raíces Cuadradas y Radicales p. 5.. Observa que porque (x 3 ) 2 = x 6. Suma y resta de raíces cuadradas Sólo los radicales semejantes se pueden sumar o restar. Los radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Para sumar (restar) radicales semejantes, se suman o restan sus coeficientes numéricos y se multiplica el resultado por el radical semejante. Los radicales son semejantes porque son raíces cuadradas de radicandos iguales. Por tanto, A veces es posible convertir radicales no semejantes en semejantes simplificando primero. Observa que no se suman los radicandos, o sea,

6 Raíces Cuadradas y Radicales p. 6 Observa que no se restan los radicandos, o sea,. Ejemplo: Multiplicación de raíces cuadradas Al multiplicar raíces cuadradas se multiplican los radicandos utilizando la regla del producto que vimos anteriormente y luego se simplifica si es posible. Regla del producto para raíces cuadradas: Usamos la propiedad distributiva:

7 Raíces Cuadradas y Radicales p. 7 Usaremos la técnica de PIES para multiplicar los binomios: P I E S División de raíces cuadradas Al dividir raíces cuadradas, se usa la regla del cociente para raíces cuadradas:, Ejemplos: Simplifica a) b) c) d) Respuestas: a)

8 Raíces Cuadradas y Radicales p. 8 b) c) d) Cuando el denominador contiene un raíz cuadrada, es común eliminar el radical por medio de la racionalización del denominador. Para racionalizar un denominador, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una raíz cuadrada, de tal manera que el radicando del denominador se convierta en un cuadrado perfecto. Ejemplos: Simplifica a) b) c) d) Respuestas: a) b) c) d) Otro procedimiento: Procedimiento 1: Procedimiento 2:

9 Raíces Cuadradas y Radicales p. 9 Procedimiento 3:

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