14 Expresiones algebraicas. Polinomios

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1 PARADA TeÓRICA 14 Expresiones algebraicas. Polinomios Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números, letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciacióny radicación. 3 1 ~ rz: x 5-4 ~ r: 2 4 a) 2x b) 5x + 6x - - e) i + V 3x d) -- e) V 2 x - - x 3 x 2 5 Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas. En este capítulo se estudiarán expresiones algebraicas con una sola variable (x). Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras y_:: denominan polinomios. Los ejemplos e) y d) no son polinomios; sí lo son a), b) ye). Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:.. 1" (1 5) mcnemio, SI tiene un so o termino "2x ; binomio, si tiene dos términos (4i + 5); trinomio, si tiene tres términos (3x x 3 ) y euatrinomio, si tiene cuatro términos (2x 5-2x x 2 ). Los términos que tienen la misma variabley exponente son semejantes. L ' ' ' os términos x, -"2x y x son semejantes. Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulos un polinomio. a) p(x) = 7x + 6x 2 - x 5 ; grado: 5. b) Q(x) = 4 - x + x 3 ; grado: 3. e) T(x) = 5; grado O. Se /lama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente. a) S(x) = x + 5x 3-2x 4 ; coeficiente principal: -2. b) T(x) = x 5-8x 4 + x; coeficiente princip Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1 se lo denomina normalizado. Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respect los exponentes de la variable ) () a ) H() x = 3x +"2x -"2x + x - 1 b J x = 4 + x +"2x - 3'x e) Z(x) = x - 2x + 7 Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado. a) R(x) = 6x 4-5x 3 + i - 3x - 1; está completo. b) Q(x) = x 4 - t/ - 3; está incompleto. Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero. a) M(x) = x 5 + 3x 3-1 = x 5 + Ox 4 + 3x 3 + O/ + Ox - 1 b) N(x) = 4x 4 + 2i = 4x 4 + Ox 3 + 2/+ Ox + O e) K(x) = x 6-3 = x 6 + Ox 5 + Ox 4 + Ox 3 + Ox 2 + Ox - 3

2 Adición y sustracción de polinomios La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es la su~: de los coeficientes de los monomios dados. b) _ ls 5 X 2X x - 2X e) x + x + x + x + x = Sx Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Reducir un pojinomio es sumar o restar sus términos semejantes. a) 2x + 3x 4 + X - x 4 = 2x4 + 3x b) x 5 - lx4 + x 4 + x 3-6x 3 = x 5 + Ix 4 - Sx Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos sernejantes y se suman. a) Dados; {P(X) = i- Sx 3 + x 4 b) Dados: {R(X) = / - x + 1 p(x) + Q(x) + Q(x) = -9x 3 + x 2 + X - 1 2/+ Ox - 3 /+ x - 1 3i + x - 4 R(x) + T(x) + T(x) = -x + 2-5/ / - x + 1 -si - x + 2-4/ - 2x + 3 Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraen do. a) Dados: {M(X) = 2/ + x - 2 b) Dados: {A(X) = -2x + 3x 2 - ~x3-7 N(x) = / + 1 (x) = 3x - si - x M(x) - N(x) A(x) - (x) 2x 2 + x - 2 Ox 4-1x 3 + 3i - 2x x 2 + Ox x 4 - Ox 3 + 5i - 3x - 2 i + x X - -x + 8x - Sx Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos. Dados: p(x) = 6/ + 2x - 1, Q(x) = / + 3x - 2 Y R(x) = 2x2 + x + 5. a) p(x) + Q(x) + R(x) -p(x) = 6/ + 2x - 1 Q(x) = / + 3x - 2 R(x) = 2/ + x + S p(x) + Q(x) + R(x) = 9x 2 + 6x + 2 b) p(x) + Q(x) - R(x) 6/ + 2x / + 3x - 2 p(x) + Q(x) = 7/ + Sx [-R(x)] -2/ - x - 5 p(x) + Q(x) - R(x) = S/ + 4x - 8

3 Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos monomios se deben multiplicar los coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación. x".x m = X - a) (3x)(2x) = 6/ Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la a(b ± e) ::;:;ab ± propiedad distributivo de la multiplicación respecto de la suma y resta. -3(X 3 + 2/ + tx - 4) = -3x 3 + (-3)2/ + (-3)%x - (-3).4 = -3x 3-6/ - x + 12 Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, efectuando luego la multiplicación de monomios. (a + b)(e + d) = ae + ad + be + bd Dados: p(x) = 2x2 -;- 5x + 2 Y Q(x) = 3/ - x. p(x).q(x) = (2/ - 5x + 2)(3/ - x) = (2/)(3x 2 ) + 2/(-x) + (-5x)(3x 2 ) + (-5x)(-x) + 2(3/) + 2(-x) p(x).q(x) = 6x 4-17x / - 2x Producto de la suma de dos términos por su diferencia El producto de la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, es igual a la diferencia de : cuadrados de dichos términos. (a + b)(a - b) = ab + ba - b 2 = b 2 a) (x + 4)(x - 4) = x 2-4x + 4x - 16 = x 2-16 b) ( x 2 + 5x )( x 2-5x ) = x 4-5x 3 + 5x 3-25x 2 = x 4-25x 2. -,. (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 ) ( 5 1 3)( 5 1 3) e 2x + S"x 2x - S"X = 4x - S"X + Sx - EX = 4x - EX ) ( 1 2 )( 1 2 ) d -'P + 7x - 2x - 7x = X +'P -'P - 49x = X - 49x Operaciones combinadas Las operaciones combinadas entre polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos propiedades que con números reales. Dados: p(x) = 5x 2 + 6x + 2; Q(x) =2x3 - X + 6 Y R(x) = x 2 + l. P(x).R(x) + Q(x) = (5x 2 + 6x + 2)V + 1) + 2x3 - X + 6 = 5x 4 + 5/ + 6x 3 + 6x + 2x x 3 - X P(x).R(x) + Q(x) = 5x + 8x + 7x + 5x + 8

4 PARADA TeÓRICA 17 División de polinomios Para dividir dos monomios se deben dividir los coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación. n m_ n-m x:x - X e) -6x 5 :(3/) = (-6:3)(x 5 j) = -2x 3 d) (-10x 8 ):(-2x 3 ) = [-10:(-2)](x 8 j) = 5x 5 Para dividir un polinomio por un monomio, se aplica la propiedad distributivo. (a ± b):e = o:e ± b:e a) (24x 5-16x / - 4x):(-4x) = 24:(-4)V:x) -16:(-4)V:x) + 12:(-4)(/:x) + (-4):(-4)(x:x = -6x 4 + 4x 2-3x + 1 ) ( ) (1) b 2x + 5x + x +'P + 6x :'p = 4x + 10x + 2x + x + 12 Para dividir dos polinomios: El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor. El p6linomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente. El polinomio divisor debe estar ordenado. Dividendo '\J p(x) R(x) 7' Resto Divisor ~ C(x) <, Cociente p(x) = C(x).Q(x) + R(x) Dados: p(x) = 2x x4 y Q(x) = -2x + /. Hallar p(x):q(x). El dividendo debe estar completo y ordenado: p(x) = 2x 4 + Ox 3 + O/ + 2x - 3. El divisor debe estar ordenado: Q(x) = / - 2x. 2X4 + Ox 3 + O/ + 2x x - 4x 4x 3 + Ox 2 4x 3-8/ 8x 2 + 2x 8x 2-16x 18x - 3 ~ Resto: R(x) I / - 2x 2/ + 4x Cociente: ((x) C(x) = 2X2 + 4x + 8 R(x) = 18x - 3

5 PARADA TEÓRICA 18 Regla de Ruffini. Teorema del resto La Regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio p(x) por otro cuya forma sea x + a. Dados: p(x) = 2x3 + 5/ - x - 5 Y Q(x) = x + 2. Hallar p(x):q(x), aplicando la regla de Ruffini. El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado. Se escriben alineados los coeficientes del dividendo. Dividendo 2 x x 2-1 x - 5 Divisor x + 2 El coeficiente principal se "baja" sin ser modificado; luego se lo multiplica por el opuesto del término independiente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; y así sucesivamente hasta llegar al resto. Los números que se obtienen son los coeficientes del cociente y el último valor es el resto. El polinomio polinomio cociente es un grado menor que el dividendo ~~~~1 1<-1 ~-3 1 C(,) = 2,' + R(,) = t Cociente Resto a) V - x + 2):(x - 2) 1x3 + Ox 2 - lx + 2 ~ Dividendo o Cociente ~ x 2 + 2x + 3 Resto ~ 8 b) (%x 4-3/ + l}(x + 1) -1 %x 4 + Ox 3-3/ + Ox + 1 ~ Dividendo 1 3 O -3 O Cociente ~ -x - -x - -x Resto ~ -- 3 Teorema del resto El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a, es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor. a) Dados: p(x) = 2x3 + 5x 2 - X - 5 y Q(x) = x + 2. b) Dados: p(x) = / - 2x - 3 y Q(x) = x - 3. El resto de la división p(x):q(x), se obtiene: p( -2) = 2(-2)3 + S( -2)2 - (-2) - S p( -2) = = 1 El resto de la división es 1. El resto de la división p(x):q(x), es: P(3) = P(3) = = O Si el resto es O (cero): p(x) es divisible por Q(x).

6 PARADA TEÓRICA 19 Potenciación de polinomios Potencia de un monomio Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar la propiedad distributivo de la potenciación respecto de la multiplicación y la potencia de otra potencia. (a.by = a".b" ( ")m _ n.m X - X e) (_2:./)3 = (_2:.)3 (/)3 = 8 il Cuadrado de un binomio Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = 00 + ab + ba + bb = ab + b 2 (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2. --v-- -~ Cuadrado de un binomio Trinomio cuadrado perfecto a) (x + 3)2 = x x = x 2 + 6x + 9 a b b)(~x - 5)2 = (txy + 2 t(-5)x + (-5)2 =ti - 5x + 25 ( 3 2)2 (3)2 (3) c) -Z"x + x = -Z"x + 2 -Z"x x + (x) = X - 3x + x d) (-x - 3)2 = (-x)2 + 2(-3)(-x) + (-3)2 = i + 6x + 9 Cubo de un binomio Al elevar al cubo un binomio se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto. b a (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + bf(a + b) = ( ab + b 2 )(a + b) (a + b)3 = a 2.b + 2aba + 2abb + b 2.a + b 2.b = a 2.b + 2a 2.b + 2ab 2 + b 2.a + b 3 b) (2x - 3)3 = (2x)3 + 3(-3)(2x) x(-3)2 + (_3)3 = 8x 3-36x x - 27 d) (-x - 2)3 = (_x)3 + 3(-2)(-x)2 + 3(-x)(-2)2 + (_2)3 = _x 3-6i - 12x - 8

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