EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "EXPRESIONES ALGEBRAICAS"

Transcripción

1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces es llamada una epresión algebraica. Ejemplo (.- Los siguientes son ejemplos de epresiones algebraicas: ) a.-. En este caso la variable es. b.- ( y). Aquí tenemos una epresión algebraica en las variables y y. y c.- a. Si asumimos a una constante, ésta es una epresión algebraica en la variable. Esta epresión algebraica tiene tres términos. Recordemos que un término es un sumando de una epresión. En este caso los términos son a, y -. Como a representa un número fijo entonces a es el coeficiente de y es el coeficiente numérico. El término - es el término constante. Las epresiones algebraicas con un solo término se las conoce como monomios. Por ejemplo. Las que tienen dos términos se las denomina binomios. Las que tienen tres términos trinomios. El ejemplo b es un binomio y el c un trinomio. Cuando tiene más de un término se les llama un multinomio. La epresión c es conocido también como un polinomio. Un polinomio es una epresión de la forma n n an an K a a0, con n un entero no negativo. Si a n 0, entonces n es el grado del polinomio y a n es conocido como el coeficiente principal. Por ejemplo: es un polinomio de grado con coeficiente principal. / es un polinomio de grado, el coeficiente principal es. La epresión no es un polinomio porque el eponente no es entero. Tampoco es polinomio porque el eponente de la es negativo. OPERACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Como las variables representan número reales, las propiedades de los números reales pueden ser usadas para operar epresiones algebraicas con la idea de ir obteniendo epresiones equivalentes pero más sencillas. A continuación indicaremos como proceder con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS El primer ejemplo que mostramos es muy riguroso en el uso de las propiedades. De este ejemplo intentaremos etraer los pasos más importantes para proceder de manera más rápida en los siguientes. Una clave en este tipo de manipulación es la suma de los términos semejantes. Se dice que dos términos son semejantes si son iguales salvo en el coeficiente numérico. Por ejemplo la epresión: tiene dos términos semejantes. En, sólo y, pues difieren en algo más que su parte numérica. son términos semejante, no así y

2 Ejemplo.- Determine la suma ( ) ( ). Simplifique tanto como sea posible Solución: Podemos quitar los paréntesis ( ) ( ) ( ( )) Aplicamos propiedad conmutativa, agrupando los términos semejantes. Aplicamos la propiedad distributiva para realizar Realizamos la suma algebraica de los términos constantes. Observe como en el ejemplo anterior terminamos sumando algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes. Podemos obviar el paso de la propiedad conmutativa y la aplicación de la propiedad distributiva y de una vez sumar los coeficientes de los términos semejantes y colocar la r r r parte no numérica: a b ( a b) Veamos el siguiente, donde aprovecharemos este comentario: Ejemplo.- Determine ( ) ( ). Simplifique tanto como sea posible Solución: Reescribimos la resta como una suma y luego quitamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) ( )( ) y son términos semejantes. Igualmente y ( ( )) ( ). Se suma algebraicamente los coeficientes de términos semejantes Comentario: Cuando hay una resta podemos proceder a eliminar el paréntesis tomando en cuenta que el signo menos cambia el signo de cada término de la epresión que estamos restando, como efectivamente ocurrió en el ejemplo anterior. Ejemplo.- Determine ( ) ( ). Simplifique tanto como sea posible Solución: En esta ocasión hacemos uso del comentario anterior, eliminamos el paréntesis cambiando el signo a cada término de la segunda epresión ( ) ( ) Se suma algebraicamente los coeficientes de términos semejantes Ejercicio de desarrollo.- Determine ( ) ( ). Simplifique tanto como sea posible

3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar epresiones algebraicas podemos proceder usando la propiedad distributiva o bien si es el caso aplicando un producto notable de uso frecuente, los cuales se aprenden de memoria. Productos Notables: ) ( a)( b) ( a b) ab ) ( a)( a) a ) ( a) a a ) ( a) a a ) ( a) a a a 6) ( a) a a a En el siguiente ejemplo se presentan distintos casos donde es apropiado usar productos notables Ejemplo.- Realizar los siguientes productos: a) ( )( 6) b) ( )( ) c) ( )( ) d) ( ) e) ( y ) Solución: a) Lo identificamos con el producto : ( a)( b) ( a b) ab en este caso a y b6. Así: ( )( 6) ( 6) b) Este producto lo identificamos de nuevo con, en este caso a y b. Tenemos entonces: ( )( ) ( ( )) ( ) c) En este caso tenemos la forma. Aquí tenemos que tener amplitud y pensar que el nuevo es y a. De esta forma: ( )( ) ( ) 9 d) La forma apropiada a aplicar es la con como el nuevo y a. Entonces tenemos ( ) ( ) e) Lo identificamos con el producto notable 6, con y y a. Así ( y ) (y) ( y) (y) y 9 y 7 y 7 6y y 08y 7 En el ejemplo tenemos el caso donde es apropiado usar la propiedad distributiva

4 Ejercicio de desarrollo.- Realizar los siguientes productos a) ( ) b) ( )( ) c) ( ) Ejemplo.- Realizar los siguientes productos: a) ( ) b) (y-)(y y-). Solución: Usamos en ambos casos la propiedad distributiva a) ( ) b) En este caso interpretaremos (y-) como el factor que se distribuye en (y y-). (y )( y y ) (y-) y (y-) y-(y-).. Ahora interpretamos y, y y como los factores que se distribuyen en (y-). (y - y )(6y - y)-(y-) Finalmente, distribuimos los signos y sumamos términos semejantes y y - y Cuando eaminamos la primera línea de ejemplo b, vemos que en realidad cada término de cada factor se multiplica con cada término del segundo factor: De esta manera procederemos en el siguiente ejemplo: Ejemplo.- Realizar los siguientes productos: a) ( )( ) b) ( )( ) Solución: a) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Se suman los términos semejantes 8 b) ( )( ) Se suman los términos semejantes 6 Ejercicio de desarrollo.- Realizar el siguiente producto: ( )( )

5 OPERACIONES COMBINADAS Una epresión como { [ ( ) ]} ( )( ) puede ser escrita de una manera más sencilla tanto para evaluar como en su propia escritura. Para realizar este tipo de operación se debe eliminar primero los paréntesis o separadores más internos, intentando con este criterio de ir eliminando todos los paréntesis o separadores. Una vez eliminados se suman los términos semejantes. En ocasiones es útil usar las propiedades asociativa, conmutativa o alguna otra dada. Analicemos algunas epresiones: Ejemplo.- Simplificar a) 8( t ) b) 8( ) t c) ( 8( ) ) t d) ( ) ( )( ) e) { [ ( ) ]} ( )( ) Solución: a) Primero se resuelve el paréntesis más interno, en este caso hay uno sólo -8(t-) -8t8-8t8-8t0 b) Aquí interpretamos que 8 está multiplicando la epresión ( t ). Luego de obtener el resultado de este producto se realiza la resta algebraica entre y 8( t ). Realizamos entonces primero el producto notable. Hay que mantener el paréntesis para indicar que -8 esta multiplicando el resultado completo de ( t ). -8 ( t ) -8(t -t) Recuerde que para realizar esta diferencia, distribuimos el signo - -8t 6t-8-8t 6t-8-8t 6t-6. c) En este caso, podríamos ejecutar primero 8(t-) y luego esta epresión elevarla al cuadrado. Sin n n n embargo, se le sugiere al estudiante aplicar la propiedad ( y) y. De esta manera -[8(t-)] -8 (t-) -6(t -t) - 6t 8t-6-6t 8t-6. Cuidado!!! 8( t ) 6( t ) d) Primero efectuamos los productos de los dos términos de la epresión ( ) ( )( ). Para el segundo usamos la propiedad asociativa: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 6 9) ( 6) Ahora se usa la propiedad distributiva 8 6 Se suman términos semejantes e) { [ ( ) ]} ( )( ) { [ ( )] } {( )( ) }

6 6 { [ ] } { 9} { [ ] } 9 9 Se suman términos semejantes { } 9 Ejercicio de desarrollo.- Simplificar ( )( ) ( ) EJERCICIOS ) Realizar los siguientes productos, simplifique tanto como pueda:.) ( )..) ( 9 ).) ( ).) ( ).) ( )( ).6) ( )( ).7) ( ).8) ( t / )( t / ).9) ( )( ).0) ( ).) ( )( ).) ( )( ).) ( t).) ( ).) (z ).6) ) (.7) ( ) z.8) ( ).9) ( y)( y).0) ( )( ).) ( ).) ( / ) ) Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda:.) ( ) ( ).) ( z z ) ( z ).) ( ) ( ).) ( ) ( ).).7) ( ) ( ).6) ( ( ) ( ) ) ( ).8) ( ) ( ).9) ( y )( y ) y.0) [ ( )] ( ).) ( ) { [( ) ( )] ( ) } ( )( ).) ( )( ) ( ).) ( )( ) ( )( ).) ( )( ) ( )( ( ) ) ) Realice las siguientes operaciones, simplifique tanto como pueda:.) ( z ).) ( 8) ( ).) ( ).) ( ).) ( ) ( ) 6

7 7.6) (t t )(t ).7).9) ( )( ) ( ).8) ( y ) ( y ) Respuestas:.) 9.) 8 6.) 6 6.) 6 8.) 9.6) 6.7) 6 9.8) t t /.9) 7.0) 9.) 6 6 / /.).) 9 t t.).) z.6) z.7) 9 6.8).9) y.0).) 6.) 8 6.) 8.) z z.) ( ).).).6) 8.7) 6.8) 8.9) y y y 9.0).) ( ).).) 6.) ) 9z z.) 8 8.).) 6 8.) 6.6) 6t t t t t.7) 6.8) 8y 6y.9) 6 7

8 8 DIVISION LARGA DE POLINOMIO Supongamos que tenemos los polinomios P() y D(). Se P( ) pretende mostrar en esta sección como es la división entre polinomios. Al igual que en los D( ) número enteros, eistirá un cociente y un residuo. Pero en nuestro caso el cociente será un polinomio y el residuo un polinomio de grado estrictamente menor que el divisor. Para realizar la división arreglaremos P() en orden decreciente de potencias de n, colocando 0 en los coeficientes que no aparecen, en este caso el coeficiente de grado de P() es 0. D() también es ordenado por grado de mayor a menor, no hace falta completar términos. El proceso es bastante similar a la división de números enteros. de Buscamos un monomio tal que cuando se multiplique por (primer término del divisor) nos (primer término del dividendo). Este es que se obtiene al realizar. Multiplicamos cada término de D() por y los resultados los colocamos con signo cambiado en la columna del grado respectivo. 0 6 Sumamos y bajamos el siguiente término de P() Repetimos el proceso. Dividimos entre, el resultado es el segundo término del cociente, el cual lo multiplicaremos por el divisor ( ) y lo colocamos con signo cambiado debajo de la última línea escrita del lado izquierdo, según su grado, procedemos hacer la suma de estas líneas y repetimos el proceso hasta que el grado de la última línea del lado izquierdo (el residuo) sea menor que el del divisor D(). Presentamos a continuación la división completa 8

9 9 Igual como ocurre en la división de los números enteros tenemos que P()D()C()R() En este caso tenemos entonces que ( )( ) ( 7 ) 7 Recuerde que Ejercicio de desarrollo.- Determinar el cociente y el residuo de la siguiente división donde P ( ) D ( ) P( ), D( ) DIVISIÓN ABREVIADA DE POLINOMIOS. Método de Ruffini. Este método se usa cuando el divisor es de grado. n n Para dividir an an L a a0 entre -c, usando Ruffini, seguimos los siguientes pasos:.- Colocamos en orden los coeficientes de mayor a menor en una línea horizontal, incluyendo los coeficientes ceros. En la izquierda colocamos c. Observe que es el número que acompaña al menos en -c y trazamos las rayas como en la figura an an an L a a 0 c a n.- Multiplicamos a n por c y lo colocamos debajo de a n-, sumamos estas dos cantidades: a n ca n lo colocamos en el último nivel al lado de a n. Volvemos a repetir este proceso hasta llegar a la última columna. y a n c a n a n ca n b n a cb n n b n L a cb b 0 a 0 cb 0 r Multiplicar Sumar: como b n an cbn.- El cociente de la división es n n C() a b L b b0 n n 9

10 0 El residuo es R()r. Observe que en este caso el residuo es un número, por qué? Ejemplo.- Divida P () entre D (), determine el cociente y el residuo, donde P ( ) y D() Solución: Como el divisor es un polinomio de grado podemos usar Ruffini. C ( ) y R ( ). Por lo tanto tenemos P ( ) ( )( ) (-). Ejemplo.- Determinar el cociente y el residuo de P ( ) D( ). Epresar P en términos del cociente y el residuo. P ( ) y D()- Solución: De nuevo usamos Ruffini De esta tabla obtenemos C ( ) 9 el residuo es R ( ) y P ( ) ( 9)( ). Ejercicio de desarrollo.- Divida P () entre D (), determine el cociente y el residuo donde P ( ) y D(). Epresar P en términos del cociente y el residuo. 0

11 EJERCICIOS ) Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de P () entre D (), epresar P en términos del cociente y el residuo..) P ( ) 9 D( ).) P ( ) D( ).) ( ) P 6 D ( ) 9.) P ( ) 9 8 D( ).) P( ) 9 D ( ).6) P ( ) 6 D ( ).7) P ( ) D ( ).8) P( ) D ( ).9) P ( ) 9 D ( ) ) Determinar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones P ( ) D( ), epresar P en términos del cociente y el residuo. Aplique Ruffini..) P ( ) D ( ).) P ( ) D ( ).) ( ) P 7 D ( ).) P ( ) 8 D ( ).) P ( ) 9 D ( ).6) P ( ) D ( ).7) P ( ) 8 D ( ).8) P ( ) D ( ) Respuestas:.) C ( ) 8 6 R( ) 9 9 P () ( ) ( 8 6) ( 9 9).) C ( ) 6 R( ) 8 P () ( )( 6) 8.) C ( ) R( ).) C ( ) 8 R( ) 9.) C ( ) R( ) 9 P () ( ) ( ) ( 9).6) C ( ) 8 R( ).7) C ( ) R( ).8) C( ) R( ).9) C ( ) R( ).) C ( ) 6 R( ).) C ( ) 6 R( ) 9.) C ( ) R( ).) C ( ) R( ) 6.6) C ( ) R( ) 0.7) C ( ) R( ).8) C ( ) R( ) /

12 FACTORIZACIÓN Empezamos esta sección recordando que dos epresiones que se multiplican se llaman factores. Por ejemplo, la epresión ()(-) está epresado como un producto, donde () y (-) son los factores. En ocasiones va ser de suma importancia escribir una epresión como un producto, ese proceso de epresarlo como un producto se llama factorización. Por ejemplo, - no es un producto, pero sabemos que: ()(-) -, Aquí hemos factorizado la epresión -, identificando con un producto notable. Hay varias técnicas para factorizar epresiones, listamos algunas:.- Factor común..- Identificando con productos notables..- Raíces de polinomio..- División del polinomio. En general buscamos que los factores sean polinomios de grado menor que el polinomio original. Cuando se pretende factorizar completamente una epresión se busca que los factores no puedan factorizarse más y en ocasiones tendremos que mezclar técnicas..-factor Común: La técnica de factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso: y a ( y a) Veamos ejemplos donde es apropiado usar la técnica de factor común Ejemplo.- Factorice completamente: a) a a b) 6y 8 y / c) ( ) ( )( ) d) / Solución: a) En a a tenemos dos términos en esta epresión. El primer término puede ser epresado como a aa. El segundo lo podemos escribir comoa a.podemos ver que a es un factor común en ambos términos. Al identificar a como el factor que está en los dos términos aplicamos la propiedad distributiva en sentido inverso: a a a( a Comentario: también es un factor común en ambos, pero nos piden factorizar completamente la epresión, es por ello que sacamos el máimo factor común. )

13 b) En este caso, 6 es un factor que está en cada término de 6y 8 y igualmente. Observe que y no está en el segundo término, por lo tanto no es común. Así 6 es el máimo factor común entre los tres términos. Entonces 6y 8 y 6 ( y y c) En este ejemplo conviene sacar factor común ( ). Así ( ) ( )( ) ( )(( ) ( )) ( )( ) ( )( ) ( ) d) Aún cuando esta epresión no es un polinomio se puede factorizar. Sacamos el máimo factor común que es al mínimo eponente de los términos. En este caso este eponente es /. Así / / / ( ).- Factorización por productos notables: Esta técnica consiste en identificar una suma con un producto notable. Antes de continuar damos los productos notables escritos de derecha a izquierda. ) (ab)ab(a)(b) ) -a (-a)(a) ) aa (a) ) -aa (-a) Conviene aprenderse de memoria otros dos resultados, por su frecuencia en el cálculo: ) -a (-a)( aa ) 6) a (a)( -aa ) Comentarios: ) Si tenemos un polinomio de grado de tres términos y el coeficiente principal es podemos intentar aplicar la fórmula. Para ello debemos pensar en dos números que sumados algebraicamente den el coeficiente en y multiplicados den el término constante. Por ejemplo al factorizar --, buscamos dos números que multiplicados den -(el signo nos dice que tienen que ser de signos contrarios) y sumados -(el signo en este caso nos dice que el mayor es el negativo). Estos números son - y. Efectivamente (-)() --. (En general, se intenta de aplicar la fórmula cuando el grado del polinomio es par, luego otro término de grado la mitad del anterior y luego la constante, por ejemplo que aparezca el término y también uno con y luego la constante). ) ) Se puede intentar usar, o 6 cuando tenemos dos términos. Usamos cuando la variable está como un cuadrado perfecto:,,etc. Usamos y 6 cuando la variable está como un cubo perfecto:, 6, etc. Veamos los siguientes ejemplos:

14 Ejemplo.- Factorice completamente: a) b) t 9 c) 7 Solución: a) Intentamos la forma ( a)( b) pues es un polinomio de grado con tres términos. Buscamos dos números que multiplicados den y sumados algebraicamente den -. Observe que son del mismo signo (lo dice la multiplicación) y este signo debe ser (lo indica la suma). Estos números son - y -. Así ( )( ) b) Intentamos asociarlos con la forma a ( a)( a). En este caso 9a, de aquí a. De esta manera: t 9 t ( t )( t ) c) Vemos que es de la forma a ( a)( a a ), con a 7. Así a. Por tanto: Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente: ( )( 9). a) b) 6 c) 7 8 d) 6 El siguiente ejemplo muestra una mezcla de los métodos hasta ahora vistos: Ejemplo.- Factorice completamente: a) 6 9 b) y 6 c) d) ( ) ( )( ) Solución: a) Observamos primero que es factor común en cada término, por lo tanto: 6 9 ( 6 9). Este segundo factor no está completamente factorizado, identificamos con la forma ( a) a a. En este caso a 9. Así a y es efectivamente a 6. Entonces finalmente: 6 9 ( 6 9) ( ) b) Intentamos asociarlos con la forma a ( a)( a). Aquí y se identifica con, de donde y es. Por otro lado 6 a, así a. De esta manera: y 6 ( y )( y ) De ( y ) no podemos con nuestras herramientas concluir que ya no se puede factorizar más en el campo real, sin embargo ( y ) lo identificamos de nuevo con a ( a)( a). El lector entonces puede chequear que y 6 ( y )( y )( y ).

15 c) Para empezar una factorización, el lector ha podido apreciar que primero intentamos etraer factor común. En este caso es el factor común: ( ) Factorizamos ( ) usando ). Observe que se ha ( )( ) cambiado los papeles de por a y de por a. Esta última también puede ser epresado como ( )( ). d) En este ejemplo, se puede en principio realizar las operaciones para luego factorizar la epresión resultante, sin embargo es más fácil sacar de factor común ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ( )] ( )[ ] Se factoriza la última epresión ( )[( )( )] ( ) ( ) Ejercicio de desarrollo.- Factorice completamente: a) b) 6 ( ) ( ) EJERCICIOS ) Factorice completamente los siguientes polinomios:.) 9.).) 6 7.) t t.) ) y 8.7).8) z z 9z.9).0) 6 6.) 8.).).) 8.) 0.6) ( ) ( ).7) ( 9).8) 8 6.9) ( ) ( ) ( ).0) ( ) ( ).) / y.).) 8 8.) 8 7 Respuestas:.) ( )( ).) ( )( ).) ( 7)( ).) ( t )( t ) ( ).6) ( y )( y y ).7) ( )( ).8) z ( z )( z ).) ( ).9) ( )( 9).0) ( )( )( )( ).) ( )( ).) ( )( ).) ( )( ).) ( )( ).) ( )( ).6) ( 7)( ).7) ( )( ).8) ( ) ( ).9).0) ( )( ).) / ( y ).) ( )( 6 9 ) ) ( y.) ( )( ).) ( 9 ) y 6 /

16 6.- Factorización por raíces del polinomio. Si tenemos un polinomio de segundo grado: P ( ) a b c con a 0 y si este polinomio tiene raíces reales: r y r, entonces podemos factorizar P ( ) a b c como: P( ) a( r )( r ). (Observe que al multiplicar esta última epresión obtenemos el mismo coeficiente de grado. Por otro lado P ) a( r )( ) también se hace cero en r y r ). ( r Si P es un polinomio de segundo grado que no tiene raíces reales entonces no admite más factorización en el campo real. Cuando un polinomio no se puede factorizar más como producto de polinomios de grados menor, pero distintos a cero se dice que el polinomio es irreducible en los reales. Ejemplo. Factorizar P ( ). Solución: Planteamos 0. Las raíces son: De aquí ± 9 r, r r. Entonces podemos factorizar P () como P ( ) ( ( ))( ( )), es decir P ( ) ( )( ). Observe que la factorización por identificación del producto notable P ( ) ( a)( b) es más rápida en este caso. Sin embargo, no siempre resulta este método. En el caso a o cuando a, pero no conseguimos números que multiplicados den c y sumados den b en a b c, es recomendable la factorización por las raíces del polinomio. Ejemplo.- Factorizar completamente P ( ) Solución: En este ejemplo no puede conseguir dos números que multiplicados den y sumados. En este caso es apropiado usar el método de las raíces. Busquemos las raíces: ± 9 r, De aquí r y r. Entonces podemos factorizar P () como es decir P ( ) ( )( ), P ( ) ( )( ). 6

17 7 Ejemplo.- Factorizar completamente P ( ). Solución: Primero se calcula las raíces: 0 ± 9 r, Tenemos r y r Entonces P ( ) ( ( ))( ( ) ( )( ). Ejemplo.- Factorizar completamente P ( ). Solución: Como las raíces de 0 ± 9 ± r, no son reales (el discriminante es menor que cero) entonces el polinomio no se puede factorizar más en los reales. El polinomio es irreducible..- Factorización por Ruffini. n Supongamos un polinomio de grado n: P( ) an L a a0 y que r es raíz de P (). Esto es P ( r ) 0. Entonces es fácil ver que ( r ) divide eactamente al polinomio P ( ). Si el cociente de la división es C (), entonces P( ) ( r ) C( ) pues R ( ) 0. Luego hay que considerar factorizar C (), pues ( r ) es ya irreducible. En el siguiente ejemplo se realiza la división de polinomio a través de Ruffini. Un resultado conocido en álgebra es que si r, número racional, es una raíz de P, entonces r p puede ser escrito en la forma, donde p es divisor de a 0 y q es divisor de q a n. Ejemplo. Factorizar completamente P ( ) 7 6 Solución: Las posibles raíces racionales son: ± ± ± ± ± 6 y ±. Podemos verificar que es raíz. Esto es P ( ) 0. Aplicamos Ruffini De esta manera C ( ) 6 y R ( ) 0. Por lo tanto tenemos 6 0 P ( ) ( 6)( ). Para finalizar la factorización se identificará con el producto notable ( a)( b). Así rápidamente vemos C ( ) ( )( ). Finalmente P ( ) ( )( )( ) ( )( ). 7

18 8 Ejemplo.- Factorizar completamente P ( ) 8 ± ± Solución: Las posibles raíces racionales son: ± ±. Podemos verificar que es raíz 8 Volvemos aplicar Ruffini con como raíz 0 6 De esta tabla obtenemos la factorización deseada: 0 P ( ) ( )( )( ). Observe que a diferencia del ejemplo pasado en este ejemplo se decidió reiterar la división de polinomio para factorizar completamente a P. Ejemplo. Factorizar completamente P ( ) ± Solución: Las posibles raíces racionales son: ± ±. Podemos verificar que es raíz. Esto es P ( ) 0. Aplicamos Ruffini 0 De esta manera C ( ) y R ( ) 0. Por lo tanto tenemos P ( ) ( )( ). Para finalizar la factorización se usará el método de las raíces en C, pues no hay más raíces ± 7 racionales. Se puede verificar que las raíces de C() son. Estas son los números irracionales 7 Así 7 y. ) 7 7 C (. Finalmente 7 P ( ) ( ) Ejercicio de desarrollo.- Factorizar completamente P ( ) 7 8

19 9 Ejemplo. Factorizar completamente P ( ) Solución: Las posibles raíces racionales son: ± ±. Podemos verificar que es raíz. Esto es P ( ) 0. Aplicamos Ruffini 0. Podemos verificar que no tiene más raíces racionales. 0 Hasta ahora la factorización es ( )( ). Se intenta de factorizar ( ) por otro método. 8 7 Ahora bien, vemos que las raíces de este polinomio no son reales (es un número complejo). Así podemos concluir que ( ) es irreducible sobre los reales, y la factorización completa de P es: ( )( ). EJERCICIOS Factorizar los siguientes polinomios.) P ( ) ) P ( z) 6z z.) P ( ).) P( ) 6 9.) P ( ).6) P( ) ) P( z) z 6z 6z.8) P ( ) ( ) ( ).9) P ( t) t t t ( t t ).0) P ( z) z 0z z.) P ( ) ) P ( z) z z z.) P ( t) t t 8t.) P( ) 6 8.) P ( ).6) P ( ).7) P ( ) 8 9.8) P( ).9) P ( ) 6 7 Respuestas:.) 6 ( )( / ).) Es irreducible.) ( )( / ).) (-)().) (-) ()( ).6) ()(-).7) z(z-7)(z-9).8) ( ) ( )( ).9) (t-)(t)(t).0) ( z ) z z.) ( )( )( ).) P ( z) ( z z )( z )(z ).) (t-)(t-)(t).) (-)().) (-) ()(-).6) ( )( )( )( ).7) 8( / )( / )( / )( ).8) ( ) ( ).9) ( )( )( ) 9

20 0 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Una epresión racional es una epresión que se puede escribir como el cociente de dos polinomios. Ejemplo.- Las siguientes epresiones son racionales: a), pues es el cociente de polinomios. 6 b), pues puede ser escrita como: y tanto como son polinomios. c), pues puede ser escrita como una epresión racional.. En general, un polinomio es Ejemplo.- Las siguientes epresiones no son racionales: a) b) /. Estas últimas epresiones, que se puede epresar como cociente de epresiones algebraicas son conocidas como epresiones fraccionarias. En esta sección además de algunas manipulaciones propias de epresiones fraccionarias, estudiaremos la simplificación, la suma, diferencia, multiplicación y cociente de epresiones racionales. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Como la variable representa un número se puede usar las reglas de simplificación de los números reales, esta es: a c b c a b a c (Conviene recordar que b c a b c c a a ) b b En nuestro caso las letras serán epresiones. Una epresión se podrá simplificar en una fracción cuando aparece multiplicando el resto del numerador y al mismo tiempo al resto del denominador. Así que para simplificar, tanto el numerador como el denominador deben estar factorizados. Veamos los siguientes ejemplos: 0

21 Ejemplo.- Simplifique las siguientes epresiones: a) 8 b) c) Solución: Lo primero es factorizar tanto numerador como denominador, para luego si hay factores comunes simplificar. a) b) c) MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para multiplicar epresiones racionales, de nuevo recordamos la regla de multiplicación de número reales d b c a d c b a. Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda a) b) 7 6 Solución a) ) )( ( ) ( b) ) )( ( ) 7 6)( ( 7 6 ) )( ( ) )( ( ) )( )( )( (. Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda 9 Estas epresiones son iguales salvo para, pues la primera no está definida y la última si. En, no están definidas ambas Es conveniente, para visualizar mejor las posibles simplificaciones, reescribir los polinomios con coeficiente principal positivo. En este caso se reescribió ) ( ) (

22 Para la división, podemos emplear la propiedad de los números reales o bien epresar la división como el cociente de dos fracciones a las que se le aplica la regla doble C: Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda: a) b) ( ) 6 Solución: a) Epresamos el cociente para aplicar la doble C: ( )( ) 6 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) b) A fin de aplicar la doble C, epresamos ( )( ) ( )( ) ( )( ) como ( ). Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda: 8 6 Se factoriza a fin de simplificar SUMAS Y RESTAS Para sumar o restar epresiones racionales se procede de manera similar que en los números reales, tomando en cuenta que ahora los factores irreducibles toman el papel de los números primos del caso numérico. El primer ejemplo nos recuerda que si los denominadores son iguales, simplemente se suman o se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador

23 Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda 6. Solución: 6 ( ) ( 6) 6. 6 ( 6)( ) 6 Se factoriza a fin de simplificar Para sumar fracciones con denominadores distintos emplearemos el método del m.c.m. de los denominadores. Recordemos el caso numérico. Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda Solución: Cada denominador se descompone en sus factores primos a fin de calcular el m.c.m. de ellos. 0 y 8 Recordemos que el m.c.m. de tres números son los factores primos comunes y no comunes con su mayor eponente. Comunes: y su máimo eponente : Aporta y su máimo eponente : Aporta No comunes: y su eponente : Aporta Por lo tanto el m.c.m(0,,8) 60. Es conveniente dejarlo factorizado, para realizar las divisiones más rápidamente Ahora imitaremos el procedimiento con epresiones algebraicas, considerando que los polinomios irreducibles hacen las veces de los números primos. Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda ( ) ( )( ) ( ) Solución: Calculemos primero el m.c.m. de los denominadores. Observe que este caso ya están factorizados los denominadores:

24 ( ) Comunes: ( ) su máimo eponente es : Aporta ( ) su máimo eponente es : Aporta No comunes: ( ) su máimo eponente es : Aporta () Así, el m.c.m. de los denominadores es: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 ( ( )( ) ) 6 0 ( )( ) 7 6. ( )( ) No se factoriza el numerador pues se verificó que ni 0, ni -, ni - son raíces del numerador y por consiguiente no hay simplificación posible en esta fracción. Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda. Solución: Primero se debe factorizar los denominadores con el objeto de calcular el m.c.m. de los denominadores. ( )( ) ( ) El lector puede verificar que el m.c.m. ( )( ) Así tenemos ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda: a)

25 b) ( ) ( ) ( )( ) OPERACIONES MIXTAS Ejemplo.- Realice y simplifique tanto como pueda z z z Solución: En esta epresión debemos primero realizar la diferencia del numerador, epresarlo como una sola fracción, para luego realizar la división mediante la doble C, estando claro que la epresión z debe ser epresado como una fracción. z z z z z z( z ) z( z ) z z z ( z ) z( z )( z ) ( z ) z( z )( z ) z( z ) Ejemplo.- Realice y simplifique Solución: Primero escribimos el segundo término como una fracción a fin de realizar una suma de fracciones: Es claro que el m.c.m. de los denominadores es. Alternativamente se puede hacer la suma es cruz ( ) ( ) Observe de la necesidad de colocar paréntesis en la epresión ( ) 8 7 Ejercicio de desarrollo.- Realice y simplifique tanto como pueda a) z z

26 6 6 b) RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES En ocasiones pudiéramos tener epresiones como o bien, donde nos conviene eliminar las raíces en el denominador, esto es debemos racionalizar el denominador. Observe que estamos tratando el caso que el denominador tiene dos términos. Para realizar este objetivo la epresión es reescrita multiplicando y dividiendo por la conjugada del denominador. Ejemplo.- Racionalice el denominador de las siguientes epresiones: a) b) c) Solución: a) Multiplicamos arriba y abajo por la conjugada del denominador. Esta es la misma epresión que el denominador pero con el segundo término cambiado de signo: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 6 b) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) 9 ) ( ) ( ( ) 9 ) ( ) ( ( ) ) (. c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se ha provocado el producto notable ) )( ( b a b a b a, sin alterar la epresión original.

27 7 7 Ejercicio de desarrollo.- Racionalice el denominador de las siguientes epresiones: a) 8 b) c) EJERCICIOS ) Realice las siguientes sumas de fracciones por el método del m.c.m. de los denominadores. Simplifique.) 9 6.) 9 7.) 8 0.) ) 9.6) 8 ) Realice las siguientes operaciones y simplifique tanto como pueda.).).) ) (.).).6) t t t t t.7).8) 6.9).0).) 9 9.) y y y y.) 6 6.) ) (.).6) z z z z.7) 6.8) h h ) (.9)

28 8.0) t.) t t 8 z z z 6.) z 9 z z ) Racionalice el denominador de las siguientes epresiones:.).).).) 7 z.) z 7 0 Respuestas:.).).).).).6).) ( ) 7 t.).).).).6) ( )( ) ( ) ( ) t t.7) 9.8).9) ( )( ) ( )( ) ( ).) ( ) y y y ( z z ).6) z z ( 6.0) ( )( )( ) ( ).) ( ) 7 (7 7 ).) ( ).0).) ( ).).) ( ) ( ) ( ) ).7) t( t ).) ( ) h.8).9) ( h).6) ( z z )(z ).) -.).) ( z ) ( )( ).) ( z z ).) EJERCICIOS ADICIONALES ) Factorice completamente:.) 9.) 9.) 6.) 0 00.) 8.6) 7 6.7) 0.8) 8.9) 9 0.0) ) 6 8.) 8 7.) 6 6.) 000.) ( ).6) 6.7) 6.8) 8 8.9) 0.0) ( ) 6 ( ) ) Calcule el m.c.m. de cada conjunto de epresiones dadas.)

29 9.) ( ) ( ).) 0 ) Realice:.).).).).) ) Realice y simplifique:.) ( h).) h.).) ) Realice y simplifique:.) ( ).) ( ).) ( )( ).) ( ) ( ).) ( )( ) / / /.6) ( ).7) ( ) /.8) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).9) ( ) ( )( ).0) ( ) ( )( ) ( )( ) Respuestas:.) ( )( ).) ( 7 )( 7).) ( 9)( ).) ( 0)( 0).) ( 6)( ).6) ( 6)( ).7) ( 0)( ).8) ( 7)( ).9) ( )( ).0) ( )( ).) ( ).) ( )( 6 9 ).) ( )( 6).) ( 0 )( 0 00 ).) ( )( ).6) ( )( ).7) - ( )( )( )( ).8) ( ) ( )( ).9) ( )( )( )( ).0) ( )( 6.) 7 ( )( )( ).) ( ) ( ) ( ).) ( )( ) ( ) 6 8.)..).).) ( )( )( ) 7 h.).).).) ( h).) 6.).).) ) 6.6) 6.7) ( 0)( ).8) 8 8.9) 0.0) 6 6 9

Lección 9: Polinomios

Lección 9: Polinomios LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

Qué son los monomios?

Qué son los monomios? Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x

Los polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada

Más detalles

Operaciones con polinomios

Operaciones con polinomios Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)

Más detalles

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización

Profr. Efraín Soto Apolinar. Factorización Factorización La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

Más detalles

Multiplicación. Adición. Sustracción

Multiplicación. Adición. Sustracción bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.

Más detalles

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.

. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Curso Propedéutico de Matemáticas Unidad IV Secciones 6 y 8) 0.6 Operaciones con epresiones algebraicas. 0.8 fracciones

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice

Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +

Más detalles

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales.

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales. 1. 1.1 Epresiones algebraicas 1.1 Epresión algebraica. En matemáticas una epresión algebraica es un conjunto de letras y números, ligados por los signos de adición, sustracción, multiplicación, división,

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes.

Si los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes. Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta un informe Teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12

Material N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12 C u r s o : Matemática Material N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una epresión algebraica consiste en sustituir

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

Operatoria algebraica

Operatoria algebraica Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Funciones polinomiales de grados 3 y 4

Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Funciones polinomiales de grados 3 y 4 Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro. Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42

2Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 42 PÁGINA 42 Pág. 20 cm r r l l 20 cm Amparo quiere fabricar las cuatro velas que ha diseñado sobre el lienzo, pero aún no se ha decidido sobre alguna de sus dimensiones. Para hacerlo necesita saber su volumen

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1

UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1 Unidad 1: Epresiones Algebraicas UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página 1 UNEFA CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA (CINU)- MATEMÁTICA Página Matemática Unidad

Más detalles

3 Polinomios y fracciones algebráicas

3 Polinomios y fracciones algebráicas Solucionario 3 Polinomios y fracciones algebráicas ACTIVIDADES INICIALES 3.I. Para cada uno de los siguientes monomios, indica las variables, el grado y el coeficiente, y calcula el valor numérico de los

Más detalles

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones

Índice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación

Más detalles

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,

Más detalles

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Página 66 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE Múltiplos y divisores. Haz la división: 4 + 5 0 + 5 A la vista del resultado, di dos divisores del polinomio 4 + 5 0. (

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE

SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que satisfacen la inecuación. Terminología: ax + b > cx + d Primer miembro Segundo

Más detalles

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 - SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO

IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS 2º E.S.O. Curso 2010-2011 TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO IES MARIA INMACULADA MATEMÁTICAS º E.S.O. Curso 010-011 GUIÓN DEL TEMA 1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.. Epresión algebraica.. Valor numérico de una epresión algebraica.. Monomios. 5. Grado

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de

Más detalles

Wise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción.

Wise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Fracciones o Quebrados En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Las fracciones pueden ser representadas de

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal. FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y

Más detalles

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Polinomios Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Polinomios Definición: P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o

Más detalles

Raíces cuadradas y radicales

Raíces cuadradas y radicales Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama

Más detalles

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices

Más detalles

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ):

1º) Siempre que se pueda, hay que sacar factor común: :a b ± a c ± a d ± = a (b ± c ± d ± ): Pág. 1 de 7 FAC T O R I Z AC I Ó N D E P O L I N O M I O S Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 37 página 38 SUMA DE FRACCIONES CONCEPTO Las cuatro operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división, con fracciones algebraicas se realizan bajo

Más detalles

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini.

POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. POLINOMIOS. División. Regla de Ruffini. Recuerda: Un monomio en x es una expresión algebraica de la forma a x tal que a es un número real y n es un número natural. El real a se llama coeficiente y n se

Más detalles

Capitulo 4. Polinomios

Capitulo 4. Polinomios Capitulo 4. Polinomios Objetivo. El alumno usará y analizará los conceptos del álgebra de los polinomios y sus propiedades para obtener raíces. Contenido. 4.1 Definición de polinomio. Grado de un polinomio.

Más detalles

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización

Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización CURSO DE NIVELACIÓN Apunte teórico - práctico Módulo 2: Expresiones polinómicas. Factorización 1 FACTORIZACIÓN Una expresión polinómica es (justamente) una expresión formada por sumas y restas de términos,

Más detalles

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS

POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS POLINOMIOS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas

Más detalles

MATEMATICAS I SESIÓN 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES)

MATEMATICAS I SESIÓN 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES) MATEMATICAS I SESIÓN 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES) Introducción: El alumno comprenderá qué estudia el algebra, así como algunas definiciones importantes como son: expresión

Más detalles

Sistemas de numeración y aritmética binaria

Sistemas de numeración y aritmética binaria Sistemas de numeración y aritmética binaria Héctor Antonio Villa Martínez Programa de Ciencias de la Computación Universidad de Sonora Este reporte consta de tres secciones. Primero, la Sección 1 presenta

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte En esta unidad vamos a estudiar los números racionales, esto es, los que se pueden expresar en

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.

UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar

Más detalles

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

PÁGINA 77 PARA EMPEZAR Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos

Más detalles

Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos

Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos 1 Guía 4 Formalizando conceptos y procedimientos algebraicos Nombre Curso Capacidad Destreza Valor Actitud 1 Año Medio A B C D Resolver Problemas Analizar Colaboración Constancia Aprendizajes Esperados

Más detalles

Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Operaciones Fundamentales del Álgebra. Operaciones con Fracciones Algebraicas.. E xponentes y Radicales 99. Ecuaciones Lineales o de Primer Grado ÍNDICE COMPETENCIA Operaciones Fundamentales del Álgebra 5 COMPETENCIA Operaciones con Fracciones Algebraicas.. 7 COMPETENCIA E ponentes y Radicales 99 COMPETENCIA Ecuaciones Lineales o de Primer Grado

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales

Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales úmeros reales En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.

Más detalles

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina

Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución

Más detalles

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales: ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,

Más detalles

Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut

Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Este texto intenta ser un complemento de las clases de apoyo de matemáticas que se están realizando en la

Más detalles

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas.

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas. Qué es una fracción? Una fracción es un número que indica parte de un entero o parte de un grupo. El siguiente círculo está dividido en partes iguales de las cuales partes están coloreadas. El número de

Más detalles

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO.

DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. DEL LENGUAJE DE LOS NÚMEROS AL LEGUAJE ALGEBRAICO. En ocasiones, en matemáticas, necesitamos operar con números desconocidos. Para ello, se toman letras para representar esas cantidades desconocidas o

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Actividad. Fracciones simples. Introducción En las actividades anteriores vimos las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como la jerarquía de ellas entre números enteros,

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1- ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una letra sin eponente y que es cierta para un solo

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

Divido la barra de helado en ocho partes iguales. De esas ocho partes tomo seis. Parte de la barra que reparto a mis amigos :

Divido la barra de helado en ocho partes iguales. De esas ocho partes tomo seis. Parte de la barra que reparto a mis amigos : 1.- NECESIDAD DE QUE EXISTAN LAS FRACCIONES. Imagina que tienes una barra de helado que quieres repartir entre tus ocho amigos que por la tarde van a ir a tu casa a merendar. Para ir adelantando trabajo

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina Esta propuesta tiene como objetivo la operatoria con fracciones. Se espera del alumno la aplicación de un algoritmo para resolver las operaciones. Estas actividades comúnmente presentan numerosos ejercicios

Más detalles

CONTENIDO: Operaciones algebraicas con polinomios. División sintética. Operaciones con exponentes racionales.

CONTENIDO: Operaciones algebraicas con polinomios. División sintética. Operaciones con exponentes racionales. CONTENIDO: Operaciones algebraicas con polinomios. División sintética. Operaciones con exponentes racionales. Definir los conceptos básicos del Algebra Elemental. Conocer los procedimientos para sumar,

Más detalles

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CONCEPTOS IMPORTANTES FRACCIÓN: Es la simbología que se utiliza para indicar que un todo será dividido en varias partes (se fraccionará). Toda fracción tiene dos partes básicas:

Más detalles

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Sistema decimal

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Sistema decimal SISTEMAS DE NUMERACIÓN Sistema decimal Desde antiguo el Hombre ha ideado sistemas para numerar objetos, algunos sistemas primitivos han llegado hasta nuestros días, tal es el caso de los "números romanos",

Más detalles

Materia: Informática. Nota de Clases Sistemas de Numeración

Materia: Informática. Nota de Clases Sistemas de Numeración Nota de Clases Sistemas de Numeración Conversión Entre Sistemas de Numeración 1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN 1.1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto finito de símbolos

Más detalles

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO

EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles