Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

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1 Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

2 Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis? 1 En qué orden deben realizarse las operaciones? 1 Qué problema encontramos en las operaciones entre números naturales? 13 Qué son los múltiplos y los divisores? 13 Cuáles son las propiedades de los múltiplos y divisores? 14 Cómo saber si un número es múltiplo (o divisor) de otro? 14 Qué es un número primo? 15 Como se descompone un número natural en factores primos? 15 Qué es y cómo se halla el máximo común divisor o mcd? 16 Qué es y cómo se halla el mínimo común múltiplo o mcm? 16 Los números enteros 17 Que es un número entero? 0 Cómo están ordenados los números enteros? 0 Qué es el valor absoluto de un número entero? 1 Cómo se representan los números enteros en una recta? 1 Cómo se realizan la suma y la resta entre números enteros? Siempre significan lo mismo los signos + y? 3 Cómo se realizan la multiplicación y la división entre números enteros? 3 Cómo afectan las operaciones al orden de los números enteros? 4 Los números racionales 6 Qué es un número fraccionario? 9 Cuál es el signo de una fracción? 9 En qué casos dos o más fracciones son equivalentes? 30 Qué es una fracción irreducible? 31 Qué es un número racional? 31 Cómo se realiza la suma de fracciones con el mismo denominador? 3 Cómo se realiza la suma de fracciones con distinto denominador? 3 Cómo se reducen las dos o más fracciones de una suma al mismo denominador? 33 Cuáles son las propiedades de la suma de fracciones? 34 Cómo se realiza la resta de fracciones? 34 Cómo se realiza la multiplicación de fracciones y cuáles son sus propiedades? 35 Cuáles son las propiedades del producto de fracciones? 35 Cómo se realiza la división de fracciones? 36 Cuál es el orden en el que deben realizarse las operaciones elementales entre fracciones? 36 Qué es la forma decimal de un número racional? 37 Cómo se aproxima un número racional por un número decimal? 38 Cómo se ordenan los números racionales en una recta? 38 Potencias y raíces 40 Cómo se realiza la potenciación de números y cuáles son sus propiedades? 43 Cuáles son las características de la potenciación de números enteros? 44 Cuáles son las características de la potenciación de números fraccionarios? Cómo se simplifica una expresión con potencias del tipo? ( 5 ).49 Qué es y cómo se calcula la raíz de un número? 45 Cuáles son las propiedades básicas de la radicación? 46 Cómo pueden expresarse de manera general las propiedades de las potencias y raíces? Cómo se simplifica una expresión del tipo 4 4? 48 7 Qué es la racionalización de fracciones? 48

3 Los números reales 49 Existen números que no sean racionales? 5 Cómo puede demostrarse que no es un número racional? 5 Existen otros números irracionales que no sean raíces? 53 Qué es la notación científica y para qué sirve? 55 Qué es un número real? 56 Cuáles son las operaciones básicas entre números reales y sus propiedades? 57 Los números complejos 59 Qué es un número complejo? 6 Cómo se representa un número complejo? 6 Son necesarios los números complejos? 63 Cómo se representan las potencias de i? 63 Cómo se calculan el opuesto y el conjugado de un número complejo? 64 Cómo se realizan la suma y la resta entre complejos? 65 Cómo se realiza el producto de números complejos? 65 Cómo se realiza el cociente de números complejos? 66 Cómo se representa un número complejo en forma polar? 67 Cómo se transforma un complejo de forma polar a forma binómica? 67 Cómo se realizan la multiplicación y la división en forma polar? 68 Cómo se realiza la potencia de un número complejo en forma polar? 69 Cómo se realizan las raíces de un número complejo en forma polar? 69 Expresiones algebraicas 71 Qué es una expresión algebraica y cuál es su utilidad? 74 Cuáles son los elementos básicos y las propiedades de las expresiones algebraicas? 75 Cómo se aplican las propiedades para simplificar una expresión algebraica? 76 Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y algebraicas, y cómo puede saberse si son verdaderas o falsas? 77 Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación? 78 Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse ecuaciones equivalentes a una dada? 79 En qué consiste la resolución de una ecuación? 80 Ecuaciones de primer y segundo grado 8 Qué es una ecuación de primer grado, cuántas soluciones puede tener y de qué tipo son? 85 Qué debe hacerse antes de resolver una ecuación de primer grado con una incógnita? 85 Cuáles son los pasos de la resolución de una ecuación de primer grado? 86 Qué significa aislar la incógnita de una ecuación de primer grado? 88 Existe una fórmula para hallar la solución de una ecuación de primer grado? 89 Cómo se expresa una ecuación de segundo grado con una incógnita en forma normal? 89 Cuáles son las ecuaciones de segundo grado fáciles de resolver? 90 Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado? 91 Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado? 9 Qué son las ecuaciones de tipo cuadrático y cómo se resuelven? 93 Qué es una inecuación y qué es una solución de una inecuación? 94 Qué es un intervalo? 94 Cómo se resuelven las inecuaciones de primer y segundo grado? 95 Sistemas de ecuaciones 97 Qué es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y cuáles son sus soluciones? 100 En qué consiste el método de sustitución? 101 En qué consiste el método de igualación? 101 En qué consiste el método de reducción? 10 Cómo se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas? 103 Cómo se transforma un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss? 104 Cómo saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones lineales transformado por el método de Gauss y cómo se encuentran? 105 Cómo se aplica el método de Gauss en un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado? 107

4 Cómo se aplica el método de Gauss en un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado? 108 Qué es un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y cómo se resuelve? 109 Qué es un sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita y cómo se resuelve? 110 Los polinomios 11 Qué es un polinomio y cuáles son sus elementos? 115 Cómo se realizan las operaciones entre monomios? 116 Cómo se realiza la suma y la resta de polinomios? 116 Cómo se realiza la multiplicación de polinomios? 117 Cómo se realiza la división de polinomios? 118 En qué consiste la regla de Ruffini? 10 Qué es el valor numérico de un polinomio y la raíz de un polinomio, y cuál es su utilidad para la descomposición de polinomios? 11 Qué es una fracción algebraica y cómo se operan? 1 Matrices y determinantes 15 Qué es una matriz y cuáles son sus elementos? 19 Cómo se realiza la suma y resta de matrices, y la multiplicación por un número? 130 Cómo se realiza el producto de matrices? 131 Qué es el determinante de una matriz cuadrada y cuál es su utilidad? 133 Cuándo puede invertirse una matriz cuadrada y cómo se hace? 135 Cómo pueden utilizarse las matrices para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución? 136 Cómo se hallan las soluciones de un sistema expresado matricialmente? 137 Cómo se utilizan las matrices para agilizar el método de Gauss? 139 Elementos de la geometría plana 140 Cuáles son los elementos básicos del plano? 144 Cómo se miden los elementos básicos del plano? 145 Qué es una recta y cuál es su relación con los otros elementos básicos? 146 Qué es la mediatriz de un segmento y cómo se construye? 148 Qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se construye? 149 Cómo se representan los puntos del plano utilizando un sistema de representación cartesiano? _ 150 Las figuras planas 15 Qué es un polígono? 156 Cuáles son las características básicas de un polígono? 157 Cuáles son las características básicas de un polígono regular? 158 Cómo se calcula el perímetro y el área de un polígono regular? 159 Cuáles son las características básicas de un cuadrilátero? 160 Qué son la circunferencia y el círculo y cuáles son sus elementos básicos? 16 Cuál es la relación de la circunferencia con los otros elementos del plano? 165 Cómo se calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo? 166 Los triángulos 168 Qué es un triángulo? 17 Cuáles son las rectas y los puntos notables de un triángulo y cómo se hallan? 17 Cuáles son los principales tipos de triángulos? 173 Cómo se calcula el perímetro y el área de un triángulo? 175 En qué consiste el teorema de Pitágoras y cómo se aplica? 176 Cuándo dos triángulos son semejantes? 177 Cuáles son los criterios de semejanza de triángulos? 178 Cómo comprobar si dos triángulos son semejantes? 179 Los vectores 181 Cómo se calcula la distancia entre dos puntos? 185 Qué es un vector fijo del plano? 185 Qué es un vector libre del plano? 186 Cuáles son las operaciones básicas entre vectores? 187 Qué es la norma de un vector, y cómo se calcula? 188 Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores? 189

5 Cómo se representan los puntos y los vectores en el espacio? 191 Trigonometría 19 Cuáles son las razones trigonométricas de un ángulo agudo? 195 Las razones trigonométricas de un ángulo dependen del triángulo rectángulo escogido? 195 Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 60º o p/3 rad? 196 Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 45º o p/4 rad? 197 Cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo con la calculadora? 198 Cuál es la igualdad básica de la trigonometría? 199 Cómo se calculan las razones trigonométricas de cualquier ángulo? 00 Las ecuaciones de los elementos geométricos 0 Cómo se suma un vector a un punto del plano? 06 Qué son la ecuación paramétrica y la ecuación cartesiana de una recta, y cómo pueden hallarse? 07 Qué son la ecuación explícita y la ecuación implícita de una recta, y cómo pueden hallarse? 08 Qué información puede obtenerse de las ecuaciones de una recta? 09 Cuáles son las posibles relaciones entre un punto y una recta? 10 Cómo averiguar la relación entre dos rectas del plano a través de sus ecuaciones? 11 Elementos de geometría en el espacio 13 Cuáles son los elementos básicos de la geometría del espacio? 17 Cuáles son las posiciones relativas de los diversos elementos del espacio? 17 Qué es y cómo se calcula el ángulo entre los elementos del espacio? 19 Cómo se expresan algebraicamente los elementos del espacio? 0 Cómo se expresan las posiciones relativas entre planos y rectas? 1 El concepto de función 4 Qué es una correspondencia entre conjuntos? 7 Qué es una aplicación? 8 Qué es una tabla de una función? 30 Qué es la expresión de una función? 30 Qué es la gráfica de una función? 31 Qué operaciones pueden realizarse con funciones? 34 Ejercicios 36 Soluciones 38 Las funciones polinómicas 39 Qué es una función lineal y cuáles son sus características? 43 Qué es una función afín y cuáles son sus características? 44 Qué es una función cuadrática y cuáles son sus características? 47 Cómo se construye la gráfica de una función cuadrática? 48 Qué relación existe entre la expresión de la función cuadrática y la parábola resultante? 50 Qué es una función polinómica y cuáles son sus características? 51 Ejercicios 54 Soluciones 55 Las funciones exponencial y logarítmica 56 Qué es una función exponencial y cuáles son sus características? 61 Qué es una ecuación exponencial y cómo se resuelve? 6 Qué es la composición de funciones y la inversa de una función? 63 Qué es el logaritmo y cuáles son sus propiedades? 64 Qué son las funciones logaritmo y cuáles son sus características? 65 Cuál es la relación entre las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas? 66 Qué es una ecuación logarítmica y cómo se resuelve? 67 Ejercicios 69 Solucione 70 Las funciones trigonométricas 7

6 Qué es la función seno y cuáles son sus características? 77 Qué es la función coseno y cuáles son sus características? 78 Cuál es la relación entre la función seno y la función coseno? 79 Qué es la función tangente y cuáles son sus características? 79 Qué es la función cotangente y cuáles son sus características? 81 Qué son las funciones secante y cosecante y cuáles son sus características? 83 Cuáles son las funciones inversas de las funciones trigonométricas? 85 Ejercicios 87 Soluciones 88 Límites de funciones 89 Cuál es la noción intuitiva de límite funcional? 93 Cuál es el concepto riguroso de límite de una función en un punto? 94 Cuáles son las reglas principales para el cálculo de límites? 95 Qué significa el límite cuando la variable tiende a + o? 96 Qué son los limites laterales y los límites infinitos? 97 Qué es una indeterminación, qué tipos de indeterminación existen y cómo se resuelven? 99 Ejercicios 30 Soluciones 303 Funciones continuas 305 Cuándo una función es continua en un punto? 307 Qué es una discontinuidad y cuáles son sus tipos? 308 Qué es una asíntota y cuántos tipos de asíntotas existen? 310 Ejercicios 31 Soluciones 313 Derivada de una función 315 Qué es la derivada de una función en un punto y cuál es su interpretación? 318 Cómo se calcula la derivada de una función en un punto en algunos monomios? 319 Qué es la función derivada y cómo se calcula? 30 Cuáles son las reglas de la derivación? 31 Qué relación existe entre la derivada de una función y el crecimiento de la misma? 33 Ejercicios 35 Soluciones 36 Aplicaciones de la derivada 37 Cómo localizar máximos y mínimos de una función utilizando su derivada? 330 Cómo se resuelve un problema de máximos o mínimos utilizando la derivación? 33 Qué es la concavidad y la convexidad de una función y qué relación tiene con la derivación? 334 Qué información debe conocerse para representar aproximadamente la gráfica de una función? 336 Ejercicios 339 Soluciones 340 Integral de una función 344 En qué consiste el proceso de integración de una función? 347 Cuáles son las reglas de la integración y cómo influyen en el cálculo de primitivas? 348 Qué métodos pueden utilizarse para integrar una función? 349 Qué es la integral definida de una función? 351 Cómo se calcula la integral definida a partir de una primitiva de la función? 353 n Cuál es el valor de esta suma i? 354 i= 0 Ejercicios 356 Soluciones 357

7 Aplicaciones del cálculo integral 359 Cómo se calcula el área que encierra una función positiva con el eje X? 36 Cómo se calcula el área que encierra una función negativa con el eje X? 363 Cómo se calcula el área que encierra una función cualquiera con el eje X? 363 Cómo se calcula el área que se encierra entre dos funciones en cierto intervalo? 365 Cómo se calcula el volumen de una figura de revolución generada por una función positiva? 366 Cómo se calcula la fórmula del volumen de las figuras de revolución básicas? 367 Cómo se calcula el volumen de una figura de revolución generada por el área encerrada por dos funciones? 369 Ejercicios 371 Soluciones 37

8 Los números naturales

9 Los números naturales Los números naturales son aquellos que sirven para contar. Se suelen representar utilizando las cifras del 0 al 9. signo suma o resultado Suma: = 1 sumandos signo Resta: 1 9 = 3 minuendo sustrahendo Operaciones básicas signo producto Multiplicación: 3 7 = 1 Orden de las operaciones: 1.º Paréntesis.º División 3.º Multiplicación 4.º Suma y resta factores signo División: 18 : 3 = dividendo divisor cociente 6 diferencia La resta El minuendo debe ser menor que el sustraendo - Puede ser exacta: 15 : 3 = 5, en este caso 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de 15 La división - Puede no ser exacta: 17 : 3 no da exacto, en este caso 17 = Dividendo divisor cociente resto

10 Los múltiplos Los divisores 15 es múltiplo de 3 porque 15 = es divisor de 15 porque 15 : 3 es exacta. Se dice que 15 es divisible por 3. Propiedades Reflexiva Antisimétrica Transitiva Todo número natural es múltiplo de sí mismo. Por ejemplo, 3 es múltiplo de 3 porque 1 3 = 3 Si un número es múltiplo de otro y éste es múltiplo del primero, entonces, ambos números son iguales. Si un número es múltiplo de otro y éste es múltiplo de un tercer número, entonces, el primero es también múltiplo del tercero. 8 es múltiplo de 14, 14 es múltiplo de, por lo tanto, 8 es múltiplo de. Todo número natural es divisor de sí mismo. Por ejemplo, 5 es divisor de 5 porque 5 : 5 = 1. Si un número es divisor de otro y éste es divisor del primero, entonces, ambos números son iguales. Si un número es divisor de otro y éste es divisor de un tercer número, entonces, el primero es también divisor del tercero. es divisor de 14, 14 es divisor de 8, por lo tanto, es divisor de 8 Los números primos Un número es primo cuando no tiene otros divisores que el 1 y él mismo. Por ejemplo, el 11 es primo. Los criterios de divisibilidad Por Última cifra par Por 3 Suma de cifras divisible por 3 Por 5 Última cifra 0 ó 5 Por 10 Última cifra 0 La descomposición en factores primos Cualquier número puede descomponerse en factores primos. Por ejemplo, 4 = El mínimo común múltiplo El máximo común divisor Para calcular el mcm y el mcd de dos números, 1. deben descomponerse los números en factores. Por ejemplo, para calcular el mcm(4,90) y el mcd(4,90), deben descomponerse ambos números: 4 = y 90 = mcm(4,90) = = 360; Se multiplican los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.. mcd(4,90) = 3 1; Se multiplican los factores primos comunes con el menor exponente.

11 Qué es un número natural? Un número natural es aquel que permite contar objetos y que desde hace siglos se representa utilizando las cifras del 0 al 9. Los números naturales son aquellos números que permiten contar objetos. La lista de los números naturales se inicia con el 1 y no tiene fin: 1,, 3, 4, 5, 6, etc. (el etcétera indica precisamente que esta lista no tiene fin). Desde hace algunos siglos, se suele representarlos con las cifras decimales del 0 al 9, de origen hindú, pero que se introdujeron en Europa a Fragmento de una página del Codex Vigilanus (s. X), donde se pueden través de textos árabes. Uno de los motivos observar las nueve cifras, en orden determinantes para el uso de estas cifras, en lugar de inverso. otras representaciones, es la facilidad para el cálculo de las operaciones básicas entre estos números: suma, resta, multiplicación y división. Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? Las operaciones básicas entre números naturales son la suma, resta, multiplicación y división. La resta es una operación opuesta a la suma, y la división es una operación opuesta a la multiplicación. La suma es una operación que se representa con el signo +, interpuesto entre los dos números que se van a sumar. A continuación se pone el signo = y, finalmente, el resultado de la suma. Por ejemplo, = 31. Los números que se suman se denominan sumandos, mientras que el resultado recibe el nombre de suma o, simplemente, resultado. En el ejemplo, 1 y 19 son los sumandos, y 31 es la suma. La resta, también denominada diferencia o sustracción, es una operación que se representa con el signo interpuesto entre los dos números que se van a restar. Por ejemplo, 14 6 = 8. El número anterior al signo se denomina minuendo, el número que sigue al signo se denomina sustraendo y el resultado de la resta se denomina diferencia. En el ejemplo, el 14 es el minuendo, el 6 es el sustraendo y 8 es la diferencia. En la resta de números naturales el minuendo debe ser mayor que el sustraendo. La suma y la resta son operaciones opuestas; este hecho permite afirmar que en una resta, la diferencia más el sustraendo es igual al minuendo La multiplicación, o producto, de números naturales utiliza el signo entre los dos números multiplicados, pero también puede utilizar un punto ligeramente elevado ( ). Este signo se lee "por". Es una operación que se basa en la suma: la suma de varios sumandos iguales se transforma en una multiplicación. Por ejemplo: = 5 x 6 = 5 6 = 30 es decir, la suma de 5 veces el 6 es igual a 5 por 6. Los números multiplicados se denominan factores, mientras que el resultado de la multiplicación se denomina producto. En el ejemplo, los factores son 5 y 6, mientras que el producto es 30. Cuando se debe multiplicar un número varias veces por sí mismo, se escribe en forma de potencia. = 5 El de 5 indica el número que se va a multiplicar varias veces y se denomina base de la potencia. El 5 indica las veces que se debe repetir el número y se denomina exponente. La división de números naturales se señala con el signo : (o, también, /), interpuesto entre los dos números que deben dividirse, y que se lee entre. El número dividido 11

12 se denomina dividendo, el número que divide se denomina divisor, mientras que el resultado se denomina cociente. Así, por ejemplo, en la división 15 : 3 = 5, el 15 se denomina dividendo, el 3, divisor, y el 5, cociente. Esta operación es opuesta al producto; este hecho permite encontrar el resultado de cualquier división: por ejemplo, para conocer el cociente de 7 : 8, se debe encontrar el número que multiplicado por el divisor resulta el dividendo, es decir: 8? = 7 evidentemente, el número buscado es 9, porque 8 9 = 7. Así pues, 7 : 8 = 9. Qué son y para qué sirven los paréntesis? El paréntesis está compuesto de un par de símbolos que permiten encerrar operaciones que deben realizarse aparte Existen dos símbolos para el paréntesis: ( para abrirlo y ) para cerrarlo. Entre estos dos elementos se sitúa una operación o grupo de operaciones y se utiliza para encerrar operaciones que deben realizarse aparte. Por ejemplo, en esta expresión, 3 + (6 + 8), debe calcularse primero el resultado de la operación que se encuentra entre el paréntesis, = 14. Sólo después se realizará la operación exterior: 3 + (6 + 8) = = 17. Si en una expresión hay varios paréntesis encajados, el primero que debe realizarse es el más interno. Por ejemplo: + ( + (8 3)) = + ( + 5) = + 7 = 9. Así, en una expresión con paréntesis: El número de paréntesis que se abren deben ser los mismos que los que se cierran. Siempre se deben operar en primer lugar los paréntesis más internos, siempre que haya paréntesis encajados. En qué orden deben realizarse las operaciones? El orden de las operaciones es: primero los paréntesis, a continuación las divisiones y las multiplicaciones, y, finalmente, las sumas y restas. A veces se nos presenta un grupo de operaciones entre números naturales, que se denomina expresión numérica. Por ejemplo: (5 X : ) Para hallar el resultado de esta expresión, deben tenerse en cuenta estas observaciones: Es imprescindible conocer el orden en el que deben realizarse las operaciones, que es el siguiente: o En primer lugar, deben efectuarse las operaciones que se encuentran en el interior de los paréntesis (empezando por los paréntesis más internos) o En segundo lugar, deben realizarse las multiplicaciones y las o divisiones. Las divisiones siempre antes que las multiplicaciones. Finalmente, las sumas y las restas. Primero las restas y después las sumas. Debe vigilarse el uso del signo igual, =; es decir, sólo debe utilizarse cuando la expresión a la izquierda del igual tiene el mismo resultado que la de la derecha. Por ejemplo, es correcto: X 3 = = es incorrecto: 7 X 4 9 : 3 = 3 = 8 3 = 5 (aunque el resultado final, 5, sea correcto, la primera igualdad es incorrecta: 7 X 4 9 : 3 3) 1

13 Qué problema encontramos en las operaciones entre números naturales? El problema básico que encontramos con la resta y la división de números naturales es que no siempre pueden restarse o dividirse dos números cualesquiera. Siempre que se quiera restar a un número natural otro mayor o igual, comprobaremos que no es posible. Por ejemplo, 8 13 no puede dar como resultado un número natural. Deberemos definir otro tipo de números, los números enteros (podéis ver capítulo ), para que esta operación sea posible. Tampoco el cociente entre dos números naturales es siempre un número natural. Por ejemplo, 13 : 5 no puede ser igual a un número natural porque no existe ningún número que multiplicado por 5 dé 13. En este caso, se puede descomponer la división anterior, de la siguiente manera: 13 = siendo el 3, denominado resto, menor que el divisor (5). Por lo tanto, la regla general para la división se enuncia así: dividendo = divisor cociente + resto y siempre que el resto sea 0, se dice que la división es exacta. A veces, para abreviar, se expresa de esta otra manera: D = d c + r reduciendo el dividendo a una D; el divisor, a una d; el cociente, a una c; y el resto, a una r. Qué son los múltiplos y los divisores? Un número es múltiplo de otro si podemos obtener el primero multiplicando el segundo por un número natural; también se dice que el primer número es divisible por el segundo. Además, el segundo número es divisor del primero. Es fácil encontrar una relación sencilla entre 3 y 15: 5 3 = 15, es decir, el 15 es igual a cinco veces el 3. En este caso se dice que el 15 es un múltiplo de 3. Otros múltiplos del 3 son el propio 3, el 6, el 9, el 1, etc. En general, un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando este último por algún otro número natural. Cuando una división entre dos números naturales es exacta, por ejemplo, 15 : 3 = 5, se dice que el 15 es divisible entre el 3. En este caso, también se dice que el 3 es un divisor del 15. Se puede observar cómo los conceptos de múltiplo, divisor y divisibilidad están estrechamente ligados: si un número es múltiplo de otro, también puede afirmarse que el primer número es divisible por el segundo; de la misma manera, el segundo debe ser un divisor del primero. Es decir, si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a y a es divisible por b En el ejemplo anterior: 15 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 15 y 15 es divisible por 3 13

14 Cuáles son las propiedades de los múltiplos y divisores? Las propiedades de los múltiplos y de los divisores son la reflexiva, la transitiva y la antisimétrica. Las propiedades que cumplen los múltiplos (y los divisores) de cualquier número son las siguientes: Cualquier número natural es múltiplo (y divisor) de sí mismo. Por ejemplo, el 7 es múltiplo del 7 porque 7 1 = 7; también es divisor de 7 porque 7 : 7 = 1. Esta propiedad se denomina reflexiva. Si un número es múltiplo de otro y este último es múltiplo de un tercer número, entonces, el primer número también es múltiplo del tercer número (igualmente sucede si se trata de divisores). Por ejemplo, el 84 es múltiplo de 1, y 1 es múltiplo de 7, entonces 84 es múltiplo de 7. Esta propiedad se denomina transitiva. Si un número es múltiplo de otro y este último lo es del primero, entonces ambos números son el mismo número (lo mismo se puede decir en el caso de ser divisor). Esta propiedad se denomina antisimétrica. Cómo saber si un número es múltiplo (o divisor) de otro? Existen una serie de criterios sencillos que permiten saber cuándo un número es divisible por uno de estos números:, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 11. En algunos casos, es muy útil conocer si un número es divisible por algunos números concretos: Divisible Criterio de divisibilidad Ejemplo por Un número natural es divisible por si su el 548 es divisible por porque su última cifra es un número par. última cifra (8) es par. 3 Un número natural es divisible por 3 si la el 1831 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es divisible por 3. suma de sus cifras ( = 15) es divisible por 3. 4 Un número natural es divisible por 4 si el el 9588 es divisible por 4 porque el número formado por sus dos últimas cifras numero formado por sus dos últimas es divisible por 4. cifras (8) es divisible por 4. 5 Un número natural es divisible por 5 si su el es divisible por 5 porque su última cifra es 0 ó 5. última cifra es 5. 6 Un número natural es divisible por 6 si es El 34 es divisible por 6 porque es divisible por y por 3. divisible por y por 3. 9 Un número natural es divisible por 9 si la El es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es divisible por 9. suma de sus cifras ( = 7) es divisible por Un número natural es divisible por 10 si su El es divisible por 10 porque última cifra es 0. su última cifra es Un número es divisible por 11 cuando la El 1111 es divisible entre 11 porque diferencia entre la suma de las cifras que la diferencia de las cifras que ocupan ocupa la posición par y la suma de las cifras la posición par ( = 3) y la que ocupan la posición impar son múltiplo suma de las cifras de las cifras que de 11. ocupan la posición impar ( + 1 = 3), es decir, 3 3 = 0, es múltiplo de

15 Qué es un número primo? Un número natural es primo cuando los únicos divisores que tiene son él mismo número y el 1. Un número natural se dice que es un número primo cuando los únicos divisores que tiene son el mismo número y el 1. Los ejemplos más sencillos de números primos son: 1,, 3, 5, 7, 11, etc. Para saber si un número es primo, se debe dividir entre todos y cada uno de los números primos menores que el número en cuestión, empezando por el. Si ninguno de estos números es un divisor suyo, entonces el número es primo. Por ejemplo, para saber si el número 11 es primo, debe intentar dividirse entre, 3, 5, etc.; cuando se llega al 11, puede comprobarse que el número 11 no es primo, porque 11 = Cualquier número natural puede descomponerse en producto de factores primos y esta descomposición es única. Por ejemplo, el número 8 se puede expresar como 1 7, es decir, 8 = 1 7. Como se descompone un número natural en factores primos? La descomposición de un número natural en factores primos es sumamente importante y puede hacerse de manera muy sencilla. El procedimiento para descomponer un número natural es sencillo, aunque, a veces, puede ser un proceso largo. Éstos son los pasos para descomponer un número: Pasos Ejemplo 1. Se escribe el número que se quiere descomponer y, a su derecha, una línea vertical. 36. Se escribe al lado de la línea vertical el menor número primo, que no sea 1, que sea divisor del número situado en la parte izquierda de la línea Bajo el número de la izquierda se escribe el cociente de la división de este número entre el número primo situado a su derecha. línea. La descomposición de un número natural es muy importante para hallar el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) Se repiten los pasos y 3, hasta que a la izquierda se tenga que escribir un Finalmente, se puede comprobar cómo el número inicial es igual al producto de todos los números primos que aparecen a la derecha de la = =

16 Qué es y cómo se halla el máximo común divisor o mcd? El máximo común divisor (mcd) de dos (o más) números naturales es el mayor de los divisores comunes de estos números. El máximo común divisor (denominado, para abreviar, mcd) de dos (o más) números naturales es el número que cumple: Ser un divisor común a ambos números. Ser el mayor de estos divisores. Así, por ejemplo, el máximo común divisor de 36 y 30 es 6, es decir, mcd(36, 30) = 6. Esto es así porque si se escribe una lista de todos los divisores de 36 y otra con los de 30: divisores de 36: 1,, 3, 4, 6, 9, 1, 18, 36 divisores de 30: 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30 podemos comprobar que de todos los divisores comunes (en azul), el mayor es el 6. Claro está, este método para hallar el mcd entre dos números podría necesitar un tiempo muy dilatado porque deben encontrarse todos los divisores de un número. Existe un método mucho más rápido y sencillo para encontrar el mcd entre dos números, que consta de estos dos pasos: 1. Se descomponen los dos (o más) números en factores primos. En el ejemplo, 36 = 1 3, mientras que 30 = Se multiplican los números primos comunes a ambas (o más) descomposiciones, utilizando el de menor exponente. En el ejemplo, los primos comunes son 1, y 3; su exponente debe ser 1, porque es el menor. Por lo tanto, mcd(36,30) = 1 3 = 6 Qué es y cómo se halla el mínimo común múltiplo o mcm? El mínimo común múltiplo (mcm) de dos (o más) números naturales es el menor de los múltiplos comunes de estos números. El mínimo común múltiplo (denominado, para abreviar, mcm) de dos números es un número que debe cumplir que: Es un múltiplo de ambos números. Es el menor de estos múltiplos. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 4 y 10 es el 0, es decir, mcm(4,10) = 0. Este hecho puede comprobarse fácilmente escribiendo la lista de múltiplos de ambos números: múltiplos de 4: 4, 8, 1, 16, 0, 4, 8, 3, 36, 40, 44, 48, 5, 56, 60, 64, etc. múltiplos de 10: 10, 0, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, etc. Se han resaltado lo múltiplos comunes a ambos. Es fácil observar que el menor de estos múltiplos comunes es el 0. Evidentemente, este método para encontrar el mcm de dos (o más) números puede ser muy lento. Así pues, para encontrar el mcm de dos números debe hacerse lo siguiente: 1. Se descomponen los números en factores primos. Así, por ejemplo, en el caso de los números 4 y 10, 4 = 1 y 10 = 1 5,. Se multiplican los números primos de las descomposiciones que sean comunes a ambos números, utilizando los de mayor exponente, así como los que no son comunes, con el exponente correspondiente. En el caso del ejemplo, los primos comunes son el 1 y el, este último elevado al cuadrado porque es el de exponente mayor; en cuanto a los primos no comunes, sólo se cuenta con el 5. Así pues, mcm(4, 10) = 1 5 = 0 16

17 Los números enteros 17

18 Los números enteros Los números enteros son aquellos que permiten contar tanto los objetos que se tienen, como los objetos que se deben. Enteros positivos: precedidos por el signo + o ningún signo. Ejemplos: 3, +5, 6, +1 Tipos de enteros El cero, 0, que no es positivo ni negativo Enteros negativos: precedidos siempre por el signo -. Ejemplos: -5, - 7, -3 La ordenación de los enteros Signos Caracterización > significa "mayor que". Ejemplo: 58 > 1 < significa "menor que". Ejemplo: 3 < 1 Cualquier número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo. Por ejemplo, +3 > 8 (o bien, 8 < +3). El 0 es mayor que cualquier número negativo, y menor que cualquier número positivo. Por ejemplo, 30 < 0 < 4 (o bien, 4 > 0 > 30). Entre dos enteros negativos, el mayor es aquel que, sin signo, es el menor. Por ejemplo, 5 > 1 (o bien, 1 < 5). Representación en una recta de los enteros: Valor absoluto de un número entero es el mismo número sin signo: 4 = 4 = 4 18

19 Las operaciones entre número enteros Números con signos iguales Número con signos diferentes La suma Se suman los valores absolutos y se pone el signo que tienen: +5 + (+4) = ( 10) = 14 Se restan los valores absolutos del mayor menos el del menor, y se pone el signo del mayor: +8 + ( 7) = +1 Propiedades de la suma La propiedad conmutativa : 7 + ( ) = + (+7) = 5 La propiedad asociativa : 3 + (+) + ( 5) = ( 3 + (+)) + ( 5) = 3 + ((+) + ( 5)) = 6 El elemento neutro de la suma de números enteros es el 0 El elemento opuesto de un número entero: el opuesto de 3 es 3 La resta La resta de dos números es la suma de minuendo y el opuesto del sustraendo: 4 ( 7) = 4 + (+7) = +3 La multiplicación y la división Propiedades de la multiplicación La propiedad conmutativa : 3 ( 4) = ( 4) 3 = 1 La propiedad asociativa : 3 (+) ( 4) = ( 3 (+)) ( 4) = 3 ((+) ( 4)) = 4 La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: 5 (4 + ( 3)) = ( 5) ( 3) Regla de los signos Multiplicación + División La suma Las operaciones y el orden de los enteros No altera el orden: < +4 por lo tanto, + ( 3) < +4 + ( 3) La resta La multiplicación La división No altera el orden: < +4 por lo tanto, ( 3) < +4 ( 3) Si se multiplica por un número positivo, no altera el orden: < +4 por lo tanto, (+3) < +4 (+3) Si se multiplica por un número negativo, altera el orden: < +4 por lo tanto, ( 3) > +4 ( 3) Si se divide por un número positivo, no altera el orden: 4 < + por lo tanto, 4 : (+) < + : (+) Si se divide por un número negativo, altera el orden: 4 < + por lo tanto, 4 : ( ) > + : ( ) 19

20 Que es un número entero? Los números enteros son aquellos que permiten contar tanto objetos que se tienen, como objetos que se deben. Los números enteros permiten contar, entre otras muchas situaciones, tanto aquello que se posee, como aquello que se debe. Más genéricamente, los números enteros permiten representar aquellas situaciones en las que los objetos contados pueden dividirse en dos grupos, uno formado por los objetos que se cuentan a partir de un punto en adelante, el otro formado por los que se cuentan a partir de ese mismo punto hacia atrás. Los números enteros pueden clasificarse en: Enteros positivos, que son los que permiten contar aquello que se posee; se pueden asociar a los números naturales (excepto el 0). Los enteros positivos pueden escribirse como se escriben los números naturales, o bien, pueden ir precedidos del Los símbolos + y aparecieron impresos por primera vez en Aritmética Mercantil, de Johannes Widmann, publicado en Leipzig en El autor utilizó estos símbolos para referirse a ganancias y pérdidas en problemas comerciales. signo +. Por ejemplo, el numero entero 5 puede también escribirse como +5. Así, para indicar que se poseen 13, puede escribirse +13 o, simplemente, 13. Enteros negativos, que son los que permiten contar lo que se debe. Los enteros negativos se escriben utilizando un número natural, precedido de un signo. Así, un entero negativo podría ser 6, que se lee "menos 6". Por tanto, para indicar que se deben 3, puede escribirse 3. El cero, que es un entero ni positivo ni negativo. Cómo están ordenados los números enteros? Dados dos números enteros diferentes cualesquiera, uno de ellos siempre es mayor que el otro, hecho que se puede expresar con los signos de desigualdad. Dados dos números enteros diferentes cualesquiera, uno de ellos siempre es mayor que el otro. Este hecho tan sencillo puede expresarse mediante los signos de desigualdad : El signo > significa mayor que, e indica que lo que se encuentra a la izquierda del signo es mayor que lo que se encuentra a la derecha de éste. Por ejemplo, la expresión 6 > 4 indica que el 6 es mayor que el 4. El signo < significa menor que, e indica que lo que se encuentra a la izquierda del signo es menor que lo que se encuentra a la derecha de éste. Por ejemplo, la expresión 1 < 17 indica que el 1 es menor que el 17. Como en el caso del signo igual, =, pueden encadenarse diversos signos < ó >. Ahora bien, en una misma expresión, sólo pueden aparecer signos < ó > del mismo tipo. Por ejemplo, es correcto escribir 5 < 7 < 8; en cambio, es incorrecto escribir 8 > 1 < (aunque ambas partes de la expresión sean correctas). Utilizando estos signos pueden ordenarse todos los números enteros, teniendo en cuenta que: Cualquier número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo. Esto es fácil de entender con un ejemplo: es evidente que +3 es mayor que 9 ; es decir, se posee más dinero teniendo 3 que debiendo 9. Así pues, +3 > 9 (o bien, 9 < +3). 0

21 El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. Claro está que no tener ningún euro (0 ) es poseer más que deber treinta ( 30 ) pero, en cambio, es tener menos que cuatro euros (+4 ). Así pues, 30 < 0 < 4 (o bien, 4 > 0 > 30). Entre dos enteros negativos, el mayor es aquel que, sin signo, es el menor. Un ejemplo puede ilustrar este hecho: Quién tiene más dinero, alguien que debe 5, o bien alguien que debe 1? Es fácil contestar que quien debe 5. Es decir, 6 > 1 (o bien, 1 < 6). Qué es el valor absoluto de un número entero? El valor absoluto de un número entero es igual al mismo número entero eliminando su signo. El valor absoluto de un número entero es igual al mismo número entero sin su signo. Es decir, para encontrar el valor absoluto de un número entero, basta con quitarle el signo y convertirlo en un número natural. Así, por ejemplo, el valor absoluto del +6 es igual a 6; el valor absoluto de 3 es igual a 3; evidentemente, el valor absoluto de 0 es 0. Para expresar el valor absoluto de un número, se utilizan dos pequeños segmentos verticales colocados a ambos lados del número; así, el valor absoluto de +6, se expresa +6, y +6 = 6. De la misma manera: 3 = 3 0 = 0 Cómo se representan los números enteros en una recta? Las características de los números enteros permiten representarlos en una recta. Las características de los números enteros permiten representarlos sobre una recta, como puntos equidistantes, es decir, puntos que se encuentran a la misma distancia, ya que: No existe ningún número entero que sea el primero, ni tampoco el último. Es decir, dado cualquier número entero, siempre se puede encontrar un número que sea menor y otro número que sea mayor. Un número entero y el siguiente siempre se diferencian en una unidad. Los números enteros pueden listarse ordenados de izquierda a derecha; evidentemente, esta lista siempre será incompleta. Por ejemplo:... 7, 6, 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7... Así, pues, otra representación en una recta de los números enteros puede ser esta: También es posible representar números enteros no consecutivos, aunque la diferencia entre uno y el siguiente siempre ha de ser la misma. Por ejemplo, en esta representación los números se encuentran de 5 en 5: Como se puede observar, el cero no debe encontrarse siempre en el centro de la representación; incluso puede no hallarse entre los números representados. Por ejemplo: 1

22 Cómo se realizan la suma y la resta entre números enteros? La suma y la resta de números enteros tienen unas reglas especiales y cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. Las operaciones entre números enteros son las mismas que entre los números naturales y cumplen, además, las mismas propiedades; ahora bien, tienen ciertas reglas de cálculo específicas por la distinción existente entre enteros positivos y enteros negativos. En todo caso, la denominación de operaciones y elementos que forman parte de cada operación sigue manteniéndose. Las reglas para sumar números enteros son las siguientes: Para sumar dos números que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y, al resultado, se le añade el signo común. Por ejemplo: (+1) = ( 6) = 16 Para sumar dos números con signo diferente, deben restarse sus valores absolutos, el mayor del menor. Finalmente, debe añadirse el signo del número que tiene el valor absoluto mayor. Por ejemplo: ( 11) = + (el valor absoluto de +13, 13, es mayor que el valor absoluto de 11, 11; por eso el signo debe ser +) +6 + ( 11) = 5 (el valor absoluto de 11, 11, es mayor que el valor absoluto de +6, 6; por eso el signo debe ser ) La suma de números enteros tiene las siguientes propiedades: La propiedad conmutativa, es decir, que el orden de los sumandos no altera el resultado. Por ejemplo: 7 + ( ) = + (+7) = 5 La propiedad asociativa, es decir, una suma de más de dos enteros no depende del orden en el que se realizan las sumas. Por ejemplo: 3 + (+) + ( 5) = ( 3 + (+)) + ( 5) = 3 + ((+) + ( 5)) = 6 Existen dos tipos de elementos que cumplen ciertas propiedades especiales: el elemento neutro de la suma de números enteros es el 0; el elemento opuesto de un número entero es otro número entero que sumado con el anterior da cero. Por ejemplo, el opuesto de +5 es 5, porque +5 + ( 5) = 0. Es fácil observar que para calcular el opuesto de un número, únicamente se debe cambiar su signo. Todo número entero tiene un único opuesto y ambos números tienen el mismo valor absoluto. En el ejemplo: +5 = 5 = 0. La resta de números enteros tiene una sencilla regla: la diferencia de dos números enteros es igual a la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo. Por ejemplo: 14 (+3) = 14 + ( 3) = 11 1 (+16) = 1 + ( 16) = 8

23 Siempre significan lo mismo los signos + y? Los signos + y pueden representar o bien el signo de un número entero, o bien una operación. Los signos + y pueden expresar tanto una operación, como el signo de un número (positivo o negativo). Cada vez que se detecta un signo de este tipo en una expresión numérica, debe distinguirse cuál es su sentido. Así, por ejemplo: signos de operación + ( 1) ( + 7) ( 9) signos de los números + ( 1) (+7) ( 9) Cuando entre dos números sólo hay un único signo, éste no puede expresar otra cosa que una operación. Por ejemplo: 5 7 signo de operación Por supuesto, en este caso, el signo del número que sigue al signo de operación es siempre positivo porque es sabido que cuando un número no tiene signo, éste es positivo. Una expresión con números enteros puede ser muy farragosa por la cantidad de signos y paréntesis innecesarios (paréntesis que sólo encierran un número). Para evitarlo, se pueden eliminar dos signos consecutivos (uno de operación y el otro del número) siguiendo estas sencillas reglas: Se eliminan todos los paréntesis. Se sustituyen dos signos consecutivos. por un signo +, si se trata de signos iguales por un signo, si se trata de signos diferentes Por ejemplo: 5 + ( 8) ( 13) + ( ) (+4) + (+6) = Una forma rápida de obtener el resultado final es la siguiente: se suman, por una parte, todos los números precedidos de un signo +; por otra parte, se suman todos los que van precedidos de un signo. Finalmente, se hace la suma de estos dos valores, teniendo en cuenta que tienen signos diferentes. Cómo se realizan la multiplicación y la división entre números enteros? Las reglas multiplicación de números enteros tienen unas reglas especiales y cumplen las propiedades conmutativa y asociativa. Para realizar una multiplicación entre números enteros, en primer lugar se realiza el producto de sus valores absolutos, a continuación debe establecerse el signo del resultado. Para ello sólo es necesario recordar la siguiente regla: si ambos números tienen el mismo signo, su producto es positivo; si los números tienen signo distinto, su producto es negativo. Es usual escribir esta regla de este modo: + X + = + + X = X = + X + = En todo caso, se debe tener en cuenta que estas expresiones sólo sirven para recordar la regla, y no pueden encontrarse dentro de una expresión numérica (en la cual está prohibido el uso de dos signos consecutivos). Así, por ejemplo: +5 (+4) = +0 5 ( 4) = +0 3

24 +5 ( 4) = 0 5 (+4) = 0 Las mismas reglas son válidas para la división, cambiando el signo de multiplicar por el signo de dividir: + : + = + + : = : = + : + = En el caso de que la división sea exacta, al igual que en los números naturales, se dice que el dividendo es un múltiplo del divisor. Las reglas y propiedades de múltiplos y divisores son también las mismas, utilizando el valor absoluto de los números. Por ejemplo, el 3 es un divisor del 1 porque 1 : 3 = 4 es una división exacta. Las propiedades del producto de números enteros son: La propiedad conmutativa: el orden de los factores no afecta al producto. Por ejemplo: 3 ( 4) = ( 4) 3 = 1 La propiedad asociativa: el producto de más de dos factores no depende del orden en el que se realizan las multiplicaciones. Por ejemplo: 3 (+) ( 4) = ( 3 (+)) ( 4) = 3 ((+) ( 4)) = 4 Otra propiedad relaciona la suma y el producto de números enteros: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Esta propiedad afirma que el producto de un número por la suma de dos números es igual a la suma de los productos del primer número por cada uno de los otros dos. Por ejemplo: 5 (4 + ( 3)) = ( 5) ( 3) Cómo afectan las operaciones al orden de los números enteros? Al sumar o restar un mismo número a dos números enteros, los resultados guardan la misma relación de orden que los dos números originales; en cambio, al multiplicar o dividir dos números por un mismo número entero, los resultados guardan la misma relación de orden siempre que este último número sea positivo. Es importante conocer la influencia que ejercen las operaciones en el orden de los números enteros. En otras palabras, dados dos números enteros cualesquiera, cómo influye la operación (suma, resta, multiplicación o división) con otro número en el orden de estos números? Si se suma (o se resta) un mismo número a otros dos, los resultados conservan el mismo orden que tenían estos dos números. Por ejemplo, evidentemente 4 < 8. Si se suma +3 a ambos números, los resultados mantienen el mismo orden: 4 < 8 sumando 3 a ambos lados de la desigualdad resulta 1 < 11 por lo que se mantiene la desigualdad. Así pues, los resultados mantienen el mismo orden que los números iniciales. De la misma manera, al restar un mismo número a dos números, los resultados conservan el mismo orden que tenían estos dos números. Por ejemplo: 4 < 8 restando 4 a ambos lados de la desigualdad resulta 8 < 4 con lo que se mantiene la desigualdad. Por lo general, se suele decir que al sumar o restar un mismo número a los dos lados de una desigualdad, la desigualdad se mantiene. También puede decirse que la suma y la resta mantienen el orden de los enteros. 4

25 En cambio, cuando se multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un mismo número, no siempre sucede lo mismo. Si se multiplica, por ejemplo +3, a ambos lados de esta desigualdad: 5 < 3 los resultados son es decir 15 < 9 el orden de resultado sigue siendo el mismo. En cambio, si se multiplica por un número negativo, por ejemplo, el 4 5 < 3 los resultados son 5 ( 4) 3 ( 4) es decir 0 > 1 en este caso, el orden es exactamente el contrario, como se puede observar, ya que se ha cambiado el signo < por el signo >. De esta manera, puede afirmarse que: los resultados mantienen el mismo orden si el número por el que se multiplican es positivo; los resultados tienen un orden contrario si el número por el que se multiplican es negativo. Otros ejemplos podrían ser: 9 < 3 si se multiplica ambos números por se obtiene 35 < 15 en cambio, si se multiplica ambos números por 9 ( ) 3 ( ) se obtiene 18 > 6 tal como se esperaba. De la misma manera, 4 > 3 si se multiplica ambos números por +3 4 (+3) 3 (+3) se obtiene 1 > 9 tal como se esperaba. En cambio, si se multiplica ambos números por 5 4 ( 5) 3 ( 5) se obtiene 0 < 15 tal como afirma la regla. En el caso de la división, las reglas se aplican de la misma manera que con la multiplicación. Por ejemplo: 15 < 30 si se dividen ambos lados entre 5 15 : 5 30 : 5 se obtiene 3 < 6 en cambio 36 < 30 si se dividen ambos lados entre 36 : ( ) 30 : ( ) se obtiene 18 > 15 como era de prever. 5

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