Polinomios y Ecuaciones

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1 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n () Los números a, a, a,..., a n, se denominan coeficientes del polinomio y son valores reales. La letra se denomina variable. Los eponentes de la variable tienen que ser números enteros. p Los términos de la forma ai se denominan monotérminos. El número a n se denomina coeficiente principal. El número a 0 se denomina término independiente...grado de un Polinomio: Si an 0 se dice que el polinomio tiene grado n. Es decir, el grado del polinomio viene dado por el mayor eponente o mayor grado de la variable. Ejemplos: a) 4 + es de segundo grado porque el mayor eponente de es. b) es de tercer grado porque el mayor eponente de es...clases de Polinomios: De acuerdo a la forma de los polinomios, éstos pueden tener diferentes nombres. a) Polinomio Nulo: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos. b) Polinomio Constante: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos menos el término independiente. Es decir, se obtiene para a i = 0 con i n y a0 0, quedando la P = a. epresión () como: 0 c) Polinomio Lineal: Es un polinomio de primer grado que se obtiene para a i = 0 con i n, quedando la epresión () como: P = a + a0. El valor de a 0 puede ser cero o distinto de cero. d) Polinomio Cuadrático: Es un polinomio de segundo grado que se obtiene para a i = 0 con i n y a 0, quedando la epresión () como: P = a + a + a0. Los valores de a y a 0 pueden ser cero o distinto de cero.

2 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. e) Monomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos uno de ellos Ejemplos: 5 ; ; ; a ; etc Un monomio está compuesto del signo, coeficiente, letras y eponentes. Si tenemos a, entonces el signo es negativo, el coeficiente es, las letras son a y y, los eponentes son y. Dos monomios son iguales cuando tienen el mismo signo, el mismo coeficiente y las mismas letras elevadas a los mismos eponentes. Dos monomios son diferentes cuando difieren por lo menos, en alguna de sus componentes. Dos monomios son semejantes cuando su parte literal con sus eponentes son iguales, y en lo único que difieren es en el signo y en el coeficiente. f) Binomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos dos de ellos Ejemplos: ; 5 ; + 5; etc g) Trinomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos tres de ellos Ejemplos: 5 + ; 4 + ; etc..comparación de Polinomios: Dos polinomios son iguales, cuando siendo del mismo grado, los coeficientes de los términos semejantes son iguales. Dos polinomios son diferentes cuando no cumplen las características anteriores...4adición y Sustracción de Polinomios: Para sumar o restar dos polinomios es necesario que sean semejantes, es decir, que sean del mismo grado. El polinomio resultante de la suma de dos polinomios dados, se obtiene sumando algebraicamente los coeficientes de los monotérminos semejantes. Por otra parte, p otro polinomio q ( ) sumamos a p( ) el para restar a un polinomio simétrico de q ( ), es decir, q p q = p + q. 5 Ejemplos: Calcular p + q y p q si: 4 q = a) p + q = ( + 0) 5 + ( 0 + 5) 4 + ( ) + ( 0 + 7) + ( + ) + ( 7 8) 5 4 p + q = b) p q = ( + 0) 5 + ( 0 5) 4 + ( + ) + ( 0 7) + ( ) + ( 7 + 8) 5 4 p q = Por lo tanto: p = y

3 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Cuando sumamos varios polinomios de grados diferentes, el grado del polinomio suma es del mismo grado que el polinomio de mayor grado. Cuando sumamos varios polinomios de igual grado, hay ocasiones en que el grado del polinomio suma es menor que el de los sumandos, porque hay términos semejantes que se pueden anular. Para la resta de dos polinomios, el grado del polinomio resultante se obtiene igual que en el caso anterior...5multiplicación de Polinomios: Se define el producto de dos polinomios, al polinomio formado por la suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por todos los términos del otro. El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Si se tiene que multiplicar varios polinomios, se multiplica el primero por el segundo, el resultado obtenido por el tercero, el resultado obtenido por el cuarto, y así se continúa hasta multiplicar por el último. Cuando hay operaciones combinadas de sumas o restas con productos, se recomienda efectuar primero las sumas y restas y después el producto. p = y Ejemplo: Calcular p q para los polinomios dados: q = Luego: p q = = División de Polinomios: Dados p( ) y d p p, siempre eisten polinomios q ( ) y p = d q + r. d, dos polinomios con grado r tales que: Siendo grado de r ( ) menor que el grado de d ( ), además polinomio cociente y r ( ) el resto de la división p d ( ). A denomina dividendo y a d ( ) divisor. q es el p se le

4 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. La división de polinomios es similar a la división de números enteros. Se divide el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor; el resultado es el primer término del cociente. A continuación se multiplica dicho resultado por el divisor y el producto se resta del dividendo, con lo cual se obtiene un nuevo dividendo. Se repite el proceso para obtener el segundo término del cociente. Y así sucesivamente. La operación se termina al obtener un dividendo de grado menor que el divisor, en cuyo caso dicho dividendo es el resto de la división. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio entre De donde: q = = 8 + r Luego: p = d q + r. Es decir; = El algoritmo de la división se ejecuta mientras el grado de r ( ) sea mayor que el grado de d ( ). p entre un polinomio de la forma a. En términos generales, la regla de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio p( ) entre un polinomio de la forma a b...7regla de Ruffini: Permite dividir un polinomio 4

5 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Ejemplos: 4 a) Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio entre. Tenemos que = 0 cuando =. Se escriben los coeficientes del polinomio de mayor a menor potencia Luego: p = { d q r Si realizamos el algoritmo de la división estudiado anteriormente, debemos llegar al mismo resultado. b) Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio +. Se tiene que: + = 0 = entre r Luego: p = { 8 q r d p un polinomio. Entonces p( a ), el valor numérico del polinomio p( ) en el valor real a, es el resto que se obtiene al dividir p( ) entre a. Así pues, que dado un polinomio..8teorema del Resto: Sea a R y p = ( a) q + p ( a). p, se tiene que: Ejemplo: Encontrar el resto que se obtiene al dividir el polinomio entre

6 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. p = p = 8 Resultado obtenido en el ejercicio anterior aplicando la regla de Ruffini...9Divisibilidad: Se dice que el polinomio p( ) es divisible entre polinomio q ( ) tal que: p = d q. En otras palabras, el resto de la división de p( ) entre que p( ) sea divisible entre d ( ) entonces d ( ) y q ( ) son factores de d, si eiste un d es cero. En caso de p. Ejemplo: Probar que el polinomio es divisible por +. ( ) = 0 p = p Por el teorema del resto, se obtiene que el resto de la división de entre + es cero. Por lo tanto, es divisible entre +. Aplicando la regla de Ruffini se obtiene: Luego: = ( + )( 4 + )..0Raíz de un polinomio: Si el valor numérico de a evaluado en el polinomio p( ) es igual a cero, es decir, p( a ) = 0, entonces se dice que a es raíz del p, entonces a es un factor, es polinomio. Si a es una raíz del polinomio decir: p = ( a) q + r, donde r ( ) = 0. Por lo tanto, p = ( a) q Ejemplo: Como se puede observar en el ejemplo anterior, = es raíz del polinomio p = 5 + 6, ya que p( ) = 0. Luego se tiene que: = ( + )( 4 + ) p 6

7 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G...Factorización de Polinomios: Factorizar un polinomio consiste en transformarlo en el producto de dos o más factores de menor grado. Factorización por factor común: Se procede de la siguiente manera: El factor común se determina mediante el producto de los elementos con menor eponente que se repiten en todos los monotérminos del polinomio. Dividimos cada término del polinomio entre el factor común El polinomio es igual al producto del factor común por la suma algebraica de estos cocientes. Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios: p = +. El factor común es 4. Por lo tanto, p = 4( ) a) 4 q = 4a b a b + 8a b 4a b b) El, la a, la b y la están en todos los términos. El menor eponente de es, el de la a es, el de la b es y el de la es. Por lo tanto, el factor común es: a b. Ahora dividimos cada término del polinomio entre el factor común. Así: 4a b 4 a b a b = ; a b a b 6 4 = ; 8a b a b a b = ; 4a b a b 5 4 = ab Luego: a b a b + 8a b 4a b = a b ( a b + 4a b ab ) Factorización de diferencia de cuadrados ( a b ) : Se procede como sigue: Se determina la raíz cuadrada de cada uno de los términos que forman el binomio. La factorización es el producto de dos paréntesis en cuyo interior se escriben la suma y la diferencia de dichas raíces. Ejemplos: Factorizar los siguientes polinomios: 8 6 y 4 = 9 4y 9 + 4y a) b) 6 4 9y y y = y y y Factorización de cuadrados perfectos: Se procede como sigue: Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que el primero y tercer término tengan el mismo signo y raíz cuadrada. Se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos. 7

8 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Se comprueba si el doble del producto de dichas raíces es igual al segundo término. Si no es igual, el trinomio no es factorizable por éste método. Dentro de un paréntesis elevado al cuadrado escribimos dichas raíces separadas por el signo que tenga el segundo término del trinomio ordenado. Ejemplo: Factorizar 9 y + 4y El trinomio ya está ordenado respecto a la letra. Las raíces del primer y tercer téminos son respectivamente y y. Luego se verifica que ( y) = y que es igual al segundo término. Por lo tanto, la factorización viene dada por: = y y y Factorización de trinomios de la forma Se obtienen las raíces mediante la fórmula cuadrática: El polinomio se escribe como: p = ( r )( r ) + a + b : Se procede como sigue: r, ± = b b 4ac Si b 4ac = 0, las raíces son reales e iguales. Si b 4acf 0, las raíces son reales y diferentes. Si b 4acp 0, las raíces son complejas conjugadas. La unidad imaginaria viene dada por i =, de donde se origina el número complejo a + ib, y su conjugado está definido por a ib. Si las raíces son complejas conjugadas, la factorización en el campo de los reales viene dada por el mismo polinomio...naturaleza de las raíces de un polinomio: Eisten algunos resultados sobre la naturaleza de las raíces de un polinomio; en particular en el caso de polinomios con coeficientes reales. Estos resultados son los siguientes: p = a + a + + a + a, tal que a i, con 0 i n son todos enteros. n n Sea n n 0 Entonces u v es una posible raíz de p( ) si u divide a a 0 y v divide a a n. Si los coeficientes del polinomio son reales y si el número complejo ( a ib) también lo será su conjugado ( a ib) a + es raíz,. Si los coeficientes del polinomio son reales y su grado es un número impar, el polinomio admite por lo menos una raíz real. Si los coeficientes del polinomio son reales y racionales y si el número irracional a + b es raíz, también lo será a b con a, b Q Ejemplos: p = a) Factorizar en el campo de los reales el polinomio Escribimos las posibles raíces racionales: 8

9 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. u = { ±, ± } v = { ±, ± } u v = ±, ±, ±, ± Aplicamos el teorema del resto para determinar las raíces: p = = 0. Resto es igual a cero, por lo tanto es raíz p( ) = 4 ; p 5 = 7 p = ; p = 0 ; 84 p = ; p = 0 ; p = 9 ; Por lo tanto, la factorización en el campo de los reales viene dada por: p = + + p = + + b) Hallar un polinomio p( ) de grado 4, tal que + i es raíz, 64 es divisible entre +. Si + i es raíz también lo será i. Por lo tanto, p ( i)( i)( a b c) factores, se obtiene: p ( 4 )( a b c) p =, p = 0 y p será de la forma: = Realizando el producto de los dos primeros = Sabemos que p( ) = 64, al sustituir obtenemos: ( ) p = 4 + a + b + c = 8 a b + c = 64 De donde: a b + c = 8 ; () Sabemos que p = 0, al sustituir obtenemos: ( ) p = 4 + a + b + c = 4a + b + c = 0 De donde: 4a + b + c = 0 ; () p entre + debe ser cero y, de acuerdo al Teorema del Resto, el resto de esa división viene dado por el valor numérico que se obtiene al evaluar p( ) en =. Por lo tanto, tenemos que: p = 0 a b p = 4 + a + b + c = + c = Si p( ) es divisible entre + entonces el resto de la división de 9

10 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. a b De donde: + c = 0 ; () 4 Consideremos la ecuación () multiplicada por y la ecuación (), así obtenemos la ecuación (4): a b + c = 6 4a + b + c = 0 6a + 0b + c = 6 a + c = 4 Consideremos la ecuación () multiplicada por y la ecuación (), así obtenemos la ecuación (5): a b c + = 4 a b + c = 0 4 a c + = 4 a + c = Con las ecuaciones (4) y (5) obtenemos los valores de a y de c : a + c = a + 4c = 5c = 0 c = 6 Luego de (5): a = c + 6 a = + 6 a = 4 Sustituyendo los valores de a y de c en (), obtenemos b : b = a + c 8 b = b = 0 Por lo tanto, p( ) viene dado por: = ( 4 + )( 4 0 6) = ( 4 + )( 5 ) p p Se deja al lector como ejercicio comprobar los resultados 0

11 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Fórmulas de Productos Especiales a) ( a b)( a + b) = a b a + b = a + ab + b b) a b = a ab + b c) a + b = a + a b + ab + b d) a b = a a b + ab b e) Fórmulas Especiales de Factorización a) a b = ( a b)( a + b) b) a b = ( a b)( a + ab + b ) c) a + b = ( a + b)( a ab + b ) d) a + ab + b = ( a + b) e) a ab + b = ( a b) Ejercicios Propuestos ) De las funciones que se dan a continuación, indicar cuáles son polinómicas y cuáles no, eplicando por qué. f = 5 + a) p = b) f = + 7 c) g = h = 4 p = + d) e) f) ) En cada una de las siguientes funciones polinómicas, indicar: sus términos; el grado de cada término; el grado del polinomio; sus coeficientes y el término independiente. p = a) g = p 4 = + 5 s = + q 5 = + b) c) d) 4 e) ) Eliminar los signos de agrupación en cada una de las siguientes epresiones y después agrupar los términos semejantes

12 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. { } a) 4a ( a ) ( a + a ) a + ( ) b) { 4 a } 4 a 5 a a a + 4 a c) a a ( a a ) ( a a ) { } { } d) a ( a + ) ( a + ) a + ( a + 5) 4) Realizar las operaciones indicadas: a) ( 5 ) + ( ) b) ( + 4) ( ) c) ( + )( ) d) ( 9a)( + a) e) ( 8) f) ( a )( 4 a ) g) 4 a ( 5 a a ) 4 h) a 5a a 5 4 a i) a + j) ( + )( 5 + ) k) ( + )( 4 )( ) l) ( 4a 5 ) ( a ) m) 4 a a 5 4a + 5a a n) ( 4 ) ( ) o) ( a a + 4 ) ( a ) p) ( a a + 5 )( a ) q) ( 5 + ) r) ( + ) s) ( w 5 )( w + 5 w + 5 )

13 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. t) ( )( + ) 5) Dados los polinomios: p = ; q = + y s r a) p + q b) p + r c) p + s d) p + q + r e) q + r + s = ; hallar: 4 6) Dado los polinomios p = ; q r 4 = +, hallar: a) p q b) r q c) p r d) q r e) q p 7) Dados los polinomios p = + ; q 4 = + + ; s = 4 + y r a) p t + q b) t + s r c) s t + q d) q + t p t = +, hallar: 4 = + ; = + 5 y 4 4 = + ; = +, 8) Dados los polinomios p = 4 + ; q = y r determinar:

14 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. a) r p + q b) p q r c) p r q + r 9) Dados los polinomios p = + ; q ( ) = y r determinar: a) p + q q r b) p + q + r p q c) p + q r = +, 0) Encontrar el cociente y el resto cuando el primer polinomio es dividido por el segundo a) ; b) ; + c) ; d) ; 4 ) Factorizar o descomponer en factores los siguientes polinomios: 6 a) + 48 b) c) d) e) + 8 f) 6 4 g) h) 9 64 i) b + 6b 6 j) 6t + t 8 6 k) 64 l) + 6 m) ( t ) ( t ) + 08 n) 0t 9t 0 o) a a + 8a p) t 6 5 q) w w 4

15 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. r) s) 8a 8a 75a + 46a t) a 8a + a u) 8a 7 ) Usando los productos notables y la factorización de polinomios, simplifique las siguientes epresiones racionales: a) 4 6 n + b) n c) + 0 d) e) 6 9y f) + 7 y g) ) Encuentre el resto que se obtiene al dividir el polinomio entre 4) Determine si el polinomio 4 p = es divisible entre: a) 4 ; b) ; c) + ; d) 5 ; e) + ; f) + 7 ; g) 7 ; h) 5) Encuentre un polinomio de grado tres, cuyas raíces sean, 4 y. 6) Encuentre un polinomio p( ) de grado cuatro, tal que p ( 0) = y cuyas raíces sean,, y 4. 8 p en: 7) Sea p = +. Encuentre el valor de a) = ; b) = ; c) = y = a 5

16 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. 8) Aplique sucesivamente la regla de Ruffini a p( ) como producto de factores lineales. 5 4α 5 9) Encuentre α tal que ( α ) p = y eprese + + sea divisible por +. 0) Determine los valores de m y n para que el polinomio + ( m ) + ( n + ) + 8 sea divisible por ( )( 4). ) Encuentre k de tal modo que las raíces de iguales. + k 5 = 0 tenga raíces reales e ) Sea p = a + b + c. Encuentre a, b y c, sabiendo que p = y que es un divisor de p. p = 8 ; ) Hallar el valor de k para que o entre + + k tenga igual resto cuando lo dividimos entre 4) Al dividir un polinomio p( ) por + se obtiene un resto de 79. En cambio, al dividirlo por el resto es -. Con estos datos, es posible calcular el resto de la p por +? división de.ecuaciones: Una ecuación es una igualdad de dos epresiones en las que intervienen variables (llamadas incógnitas), cuyo valor se ha de calcular. Por ejemplo, + = 5 es una ecuación (cuya solución es = ); la epresión que está a la izquierda del signo igual (=) se llama primer miembro y la que está a la derecha, segundo miembro. Las ecuaciones suelen llevar una serie de operaciones indicadas, que es necesario realizar para resolverlas. Hechas estas operaciones y una vez simplificada la ecuación, si ésta resulta de la forma a + b = 0, donde es la incógnita y a y b son números reales con a 0, la ecuación es lineal o de primer grado y su solución es = b a. Si, en cambio, la ecuación resulta de la forma a + b + c = 0 con a 0, entonces es cuadrática o de segundo grado y sus soluciones vienen dadas por la fórmula: b ± b 4ac =. a El número δ = b 4ac recibe el nombre de discriminante de la ecuación. Si δ f 0 (es decir, si δ es un número positivo), la ecuación tiene dos soluciones (sus soluciones son dos números reales diferentes). Por ejemplo, si la ecuación es + 0 = 0 entonces: 6

17 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. ± 4 0 ± 49 ± 7 = = = = = = 5 Si δ = 0 la ecuación sólo tiene una solución. Por ejemplo, como solución: 4 ± ± 0 = = = = ; tiene Si δ p 0 (es decir, si δ es un número negativo), la ecuación carece de solución en el conjunto de los números reales (tiene dos soluciones, pero son dos números complejos). Por ejemplo, la ecuación + + = 0 carece de soluciones reales, porque su discriminante es -4. ± 4 ± 4 ± i = = = = = + i = i Propiedades de las Soluciones de una Ecuación de Segundo Grado Sean y las soluciones. Entonces + = b a, = c a. Estas propiedades se pueden utilizar para comprobar las soluciones y también para resolver mentalmente ecuaciones que tengan soluciones enteras. Por ejemplo, para resolver = 0, bastará encontrar dos números cuyo producto sea 6 y sumen 5; fácilmente encontramos que son y. Consejos prácticos para resolver ecuaciones Eiste una serie de técnicas, bastante conocidas, para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Cuando se carece de la eperiencia adecuada, estas técnicas se prestan a errores y confusiones. Por ello, ante cualquier duda, debe uno preguntarse si la modificación que va a realizar se fundamenta en alguna propiedad conocida, como, por ejemplo, las propiedades de las igualdades numéricas y la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Veamos los casos más frecuentes: a) Todo término se puede trasladar al otro miembro de una ecuación, cambiándolo de signo. Por ejemplo: + 7 = = 5 + = = 8 = 8 4 = Nos hemos basado en la siguiente propiedad de las igualdades numéricas: si se suma o resta un mismo número a ambos miembros de una igualdad, la igualdad subsiste. Por ejemplo, al pasar del segundo miembro al primer miembro, implícitamente hemos sumado en ambos miembros: 7

18 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G = = 5 En cambio, en la siguiente ecuación no es posible trasladar al primer miembro, porque hay pendiente una multiplicación: (Primero resolvemos la multiplicación) + 7 = = 0 + = = = 5 b) Toda epresión que esté dividiendo a un miembro puede pasar multiplicando al otro miembro. Por ejemplo: + 7 = + 7 = 5 = 5 7 = 8 = 4 5 Nos hemos basado en la siguiente propiedad de las igualdades numéricas: si se multiplican los dos miembros de una igualdad por un mismo número, la igualdad subsiste. Así, pasar el 5 multiplicando al segundo miembro, equivale a multiplicar ambos miembros por 5, lo cual es una operación lícita: = = Sin embargo, en la ecuación: + =, no es posible pasar el multiplicando al segundo miembro, ya que sólo está dividiendo a una parte del primer miembro. Lo correcto es dar previamente común denominador en el primer miembro o, mejor, multiplicar ambos miembros por : = + = + + = = = = 7 c) Toda epresión, cuyo valor sea distinto de cero, que esté multiplicando a un miembro, puede pasar dividiendo al otro miembro. Es lo que acabamos de aplicar para resolver la ecuación =. Se basa en la propiedad de las igualdades numéricas que afirma que si se dividen los dos miembros de una igualdad por un número distinto de cero (recuérdese que la división por cero no está permitida), la igualdad subsiste. Así, al pasar el dividiendo al segundo miembro, implícitamente hemos dividido ambos miembros por : = La aplicación incorrecta de esta propiedad suele dar origen a la pérdida de soluciones de una ecuación. Por ejemplo, consideremos la ecuación =, cuyas soluciones son 0 y. Si pasamos la del segundo miembro dividiendo al primer miembro, resulta = ; es decir, la solución = 0 se ha esfumado. La incorrección se debe a que hemos dividido por 0, aunque, eso sí, de una forma enmascarada. La ecuación se resuelve correctamente aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado o mejor, mediante una descomposición en factores: = = 0 = 0 8

19 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Para que un producto dé cero, hace falta que uno de los dos factores valga 0, por lo que se tiene que o bien = 0 (primera solución) o bien = 0, de donde se obtiene = (segunda solución) Ejemplos: ) Un tren de correo sale de Madrid, con dirección a Murcia, a las 4:00 y con una velocidad media de 45 km / h. A las 5:0, con el mismo origen y destino, sale un coche a 90 km / h. Sabiendo que el tren llega 4 minutos antes que el coche y que por carretera son km menos, se pide la longitud de la vía férrea. Sea la distancia pedida; entonces la longitud de la carretera es. El tren tarda 45 horas y el coche ( ) 90. Como el tren ha tardado (80 minutos es el tiempo que hay desde las 4:00 a las 5:0) 80 4 = 76 minutos (que son horas) más que el coche, resulta: 76 = Resolvamos la ecuación: 4 ( ) 76 = + = 8 = La distancia pedida es 0 km ) A qué hora, entre las tres y las cuatro, se superponen las manecillas del reloj? Sea el número de minutos que han de transcurrir a partir de las. En dicho tiempo, el minutero recorre divisiones (de un total de 60) y el horario. Como a las el horario le lleva al minutero una ventaja de 5 divisiones, resulta: = 5, resolviendo la ecuación resulta = 80 6,666, lo que da h m s 6,8..Ecuaciones Polinómicas: Las ecuaciones polinómicas de primer grado y de segundo grado ya han sido estudiadas. Las ecuaciones polinómicas de grado en adelante, que tengan todos sus coeficientes enteros, si tienen soluciones enteras, se resuelven aplicando la regla de Ruffini tanteando divisores del término independiente. Si tienen soluciones racionales, se hallan similarmente, tanteando fracciones irreducibles cuyo numerador sea divisor del término independiente y su denominador divisor del coeficiente del término de mayor grado (coeficiente principal). Ejemplos: 9

20 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. ) Las posibles soluciones enteras, si las admite, de la ecuación p = = 0, son los divisores de 6: ± ; ± ; ± ; ± 6. Probemos = = no es solucion Probemos = p = = es una solución. Las restantes soluciones se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado = 0 ; son y. Luego, la ecuación propuesta tiene tres soluciones: = ; = y =. ) Resolver la ecuación = 0 Para una fracción como solución, los numeradores posibles son ± y ±, los denominadores posibles son ± ; ± ; ± ; ± 4; ± 6 y ±. Por tanteo se hallan las soluciones = ; = ; =. 9 6 ) Resolver la ecuación = 0 Mediante el cambio de variable t =, la ecuación se transforma en t 4t + t + 6 = 0, cuyas soluciones según el ejemplo primero, son t = ; t = y t =. Teniendo en cuenta que t =, se obtiene: = ; = y =. Ecuación Bicuadrada: Es una ecuación de cuarto grado de la forma: que se resuelve mediante el cambio de variable t =. 4 a b c + + = 0, 4 Ejemplo: Resolver la ecuación 64 = 0 Haciendo el cambio de variable t = la ecuación se transforma en una de segundo grado t t 64 = 0, cuyas soluciones son t = 6 y t = 4. De la primera solución resulta = 6, de donde se obtiene = 4 y = 4. De la segunda solución se obtiene = 4, que no proporciona más soluciones reales de la ecuación propuesta. 0

21 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G...Ecuaciones Fraccionarias: Las ecuaciones fraccionarias se resuelven hallando el común denominador, para así transformarlas en una ecuación polinómica. Es muy importante comprobar las soluciones obtenidas. Ejemplo: Resolver la ecuación: + = + En primer lugar + debe ser diferente de cero. Por lo tanto, + 0 Luego, hallemos común denominador en el primer miembro ( + ) = = + + = + = 0 = Luego, la ecuación sólo admite la solución = 0..Ecuaciones Irracionales: Se dice que una ecuación es irracional si la incógnita figura dentro de algún radical. Estas ecuaciones se resuelven aislando en un miembro una de las raíces y elevando al cuadrado ambos miembros, si la raíz es cuadrada y si la raíz es cúbica elevamos al cubo y en general, elevamos al índice de la raíz. El proceso se repite cuantas veces sea menester, hasta que hayan desaparecido los radicales. Hecho esto, se resuelve la ecuación obtenida, cuya solución (o soluciones) hay que comprobar en la ecuación original, pues es posible que al elevar a potencias los miembros, se hayan introducido soluciones etrañas. Ejemplos: ) Resolver la ecuación + = 6. Aislemos en el primer miembro y elevemos los dos miembros al cuadrado: = 6 = 6 = = 0. Las soluciones de ésta última ecuación son 9 y 4. La solución = 9 no satisface la ecuación propuesta, pues = 6; en cambio = 4 sí la satisface, = 6. Luego la única solución de la ecuación es = 4. ) Resolver la ecuación: + 4 =. Procedemos de forma similar al ejemplo anterior. Aislamos + en el primer miembro y elevamos los dos miembros al cuadrado: + = = Aislamos de nuevo el radical: 4 4 = 8. Ahora dividimos todo entre dos. 4 = 4 y luego elevamos al cuadrado ambos miembros de nuevo: 4 4 = = 0 84 = 0 Las soluciones de esta última ecuación son = 0 y = 84. La primera solución no satisface la ecuación propuesta mientras que la segunda sí la satisface.

22 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. ) Resolver la ecuación 4 = 0. Aislamos el radical al primer miembro y elevamos ambos miembros a la cuarta potencia = = + = 0 La anterior es una ecuación bicuadrada cuya descomposición en factores viene dada por ( )( + )( + ) = 0. De donde las únicas soluciones reales son: = y =. Ambos valores de son solución de la ecuación propuesta. (El factor raíces complejas conjugadas) + tiene..4ecuaciones Logarítmicas: Se dice que una ecuación es logarítmica si la incógnita figura dentro de un logaritmo, es decir, en este tipo de ecuaciones a la incógnita o a epresiones que la contienen se les ha tomado el logaritmo, por lo que para resolverlas es necesario invertir la operación (aplicar función eponencial). Las soluciones obtenidas se deben comprobar en la ecuación original porque se podrían obtener soluciones etrañas. Previo a la resolución de ejercicios, recordaremos las propiedades de los logaritmos. Propiedades de los Logaritmos ) El logaritmo de en cualquier base es 0, es decir, log a = 0. ) El logaritmo de la base es igual a, es decir, log a. log a b = no eiste ) El logaritmo de un número negativo no eiste, es decir, )4 El logaritmo decimal (logaritmo en base 0) de cualquier número real comprendido entre 0 y es negativo. )5 El logaritmo decimal de un número real mayor que es positivo. )6 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es log m n = log m + log n decir: a a a )7 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo m del divisor. Es decir: log a = loga m loga n n )8 El logaritmo de cualquier potencia de la base es igual al eponente. Es decir: n log = n a a )9 El logaritmo de una potencia de base a y eponente p, es igual al eponente p log n = p log n multiplicado por el logaritmo de la base. Es decir: a )0 El logaritmo de una raíz de índice r, de un número n, es igual al logaritmo del número n dividido por el índice r log n. Es decir: log r a a n = r Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones: a

23 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. ) log ( 5 + ) = + log ( ) = =, podemos escribir: log ( 5 + ) = log0 + log ( ) Como log0 0 log0 Aplicando propiedades logarítmicas (propiedad 6), tenemos que: ( + ) = ( ) log 5 log 0 Como el resultado obtenido es una igualdad de logaritmos, se deduce que: 5 + = 0 ( ) 5 + = = = 5 log 8 ) = 0 Tomamos logaritmo en ambos miembros: log log = 8log0 log log = 8 log = 8 log = 8 log = 4. Luego: 0 = 0 = 0 log 4 4 log 4 log 0 = log. Aplicamos propiedad 7 de los logaritmos 4 log = log 0. Se cumple entonces que: 4 = obtenemos una ecuación 0 fraccionaria, cuyas soluciones son = 5 y =. Al sustituir las soluciones en la ecuación original, el valor = hay que descartarlo ya que no la satisface. ) ( ) ( )..5Ecuaciones Eponenciales: En estas ecuaciones la incógnita o una epresión de ella, aparece en el eponente. La solución de este tipo de ecuaciones puede obtenerse tomando logaritmos en cualquier base mediante el uso de las propiedades de la potenciación. En este último caso es conveniente recordar que: m n n ) m m n a = a = ( a ). Así = ( ) = ( ) m n ) Si a = a, entonces m = n y. Así, si = entonces = y m ) a = m a 4) Cualquier número a 0 elevado a la potencia cero, es igual a. De manera que el número puede ser epresado convenientemente como cualquier número distinto de = 0 = 0 = 00 0 = a 0 a 0. cero elevado a la potencia cero. Así m+ n m n 5) =. Así = m 7 mn 5 6) = n. Así = 5 Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones

24 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. 5 = ) log 5 log Tomamos logaritmos decimales log 5 = log = log5 = ( ) log, como log 5 = 0, 70 y log = 0,0, tenemos que: 0,70 0,0 = ( ) 0, = 0,5( ) 0, = 0,5 0,0 0, 0,5 = 0,0 0, 08 = 0,0 =, 75 5 ) 5 = 7. Como 7 =, tenemos que: = 5 = 8 = 0, de donde = 4 y =. ) = 0. Como 7 = 7 7 =, tenemos que: = = 0. Multiplicando por : = = 0. Si hacemos el cambio de variable, 7 = u, entonces 7 = u y tendremos: u 5u 4 = 0, de donde u = 7 y u =. Como u = 7, tenemos: 7 = 7 de donde = y 7 =, solución no válida, ya que para cualquier valor real de, 7 f ) + = 7. Como + = = 8, tendremos: + 8 = = 7 7 = = = = = Ejercicios Propuestos ) Resolver las ecuaciones: a) ( ) ( ) ( 4 5) b) = = 5 0 c) ( ) ( ) d) + + = 5 ( ) ( + ) = e) + = f) + + = 4

25 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. g) = ) Hallar a para que sean iguales las dos soluciones de la ecuación a + a = 0 ) Calcular c para que las soluciones de la ecuación 9 + c = 0 sean una el doble de la otra. 4) Un obrero gana Bs diarios, pero debe abonar Bs. 00 por cada día que falte el trabajo. Al cabo de 58 días recibe Bs Cuántos días ha trabajado y cuántos ha faltado? 5) Dos grifos, manando juntos, llenan un depósito en 7 horas. Uno de ellos lo llenaría en horas. Cuánto tiempo tardaría el otro en llenarlo? 6) Si se mezclan 6 litros de vino de cierta clase con litros de otra, se obtiene una mezcla que vale Bs por litro. Pero si se mezclan 4 litros de la primera con 6 litros de la segunda, la nueva mezcla vale Bs. 640 más por litro. Cuánto vale el litro de cada uno de los vinos? 7) Marina y Ana parten de A, en moto, a las 8 de la mañana y convienen en encontrarse en B, a 00Km de A. Sabiendo que Marina va a 0 Km h más que Ana y llega una hora antes, se pide la velocidad de cada una. 8) Dos obreros trabajando juntos, realizan una obra en 8 días. Cuánto tardaría en realizarla cada uno por separado, sabiendo que el primero tardaría 7 días más que el otro? 9) Simplificar cada epresión. Asumir que todas las variables representan números positivos: a) ( 4 ) ( 5 y y ) h) 4 6 b) ( 4 ) + ( 8 ) i) ( ab + a b c) ) a b d) 4 4 e) 6 ( a b ) ( 8a b ) 9 f) m) j) k) ( ) 4( )( 5) l) 6 4( )( ) 7 g) 9 0 y z n) ( ) 5 ( ) 0) Simplificar: 5

26 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. a) b) y y y y + c) d) y y 6a b 5 8a b 0a b 4 ) Resolver las siguientes ecuaciones: + a) = b) = c) + = d) + = 0 e) = 9 f) + = + 5 g) = 4 ) Simplificar cada fracción: a) b) 4 a + a + 4 4a + 4 a a + 4 y + 6 y y + 4y + 5 y y + c) d) t + t t t t + 4 t t + t ) Resolver las siguientes ecuaciones logaritmicas y comprobar las respuestas: a) ( ) log + log = i) log = log log log b) c) ( ) d) = j) ( ) ( ) log log = k) log log + + log = = log log + = + = l) e) log ( 8) log 5 log ( ) + = log 6 m) = 0 = + n) + = + log log f) log ( ) log ( ) 6

27 Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. g) ( ) ln ln ln 6 + = o) h) log ( ) = ( log ) log 4 = )4 Resolver las siguientes ecuaciones: + a) = h) 0 = + u u b) 4 = 5 i) 5 6 = 0 + 0,5 = 7 j) + = 5 c) ln d) 4 + = k) 6 = 0 ln e) = 4 l) = 55 + f) = 8 m) , = 0 e + e + 5 g) 0 = n) =,5 e e 7

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