resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los métodos usados.

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2 PRESENTACIÓN Este teto tiene la intención de asistir como un importante material de apoyo en el área de matemática a los estudiantes que participan en el curso propedéutico que dicta la Facultad de Agronomía de la Universidad Central de Venezuela. Este curso de naturaleza teórico práctica, está basado en la revisión de conocimientos teóricos y una práctica operatoria centrada en las aplicaciones propiamente de carácter matemático. En la distribución de los distintos temas se intenta proporcionar el suficiente material de trabajo para que, una vez afianzados los conceptos fundamentales, se pueda guiar a los estudiantes en el proceso de autoformación. Los contenidos que se incluyen son aquellos cuyos conocimientos de entrada son requeridos como básicos con la intención de ofrecer una preparación rigurosa y completa a fin de que los estudiantes puedan acceder a cursos superiores afines al área de Matemática, tales como: Matemática I, Matemática II, Física I, Física II, Estadística, etc.; obligatorias en la formación de un Ingeniero Agrónomo. El desarrollo de las actividades de enseñanza y aprendizaje estará centrado en los alumnos, y tomará en cuenta tanto los procesos cognitivos como los procesos afectivos. El docente se convierte en un mediador del aprendizaje propiciando actividades, proponiendo estrategias, usando metodologías en las que el proceso de enseñanza y aprendizaje se potencie. En la evaluación se tomará en cuenta la responsabilidad de los alumnos en el cumplimiento de las asignaciones, la pertinencia de los resultados y la interpretación de los mismos. De igual manera será considerado lo novedoso en la ii

3 resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los métodos usados. temas: El teto consta de cinco unidades, las cuales contienen los siguientes Unidad I: Conjuntos Numéricos Unidad II: Polinomios y operaciones con fracciones algebraicas Unidad III: Sistema de ecuaciones e inecuaciones de epresiones algebraicas Unidad IV: Trigonometría, logaritmos y eponenciales Unidad V: Matrices y determinantes Los autores esperan que esta obra sea útil tanto a los profesores como a los estudiantes. CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA iii

4 TABLA DE CONTENIDO PRESENTACIÓN ii TABLA DE CONTENIDO iv UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjuntos Numéricos Números Naturales ( ). Números Enteros ( ). Números Racionales ( ). Números Irracionales ( ). Números Reales ( ). Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos. 5 Recta Real. 6 Orden en el conjunto R. 7 Intervalos Reales 8 Operaciones con Intervalos Reales 9 Unión 9 Intersección 9 Diferencia Complemento Potenciación en el conjunto de los números reales. Propiedades de la potenciación en.. Multiplicación de potencias de igual base.. División de potencias de igual base.. Potencia de un producto.. Potencia de un cociente. 5. Potencia con eponente cero. 6. Potencias con eponentes enteros negativos. 7. Potencia de una potencia. Radicación en el conjunto de los números reales. Potencias con eponente fraccionarios y radicales. Propiedades de la radicación.. Raiz de un producto.. Raíz de un cociente.. Raíz de una raíz. Racionalización 5 UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 9 Polinomios 9 Elementos de un polinomio. 9 Término 9 Grado del polinomio: 5 9 Polinomios Especiales. iv

5 Polinomio nulo: Polinomio Constante: Valor Numérico de un polinomio. Términos Semejantes. Polinomios en dos o más variables: Operaciones con polinomios. Adición de polinomios. Adición de polinomios en dos o más variables. Sustracción de polinomios. Multiplicación de polinomios. Multiplicación de dos monomios: Multiplicación de un monomio por un polinomio. Multiplicación de dos polinomios. División de polinomios. División de dos monomios. División de un polinomio entre un monomio. División de dos polinomios. Raíz o cero de un polinomio 5 Productos Notables. 6 Cuadrado de un binomio. 6 Cubo de un binomio. 6 Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados) 6 Producto de dos binomios que tienen un término en común. 7 Binomio de Newton. 7 Factorización. 7 Factor común. 7 Factorización por agrupación de términos 8 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 8 Factorización de una diferencia de cuadrados 9 Factorización de un trinomio del tipo a + b + c 9 Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto. Regla de Ruffini para factorizar polinomios. Máimo Común Divisor de Polinomios. Mínimo Común Múltiplo de Polinomios. Operaciones con Fracciones Algebraicas 5 Adición. 5 Multiplicación. 5 División. 5 Simplificación de Fracciones Algebraicas 6 Fracciones Algebraicas Irreducibles. 6 Ejercicios Propuestos. Unidad II 6 UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5 Ecuaciones de Primer Grado. 5 v

6 Ecuación de Segundo Grado 5. Método de Factorización. 5. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o de la Resolvente. 5 Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado: 55 Aplicaciones de la ecuación de segundo grado. 55 Ecuaciones con Radicales: 56 Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicaciones 57 Método de sustitución 58 Método de igualación 58 Método de reducción 59 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas 6 Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 6 Inecuaciones lineales y no lineales 6 Sistemas de Inecuaciones en una variable 67 Valor absoluto de un número real. 68 EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III 69 UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 8 Ángulos 8 Medida en grados 8 Medida en radianes 8 Ángulos Notables. 8 Razones Trigonométricas 8 Signos de las razones trigonométricas. 86 Razones trigonométricas de los ángulos notables. 86 Reducciones de ángulos al primer cuadrante. 86 Triángulos y aplicaciones. 88 Identidades Trigonométricas 9 Identidades Fundamentales 9 Sumas y restas de senos y cosenos 9 Sumas y restas de ángulos 9 Ángulo doble 9 Ángulo medio 9 Teorema del Seno 95 Teorema del Coseno 96 Funciones trigonométricas inversas 96 Ecuaciones trigonométricas. 99 Logaritmos Eponenciales. Ecuaciones eponenciales vi

7 Ejercicios Propuestos Unidad IV 5 UNIDAD V: MATRICES Y DETERMINANTES 6 Matrices. Definición: 6 Matrices Especiales: 7 Igualdad de Matrices 7 Algebra de matrices 8 Suma de Matrices 8 Multiplicación por un escalar 9 Resta de Matrices Multiplicación de Matrices Matriz Traspuesta: Determinantes. Definición Matriz Adjunta. Definición 6 Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones 7 Resolución de un determinante de tercer orden: 8 Ejercicios Propuestos. Unidad V BIBLIOGRAFÍA vii

8 UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjuntos Numéricos Números Naturales ( ). Los números naturales sirven para contar. El conjunto de los números naturales se denota con la letra y sus elementos son: es decir Su representación en la semi-recta es: La imposibilidad de resolver en sustracciones cuando el minuendo es menor que el sustraendo, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales. Se observa que, la ecuación: no siempre tiene solución en. Por ejemplo: Números Enteros ( ). no tiene solución en. Los números enteros sirven, por ejemplo, para epresar temperaturas por debajo de cero y además, la ecuación, siempre tiene solución en los números enteros. El conjunto de los números enteros se denota con la letra y sus elementos son: es decir:

9 números Observa que para cada número entero eiste el número y son llamados opuestos., llamado entero negativo. Los Su representación en la recta es: La imposibilidad de resolver en divisiones cuando el dividendo no es múltiplo del divisor, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros. Se observa que la ecuación: no siempre tiene solución en. Por ejemplo:, con diferente de cero, no tiene solución en Números Racionales ( ). Los números racionales sirven para epresar partes de la unidad y, además, la ecuación:, con diferente de cero, siempre tiene solución en los números racionales. El conjunto de los números racionales se denota con la letra y sus elementos tienen la forma, siendo y números enteros, con diferente de cero. Es decir: Se observa que para cada número entero diferente de cero, eiste el número, llamado inverso de. Su representación en la recta es: Los números racionales pueden ser representados tanto por fracciones como por decimales.

10 Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división del numerador entero entre el denominador. Cuando la división es eacta, estos números decimales reciben el nombre de números decimales limitados. Cuando la división no es eacta obtendremos un número infinito de cifras decimales, donde una cifra o un grupo de cifras se repiten indefinidamente y en el mismo orden, estos decimales reciben el nombre de números decimales periódicos. Así, todo número racional puede escribirse como un decimal limitado o un decimal periódico. Por ejemplo: ½ =,5 ; / =,5 ; 7 / 8 =,875 ; / =, / =, =, ; / 7 =, =, 857 Números Irracionales ( ). Analicemos las siguientes situaciones que se han presentado en el estudio de la matemática: a) Eistencia de decimales no limitado y no periódicos, por ejemplo:,..., 5, , -, b) Eistencia de segmentos con longitudes tales como: c) Las ecuaciones de la forma, no siempre tienen solución en. Por ejemplo:, admite como una solución, Lo anterior revela la insuficiencia de los números racionales, planteando la necesidad de ampliar el campo numérico introduciendo nuevos números que llamaremos Números Irracionales. Números escritos tales como los escritos en las situaciones a) y b) son números irracionales. Un número irracional es un número con la presentación decimal ilimitada no periódica. Con el mismo argumento también puede decirse que un número irracional es un número que no puede epresarse como cociente de dos números enteros, es decir, no es racional. Al conjunto de los números irracionales se denota por. Su representación en la recta es:

11 Ejemplos de números irracionales: a) Las raíces cuadradas de números primos: b) Las raíces cuadradas de números enteros positivos que no sean cuadrados perfectos: Recuerda: Un número entero es un cuadrado perfecto si eiste un entero tal que c) El número d) El número Números Reales ( ). El conjunto de números reales es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de números irracionales. Se denota por al conjunto de números reales, así que: Es de observar que la intersección entre los conjuntos y racional es irracional y ningún número irracional es racional. es vacío. Es decir, ningún número Luego, sí, entonces: o, pero no a ambos. Como el conjunto de los números irracionales es representado por los decimales ilimitados no periódicos y los racionales por los decimales limitados o periódicos; entonces el conjunto de los números reales es el conjunto de los números que se representan con decimales.

12 Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos. Operaciones Propiedades Descripción de la las propiedades La forma de agrupar los sumandos no altera la suma: Sí Sí Sí Asociativa La forma de agrupar los factores no altera el producto. Sí Sí Sí El orden de los sumando, no altera la suma: Sí Sí Sí Conmutativa El orden de los factores no altera el producto: Sí Sí Sí 5

13 Eistencia de elemento neutro Eistencia de un elemento simétrico Eiste un elemento e tal que: Sí Sí Sí Para todo en el conjunto y Eiste un elemento tal que: Sí Sí Sí Para todo el conjunto y Para cada elemento eiste un tal que: No Sí Sí Para cada elemento diferente de cero, eiste tal que: No No Sí Distributiva Al multiplicar un número por la adición de otros, se puede multiplicar dicho número por cada uno de los sumandos y luego se suma el producto obtenido: Sí Sí Sí Nótese que cumple con las mismas propiedades tanto para la adición como para el producto que, sin embargo la radicación está definida en los reales, mas no en los racionales. Recta Real. El conjunto de los números reales se representa así: A cada número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real. Ahora la recta numérica esta completa y la llamaremos Recta Real. También se dice que la recta real es ordenada; es decir, la posición de cualquier número sobre esta recta se define en base al criterio del valor de dicho número con respecto al resto y en relación al cero. Los números se ordenan desde cero hacia la derecha los números positivos en orden creciente, y desde cero hacia la izquierda los números negativos, en orden creciente de sus valores absolutos. La distancia de cualquier número al cero se denomina valor absoluto, se obtiene tomando el valor numérico positivo del número estudiado y se denota con barras verticales. ( ) 6

14 Orden en el conjunto R. Un número real es mayor que otro número sí en la recta real se encuentra a la derecha de. Si y son números reales, decimos que:. En símbolos: Se observa que si es mayor que entonces, es menor que. Es decir: Si y son números reales, decimos que: es mayor o i ual ue a, s y sólo s, es mayor ue a o es i ual ue En símbolos: Se observa que si es mayor o igual que entonces es menor o igual que : Propiedades de las desigualdades. ) Dados dos números reales y, una sola de las siguientes posibilidades se cumple: Esta propiedad reci e el nom re de Tricotom a. ) Dados tres números reales a,, se cumple que: Si y entonces Esta propiedad recibe el nom re de Transitiva. Ejemplo: Si y entonces 7

15 ) Si a los miembros de una desigualdad se le suma o resta un mismo número real, la desigualdad no cambia de sentido. En símbolos: Ejemplo: Si y entonces Si y entonces es decir ) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real positivo, la desigualdad no cambia de sentido. En simbolos: Ejemplo: Si y entonces Si y entonces, es decir 5) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido. En símbolos: Ejemplo: Intervalos Reales Si y entonces Si y entonces, es decir Un intervalo es un par ordenado que denota todos los números comprendidos en un determinado sector de la recta real. Intervalo Abierto Intervalo Cerrado 8

16 Intervalo Semiabierto Intervalo No Acotado Operaciones con Intervalos Reales Unión La unión de dos intervalos A y B, es otro intervalo comunes y no comunes entre los intervalos A y B. compuesto por todos los elementos Ejemplo: Hallar la unión de los intervalos y Intersección La intersección de dos intervalos A y B, es otro intervalo elementos comunes a ambos intervalos A y B. compuesto por todos los Ejemplo: Hallar la intersección de los intervalos y 9

17 Diferencia La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo elementos de A que no están en B. compuesto por todos los Ejemplo: Hallar la diferencia menos Complemento El complemento de un intervalo A, es otro intervalo de la recta real que no están en el intervalo A. compuesto por todos los elementos Ejemplo: Hallar el complemento del intervalo Potenciación en el conjunto de los números reales. La potenciación es una multiplicación abreviada. Con la notación, queremos indicar un producto de factores iguales a Luego: Si es un número real y un número entero positivo, tenemos: El número o epresión se llama base de la potencia. El número se llama eponente de la potencia. El número o epresión se llama n-ésima potencia de.

18 Propiedades de la potenciación en.. Multiplicación de potencias de igual base. Si y, entonces. En efecto: Ejemplos: a) b). División de potencias de igual base. Si, entonces Ejemplos: a) b). Potencia de un producto. Si, entonces. En efecto: Ejemplos: a) b). Potencia de un cociente. Si, entonces. En efecto:

19 Ejemplo: a) b) 5. Potencia con eponente cero. Si es diferente de cero tenemos que: a) b) (por ser el numrador igual al denominador) Ejemplos: Igualando a) y b) obtenemos a) b) 6. Potencias con eponentes enteros negativos. Si, entonces, con diferente de cero. Ejemplos: a) b) 7. Potencia de una potencia. Ejemplos: Si, entonces. a) b)

20 Radicación en el conjunto de los números reales. La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en determinar la base, conocidas la potencia y el eponente. Si es un número real y un entero positivo, entonces la radicación consiste en hallar un número tal que El número reci e el nom re de ra z n-ésima de a y se denota: En forma simbólica: donde, se denomina índice se denomina cantidad subradical se denomina signo radical se denomina raíz n-ésima de a Nota: a) Si es un número positivo y un entero, entonces la raíz n-ésima de es un numero real. b) Si es un número negativo y es número entero impar, entonces la raíz n-ésima de es un número real. c) Si es un número negativo y es un entero par, entonces la raiz n-ésima de no es un número real. Potencias con eponente fraccionarios y radicales. Si y son números enteros con diferente de cero y un número real, entonces: Ejemplos: a) b)

21 Propiedades de la radicación.. Raiz de un producto. La raíz de un producto es igual al producto de las raices. Ejemplos:. Raíz de un cociente. La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces. Ejemplos: a) b). Raíz de una raíz. Para calcular una raíz a una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad subradical. Ejemplos: a) b)

22 Racionalización Racionalizar una función cuyo denominador es irracional consiste en obtener una equivalente a ella cuyo denominador es racional. Caso a: El denominador de la fracción contiene un monomio bajo el signo radical. Regla: Se multiplican el numerador y denominador de la fracción por un radical del mismo índice del radical que aparece en el denominador y los eponentes de los factores de la nueva cantidad subradical deben ser multiplos del índice. Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso. a) b) Caso b: El denominador de la fracción es un binomio en el cual uno de sus términos contiene raíces cuadradas. Regla: Se multiplican tanto el numerador como el denominador por la epresión conjugada del denominador. Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso. a) b) Caso c: El denominador de la fracción contiene un binomio en el cual uno de los términos contiene raíces cúbicas. Regla:. Si el binomio tiene la forma denominador por la epresión entonces se multiplican tanto el numerador como el. Si el binomio tiene la forma entonces se multiplican tanto el numerador como el denominador por la epresión. 5

23 Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso: a) b) EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD I. ) Coloque el símbolo según corresponde: /,,5 π,5,67 ) Efectuar las siguientes operaciones: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. ) Calcular los siguientes productos: A. B. C. D. E. F. G. H. ) Efectúe aplicando la propiedad distributiva: A. B. C. D. E. F. G. H. 5) Determine en cada caso el cociente (c) y el residuo (r): A. B. C. 6 D. E. F.

24 6) Efectúe aplicando propiedad distributiva para la división: A. E. B. F. C. D. 7) Calcular el mínimo común de: A. B. C. D. E. F. G. 8) Simplifique las siguientes fracciones: A. B. C. D. E. F. G. I. J. K. L. M. N. O. H. 9) Efectuar las siguientes adiciones de fracciones: A. B. C. D. E. F. 7

25 G. O. H. P. I. Q. J. R. K. S. L. T. M. U. N. ) Efectuar: A. B. C. D. F. G. H. I. E. ) Aplique la propiedad distributiva: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. 8

26 ) Efectuar: A. B. C. D. E. F. ) Aplique la propiedad distributiva: A. C. B. Operaciones con intervalos reales. Unión. Conjunto B [,] Conjunto A (, ) La unión de dos intervalos A y B, es otro intervalo (A B) compuesto por todos los elementos comunes y no comunes entre los intervalos A y B. (A B) Intersección. La intersección de dos intervalos A y B, es otro intervalo (A B) compuesto por todos los elementos comunes a ambos intervalos A y B. Conjunto B [,] Conjunto A (, ) (A B) 9

27 Diferencia. La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo (A - B) compuesto por todos los elementos de A que no están en B. Conjunto B [,] Conjunto A (, ) (A - B) Complemento. El complemento de un intervalo A, es otro intervalo (A C ) compuesto por todos los elementos de la recta real que no están en el intervalo A. Conjunto A (, ) (A C ) ) Dados los siguientes intervalos reales, se pide hallar: AB, AC, BC, AB, AC, BC, A-B, B- A, A-C, C-A, B-C, C-B, A C, B C, C C, B C -C C, C C -B, B-A C, A C B C, A C C C, (C C -B)(A C -C), (C-B C )(A-B C ):

28 5) Efectuar: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. O. P.

29 Q. R. S. 6) Dado los números racionales: Determine aproimaciones, de defecto y por eceso, con error máimo de una milésima de: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. 7) Calcular las siguientes potencias, utilizando las propiedades: A. H. B. I. C. J. D. K. E. L. F. M. G.

30 N. O. P. Q. R. S. 8) Simplificar las siguientes fracciones y epresar el resultado sin eponentes negativos: A. I. B. C. D. E. F. G. H. J. K. L. M. N. O. 9) Resolver aplicando las propiedades: A. B. C. D. E. J. K. L. F. M. G. H. I. N. O. P.

31 Q. R. ) Resolver: A. B. C. D. ) Escribir cada una de las siguientes epresiones según su radical equivalente: A. B. C. D. E. F. G. H. ) Transformar cada uno de los siguientes radicales en su potencia correspondiente: A. B. D. E. C. F. G. H. I. ) Simplificar las siguientes epresiones. A. B. C. D. E. F. G. H. I.

32 ) Resolver: A. B. C. D. F. G. H. E. 5) Efectúe las siguientes operaciones con radicales de diferentes índices: A. B. C. D. E. F. G. H. 6) Introducir en la cantidad subradical. A. B. C. D. E. F. G. H. I. 7) Etraiga los factores de los siguientes radicales. A. B. C. D. E. F. 5

33 8) Efectuar y simplificar. A. B. E. F. C. D. 9) Simplifique las siguientes epresiones. A. B. C. M. N. D. E. F. O. P. Q. R. G. H. I. J. K. L. 6

34 ) Efectuar. A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. ) Racionalice. A. J. B. K. C. D. E. F. G. H. L. M. N. O. P. Q. I. 7

35 ) Racionalice (Denominador) A. B. C. D. E. F. O. P. Q. R. S. T. G. H. I. J. K. L. M. U. V. W. X. N. ) Simplificar y racionalizar el denominador (cuando sea necesario) A. D. B. C. E. F. 8

36 UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Polinomios Se denomina polinomio en una variable a una epresión algebraica de la forma siguiente: siendo n un número natural. Elementos de un polinomio. a n n + a n- n a + a + a a) Los números a n, a n-,... a, a, a se denominan coeficientes del polinomio. b) En un polinomio, cada sumando se denomina término del polinomio. c) Se denomina grado del i-ésimo término de un polinomio, al eponente de la potencia de de ese término. d) El término de grado cero se denomina término independiente. e) Se denomina grado de un polinomio al mayor eponente de las potencias de con coeficientes no nulo. Ejemplo: P () = Término Coeficiente Grado Grado del polinomio: 5 9

37 Polinomios Especiales. Polinomio nulo: Es un polinomio que tiene sus coeficientes nulos. Este polinomio carece de grado y se designa con el número cero. P () = coeficientes:,,,, variable: término independiente: Polinomio Constante: Es un polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos ecepto el del término independiente. Cualquier número no nulo es un ejemplo de polinomio constante. Ejemplos: a) P () = P () = b) P (y) = y + y + y + y - ½ P (y) = - ½ Monomio: Es un polinomio de un solo término con coeficiente no nulo. (, - ½ a ) Binomio: Es un polinomio de dos términos con coeficientes no nulos. ( a + b, 6 ) Trinomio: Es un polinomio de tres términos con coeficientes no nulos. ( 9, -7y + y -7/8 ) Valor Numérico de un polinomio. Al sustituir en: P () = a n n + a n- n a + a + a la variable por un número racional fijo q, obtendremos el valor numérico del polinomio p() cuando vale Ejemplo: Sea P() = + + Hallemos el valor numérico para = - P (-) = (-) + (-) + (-) - = - + = -

38 Términos Semejantes. Se denomina términos semejantes en polinomios de una misma variable, a aquellos términos que tienen igual grado. En los polinomios: P () = Q () = Los términos semejantes son: 5 y 7 - y 8 7 y - y -5 Polinomios en dos o más variables: Un término de un polinomio, en dos o más variables, es un producto de un número y de las potencias de las variables. El número se denomina coeficiente y el producto de potencias se denomina parte literal. El grado de un término es dado por la suma de los eponentes de las variables. Los términos semejantes en un polinomio de dos o más variables son aquellos que tienen igual parte literal (iguales las variables e iguales sus eponentes). Ejemplo: En los polinomios 5 y +,5y y y + 5 y /y + 5y los términos semejantes son: - y y 5 y,5y y -/y -y y 5y Observa que y y -/y no son términos semejantes.

39 Operaciones con polinomios. Adición de polinomios. La suma de dos polinomios P () y Q () es otro polinomio S () que se obtiene sumando los coeficientes de los términos semejantes de los polinomios dados. El polinomio suma S () es denotado por P () + Q (). Los polinomios P () y Q () se denominan sumandos. Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P () = y Q () = Procedimiento:. Ordenamos los polinomios en forma decreciente ( también se pueden ordenar en forma creciente) P () = Q () = Se colocan los polinomios uno debajo del otro de forma tal que los términos semejantes queden en una misma columna (si es necesario se completa con ceros) Se suman los coeficientes de los términos semejantes: P () + Q () = Adición de polinomios en dos o más variables. La suma de polinomios en dos o más variables se obtiene en forma similar a los de una variable, reduciendo los términos semejantes de los polinomios dados, así: + 5 y 7y y -7 + y Sustracción de polinomios y 7y y La diferencia de dos polinomios P () y Q () es otro polinomio que se obtiene sumando a P () el opuesto de Q(), es decir:

40 Ejemplo: P () Q () será: P () Q () = P () + [-Q () ] Si P () = Q () = P () = Q () = P () Q () = Multiplicación de polinomios. Para facilitar la comprensión de la multiplicación de polinomios consideremos tres casos: Multiplicación de dos monomios: El producto de dos monomios es otro monomio tal que: a) Su coeficiente es el producto de dos coeficientes. b) La variable tiene un eponente igual a la suma de eponentes. ( 6 ).(-8 ) = [.(-8)]. ( 6. ) = - 9 Multiplicación de un monomio por un polinomio. El producto de un monomio por un polinomio se obtiene multiplicando el monomio por cada término del polinomio. Recordemos que la multiplicación es distributiva respecto a la adición; dicha propiedad la aplicaremos en este caso. Sean P () = - y Q () = P (). Q () = (- ).( ) = (- ). ( ) + (- ). (-5) + (- ). () P (). Q () = Multiplicación de dos polinomios. Para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva. El producto de dos polinomios no nulos, P () y Q () se obtiene multiplicando cada término de Q () por el polinomio P () efectuando la suma de los polinomios

41 obtenidos. El grado del producto es la suma de los grados de los factores. P (). Q () = P (). Q () = División de polinomios. P (). Q () = Para facilitar la comprensión de la división de polinomios consideremos tres casos: División de dos monomios. Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y luego se dividen las variables aplicando el cociente de potencias de igual base Para hallar el cociente entre dos polinomios seguimos el siguiente procedimiento: ) Se completa el polinomio dividendo y se ordena en forma decreciente ) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. ) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo. Recuerda que para restar debes sumar el opuesto. ) Consideramos la diferencia obtenida como un nuevo dividendo y repetimos los pasos ) y ) para obtener el segundo término del cociente. 6 División de un polinomio entre un monomio. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Es decir, se aplica la propiedad distributiva de la adición respecto a la división División de dos polinomios.

42 5) Repetimos el proceso hasta que el resto o residuo sea el polinomio nulo o un polinomio de menor grado que el divisor. DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE RESÍDUO DIVISOR Ejemplo: Sean P () = y Q () = Hallemos el cociente P () / Q () P Q NOTA Es importante mencionar que si el residuo es el polinomio nulo, se dice que la división es eacta. Se dice un polinomio P () es divisible por otro Q () si la división de P () / Q () es eacta, o sea si eiste otro polinomio C () tal que: P () = Q (). C () Otra forma de epresar esta propiedad es diciendo que P () es un múltiplo de Q (), o que Q () es un divisor de P (). Un polinomio se dice que es primo si no admite otros divisores que sí mismo y las constantes. Raíz o cero de un polinomio Una raíz o cero de un polinomio P () es un valor particular de la variable para el cual el valor numérico del polinomio es cero. 5

43 Un cero o raíz del polinomio: P () = + es = -, ya que: P () = + (-) = Productos Notables. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Veamos algunos de ellos: Cuadrado de un binomio. El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. (a b) = a ab + b Ejemplos: a) ( + 5) = = b) ( - ) =.. + = Cubo de un binomio. El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a b) = a a b + ab b Ejemplos: a) ( + ) = + + () + () = b) (y 5) = y y 5 + y5 (5) = y 5y + 75y 5 Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados) El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. (a + b).(a b) = a b 6

44 Ejemplos: a) ( + 6).( 6) = 6 = 6 b) (y /).(y + /) = (y ) (/) = y 9/ Producto de dos binomios que tienen un término en común. El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual al cuadrado del término en común más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes. (a + b).(a + c) = a + (b + c).a + b.c Ejemplos: a) ( + ).( + ) = + ( + ). +. = b) ( + 7).( - ) = + (7 ). + 7.(-) = Binomio de Newton. Es el desarrollo del binomio (a + b) n. n n n n n n n n n n n n n a b a a b a b... a b ab b NOTA: los números combinatorios se resuelven según n n! y n! n. n. n... m n m!m! Ejemplo: ( + ) 5 = ( + ) 5 = Factorización. Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de factores primos. A continuación estudiaremos algunos casos de factorización. Factor común. Este caso tiene la forma a.m + a.n + a.p = a.(m + n + p) Consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la 7

45 adición. Ejemplo: Factorizar 6a + 9a 8a Observe que cada coeficiente es divisible por y la parte literal es divisible por a. Luego el factor común es a y factorizamos así: 6a + 9a 8a = a( + a 6a ) Factorización por agrupación de términos Las propiedades asociativas de la adición conjuntamente con la propiedad distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de sus términos. Ejemplos: a) m + ny + my + n = (m + my) + (n + ny) = m( + y) + n( + y) = ( + y)(m + n) b) y + y y = (y + y) ( y + ) = y( y+ ) ( y + ) = (y + )(y - ) Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Un polinomio de la forma a ± ab + b se denomina trinomio cuadrado perfecto, y su factorización es (a ± b) En un trinomio de esta forma se cumple: a) Dos de sus términos son cuadrados perfectos (positivos). b) El otro término es el doble producto de a y b, esto es ab, ( que puede ser positivo o negativo ). Ejemplo: Factoricemos: a) Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ). es el cuadrado de. 5 es el cuadrado de 5. El otro término es el doble producto de a y b, esto es ab. =..5 Por lo que se trata del cuadrado de una suma, luego = ( + 5) b) 6-8 y + y 6 Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ). 8

46 6 es el cuadrado de. y 6 es el cuadrado de y. El otro término es el doble producto de a y b, esto es ab. -8 y = -.( ).(y ) Por lo que se trata del cuadrado de una diferencia, luego 6-8 y + y 6 = ( - y ) Factorización de una diferencia de cuadrados Este caso tiene la forma: (a - b ) = (a + b).(a b) El binomio a b es una diferencia de cuadrados de dos monomios a y b. Es factorizable en dos factores, la suma (a + b) y la diferencia (a b). Ejemplos: Factorizar a) X 9 = ( + ).( ) b) 5 8y = (5 + 9y).(5 9y) Factorización de un trinomio del tipo a + b + c Solamente trataremos el caso de trinomios que provienen del producto de dos binomios con un término común, esto es: a + b + c = (p + m).(p + n) Analizaremos dos casos:. Cuando a = Sí a = entonces: p =, y así: + b + c = ( + m).( n) = + (m + n). + m.n Luego: ) El término común de cada binomio es la raíz cuadrada del primero. ) Los segundos términos: m y n, son dos números tales que sumados dan b y multiplicados dan c, es decir: m + n = b y m.n = c Los números m y n los determinamos mediante los divisores de c. ) De las relaciones: b = m + n y c = m.n, se tiene: 9

47 a) Si c es positivo, entonces m y n tienen el mismo signo que b (ambos positivos o ambos negativos) b) Si c es negativo, entonces m y n tienen diferentes signos. El divisor de c (m ó n) de mayor valor absoluto tiene el signo de b. Ejemplo: Factorizar: X Debemos hallar dos números tales que su producto sea 5 y su suma sea X = ( )( ) escribimos (raíz Cuadrada ) en cada factor = ( + )( + ) Como el producto es positivo, los números buscados tienen el mismo signo. Como la suma 5 es positiva los números buscados son positivos. Seleccionamos entre divisores de al y al, Ya que: + = 5 y. = = ( + ).( + ) los números buscados son y. Cuando a es un cuadrado perfecto. Este caso tiene la forma: a + b + c = (p + m).(p + n) = p + [(m + n).p] + m.n Luego el término común p de cada binomio es la raíz cuadrada del primer término a del trinomio. Para factorizar un trinomio de este tipo, se procede en la forma siguiente: ) Se descompone el coeficiente b de en un producto tal que uno de sus factores sea la raíz cuadrada de a. Sea b = dp, donde p = a ) Se forma el trinomio: a + d.(p) + c ) Se procede como en el caso anterior, buscamos entre los divisores de c, dos números cuya suma sea d.

48 Ejemplo: Factorizar: 6 como la raíz de es, descomponemos: -6 = (-8)., luego: 6 = 8.() Debemos hallar dos números tales que su producto sea y su suma 8 6 = ( ).( ) escribimos (raíz cuadrada de ) en cada factor. = ( + ).( - ) como el producto - es negativo, los números buscados tienen diferente signo. Como la suma -8 es negativa, el número de mayor valor absoluto es negativo. = ( + ).( - ) Los números buscados son: - y Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto. Este caso tiene la forma: a ± a b + ab ± b = (a ± b) y se cumple que: a) Tiene cuatro términos. b) El primer término a es el cubo de a. c) El cuarto término b es el cubo de b. d) El segundo término a b es el triple de a por b e) El tercer término ab es el triple de a por b. Ejemplo: Factorizar X Observemos que dicho polinomio: a) Tiene cuatro términos. b) El primer término es el cubo de. c) El cuarto término 8 es el cubo de. d) El segundo término 6 =. e) El tercer término =... Y como los términos son positivos, es el cubo de la suma: X = ( + )

49 Regla de Ruffini para factorizar polinomios. Para factorizar un polinomio p () = a n n + a n- n a + a + a, utilizando la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos: a) Hallaremos los divisores positivos y negativos del término independiente a. b) En caso de que la raíz sea fraccionaria, el numerador es divisor del término independiente y el denominador es divisor del coeficiente del término de mayor grado. c) Llamaremos a los divisores enteros y fraccionarios hallados en a) y b). d) Se va probando por división sintética por ( ). e) Si el residuo es cero entonces es raíz del polinomio. f) Luego, se escribe el polinomio p () como producto de factores ( ). Ejemplo: Factorizar los siguientes polinomios a) p () = 5 + Calculemos los divisores de :,, Así, las raíces del polinomio son:, -,, -. Luego p () = ( - ).( + ).( - ).( + ) b) q () = Los divisores de son:,, Los divisores de 5 son:,, 5, 5

50 / / -5 5 Así, las raíces del polinomio son:, -, -/5, -/. Luego q () = 5.( - ).( + ).( + /5).( + /) q () = ( - ).( + ).(5 + ).( + ) Máimo Común Divisor de Polinomios. El máimo común divisor de dos o más epresiones algebraicas es la epresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esta contenida eactamente en cada una de ellas. Ejemplo: a) El M.C.D. de a b y a es a b) El M.C.D. de 8a n, an y a n p es 8an Al hallar el M.C.D. de dos o más polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorizarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el M.C.D. factorizando los polinomios dados; en el segundo caso se halla el M.C.D. por divisiones sucesivas. M.C.D. por descomposición de factores. Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El M.C.D. es el producto de los factores comunes con su menor eponente. Ejemplos: Hallar el M.C.D. de a) a + ab y a a b Factorizando las epresiones: a + ab = a(a + b)

51 a a b = a (a b ) = a (a + b)(a b) Los factores comunes son:, a y (a + b), luego: M.C.D. = a(a + b) b), 6 y + Factorizando las epresiones: = ( + ).( - ) 6 = ( + ).( ) + + = ( + ) El factor común es ( + ) y se toma con su menor eponente, luego: M.C.D. = ( + ) Mínimo Común Múltiplo de Polinomios. El mínimo común múltiplo de dos o más epresiones algebraicas es la epresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible eactamente por cada una de las epresiones dadas. Ejemplos: a) El m.c m. de a y 6a es a b) El m.c.m. de, 6 y 9 es 8 El m.c.m. de dos o más epresiones algebraicas, es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor eponente. Ejemplo: a) Hallar el m.c.m. de a 8ay + ay y 6b 6b y Descomponiendo: a 8ay + ay = a( y + y ) = a( y) 6b 6b y = 6b ( y) =.b ( - y) m.c.m. =..a( y) = ab ( y) b) Hallar el m.c.m. de + b, y - b y, y + by + b y Descomponiendo: + b = ( + b) y - b y = y( - b ) = y( + b)( - b) y + by + b y = y ( + b + b ) = y ( + b) m.c.m. = y ( + b) ( b)

52 Operaciones con Fracciones Algebraicas Adición. Para sumar dos o más fracciones algebraicas, esta se reduce al común denominador. 5 Ejemplo: Sumar; a) Hallamos el m.c.m. de los denominadores; + = ( + ) = = ( + )( ) m.c.m. = ( + )( ) Denominador común b) Factorizando los denominadores y dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y multiplicamos cada cociente por el correspondiente numerador 5 ( )( ) ( )( ) 5. = ( ) ( )( ) ( )( ) = 8 5 ( )( ) Multiplicación. = ( )( ) El producto de dos fracciones algebraicas es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas y.. y...y y. 5y y 5.y 5.y División. El cociente de una fracción algebraica entre otra, se obtiene multiplicando la primera por la inversa de la segunda...y 5..y..y.z...y..7.z 8. 7.z.z 7.z 5.y 7.z. 5..y 5..y.z

53 Simplificación de Fracciones Algebraicas El proceso de hallar fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador por un mismo polinomio no nulo, se denomina simplificación de fracciones algebraicas. Luego, simplificar una fracción algebraica es dividir numerador y denominador por un divisor común no nulo y diferente de uno. Fracciones Algebraicas Irreducibles. Una fracción algebraica p q () (), se dice, que es irreducible si el máimo común divisor de sus términos es uno. En consecuencia, no se puede simplificar. La fracción 5 es irreducible porque M.C.D. ( y 5) = En cambio, la fracción 8 6 no es irreducible porque M.C.D. (8 y 6 ) = diferente de. En consecuencia, se puede simplificar por y obtener así una fracción irreducible. Ejercicios Propuestos. Unidad II.- Dados los polinomios: p(,y) = - y + y q(,y) = - y - y g(,y) = - y + y + y - y + y h(,y) = a + y b - a y b a y b + a y b + i(,y) = - a + y b - a y b + + a + y b r(a,b) = a - ab + b l(a,b) = -5ab + a - b k(a,b) = 8ab - b - a w(a,b) = a - ab - 5a b m(a,b) = a 5 + a b + 6a b - a b + ab d(,y,z) = - y + 5z f(,y,z) = -5 + y - 6z y() = c() = s() = z() = j() =

54 t() = u() = Calcular: p+q, p-q, p+g, q+g, g-q, p.q, p.g, q.g, g/q, h+i, h-i, h.i, h/i, r+l, r+k, r+w, r+m, l+k, l-k, r.l, r.k, r.w, k.w, k.l, m/w, d+f, d-f, d.f, y+c, y+z, y-u, s-z, j-t, s.c, z.t, u.s, y/c, y/s, y/z, j/t, j/u, j/y, j/z, (j-u)+(t-z), (s.z)-(j.c), (u-t).(z-c), (y.c)/(j-z).- Resuelva utilizando la fórmula de productos notables, donde sea posible: a) ( 9y 5 ) b) (a + b)(a b)(a b ) n n c) ( a b )( a b ) a a d) ( 8)( 9) ( 6)( 6) ( )( f) ( y ) y ( y e) ) g) m + - n h) (8 y + 9m ) 6 i) z y j) 5yz 5yz k) (y - ) 5 l) ( a + + 5y a + )( a + - y a + ) m) y 6 n) y y a b o) p) b a y y q) ( + ) - ( - ).( + ).( ) r) ( + y).( y) + ( + y) - ( y).- Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de polinomios: a) b) c) d) 6 e) f) g) h) 5 6 i) ) 7

55 .- Hallar el valor de m para que el polinomio p() = m m sea divisible por. 5.- Hallar los valores de m y n para que el polinomio p() =m 5 +n + sea divisible por ( ). 6.- Factorizar los siguientes polinomios: a) y y b c d c d ) ( ) 8( ) 65 c) 5n n d y y ) e z z z ) ( ) 6( ) 6( ) f ) 8 g ) 8 h p p p p ) i) 8n n j m m ) k) a a l ) 6 m ) Simplifique las siguientes fracciones: n ) 7 6 o ) (5 ) (5 ) p ) ( ) ( ) q) a ab 98b r) a a b 6b s ) 5 6 t a a ) 5 9 u y y ) v n n ) 9 w ) 6 ) 7 9 y ) z )9 p p a) p p n nm b) (n m) m n mn c) mn m n d) 7 9 ab e) a a f) y 6y 9 g) y 9 a a a a h) i) 6a b ay by 9 6y y j) k) a ab b a b l) m) 5 n) o) a ab a b b a a b ab b p) 7 9 q) r) 8 s) 8 8

56 8.- Simplifique las siguientes fracciones empleando los métodos de factorización o racionalización según sea el caso: a) ; 7 c) ; 5 5 b) ; d ) 5 ; 5 e) ; f 6 8 ) ; g ) ; i ) ; k ) ; m ) ; 8 7 o ) ; h) ; 6 j) ; l ) a a ; a a a 6 5 n ) ; p ) ; 9.- Efectúe las operaciones indicadas en cada caso: a) b) t t t t c) p p p d) 5 e) f) 9 g) 5y y y y y h) a b a a b ab a b ab i) y 5 y y y y y 5 j) k) y y 6 y 5 y l) m) y y y 6 n) y 8 y 8 y 9

57 o) a a b ab a ab b a b a ab b p) a ab b a ab b ab b a b b q) r) 8 9 s) a a a 5 a a a t) b b b b b b b b 9 6y y u) 6 v) w) n m n n m n m ) 7 y) 5 z) y ) y y y a b a b ab ) a b a b a b a b a b ) ) ) z z b a b a 6 y y y y ) ) ) 5 5 y y y 7.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) p p b) 5 c) d) e) f) g)

58 6 h) 5 i) j) k) 8-65 = - l) = m) (+) = (5 )-7( ) n) ( - ) - ( - ) = 7 t) u) v) 5 w) ) y) z) 5 aa) o) p) 6 9 q) r) z z s) p 7p 6 bb) cc) 6 dd) 5 ee) 5 ff) 7 gg) hh) ii) 5

59 UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ecuaciones de Primer Grado. Sea la epresión a + b = c La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación de primer grado y la letra se llama incógnita. Cada una de las epresiones que se encuentran al lado del signo igual se llaman miembros de la ecuación. La epresión que está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro y la que está a la derecha se llama segundo miembro. Resolver una ecuación es hallar el número que la convierte en una igualdad numérica. Una solución de la ecuación a + b = c, es un número que sustituyéndolo por convierte la ecuación en una igualdad numérica. Problemas Resueltos.- Las edades de Julián y José suman 75 años. Si Julián tiene tres años más que José Cuántos años tiene cada uno? Solución: Sea = edad de José; entonces la edad de Julián es +, Luego: (edad de José) + (edad de Julián) =75 + ( + ) = = 75 + = 75 = 75 = 7/ = 6 José tiene 6 años y Julian 9 años.- La suma de tres números consecutivos es. Cuáles son los números? Solución: Sea w = número menor, luego, los otros números son: W + y w + w + (w + ) + (w + ) = w + w + + w + = w + = w = - w = w = 7 Los números consecutivos son: 7, 8 y 9 5

60 Ecuación de Segundo Grado La ecuación a + b + c =, donde a y b son números reales con a, se denomina ecuación de segundo grado de variable. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Resolver una ecuación de segundo grado es encontrar los dos valores de la incógnita que la satisfacen. A estos valores se les denomina raíces o ceros de la ecuación. Aún cuando las raíces de una ecuación de segundo grado pueden no pertenecer a, en este teto asumiremos que las raíces son reales. Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse mediante uno de los siguientes métodos:. Método de Factorización. La ecuación a + b + c =. puede resolverse factorizando, según las técnicas estudiadas con anterioridad. Ejemplo: Resolver la ecuación = La epresión puede escribirse como el producto de dos binomios: ( + ) y ( + ); así: = ( + ) ( + ) = Entonces: ( + ) = ó ( + ) = = - ó = - Luego, para = las soluciones o raíces son: = - y = -. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o de la Resolvente. La fórmula general, o resolvente, para resolver ecuaciones de segundo grado parte de la forma general, a + b + c, de la ecuación cuadrática, para llegar a una epresión que permite agilizar el proceso de obtener la solución. Considera la ecuación: a + b + c = (a ) b c Si dividimos toda la ecuación por a: a a Pasando el término independiente al segundo miembro: b a c a 5

61 A fin de formar un cuadrado perfecto en el primer miembro, sumamos la mitad del coeficiente del segundo término elevado al cuadrado: b a b a c a b a c b a a ac b a La epresión anterior es equivalente a: b b ac a a Sacando raíz cuadrada a ambos miembros: b a b ac a Despejando a : b a b ac a Finalmente se obtiene: b b a ac que es la fórmula general, para resolver una ecuación de segundo grado. Ejemplo: Resolver la Ecuación 9 7 = usando la fórmula general. Solución: En esta ecuación tenemos: a =, b = 9, c = 7 Sustituimos estos valores en la forma original ^ es decir, las raíces o soluciones de la ecuación, son: 9 5 = - ^ = -7/ Compruébalo! 7 5

62 Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado: Consideremos la ecuación de segundo grado a b c, donde a es diferente de cero, y la formula general: b b a ac Se denomina discriminante de la ecuación de segundo grado a la cantidad subradical: D = b - ac Veamos como son las raíces de la ecuación según cual sea el discriminante:. Positivo D = b ac >. Cero D = b ac =. Negativo D = b ac < Caso : b ac > Si el discriminante b ac, es positivo, su raíz cuadrada es un número real. Por tanto, las raíces de la ecuación son reales y distintas. Caso : b ac = Si el discriminante b ac, es cero, la raíz cuadrada es cero. Por tanto, las raíces de la ecuación son reales e iguales. Caso : b ac < Si el discriminante b ac, es negativo, su raíz cuadrada no es un número real y por consiguiente las raíces de la ecuación no son números reales. Como hemos visto, b ac permite discriminar la naturaleza de las ra ces. De allí que se justifique el nombre que se le ha dado. Aplicaciones de la ecuación de segundo grado. Hallar dos números cuya suma sea y cuyo producto sea 6. Solución: Llamamos e y a dichos números, entonces: y y 6 55

63 Despejemos y en la primera ecuación: y, sustituyámoslo en la segunda ecuación: ( ) resolviendo la ecuación: b b ac a ( ) ( )..( 6) ^ Así, si = 5 entonces y = - y si = - entonces y = 5 Ecuaciones con Radicales: Ecuaciones tales como: son llamadas ecuaciones con radicales. ; ; Para resolver una ecuación con radicales se sigue el siguiente procedimiento:. Se despeja un radical en un miem ro.. Se elevan ambos miembros a un eponente igual al índice del radical despejado.. Si eisten más radicales se repiten los pasos y.. Se resuelve la ecuación: 5. Por cuanto al elevar a un eponente pueden introducirse soluciones etrañas, es necesario comprobar el valor encontrado en la ecuación original. Si la satisface, ésa será la solución. 56

64 sustituimos por = =! Ejemplo: Resuelva la ecuación. Despejamos un radical. Elevamos cada miembro al cuadrado. Resolvemos la ecuación. Comprobamos. = - = (. ). 6 - =! Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicaciones Se denomina sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a la reunión de dos ecuaciones de primer grado en X e Y, así: A B y C A B y C es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo: Resolver el sistema: y y 5 La solución del sistema es: =, y =, comprobando:... 5 Los métodos de solución de sistemas de ecuaciones mas usuales son: método de sustitución, de igualación y de reducción o de suma y resta, los cuales se eplican a continuación. 57

65 Método de sustitución Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo, en una de las ecuaciones. Luego, sustituirla en la otra ecuación y obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita. y 6 Ejemplo: 5 y I II.) Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, digamos en la ecuación ( I ), así: y 6.) Sustituir la epresión obtenida en la ecuación ( II ): y 6 y 5.) Resolver la ecuación obtenida y despejar la incógnita (y): 5y y 7y 7 y.) La solución obtenida, la sustituimos en la epresión despejada en.) y obtenemos la otra incógnita: 6 5.) Finalmente la solución (, y) del sistema de ecuaciones es: Método de igualación ó y, y Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo, en ambas ecuaciones. Luego, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita. 7 5y Ejemplo: 6y 8.) Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, por ejemplo : I II 58

66 de de (I) : (II) : 5y 7 6y 8.) Se igualan las dos epresiones obtenidas:.) Se resuelve la ecuación obtenida: 5y 6y 8 7 5y 7 6y 8 5y y 56 5y y y 57 y.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo la epresión obtenida en el paso.) de la ecuación (II): 5.) Se escribe la solución del sistema: Método de reducción 6y ó y y -, - Este método consiste en transformar las ecuaciones, de tal manera de igualar los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo, en ambas ecuaciones. Luego, sumamos ó restamos las ecuaciones y obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita. Ejemplo: y y.) Se busca el m.c.m. de los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo I II (y): m.c.m. (, ) =.) Se divide el m.c.m. entre cada coeficiente de la incógnita seleccionada: 59

67 6 En (I) : = En (II) : =.) Se multiplica cada ecuación por el resultado obtenido: II I y y 6 y y.) Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la incógnita seleccionada tiene igual signo: 5 6 y y 5.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo la ecuación (I), y se despeja la otra incógnita: 5 y y y y 6.) Se escribe la solución del sistema: 5, y 5 ó y Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas Los sistemas de ecuaciones pueden utilizarse para resolver muchos problemas prácticos. El proceso radica en transformar el planteamiento de dicho problema en ecuaciones lineales. Básicamente, se deben seguir estos lineamientos: a) Identificar las incógnitas y los datos. b) Epresar mediante ecuaciones los planteamientos del problema. c) Resolver el sistema de ecuaciones obtenido. d) Verificar que las soluciones obtenidas, satisfagan las condiciones del problema planteado.

68 Ejemplo: El perímetro de una parcela rectangular es metros, si uno de los lados es 5 metros mayor que el otro lado. Cuánto mide cada lado? Solución: a) Identificamos las incógnitas y los datos: Incógnitas: Datos: Sean: = longitud de uno de los lados Y = longitud del otro lado El perímetro es: m La diferencia de los lados es: 5 m b) Epresamos mediante ecuaciones los datos del problema: y y 5 c) Resolvamos el sistema: (método de sustitución) De (II), se despeja : 5 y Se sustituye en (I): y y 5 5 y y Se obtiene la otra incógnita de (II): y - 75 (I) (II) y y y d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema: Respuesta: El rectángulo tiene: 5 metros de base () y 75 metros de altura (y). y 6

69 Ejemplo: Un productor compró vacas y 7 caballos por $ 5 en total y otro compró 8 vacas y 9 caballos por $ 88 en total. Cuál es el costo de cada vaca y caballo? Solución: a) Identificamos las incógnitas y los datos: Incógnitas: Sean: = costo de cada vaca Y = costo de cada caballo Datos: vacas mas 7 caballos cuestan $ 5 8 vacas mas 9 caballos cuestan $ 88 b) Epresamos mediante ecuaciones los datos del problema: 7y 5 8 9y 88 c) Resolvamos el sistema: (método de reducción) 7y 5 (I) 8 9y 88 (II) Se busca el m.c.m. de : m.c.m. = (, 8) = 8 En (I), se multiplica por: 8 : = En (II), se multiplica por: 8 : 8 = 7y 5 8 9y 88 8 y.8 8 9y 88 Se restan las ecuaciones, para simplificar la incógnita : 8 y.8 8 9y 88 5y y y 5 6

70 Se obtiene la otra incógnita de (I): 7y d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema: Respuesta: cada vaca cuesta $ 55 () y cada caballo $ (y). Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Se denomina sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas a la reunión de tres ecuaciones de primer grado en X, Y y Z, así: A A A B B B y C y C y C z D z D z D es un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Para resolver este sistema, aplicaremos cualquiera de las técnicas estudiadas para la solución de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas: y z Ejemplo: y z y z I II.- Se busca eliminar dos variables, usando el método de reducción: y z y z y z I II III III y z y z y z I II.- Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la incógnita seleccionada tiene igual signo: III 6

71 y z y z y z - z 6 I II III z.- Se sustituye la solución obtenida en el sistema de ecuaciones: y y y 5 I II III.- Se asocian dos ecuaciones para obtener el valor de una incógnita y luego con la tercera se obtiene el valor de la otra incógnita: Por ejemplo, sumando (I) y (III) se obtiene: = 6 = Sustituyendo en la ecuación (II) -y = y = - Inecuaciones lineales y no lineales Es una desigualdad que tiene una variable en su enunciado. La solución de esta inecuación es el conjunto (intervalos) de valores de la variable que hacen cierta la desigualdad planteada. Sea la función f () = a + b, con a > y b b R. Tenemos que f () =, si. a b b Además como f es una función creciente f () <, si y f () >, si. a a Esto lo podemos resumir en la siguiente tabla de variación de signos. b b (, ) (, ) a a Signo de (a + b) - + La tabla nos da la siguiente información: f () = a+b <, si b (, ) a f () = a+b, si b (, a f () = a+b >, si b (, ) a 6

72 f () = a+b, si b, ) a Ejemplo: Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. a) 5 + > > > 6 - > > / b) Solución:, / Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la desigualdad planteada. Solución:,, / Para resolver la inecuación f () = a + b + c, a >, b, c números reales. Tenemos tres casos: caso: Sean m < n las raíces reales de f (), esto nos permite factorizar al polinomio f(), así f () = a ( m)( n) para construir la tabla de variación de signos, si a >, tenemos: ( -, m ) ( m, n ) ( n, ) Signo de a Signo de ( m) Signo de ( n) Signo de f() La tabla nos da la siguiente información 65

73 f () <, si ( m, n ) f (), si m, n f () >, si (-, m ) ( n, ) f (), si (-, m n, ). caso: Sean m = n las raíces reales de f (), a >, entonces f a( m, así: ( ) ) f () >, para (-, m ) ( m, ) f (), para R f () <, para f () =, para = m caso: Sean m y n las raíces imaginarias de f (), entonces m = c + di y n = c di, donde i es la unidad Imaginaria. Así f () = a( (c + di))( ( c di)) = a(( c) di)(( c) + di) = a(( c) - (di) ) = a(( c) + d ) >, para todo en R. En conclusión: Un polinomio de segundo grado f (), con primer coeficiente positivo y raíces imaginarias, es positivo para cualquier valor real de. Lo epuesto anteriormente nos permite resolver las siguientes inecuaciones: ( ) ( ) 5 f (). ( )( ) f( ) Estudiemos los signos de f (), mediante la siguiente tabla de variación de signos: (-, - ), (,, ) Signo de Signo de Signo de ( ) ( ) Signo de ( ) Signo de ( + ) Signo de f ()

74 Luego la solución de la inecuación es entonces f () <. S,, es decir, si,. 7 9 sol:, Sistemas de Inecuaciones en una variable Resolver el sistema es hallar el conjunto (intervalos) solución de cada una de las inecuaciones planteadas e intersectarlas; es decir, hallar el conjunto (intervalos) de valores de la variable que satisface simultaneamente a todas y cada una de las inecuaciones que forman parte del sistema. Ejemplo: Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones. 5 I 5 II Procedemos a resolver cada una de las inecuaciones y luego intersectamos sus soluciones, para hallar el conjunto solución del sistema. (I) = = - ½ Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la desigualdad planteada. 67

75 8 Solución: (I) = (,, / (II) /9 - ¼ Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la desigualdad planteada Solución: (II) =, 5 9 / 5 9 La solución del sistema viene dada por la intersección de las soluciones (I) y (II); lo cual da como resultado un conjunto vacio; ya que las soluciones parciales no tienen elementos comunes. (I) (II) = (,,, 5 9 Valor absoluto de un número real. El VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL es un número denotado por y definido así:,, si si 68

76 Algunas propiedades del valor absoluto...,.. y y y y 7. y y 8. y y y y 9. Para r, se tiene que: r r r. Para r >, se tiene que: r r r. EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III PROBLEMAS EN UNA VARIABLE LINEAL. 5.- Que número aumentado en sus equivale a su triple disminuido en. 6.- El triple de un número ecede en 8 al tercio del mismo. Hallar el número..- La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es. Hallar los números..- La suma de dos números es 9 y su producto es. Cuál es el valor de la suma de sus inversos?. 5.- Después de vender los de una pieza de tela quedan m. Cuál era la 5 longitud de la pieza? 6.- Si el inverso de p+ es p-, Cuánto vale p? 7.- Al multiplicar un número por 8 y sumarle, resultó 6. Cuál es el número? 8.- La suma de números enteros consecutivos es 56. Hallar los números. 9.- Dividir 96 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la suma de las dos primeras eceda a la tercera en..- En un terreno rectangular de metros de ancho, se plantan 6 matas de coco. Se estima una mata por cada,5 m. Cuantos kilómetros de largo tiene el terreno?.- De las aves que tengo, el número de gallinas es el triple que el de gallos y el número de patos es la semisuma de los gallos y las gallinas. Cuántas aves de cada especie tengo? 69

77 .- Si a los ¾ de mi edad le sumo la mitad de la misma, obtengo la edad que tendré dentro de años. Qué edad tengo?.- La edad de un padre es el triple de la de su hijo. La edad que tenía el padre hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de años. Hallar las edades..- Julia tiene 8 años y su hija mayor 8. Halla el número de años que deben transcurrir para que Julia tenga el doble de la edad de su hija. 5.- Un padre tiene 6 años y sus dos hijos 6 y años. Dentro de cuantos años la edad del padre será igual a la suma de las edades de los hijos? 6.- Armando tiene / de lo que tiene Melva y Jesús tiene /5 que lo que tiene Armando. Si juntos tienen 8 bolívares, entonces cuánto tiene Jesús? 7.- Para coser un traje, una costurera toma un hilo de 7 cm de longitud y lo pica en tres pedazos, de manera que cada hilo que pica tiene una longitud de ¼ menos que la longitud del hilo anterior. Cuáles son las longitudes de cada trozo de hilo? 8.- Un comerciante vendió los ¾ de una pieza de tela y regaló los /5 de la tela que quedaba. Cuántos m media la tela inicialmente si al final sobraron 8 m? 9.- Una sociedad de personas había de pagar mil bolívares. Un grupo no pagó y los demás han pagado cada uno mil bolívares más de lo que les correspondía para cubrir la parte del grupo que no pagó. Cuántas personas constituyen el grupo que no pagó?.- A un trozo de cable se le ha cortado su tercera parte, su quinta parte y su seta parte. Cuánto cable resta?.- Un sistema de cableado eléctrico requiere de tres secciones de cable, donde cada una de las secciones debe ser / más larga que la sección que la precede. Si se tienen 588 metros de cable, cuál es la medida de la sección más larga?.- Una persona efectúa 5 pagos de un préstamo. Si cada pago es el doble del anterior, y si en total se pagaron 65 mil bolívares. Cuánto fue el primer pago?.- Los reyes de una dinastía tuvieron 9 nombres diferentes. La tercera parte del número de reyes llevó el primero de esos nombres, la cuarta parte el segundo nombre, la octava parte el tercer nombre, la doceava parte el cuarto nombre y 7

78 cada uno de los nombres restantes lo llevó un solo rey. De cuantos reyes constaba la dinastía?.- Un hacendado compró 5 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos mas por el mismo precio, cada caballo la habría costado bs menos. Cuánto le costó cada caballo? 5.- Seis personas iban a comprar una casa, contribuyendo por partes iguales; pero dos de ellas desistieron del negocio. Por esto cada una de las restantes tuvo que contribuir con bs más. Cuál es el valor de la casa? PROBLEMAS EN UNA VARIABLE CUADRÁTICA. 6.- La suma de dos números consecutivos elevada al cuadrado es 9. Cuáles son los números? 7.- El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 5. Cuál es el mayor de los dos números? 8.- La mitad de la diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 6. Hallar los números. 9.- La base de un rectángulo es el cuádruple de su altura y su área es igual a 5 cm. Hallar el perímetro del rectángulo..- Un salón rectangular tiene metro de largo más que de ancho. Si se aumentan ambas dimensiones en metros, el área aumenta en m. Cuáles eran las dimensiones originales del salón?.- La edad de Ana incrementada en 6 años da un cuadrado perfecto. Su edad disminuida en 6 años da la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. Qué edad tiene?.- Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cortando cuadrados de centímetros de lado en las esquinas de una lámina cuadrada y doblando hacia arriba los lados. Para que la caja tenga un volumen de 8 cm, cuánto debe medir el lado de la lámina?.- El cuadrado de un número positivo menos el doble del número es igual a 8. Encuentre el número..- El ancho de un rectángulo es 5 cm menos que su largo. El área es cm. Encuentre las dimensiones. 7

79 5.- En un patio rectangular se construye una piscina de m por 8 m. El área del patio es de m. Si el piso alrededor de la piscina tiene un ancho constante, cual es este ancho?. PROBLEMAS CON RADICALES. 6.- La fórmula V, h es una ecuación radical que aproima la distancia (V) en millas que una persona puede ver al horizonte desde una altura de h pies. Elabora una fórmula para aproimar la altura. A qué altura se encuentra una persona que puede ver a 7 millas en el horizonte?. 7.- La fórmula S r r h permite calcular el área de superficie de un cono, dados su radio (r) y su altura (h). Resuelve la fórmula para h. Cuánto vale h cuando S = 5 y r =?. 8.- La fórmula v gs representa la velocidad (v) de un objeto que ha caído a una distancia de s pies, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Resuelve la fórmula para s y calcula s para un objeto que cae con una velocidad de g. 9.- El radio de un generador Van de Graaff que puede reunir una carga máima de Q coulombs en su superficie está dado por R,86 Q. Resuelve la fórmula para Q, y encuentra Q para un generador con un radio de,5 m. PROBLEMAS EN VARIAS ECUACIONES Y VARIABLES..- Un hacendado compró vacas y 7 caballos por $ 5, y más tarde a los mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $ 78. Hallar el costo de una vaca y de un caballo..- Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es 6, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 8. Hallar los números..- El doble de la edad de A ecede en 5 años a la edad de B, y ¼ de la edad de B es 5 años menor que la edad de A. Hallar ambas edades..- Antes de una batalla, las fuerzas de dos ejércitos estaban en la relación de 7 a 9. El ejército menor perdió 5 hombres en la batalla y el mayor 5 7

80 hombres. Si la relación ahora es de a, cuántos hombres tenía cada ejército antes de la batalla?.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si en total hay animales y 76 patas, cuántos animales hay de cada especie? 5.- Una cafetería compra litros de leche en botellas de y de litros. Si se compran igual número de botellas de y litros, cuántas botellas se compran? 6.- En un almacén hay dos tipos de lámparas. La lámpara tipo A que utiliza bombillos y la lámpara tipo B que utiliza bombillos. Si en el almacén hay 6 lámparas y bombillos, entonces, si se armaran todas las lámparas utilizando todos los bombillos, cuántos bombillos se usarían en las lámparas tipo A? 7.- En una tarde asistieron a un museo 6 personas. La entrada para adultos vale 5 bs y la de niños vale bs. Si la recaudación fue de 95 bs, cuántos niños asistieron al museo? 8.- A le dice a B: si me das un bolívar tendremos igual cantidad. B le dice a A: si me das un bolívar tendré el doble que tu. Qué cantidades tienen? 9.- En una prueba de preguntas, cada pregunta bien resuelta se califica con puntos; mal resuelta resta puntos. Si la puntuación final es de 5 puntos, cuál fue el número de respuestas buenas? 5.- Se tienen un matraz y un tubo de ensayo. Al pasar cc de agua del matraz al tubo, ambos quedan con la misma cantidad de líquido. Pero al pasar cc de agua del tubo al matraz, este queda con el doble de líquido que el tubo. Cuál es el contenido original de agua del matraz? 5.- Un caballo transportaba una pesada carga al lado de una mula y vencido por el peso se lamenta a. De ué te uejas? Dijo la mula: si yo tomase uno de tus sacos, mi carga sería el doble de la tuya y, si tu llevases uno de los míos, mi carga ser a entonces i ual a la tuya. Cuántos sacos cargaba cada animal? 5.- El año pasado la edad de Rosa Elena era veces la edad de su hija y dentro de 5 años será el doble. Cuántos años tiene cada una actualmente? 5.- Un coleccionista de pinturas compra en una subasta un total de 5 unidades, unas le costaron bs c/u y otras a 5 bs c/u. Si hace una venta por un 7

81 monto total de 76 bs, ganándose el % sobre el valor de la compra, cuántas pinturas de cada una vendió? 5.- En una venta de empanadas se venden las de chorizo en 5 bs y las de pabellón en 7 bs. La venta de 9 empanadas ha generado 566 bs. Cuántas empanadas de chorizo se vendieron? 55.- Un señor tiene 6 bs en dos clases de bonos. Unos le generan el % y los otros el 9% de interés anual. Si recibe bs en intereses al año, qué cantidad está colocada a cada tipo de interés? 56.- En un eamen de 6 preguntas, Julio omite de ellas. Si la tercera parte de las preguntas que contestó correctamente es igual al número de las que contestó incorrectamente, en cuantas preguntas se equivocó Julio? 57.- Una empresa vende 8 paquetes de producto A y paquetes de producto B por un valor total de 6 bolívares. Si el producto B cuesta la mitad del valor del producto A. Cuánto cuesta el producto A? 58.- El doble de un número es igual al triple del otro, si al multiplicar los números se obtiene 7; cuáles son los números? 59.- En una ferretería galones de pintura y 6 brochas cuestan bs. Si el dueño del local aplica un descuento de % sobre el costo de los galones de pintura, el precio final es de 6 bs. Cuál es el valor original de los galones de pintura? 6.- La diferencia en la medida del largo de dos rollos de tela es 5 metros y el cociente entre esas longitudes es de 6 metros. Cuál es la longitud de cada rollo? 6.- La suma de tres números es 5. El tercero es menos que diez veces el segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los números. 6.- La suma de tres números es 57. El segundo es más que el primero. El tercero es 6 más que el primero. Encuentra los números. 6.- La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el tercero es. El primero menos el tercero es más que el segundo. Calcula los números. 7

82 6.- La suma de tres números es 6. Dos veces el primero menos el segundo es menos que el tercero. El es el segundo menos tres veces el primero. Calcula los números En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están trabajando producen trajes por dia. Si A y B trabajan, pero C no, producen 59 trajes por dia. Si B y C trabajan, pero A no, producen 7 trajes por dia. Cuál es la producción diaria de cada máquina? En una fábrica hay tres máquinas pulidoras, A, B y C. Cuando las tres están en operación se pueden pulir 57 lentes en una semana. Cuando solo A y B están en operación, se pueden pulir lentes en una semana. En cambio, cuando solo B y C trabajan, se pueden pulir lentes en una semana. Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana? En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están en operación, producen 87 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y C funcionan, producen 97 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y B están en operación producen tornillos por hora. Cuántos tornillos por hora puede producir cada máquina por separado? Las sierras de agua A, B y C pueden producir 7 metros cuadrados de tabla en un dia. A y B juntas pueden producir 7 metros cuadrados, mientras que B y C pueden producir 5 metros cuadrados. Cuántos metros cuadrados puede producir cada sierra de agua por separado? Cuando las bombas A, B y C operan a un mismo tiempo, pueden bombear 7 litros por hora. Cuando solo las bombas A y B están trabajando, se pueden bombear litros por hora. En cambio, cuando solo las bombas A y C están en operación, se pueden bombear litros por hora. Cuál es la capacidad de cada bomba?. 7.- David y Carla pueden soldar 7 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar metros lineales por hora, mientras que Tomas y Carla, juntos, pueden soldar 5 metros lineales por hora. Cuantos metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado?. 75

83 7.- Los trabajadores A y B pueden producir 59 paneles de circuitos por hora, cuando trabajan juntos. Cuando A y C trabajan juntos, pueden producir 58 paneles de circuitos por hora, mientras que si B y C trabajan juntos pueden producir 55 paneles de circuitos por hora. Cuántos paneles por hora produce cada uno?. 7.- En una empresa se cuenta con tres impresoras. Cuando las impresoras A y B trabajan juntas, imprimen 9 páginas por hora, mientras que B y C operando juntas, imprimen 5 páginas por hora. En cambio cuando solo A y C trabajan, imprimen 55 páginas por hora. Cuantas páginas por hora imprime cada una?. 7.- Patricia recogió fresas durante tres dias. En total recogió 87 Kg. El martes recogió 5 Kg más que el lunes. El miércoles recogió Kg menos que el martes. Cuántos Kg recogió en cada dia? 7.- Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total 66 bolívares. El jueves vendió bolívares más que el viernes. El sábado vendió 6 bolívares más que el jueves. Cuánto vendió en cada dia? Cristina obtuvo un total de 5 puntos en tres eámenes. La suma de las calificaciones del primero y el tercero de ellos ecede su tercera calificación en 6 puntos. Su primera calificación supera a la segunda en 6 puntos. Encuentra las tres calificaciones Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga era de 5, y pies cúbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó, y kilogramo, respectivamente; mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron $, $ y $ 6, respectivamente. Determine el número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor de la carga fue de $ 5, ocupó 5 pies cúbicos de espacio y pesó 55 kilogramos Usted invirtió un total de $ en tres inversiones al 6%, 8% y %. El ingreso anual, por intereses, fue de 6 $ y el ingreso, por intereses, de la inversión al % fue dos veces el de la inversión al 6%. Cuánto dinero invirtió a cada interés? 78.- Un contratista dispone de 5 horas hombre de mano de obra para tres proyectos. Los costos por hora hombre de los tres proyectos son de 8, y $, 76

84 respectivamente, y el costo total es de 5 $. Si el número de horas hombre para el tercer proyecto es igual a la suma de las horas hombre requeridas por los primeros dos proyectos, calcule el número de horas hombre de que puede disponerse en cada proyecto Un comerciante de café desea mezclar tres tipos de grano (A, B, C) en libras de una mezcla final. Los tres componentes cuestan, $,,6 $ y $ por libra respectivamente. El fabricante desea que la mezcla total cueste $. Al mezclar el café una restricción establece que las cantidades usadas de los granos componentes A y B sean iguales. Cuántas libras debe usar de cada tipo de café? 8.- Una cafetería estudiantil tiene mesas de asientos, 6 asientos y asientos; para un total de mesas y 8 asientos. Con motivo de una fiesta estudiantil especial, se emplearán la mitad de las mesas de asientos, una cuarta parte de las mesas de 6 asientos y una tercera parte de las mesas de asientos, para un total de 9 mesas. Cuántas mesas de cada tipo posee la cafetería? 8.- Un nutricionista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene unidades de proteína, unidades de grasa y unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene unidades de proteína, unidades de grasa y unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene unidades de proteína, unidades de grasa y unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar eactamente 5 unidades de proteína, unidades de grasa y unidades de carbohidratos, Cuántas onzas de cada comida se necesitan? 8.- Una farmacia vende unidades de vitamina A, 5 unidades de vitamina C y 5 unidades de vitamina D por un total de $ 7,5; unidades de vitamina A, unidades de vitamina C y unidades de vitamina D por $ 5,; 5 unidades de vitamina A, 8 unidades de vitamina C y 5 unidades de vitamina D por $ 6,. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D. 8.- Una compañía minera etrae toneladas de cobre, y toneladas de plomo y z toneladas de zinc al mes. En Abril vendió el 8% de su mineral de cobre, el % de su mineral de plomo y el % de su mineral de zinc, con un total de

85 toneladas, fuera del país. En Mayo vendió 5%, 68% y % de sus minerales de cobre, plomo y zinc, respectivamente, fuera del país, y en Junio las cifras fueron 5%, 7% y 8%. Determine, y, z si la compañía vendió al etranjero 99 toneladas en Mayo y 9 en Junio. 8.- Un distribuidor de productos agrícolas recibe tres pedidos de sus tres productos, siendo especificados por la tabla siguiente: Producto Semillas Fertilizantes Insecticida Cliente (Kg) (Kg) (Unidad) A 5 B 5 C 5 55 El pedido del Sr. A es por la cantidad de 56 $, el del Sr. B es por $ y el del Sr. C por 8 $. Calcular el precio de cada producto Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 5y 6 a) 5 7y 6 b) c) d) y y 7 6 y 5 6 y 6y 9 y 6 y y 6 y 6 y y y5 9 e) y 8 y 7 f) ( y) 5 6y 7 7y y g) y 5 5y y 7 y 5 h) y 78

86 i) j) y y y y y k) y 8 y l) y y 9 9y y m) 5 7 n) 6 y o) z 8 y z 7 y z 5 p) y 5z 8 y 6z 7 y z q) y z y z 7 r) a b 5b c a 6c 5 y z s) y z 5 y z t) u) v) w) ) y) z) aa) bb) 6 y z 9 y z 7 5y z y y y y z 5 z y 6 7 z y 5 y y y y y y y y y z z z z z z z z z z z z y z 6 5y 7z 9 y z y z 8y 9z y z

87 cc) dd) ee) 6 y y 5 y z z 6 z 6 y 5z 6 y z 6 y z 6y z 7 5 9y z 5 y z 5 ff) gg) hh) y z 6y 6z y z y z y z 6 y z y z 7 y z 5y z 86. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: a) b) c) d) + < 6 e) + 5 f) + > g) < 9 h) i) + > - j) - > 6 k) 8 > l) < + m) 5 n) < 6 o) p) 6 5 q) 5 > r) < Hallar el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones: 5 a) b) 6 5 c) 8

88 d) 5 e) 5 5 f) g) 5 6 h) i) 5 j) k) 5 l) 6 m) 6 5 n) 5 7 o) p) q) r)

89 UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ángulos Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de ángulo se obtiene al tomar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial, l, coincida con el eje positivo. Si se gira l, en sentido contrario a las agujas del reloj hasta la posición terminal l, el ángulo formado por las dos rectas será positivo; mientras que si se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, será negativo. Medida en grados Se toma un círculo y se divide su circunferencia en 6 partes. El ángulo con vértice en el centro determinado por una de estas partes tiene una medida de un grado (escrito ). Esta manera de medir ángulos se debe a los antiguos babilonios; así como la subdivisión de un grado en sesenta minutos y cada minuto en sesenta segundos. Una forma mas práctica de medir ángulos con mas precisión que un grado es usando decimales en lugar de los minutos y segundos. Por ejemplo se usa,5 en lugar de. A un ángulo de medida 9 se le llama ángulo recto. Un ángulo es agudo si mide entre y 9, y obtuso si mide entre 9 y 8. Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 9 y suplementarios si suman 8. 8

90 Medida en radianes Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes. Si se considera un círculo unitario, su radio es igual a, este tiene una circunferencia igual a, en vista de que la circunferencia de un círculo es r. Una rotación de 6 (una revolución) mide radianes. La mitad de una vuelta es una rotación de 8, o radianes. Un cuarto de vuelta es una rotación de 9, o / radianes y así sucesivamente. Esto es, radianes 9 radianes 8 radianes 7 radianes 6 Cuando una rotación se indica en radianes, la pala ra radianes es opcional y a menudo se omite. Así cuando no se indica ninguna unidad para una rotación, se entiende que esta se da en radianes. Ejemplo: convierte de grados a radianes o de radianes a grados, según el caso. a) 5 a radianes Solución: 8 radianes 5? b) 76 a radianes radianes? 5 * 8 7 = 6,9 Solución: 8 radianes 76? radianes? 76 * 8 =. 8

91 c) 6 a grados Solución:? d),5 a grados Solución: radianes radianes radianes * 8 radianes radianes? 8,5 radianes? =,75 Ángulos Notables.?,5 radianes * 8 radianes = 6 Llamamos ángulos notables a una serie de valores angulares, en los que se divide el plano, que nos facilita el trabajo con las razones trigonométricas. Estos ángulos son el resultado de dividir cada cuadrante en tres porciones (división en tramos de ) o en dos porciones (división en tramos de 5 ). Algunos de estos ángulos notables son:,, 5, 6, 9, 8, 7. Razones Trigonométricas 8

92 Las razones trigonométricas circulares del ángulo se originan de las relaciones eistentes entre la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de una circunferencia y el radio de la misma. En la figura podemos apreciar cómo se forma un triángulo rectángulo con el radio de la circunferencia y los segmentos de recta cuyas longitudes son la abscisa y la ordenada del punto P que pertenece a la circunferencia. Las seis razones trigonométricas de se definen como sigue: Seno sen ordenada radio catetoopuesto hipotenusa y r Coseno cos abscisa radio catetoadyacente hipotenusa r Tangente tan ordenada abscisa catetoopuesto catetoadyacente y Co sec ante csc radio ordenada hipotenusa catetoopuesto r y sen Secante sec radio abscisa hipotenusa catetoadyacente r cos Co tan gente cot abscisa ordenada catetoadyacente catetoopuesto y tan Estas relaciones son ciertas para los ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo. Volviendo a la circunferencia, se puede observar que las coordenadas del punto P son positivas; así como el radio que siempre es positivo, por tanto todos los cocientes que presentamos son positivos. Si el punto P se ubica en alguno de los otros tres cuadrantes, las razones trigonométricas tienen diferentes signos según: 85

93 Signos de las razones trigonométricas. Cuad Grados Radianes signo y (,y) sen r y cos r y tan r y csc r y sec r y cot r I / (+, +) II 9-8 / - (-, +) III / (-, -) IV 7-6 / - (+, -) Razones trigonométricas de los ángulos notables. La definición y los signos por cuadrante permiten calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables: /6 / / / / Seno Coseno Tangente Cosecante - Secante Cotangente Reducciones de ángulos al primer cuadrante. Las funciones trigonométricas de un ángulo en cualquier cuadrante, pueden epresarse en función de los valores obtenidos para las funciones de ángulos del primer cuadrante según las siguientes epresiones: Ángulos del segundo cuadrante sen = sen(8 - ) cos = - cos(8 - ) tan = - tan(8 - ) csc = csc(8 - ) sec = - sec(8 - ) cot = - cot(8 - ) 86

94 Ángulos del tercer cuadrante sen = - sen( - 8 ) cos = - cos( - 8 ) tan = tan( - 8 ) csc = - csc( - 8 ) sec = - sec( - 8 ) cot = cot( - 8 ) Ángulos del cuarto cuadrante sen = - sen(6 - ) cos = cos(6 - ) tan = - tan(6 - ) csc = - csc(6 - ) sec = sec(6 - ) cot = - cot(6 - ) Cuando un ángulo de una función trigonométrica sea menor que o mayor que 6 ; se descompone según: = + (n)(6 ), donde n es un número entero Esta descomposición permite obtener el valor de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo al ubicarlas en un ángulo de la primera circunferencia; es decir, sen = sen + (n)(6 ) = sen tan = tan + (n)(6 ) = tan csc = csc + (n)(6 ) = csc cos = cos + (n)(6 ) = cos sec = sec + (n)(6 ) = sec cot = cot + (n)(6 ) = cot Veamos algunos ejemplos: a) sen5 = - sen(5-8 ) = - sen5 = - b) sec5 = - sec(8-5 ) = - sec = - c) cot = cot( - 8 ) = cot6 = d) cos = cos(6 - ) = cos = e) sen7 = sen + ()(6 ) = sen = f) csc(-9 ) = csc - ()(6 ) = csc = -csc(6 - ) = -csc = - g) tan565 = tan5 + (7)(6 ) = tan5 = h) tan(-75 ) = tan -()(6 ) = tan = tan( -8 ) = tan = 87

95 Triángulos y aplicaciones. Las definiciones de las razones trigonométricas dadas sobre un triángulo rectángulo, las podemos usar para determinar valores de razones trigonométricas de ángulos no notables y para resolver situaciones prácticas en las que el uso de estos polígonos es de ayuda. Determine los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos,, y ; si: a) b) c) Sen = d) Tan = Solución: a) Según el teorema de Pitágoras (hip) = ( ) + ( 5 ) = hip = sen = 5 5 cos = tan = 5 csc = b) Según el teorema de Pitágoras sec = 5 ctg = 5 ( 6 ) = ( ) + ( cat. ady. ) cat. ady. = sen = cos = tan = 6 6 csc = 6 6 = sec = ctg = 88

96 catetoopuesto c) Sen = = hipotenusa Según el teorema de Pitágoras ( ) = ( ) + ( cat. ady. ) cat. ady. = 8 sen = cos = tan = csc = sec = ctg = d) Tan = catetoopuesto catetoadyacente Según el teorema de Pitágoras ( hip. ) = ( ) + ( ) = hip. = sen = cos = tan = csc = sec = ctg = Veamos unos ejemplos de cómo el conocimiento de los valores de las razones trigonométricas nos puede ayudar en la solución de situaciones prácticas: Ejemplo Un cable de suspensión se adhiere a un poste de 8 pies de largo, formando un ángulo de 6 con el suelo. Encuentra: 89

97 a.- La distancia de A al poste. b.- La longitud del cable. Solución: El cable forma un triángulo rectángulo con el suelo y el poste; por tanto a.- b = cateto adyacente cot 6 catetoadyacente catetoopuesto catetoadyacente 8 cat.ady. 8cot 6 8 b.- Longitud del cable = hipotenusa Según el teorema de Pitágoras ( hip. ) = ( 8 ) 8 + ( ) = 6 hip. = El cable mide, pies Ejemplo Un observador se encuentra a metros de un árbol y descubre que la línea de visión de la punta del árbol forma un ángulo de con la horizontal. Encuentra la altura del árbol sobre el nivel de los ojos del observador. Solución: Como se observa en la figura, podemos asumir que la altura del árbol es el cateto opuesto del triángulo rectángulo formado por las líneas de visión del observador y dicho árbol; asi que, para calcular la altura del árbol, podemos usar la función tangente, ya que conocemos el cateto adyacente (distancia horizontal del observador al árbol) y la incógnita es el cateto opuesto (altura del árbol) 9

98 tan catetoopuesto catetoadyacente catetoopuesto cat.op. tan La altura del árbol, sobre los ojos del observador, es de 69, 8 metros Identidades Trigonométricas Identidades Fundamentales En una circunferencia de centro en el origen y radio igual a uno; resulta muy útil representar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo de hipotenusa unitaria y catetos e y; como se ilustra en la siguiente figura: Seno sen ordenada radio catetoopuesto hipotenusa y y Coseno cos abscisa radio catetoadyacente hipotenusa Tangente tan ordenada abscisa catetoopuesto catetoadyacente y Co sec ante csc radio ordenada hipotenusa catetoopuesto y sen 9

99 Secante sec radio abscisa hipotenusa catetoadyacente cos Co tan gente cot abscisa ordenada catetoadyacente catetoopuesto y tan Como primera consecuencia obtenemos: sen csc cos sec tan cot tan y sen cos cot y cos sen Luego, de la ecuación de la circunferencia: + y = sen cos () Esta es la llamada primera identidad fundamental de la trigonometría; aún hay dos identidades fundamentales más que se derivan de la anterior y de las relaciones previas: sec csc tan () cot () Además de estas identidades, eisten otras muy útiles que combinan razones trigonométricas y operaciones básicas, tanto a nivel de razones como de ángulos. Sumas y restas de senos y cosenos sen sen sen cos () sen sen cos sen (5) cos cos cos cos (6) cos cos sen sen (7) 9

100 Sumas y restas de ángulos sen cos sen cos sen (8) sen cos sen cos sen (9) cos cos sen sen cos () cos cos sen sen cos () tan tan tan () tan tan tan tan tan () tan tan Con la ayuda de estas identidades vamos a demostrar las siguientes igualdades: a) sen sec cot = b) sen sec - sec = - sen sec cot = sen cos cos sen = sen sec - sec = ( - cos )sec - sec = sec - cos sec - sec = sec = - sec c) (sen + cos) + (sen - cos) = (sen+cos) +(sen-cos) = sen +sencos +cos + sen -sencos +cos = sen + cos + sen + cos = + = cos sen d) csc sen cos cos sen sen cos cos cos sen cos sen cos cos cos sen cos sen cos cos sen sen csc sen 9

101 e) tan sen sen sec cos tan sen sen sen sen cos sen sen sen cos cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos cos cos cos sec cos cos cos cos cos cos f) sen( + y)sen( y) = sen - sen y sen( + y)sen( y) = (sencosy + senycos)( sencosy - senycos) = sen cos y - sencosysenycos + sencosysenycos - sen ycos = sen cos y - sen ycos = sen ( - sen y) - sen y( - sen ) = sen - sen sen y - sen y + sen ysen = sen - sen y sen( y) g) tan tan y cos cos y sen( y) sen cos y senycos sen cos y cos cos y cos cos y cos cos y Ángulo doble senycos cos cos y sen cos seny tan tan y cos y sen = sen cos () sen = cos = cos - sen (5) cos = cos cos (6) (7) tan = tan tan (8) Ángulo medio sen cos (9) cos cos () cos sen tan () sen cos 9

102 Con la ayuda de estas identidades vamos a demostrar las siguientes igualdades: a) cos - sen = cos cos - sen = (cos - sen )(cos + sen ) = cos - sen = cos sen cos b) sen sen cos sen cos sen cos tan sen c) cos tan sen cos sen sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen sen tan sen cos sen cos sen cos cos tan sen sen cos Teorema del Seno En todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: b a a b c sen sen sen Ejemplo c 95

103 Dado el triángulo (figura anterior) en el cual. Calcule b y Teorema del Coseno En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman: b c c a b ab cos a Ejemplo: Un automóvil sale de una ciudad y circula en línea recta durante minutos a una velocidad media de 9 Km/h. A continuación sigue por otra carretera, que forma con la anterior un ángulo de, durante minutos a la misma velocidad media. A qué distancia se encuentra de la ciudad de la que salió? Sol: El automóvil está a 9.69km de la ciudad de la que salió. Funciones trigonométricas inversas Las funciones inversas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Dice seno inverso de Denota arc sen o sin- 96

104 coseno inverso de tangente inversa de cotangente inversa de secante inversa de cosecante inversa de arc cos o cos- arc tan o tan- arc cot, o arc ctg o cot- arc sec o sec- arc csc, o arc cosec o csc- Ya que sen =.5, el seno inverso de.5 es, es decir, arc sen.5 = 97

105 y tan arctan 98

106 Ecuaciones trigonométricas. Las ecuaciones trigonométricas son igualdades que combinan números con funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y que se cumplen para un determinado conjunto de valores de esta incógnita. La solución de estas ecuaciones no es más que hallar esos valores del ángulo incógnita que satisfacen la igualdad planteada. Esto se logra con la ayuda de las identidades trigonométricas estudiadas en la sección anterior y con los conocimientos algebraicos manejados en las primeras semanas de este curso. Vamos a resolver algunos ejemplos: nota: en todos los casos trabajaremos con ángulos de la primera circunferencia. Ejemplos: a) factorizando: Esto es posible si: Ya que el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante. Por tanto debemos hallar el ángulo del primer cuadrante para el cual el coseno vale y a partir de él, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de en cada cuadrante. Finalmente, las soluciones de la ecuación son: 99

107 b) Usando la identidad:, se despeja, y se sustituye, así: Se simplifica: La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes, y es negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo del primer cuadrante para el cual la tangente vale y a partir de él, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de en cada cuadrante. si si c) tan = sec + sec - = sec + sec - sec - = (sec + )(sec ) = sec + = sec = - = La secante es positiva en el primer y cuarto cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo del primer cuadrante para el cual la secante vale y a partir de el, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de en el cuarto cuadrante. 5 sec - = sec = = ó = d) cos = cos cos = cos cos - sen = cos cos ( - cos ) = cos cos cos - =

108 cos = ( ) cos = = El Coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo del primer cuadrante para el cual el coseno vale ½ y a partir de el, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de en el segundo y tercer cuadrantes. Logaritmos cos = = ó = Logaritmo de un número es el eponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmos. Por ejemplo: Log a b c , etc. Luego, siendo la base 5, el logaritmo de (que se escribe log5 ) es, porque es el eponente a que hay que elevar la base 5 para que dé ; el log5 5 es ; el log 5 5 es ; el log5 5 es, etc. Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquier número positivo, el número de sistemas es ilimitado. No obstante, los sistemas usados generalmente son dos: el sistema de logaritmos vulgares o de Briggs (denotados simplemente como log), cuya base es, y el sistema de logaritmos naturales o neperianos creados por Napier, cuya base es e simplemente como ln) a c b (denotados

109 Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos: a. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativa, por que si fuera negativa sus potencias pares serían positivas y las impares negativas, por lo que se tendría una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmo. b. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva, todas sus potencias, ya sean pares o impares, son positivas y nunca negativas. c. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es, porque siendo b la base, tendremos: b b b b log d. En todo sistema el logaritmo de es cero (), porque siendo b la base, tendremos: b log b e. Sean m y n dos números reales cualesquiera que los escribimos como potencias de b y en su forma logarítmica: i. m b log m ii. y n b y log n ; b b Multiplicando miembro a miembro i) y ii) resulta: y y mn b b b, tomando logaritmo a esta epresión nos queda: log b mn y. Sustituyendo e y por sus valores, tenemos: log mn log m log n b b b En conclusión: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. f. Sean m y n dos números reales cualesquiera que los escribimos como potencias de b y en su forma logarítmica: i. m b log m b ii. y n b y logb n ; Dividiendo miembro a miembro i) y ii) nos queda:

110 m b y m b o sea b y n b n y Tomando logaritmo tenemos log m log m log n b b b En conclusión: el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. g. Sea m un número real cualquiera que lo escribimos como potencia de b y en su forma logarítmica: i. m b log m Elevando a la potencia n la epresión i) nos queda: m m n n b b n n b tomando logaritmo tenemos: n log log b b m n n n m nlog m Conclusión: el logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmos de la base de dicha potencia. h. Sea m un número real cualquiera que lo escribimos como potencia de b y en su forma logarítmica: i. m b log m b Tomando la raíz n ésima a los dos miembros de la ecuación i) se tiene: n n n y tomado logaritmo: logb m n logb m m b b n Conclusión: el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo la parte subradical dividido por el índice de la raíz. b Ejemplo : Hallar log a en la epresión ab c log a log ab a c log a ab log a c log a a log b b log a c log b log Ejemplo : Hallar log a en la epresión m b mb log a log a m b log a m log a b a a c

111 Ejemplo : Cual es el resultado del log (6)? log (6) = = 6 = 6 = 6 Ejemplo : Dado que log() =, y log() =,77 Calcular: a) log(/8) = log() - log(8) = log() - log( ) = log() - log() = -,6 b) log(5) = log(/) = log() - log() = -. =,699 Ejemplo 5: Hallar el valor de en las ecuaciones siguientes: a) log (+) + log (-) = log ( -9) = = ( -9) -5 = = 5 al probar en la ecuación los valores se observa que = 5 es la solución b) ln ln ln ln(8 ) = e = 8 8 Eponenciales. Llamaremos eponencial a toda aquella epresión cuya base sea un número real o una epresión de una(s) variable(s) real(es), y cuya potencia sea una epresión de una(s) variable(s) real(es). Estas epresiones cumplen con las propiedades de las potencias, tratadas en la unidad I; es decir: i.- a. a y = a + y ii.- a /a y = a y iii.- (a ) y = a.y iv.- (a.b) y = a y. b y v.- (a/b) y = a y /b y Ecuaciones eponenciales Son ecuaciones que tienen epresiones eponenciales. Ellas se resuelven usando las propiedades de las potencias, para reducir el problema a la comparación de los eponentes; o usando logaritmos y sus propiedades para descomponer las potencias en productos y así despejar las incógnitas según lo visto en la Unidad II. Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones: a) Al resolver la ecuación de segundo grado resultante, se obtiene: = ^ = -½

112 b) 5 = 7 + ln(5 ) = ln(7 + ) ( ) ln(5) = ( + ) ln(7) ln(5) - ln(7) = ln(7) + ln(5) c) 8 ln ln 7 5 ln ln SOLUCIÓN 8 Ejercicios Propuestos Unidad IV.- Convierte de grados a radianes o de radianes a grados, según el caso: a. b. 5 c. 5 d. 5 e. 85 f. 5 g. h. 65 i. j. 78 k.,8 l..6 m.,5 n. 6,5 o. 7 p. q. r. s. t u.,57.- Determine los valores de las razones trigonométricas dadas, usando fórmulas de reducción al primer cuadrante.. sen(9 ). cos( ). ctg( ). csc(-9,5) 5. cos(95 ) 6. sen( 9 ) 7. tg(-68 ) 8. sec( 6 ) 9. csc(765 ). tg(6 ). sec( ). ctg(-9 ) 5

113 .- Determine los valores de las seis razones trigonométricas de los ángulos,, y ; en cada caso: a. f. 5 6 b. g. c. h. d. 5 i. e. j. 6

114 k. l. m. sen sec sen 5 5 n. cos, 7 o. tan 6 p. csc q. ctg, r. s. t. 9 tg 9 cos sec u. ctg 6 v. csc 5.- Desde la punta de un faro a pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión (ángulo hacia abajo desde la horizontal) en dirección a un barco a la deriva en el mar es de. A qué distancia está el barco de la base del faro? 5.- Cuando el ángulo de elevación (el ángulo hacia arriba desde la horizontal) del sol es de ; en Paris, la Torre Eiffel forma una sombra horizontal de 8 pies de largo. Qué altura tiene la torre? 6.- Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 pies por encima del suelo. Si la cometa está a pies por arriba del suelo y la cuerda del cometa forma un ángulo de 5 con la horizontal. Cuántos pies de cuerda está usando? 7.- Un obrero se encuentra a 6 metros de un poste de electricidad y, por efecto de la luz de este, proyecta una sombra de metro. Si la estatura del obrero es,8 metros, cuál es la altura del poste? 8.- Una persona de estatura,8 metros proyecta una sombra de,5 metros cuando se encuentra a una distancia de 5 metros de un poste de iluminación. Cuál es la altura del poste? 9.- Un árbol arroja una sombra de 5 metros al tiempo que un poste próimo a el proyecta una sombra de metros. Si el árbol y el poste forman ángulo recto con el suelo, Cuál es la altura del árbol si el poste mide 6 metros de altura?.- Dos postes de alturas y 5 metros, están separados una distancia de 5 metros. Si se unen los postes mediante dos cables atando, a la vez, el etremo 7

115 superior de uno con el etremo inferior del otro, a qué altura sobre el suelo se cruzan dichos cables?.- Para encontrar la distancia entre dos puntos A y B un topógrafo elige un punto C que está a 5 m de B. Si el ángulo en B mide y en C 9, calcule la distancia entre A y B..- Dos automóviles parten del mismo punto y viajan sobre dos carreteras que se desvían en 9. Cuál será la distancia que hay entre los dos, después de minutos, si sus velocidades son 6 y 5 Km/h, respectivamente?..- Un observador, desde una plaza, mira la azotea de un edificio con un ángulo de inclinación de. Si se desplaza en dirección al edificio, el ángulo de inclinación de su visual con respecto a la azotea cambia a 5 cuando ha avanzado m. Se pide la altura del edificio y la distancia que los separaba..- Una persona se encuentra a m de un árbol, y observa que su línea visual con la punta del árbol forma un ángulo de con la horizontal. Calcula la altura del árbol sobre el nivel de los ojos de la persona. 5.- En la navegación aérea, las direcciones se especifican en grados siguiendo el sentido de las manecillas del reloj a partir del norte. Un avión sale de un aeropuerto y viaja Km en una dirección de. A qué distancia al norte y al oeste se encuentra el avión del aeropuerto? 6.- La cuerda de una cometa forma un ángulo de con el piso y tiene una longitud de 55 m. A qué altura se encuentra la cometa?. 7.- Un helicóptero está fumigando un campo sembrado de cambures a una altura constante de metros. El dueño del campo supervisa la tarea y observa que al iniciar la aspersión, el ángulo de elevación de su visual al helicóptero es de 6 y al terminar la aspersión, volando en línea recta, el ángulo a variado a. Si el conoce que su campo mide 5 m, puede usted indicarle si la fumigación se hizo en toda la longitud del campo o no? 8.- Desde su oficina, ubicada en el tercer piso del edificio administrativo, a m del silo principal de la planta; el gerente general observa a un operador en la azotea del silo, con un ángulo de elevación de 5, y a otro operador en la base del silo, con un ángulo de. Qué altura tiene el silo?. 8

116 9.- Un obrero está asperjando un cultivo de mandarinas con una asperjadora manual. La tarea la realiza moviendo la boquilla de arriba hacia abajo y viceversa, con movimientos verticales de su mano. Si el se encuentra a m del árbol y su mano se mueve hacia arriba con un ángulo de 6 y hacia abajo con un ángulo de, qué altura tiene el árbol?..- Desde una avioneta a 5 pies, el piloto observa hacia el frente, el canal de un sistema de riego desde la derivación en el embalse, con un ángulo de depresión de 6, en línea recta hasta la descarga en su finca, con un ángulo de depresión de. Qué distancia hay desde el embalse hasta la finca?..- Al encontrarse sobre la derivación en el embalse, el piloto del problema anterior disminuye su altura y observa el final del canal en la finca con un ángulo de depresión de 5. A qué distancia está del final del canal y cuál es su altura?..- Demuestre las siguientes identidades: a. b. c. cos tan sen csc cot tan sen cos csc tan cos sen d. (sen + cos) = + sen e. f. sen cos sen sen cos tan tan cos ctg g. csc ctg h. cos cot sen i. cos cos cos 8 8 sec sec j. csc ctg tan k. sen tan sen sen l. tan cos cos cos m. cos tan n. sen cos cot sen cos o. p. sec sec sec sen tg sen cos q. cos sen cos sec y csc y r. csc y tgy 9

117 s. (sec + tg)(-sen) = cos t. u. v. sen y sec y tg y cos y a btga b cos cos a cos b sen cos sen cos tga tgb tg seny w. tgy cos y. cos tg tg y. sen(+y)sen(-y)=sen sen y sen ctg z. sen ctg tg csc aa. bb. cos y cos y cos y seny cos y seny cos y seny cosy cc. seny cos y cos dd. cos cos ee. tgy tgy sec y csc y tg tg tgy.- Calcule: a) b) c) d) e) f) Problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno.- Dado el trianguloabc:

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1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

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