4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

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1 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma, resta y multiplicación por un número Multiplicación de polinomios Potencias. Identidades Notables División (por caja y por Ruffini). 4. Teoremas del Resto y del Factor. 5. Raíces de un polinomio. Teorema Fundamental del álgebra. Factorización de polinomios. (Sacar factor común. Identidades Notables. Resolución de ecuaciones (Ruffini).) 6. Fracciones algebraicas: 6.1. Definición 6.2. M.c.d. y m.c.m. de polinomios Operaciones con fracciones algebraicas. 1. Definiciones. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números unidos por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Ejemplo: Longitud de la circunferencia: L = 2 circunferencia. r, donde r es el radio de la Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: 2x 2 y 3 z Partes de un monomio: -Coeficiente: es el número que aparece multiplicando a las variables. -Parte literal: son las letras y sus exponentes. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. En el ejemplo anterior, el grado de 2x 2 y 3 z es: = 6 Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal (coinciden letras y exponentes) 2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z 1

2 2. Valor numérico de una expresión algebraica: Es el número que se obtiene al sustituir en ésta por un valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. Ejemplo: Halla el valor numérico de L= 2 π r para r= 5 cm L = 2 π 5 = 10 π= 31, 4 cm Halla el valor numérico de P(x) = 2x 3-2x 2 para x= -1 P(-1)= 2(-1) 3-2(-1) 2 = 2 (-1)-2 = Operaciones con polinomios: 3.1. Suma de polinomios, resta de polinomios y multiplicación de un número por un polinomio: Suma de polinomios: para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Ejemplo: Dados P(x) = 2x 3 + 5x - 3 y Q(x) = 4x - 3x 2 + 2x 3, halla P(x) + Q(X) Pasos (ordenamos los términos de Q(x) de mayor a menor grado) P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x - 3) + (2x 3-3x 2 + 4x) = 2x 3 + 5x 3 + 2x 3-3x 2 + 4x = = (sumamos los monomios semejantes)= 4x 3-3x 2 + 9x 3 Resta de polinomios: Ejemplo: Hallar P(x) - Q(x) Se deja P(x) como está, se cambian de signo los términos de Q(x) y se agrupan términos semejantes: P(x) - Q(x) = (2x 3 + 5x - 3) - (2x 3-3x 2 + 4x) = 2x 3 + 5x 3-2x 3 +3x 2-4x = = 3x 2 + x 3 Producto de un número por un polinomio: Se multiplican los números y se dejan las letras con el mismo exponente Ejemplo: 3 ( 2x 3-3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3-9x x - 6 2

3 3.2. Multiplicación de polinomios: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio (se multiplican los números y se suman los exponentes) Ej: Dados P(x) = 2x 2 3 y Q(x)= 2x 3-3x 2 + 4x, calcula P(x) Q(x) P(x) Q(x) =(2x 2-3) (2x 3-3x 2 + 4x) = 4x 5 6x 4 + 8x 3 6x 3 + 9x 2 12x= =4x 5 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 12x 3.3. Potencia de un polinomio. Identidades notables: La potencia de un polinomio es una forma abreviada de escribir el producto del polinomio n veces. Si P(x) = x 2-2x +1, P(x) 3 = (x 2-2x +1)( x 2-2x +1)( x 2-2x +1) Identidades notables: 1ª) Cuadrado de una suma: es igual al cuadrado del primer término más dos por el primer término por el segundo término mas el cuadrado del segundo término: (a + b) 2 = a a b + b 2 Ej: (x + 3) 2 = x x = x x + 9 Puede hacerse también así: (x + 3) 2 = (x+3)(x+3)= x 2 +3 x+3 x + 9= x 2 +6x + 9 2ª) Cuadrado de una diferencia: es igual al cuadrado del primer término menos dos por el primer término por el segundo término mas el cuadrado del segundo término. (a - b) 2 = a 2-2 a b + b 2 Ej: (x - 3) 2 = x 2-2 x = x 2-6 x + 9 Puede hacerse también así: (x - 3) 2 = (x-3)(x-3)= x 2-3 x - 3 x + 9= x 2-6x + 9 3ª) Suma por diferencia: es igual a la diferencia de los cuadrados de los dos términos: (a + b) (a b) = a 2 b 2 Ej: (2x + 5) (2x - 5) = (2 x) = 4x 2 25 De otra forma: (2x + 5) (2x - 5) = 4x 2-10 x + 10 x -25= 4x 2 25 Otra identidad notable es el cubo de un binomio: (a ± b) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3 Ejemplos: 3

4 (x + 3) 3 = x x x = x x x + 27 (2x - 3) 3 = (2x) 3-3 (2x) x = 8x 3-36 x x División de polinomios: a) Por caja: Ejemplo dados P(x) = x 5 + 2x 3 x - 8 y Q(x) = x 2 2 x + 1, halla P(x):Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan o los rellenamos con ceros A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x 5 : x 2 = x 3 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo (= se cambian de signo las multiplicaciones) Procedemos igual que antes. 5x 3 : x 2 = 5 x 4

5 Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x 2 : x 2 = 8 10x 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente b) Por Ruffini: Ejemplo: (x 4 3x 2 + 2): (x 3) Pasos: 1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2 Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3 Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4 Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. 5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 5

6 6Sumamos los dos coeficientes. 7Repetimos el proceso anterior. Volvemos a repetir el proceso. Volvemos a repetir. 8 El último número obtenido, 56, es el resto. 9 El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x x 2 + 6x Teoremas del Resto y del Factor: Teorema del Resto: El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a Ejemplo: Si P(x)= (x 4 3x 2 + 2) y Q(x)= (x 3) calcula por el teorema del resto el resto de la división P(x) : Q(x) P(3) = = = 56 6

7 Teorema del Factor: El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x a) si y sólo si P(x = a) = 0. Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x). Ejemplo: P(x)= x 2-9 es divisible por Q(x)= x-3 porque P(3)= 0 P(3)= = 9-9= 0 5. Raíces de un polinomio. Teorema Fundamental del álgebra. Factorización de polinomios. Las raíces de un polinomio son los valores de x que anulan el polinomio. Ejemplo: El polinomio P(x) = x 2 5x + 6 tiene como raíces x = 2 y x = 3, ya que si sustituimos en la x el valor del polinomio es 0: P(2) = = = 0 P(3) = = = 0 Teorema Fundamental del álgebra: un polinomio de grado n puede tener como máximo n raíces reales. Ej: el polinomio P(x)= x 2-4 tiene dos raíces como máximo (2 y -2 en este caso) Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios primos o irreducibles, tales que su producto sea el polinomio dado. Además, la suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio. Ejemplo: (x 2-4) = (x+2)(x-2) Métodos para factorizar un polinomio: 1) Sacar factor común: Consiste en aplicar la propiedad distributiva. Ejemplo: x 3 + x 2 = x 2 (x + 1). La raíces son: x = 0 y x = 1 2) Aplicando las identidades notables (apartado 3.3.): x x + 9= (x+3) 2 x 2-6 x + 9= (x - 3) 2 4x 2 25= (2x + 5) (2x - 5) 3) Si el polinomio es de segundo grado, resolviendo la ecuación correspondiente 7

8 Ejemplo: descomponer P(x)= x 2-5x+6 x 2-5x+6 = (x-3)(x-2) 4) Aplicando Ruffini: Ejemplo: descomponer el polinomio P(x) = 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 Pasos: 1º Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. P(1) = = = 0 3º Dividimos por Ruffini. 4Por ser la división exacta, D = d c. 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 = (x 1) (2x 3 + 3x 2 5x 6 ) Una raíz es x = 1. Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. P(1) = P( 1) = 2 ( 1) ( 1) 2 5 ( 1) 6 = = 0 8

9 (x 1) (x +1) (2x 2 +x 6) Otra raíz es x = 1. El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. El 1 lo descartamos y seguimos probando por 1. P( 1) = 2 ( 1) 2 + ( 1) 6 0 P(2) = P( 2) = 2 ( 2) 2 + ( 2) 6 = = 0 (x 1) (x + 1) (x + 2) (2x 3 ) Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional. 2x 3 = 2 (x 3/2) La factorización del polinomio queda: P(x) = 2x 4 + x 3 8x 2 x + 6 = 2 (x 1) (x +1) (x +2) (x 3/2) Las raíces son : x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2 6. Fracciones algebraicas: 6.1. Definición: Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por: 9

10 P(x) es el numerador y Q(x) el denominador. Ejemplo: (x 2-4x-1)/(x-3) 6.2. M.c.d. y m.c.m. de polinomios (TB EXAMEN) Para hallar el mcd y el mcm de dos polinomios: 1º) Se descomponen en factores primos (aplicando los métodos anteriores) 2º) Su mcd es el producto de los factores comunes elevados al menor exponente y su mcm es el producto de sus factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente Ejemplo: Halla el mcd y mcd de los polinomios P(x)= x 3 + x 2 x -1 y Q(x)=x 3 -x 2-2x 1º) Los descomponemos en factores primos: x 3 + x 2 x -1 = (aplicando Ruffini ) = (x+1) 2 (x-1) x 3 -x 2-2x = x(x-2)(x+1) MCD= (x+1) (si no tuviesen ningún factor en común su mcd sería 1) MCM= (x+1) 2 (x-1) x(x-2) 6.3. Operaciones con fracciones algebraicas. Las normas son las mismas que si fuesen fracciones normales. A) Suma y resta: Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los denominadores y se deja el denominador como está. Si tienen distinto denominador, se halla el mcm de los denominadores, se divide por cada denominador y se multiplica por el numerador. Ej: 10

11 B) Multiplicación: Se multiplican numeradores y denominadores, descomponiendo en factores primos siempre que se puedan los polinomios C) División: Se multiplica en cruz d) Potencia: se aplican las identidades notables o se multiplica numerador y denominador sucesivamente 11

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