OPERATORIA CON NUMEROS NEGATIVOS
|
|
- Diego Ruiz Agüero
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 OPERATORIA CON NUMEROS NEGATIVOS Conjunto Z de los N os Enteros María Lucía Briones Podadera Profesora de Matemáticas Universidad de Chile. 34
2 CONJUNTO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS.- Representación gráfica del conjunto Z Todos los números que quedan a la izquierda del 0 se llaman números negativos y los que quedan a la derecha, se llaman números positivos.- Relación de orden: Un numero a es menor que otro b si a está a la izquierda de b.- Valor absoluto: El valor absoluto de +10 es 10 y el valor absoluto de -10 es también 10. Por definición el valor absoluto de un número entero es el número sin el signo. El valor absoluto se indica colocando el número entre 2 barras. Asi, -10 se lee. El valor absoluto de -10 es 10. Por definición, 0 es 0. En general, El valor absoluto de +a es a y el valor absoluto de -a es a.- Opuestos: Dos números son opuestos si tienen distinto signo pero el mismo valor absoluto. Ejemplo: +3 y -3 son números opuestos. Lo mismo para a y +a. Ejercicios: Ejemplo: Una ganancia de $ 20 se expresa como + 20 y una pérdida de $20 sería ) 550m sobre el nivel del mar ) 30m bajo el nivel del mar ) 273º bajo cero ) 100º sobre cero ) Hace 5 años = -5 Qué significaría +7? ? ? ) 2 pasos hacia atrás Qué significaría +5? -3? +1? 0? ) Cuál es el valor absoluto de
3 8) Cuál es el opuesto de +8 ; -12 ; +p ; -a? Suma de enteros de igual signo.- ADICION DE LOS NUMEROS ENTEROS.- ( -3 ) + ( -4 ) = -7 ( +3 ) + ( +4 ) = Para sumar 2 enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.- Suma de enteros de signo contrario. Representaremos cuanto nos queda al sumar ( +9 ) + ( -3 ) = ( +6 ) Vemos que nos cae la segunda flecha frente al punto ( +6 ) y ese es el resultado. Ahora haremos el gráfico para ( -9 ) + ( +3 ) = ( -6 ) Vemos que la 2ª flecha llega al punto ( -6 ) el cual es el resultado. Luego concluimos que: Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo del entero de mayor valor absoluto.- Resolver las siguientes sumas: a) ( +8 ) + ( -5 ) = b) ( -7 ) + ( -1 ) = c) ( -10) + ( +15 ) = d) ( -4 ) + ( +20 ) = e) ( +3 ) + ( + 7 ) = f) ( +3) + ( - 14 ) = 2
4 Resuelve las siguientes adiciones en el Conjunto Z de los Números enteros:_ a) = a) = b) = b) = c) = c) = d) = d) = e) = e) = f) = f) = g) = g) = h) = h) = i) = i) = j) = j) = k) = k) = l) = l) = a) = i) = b) = j) = c) = k) = d) = l) = e) = f) = g) = h) ( ) = 3
5 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z.- 1) Propiedad de Clasura: La suma de 2 números enteros es un número entero.- Si a, b Z a + b Z 2) Es conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. Si a, b Z, a + b = b + a 3) Es asociativa: No importa el orden en el cual se agrupen los sumandos. La suma no cambia. Si a, b, c Z ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4) Está provista de un elemento Neutro: En este caso es el 0. Si este elemento neutro lo sumamos con cualquier elemento perteneciente a Z, no lo altera. Si a, 0 Z a + 0 = 0 + a = a 5) Inverso Aditivo: A todo número entero a se puede asociar su opuesto a tal que entre los dos suman el elemento neutro. Si a Z a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0 Suma reiterada de enteros: Sumar varios enteros es agregar el primero al segundo, al resultado obtenido agregar el tercero y así sucesivamente. Ejemplo: ( +5 ) + ( -2 ) + ( +4 ) + ( -1 ) se sumaría así: ( +5 ) + ( -2 ) = ( +3 ) ; ( +3 ) + ( +4 ) = ( +7 ) ( +7 ) + ( -1 ) = ( +6 ) Ejercicio: Dibuja una recta numérica y en ella suma : ( -7 ) + ( +3 ) + ( +5 ) + ( -4 ) 4
6 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.- Definición: Restar dos números a y b es determinar un tercer número x que sumado con b dé a.- Ejemplo numérico: 9 porque = 9 -_ 5 4 x = 4 b = a = 9 Este gráfico en la recta numérica, pertenece a la resta propuesta arriba.- Los signos en la resta en Z = = = = - 2 LA RESTA SE CONVIERTE EN SUMA CAMBIÁNDOLE EL SIGNO AL SUSTRAENDO.- Ejercicios: a) = k) = b) 2-3 = l) = c) = m) = d) = n) = e) 5-5 = o) = f) = p) 8-6 = g) = q) -3-2 = h) = r) = i) 7-2 = s) = j) = t) = Ley de precedencia: Si en una expresión Aritmética existen multiplicaciones y divisiones, sumas y restas, se calculan primero las multiplicaciones y divisiones y después las sumas y restas. Si hay paréntesis, antes que nada se resuelven los paréntesis. 5
7 Ejercicios: a) = b) 2-3 = c) = k) = d) = l) = e) 5-5 = m) = f) = n) = g) = ñ) = h) = o) = i) 7-2 = p) = j) = q) = r) = Resolver paréntesis negativos.- s) -2-8 = 1) 3 - ( 4-8 ) = t) = 2) 5 - ( 2-3 ) = u) = 3) 18 - ( ) = v) = 4) ( ) = w) = 5) ( ) - ( ) = y) = 6) ( ) - ( ) = z) = 7) ( 518-2) + ( ) = 6
8 Otros ejercicios de resta en Z.- a) = a) = b) = b) = c) = c) = d) = d) = e) = e) = f) = f) = g) = g) = h) = h) = i) = i) = j) = j) = k) = k) = l) = l) = a) = i) = b) = j) = c) = k) = d) = l) = e) = f) = g) = h) ( ) = 7
9 EJERCICIOS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PARÉNTESIS.- 1) 3 ( 4 8 ) = 11) ( +5 ) ( +3 ) ( +9 ) ( -5 ) = 2) 5 ( 2-3 ) = 12) ( 0 ) ( +4 ) + ( +6 ) ( -2 ) = 3) 18 ( ) = 13) ( +2 ) + ( +7 ) + ( +0 ) ( -1 ) = 4) 124 ( 12-2 ) = 14) ( +8 ) ( +9 ) + ( -3-) ( -3 ) = 5) ( ) ( ) = 15) ( +9 ) [ ( -7 ) ( -1 ) ( -2 ) + ( -5 ) ] = 6) ( ) ( 15 2 ) = 16) ( +3) [ ( +4 ) ( +8 ) ( -6 ) + ( +1) ] = 7) 316 ( ) = 17) ( 0 ) [ ( +6 ) ( -5 ) + ( -7 ) ( -9 ) ] = 8) ( ) ( ) = 18) ( -4 ) [ ( -8 ) + ( -7 ) ( -3 ) ( +2 ) ] = 9) ( ) ( 42-1 ) = Desde el 15 al 18, transfórmese primero el 10) ( ) ( 18-2 ) = sustraendo del 2º grupo, es decir, todo lo que 11) ( +5 ) ( +3 ) ( +9 ) ( -5 ) = está dentro del paréntesis cuadrado [ ] es 12) ( 0 ) ( +4 ) + ( +6 ) ( -2 ) una suma. Elimina todos los paréntesis en los siguientes ejercicios: 1) a) +( v + x + y + z ) b) a +( b + c ) c) p +( q r ) 2) a) a +( b c + d e ) b) ( u + v ) + ( - x + y z ) 3) a) -( m + n ) b) - ( p q + r ) c) -( - a + b c ) 4) a) x ( y + z ) b) x ( y z ) c) x ( - y z ) 5) a) -( a b ) ( - a b ) b) ( x y ) ( x + y z ) 8
10 MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS.- Para multiplicar dos números enteros, nos regiremos por la regla de los signos de un producto. El producto de dos enteros de igual signo es positivo. El producto de dos enteros de distinto signo es negativo. + + = = = = - Ejercicios: Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) -5-3 = l) -3 5 = b) 8 2 = m) -2 8 = c) -4-3 = n) 6-3 = d) = o) 5-7 = e) 9 5 = p) -4-2 = f) -4-8 = q) 8 6 = g) -6-2 = r) -3 2 = h) -5-5 = s) 5-4 = i) -2-2 = t) 9-7 = j) 7 12 = u) 4-2 = k) = v) -1-3 = a) = b) = c) = d) = e) = f) = 9
11 Más ejercicios de multiplicación de enteros. a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = j) = k) = l) = Completa las tablas: a b a b a b (a + b) (a b) (a : b) Resolver: a) 5 = -10 e) 10 = -10 b) -4 = 8 f) = -1 c) -7 = -56 g) = 1 d) -4 = 0 h) 3 =
12 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z.- 1) Propiedad de clausura: El producto de dos números enteros es un entero. Si a,b Z a b Z 2) Es conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Si a, b Z a b = b a 3) Es asociativa: En una multiplicación en que intervienen 3 o más enteros, el modo de agruparlos no altera el producto. Si a, b, c Z a ( b c ) = ( a b ) c 3) Está provista de un elemento neutro.- En este caso es el 1. Si multiplicamos por 1 cualquier elemento del conjunto, éste no cambia. Si a, ( +1 ) Z a ( +1 ) = ( +1 ) a = a 5) Propiedad multiplicativa del 0.- Todo elemento de Z multiplicado por 0 es = 0 Si a, 0 Z a 0 = 0 a = 0 6) Propiedad distributiva con respecto a la adición.- Por la derecha y por la izquierda. Si a, b, c Z ( a + b ) c = ac + bc Si a, b, c Z c ( a + b ) = ac * bc 7) Propiedad distributiva con respecto a la sustracción.- Solamente por la derecha Si a, b, c Z ( a b ) c = ac - bc 11
13 LA DIVISIÓN EN Z.- Múltiplo de un entero: es el producto de él por cualquier número entero distinto de 0- En el conjunto Z la división es posible solamente si el dividendo es múltiplo del divisor. La división por 0 no existe porque no es posible. Aquí también ocuparemos la regla de los signos de un cuociente. El cuociente de dos enteros de igual signo es positivo. El cuociente de dos enteros de distinto signo es negativo. Ejercicios de aplicación.- + : + = + - : - = + + : - = - - : + = - ( +8 ) : ( +4 ) = ( -7 ) : ( -1 ) = ( -9 ) : ( +3 ) = ( +5 ) : ( -5 ) = ( +6 ) : ( -2 ) = ( 0 ) : ( +2 ) = (-15 ) : ( -5 ) = ( -4 ) : ( -2 ) = Resuelve los siguientes ejercicios, respetando prioridad de operaciones y paréntesis. 1) 4 : [ - ( ) ] = 2) : -5-1 [ -3 + ( ] = 3) = 4) = 5) = 6) -7 : : = 7) - { - [ - ( 2 4 ) ] } = 8) -5 - { -4 [ - ( ) ( ) ] } = 12
14 9) = 10) 2 : : [ -3 ( 3 3 ) ] = 11) ( ) : -5 = 12) ( ) : 9 = 13) = PROBLEMAS.- 1) Si a es menor que b en 3 unidades, b es mayor que c en 8 unidades y c es 3. Calcula a + b + c. 2) Pericles, general orador y político Ateniense, vivió entre los años 499 y 429 A.C. Sófocles, poeta trágico Griego, vivió entre los años 496 y 405 A.C. Calcula cuántos años vivió cada personaje; quién es mayor y quién murió antes. 3) Pitágoras, filósofo y matemático Griego, nació el año 582 A.C. Dibuja una línea de tiempo indicando el año de nacimiento de los 3 personajes nombrados en 2) y 3) Quién es el mayor? 4) Sócrates, filósofo Griego, nació el año 470 A.C. y murió 69 años más tarde. Calcula el año de su muerte, ubícalo en la línea del tiempo y contesta entre cuales de los personajes citados se encuentra 13
15 Otros ejercicios de prioridad de las operaciones en Z.- Si a = 4, b = -16 c = -20, calcula: a) a + ( b + c ) = b) a b + c c) a c + b = d) b c + a b = 14
16 Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes en los ejercicios siguientes: Recordar cuando sea el caso, la propiedad distributiva de la multiplicación. 1) ( ) = 2) ( ) = 3) 8a + ( 3b 6a ) = 4) ( 7x 2y ) + 5y = 5) 7a + ( 5b + 2a ) + ( a 7b ) = 6) 364 ( ) = 7) 745 ( ) = 8) 9x ( 6x + 7 ) = 9) 12m ( 5 + 9m ) = 10) ( x + 5y ) ( x + 4y ) = 11) ( 3p 7q ) ( 2p 8q ) = 12) ( 6a + 3b ) ( 5a + 4b ) = 13) ( 15c 16d ) ( 20c + d ) = 14) 28a - ( 35a - 23b ) + 45b ( 21b a ) + 6a = 15) 31x ( 42y 52z ) + 9y ( 30x 51z ) + 8z ( 11z 33y ) = 16) 25 ( 5a - 8 ) + ( 6a + 7 ) ( a + 20 ) = 17) x 3 + y 2 ( 3x 3 2y 2 ) + ( y 2 x 3 ) ( 4y 2 6x 3 ) = 18) 6ª - ( 7ª + 3b 5c ) + ( a + 4b 3c ) = 15
17 19) 35x ( 40y 59z + 41x ) ( 60z 7x 41y ) = 20) ( 7a - 2b ) [ ( 3a - c ) ( 2b 3c )] = 21) ( x + y 1 ) 4 = 22) a( x + y ) + b( x y ) = 23) 10 6( x 5y ) + 2( 3x y ) = 24) 9[ 8 ( 2a - 3b ) + ( 12a + 23b ) ] = 25) 12a [ a 3( 2a - b ) 4( 3a + 2b ) ( -17 ) = 16
18 SOLUCIONARIO 17
19 CONJUNTO Z DE LOS NUMEROS ENTEROS.- Representación gráfica del conjunto Z Todos los números que quedan a la izquierda del 0 se llaman números negativos y los que quedan a la derecha, se llaman números positivos.- Relación de orden: Un numero a es menor que otro b si a está a la izquierda de b.- Valor absoluto: El valor absoluto de +10 es 10 y el valor absoluto de -10 es también 10. Por definición el valor absoluto de un número entero es el número sin el signo. El valor absoluto se indica colocando el número entre 2 barras. Asi, -10 se lee. El valor absoluto de -10 es 10. Por definición, 0 es 0. En general, El valor absoluto de +a es a y el valor absoluto de -a es a.- Opuestos: Dos números son opuestos si tienen distinto signo pero el mismo valor absoluto. Ejemplo: +3 y -3 son números opuestos. Lo mismo para a y +a. Ejercicios: Ejemplo: Una ganancia de $ 20 se expresa como + 20 y una pérdida de $20 sería ) 550m sobre el nivel del mar ) 30m bajo el nivel del mar ) 273º bajo cero ) 100º sobre cero + 100º 5) Hace 5 años = -5 Qué significaría +7? 7 años despuès -4? Hace 4 años +3? 3 años + 6) 2 pasos hacia atrás - 2 Qué significaría +5? -3? +1? 0? 5 años hacia adelante ; Hace 3 años; 1 año más; Hoy mismo 7) Cuál es el valor absoluto de -4 4 ; +4 4 ; -7 7 ; +6 6 ; 0 0 ; 18
20 8) Cuál es el opuesto de +8-8 ;de ; de +p -p ;de -a +a? Suma de enteros de igual signo.- ADICION DE LOS NUMEROS ENTEROS.- ( -3 ) + ( -4 ) = -7 ( +3 ) + ( +4 ) = Para sumar 2 enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.- Suma de enteros de signo contrario. Representaremos cuanto nos queda al sumar ( +9 ) + ( -3 ) = ( +6 ) Vemos que nos cae la segunda flecha frente al punto ( +6 ) y ese es el resultado. Ahora haremos el gráfico para ( -9 ) + ( +3 ) = ( -6 ) Vemos que la 2ª flecha llega al punto ( -6 ) el cual es el resultado. Luego concluimos que: Para sumar enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo del entero de mayor valor absoluto.- Resolver las siguientes sumas: a) ( +8 ) + ( -5 ) = +3 b) ( -7 ) + ( -1 ) = -8 c) ( -10) + ( +15 ) = +5 d) ( -4 ) + ( +20 ) =+ 16 e) ( +3 ) + ( + 7 ) = +10 f) ( +3) + ( - 14 ) =
21 Resuelve las siguientes adiciones en el Conjunto Z de los Números enteros:_ a) = +14 a) = -3 b) = +11 b) = +3 c) = +19 c) = -7 d) = -7 d) = +6 e) = -10 e) = -2 f) = -6 f) = +3 g) = +8 g) = -2 h) = -5 h) = -2 i) = +11 i) = 0 j) = -6 j) = 0 k) = +30 k) = -17 l) = -5 l) = -3 a) = +3 i) = +11 b) = +59 j) = +25 c) = +45 k) = -15 d) = +28 l) = -11 e) = -135 f) = +1 g) = 0 h) ( ) =
22 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z.- 3) Propiedad de Clasura: La suma de 2 números enteros es un número entero.- Si a, b Z a + b Z 4) Es conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. Si a, b Z, a + b = b + a 3) Es asociativa: No importa el orden en el cual se agrupen los sumandos. La suma no cambia. Si a, b, c Z ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4) Está provista de un elemento Neutro: En este caso es el 0. Si este elemento neutro lo sumamos con cualquier elemento perteneciente a Z, no lo altera. Si a, 0 Z a + 0 = 0 + a = a 5) Inverso Aditivo: A todo número entero a se puede asociar su opuesto a tal que entre los dos suman el elemento neutro. Si a Z a + ( -a ) = ( -a ) + a = 0 Suma reiterada de enteros: Sumar varios enteros es agregar el primero al segundo, al resultado obtenido agregar el tercero y así sucesivamente. Ejemplo: ( +5 ) + ( -2 ) + ( +4 ) + ( -1 ) se sumaría así: ( +5 ) + ( -2 ) = ( +3 ) ; ( +3 ) + ( +4 ) = ( +7 ) ( +7 ) + ( -1 ) = ( +6 ) Ejercicio: Dibuja una recta numérica y en ella suma : ( -7 ) + ( +3 ) + ( +5 ) + ( -4 ) =
23 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.- Definición: Restar dos números a y b es determinar un tercer número x que sumado con b dé a.- Ejemplo numérico: 9 porque = 9 -_ 5 4 x = 4 b = a = 9 Este gráfico en la recta numérica, pertenece a la resta propuesta arriba.- Los signos en la resta en Z = = = = - 2 LA RESTA SE CONVIERTE EN SUMA CAMBIÁNDOLE EL SIGNO AL SUSTRAENDO.- Ejercicios: a) = -1 k) = -8 b) 2-3 = -1 l) = -10 c) = -3 m) = +9 d) = +16 n) = +12 e) 5-5 = 0 o) = -2 f) = -1 p) 8-6 = +2 g) = +10 q) -3-2 = -5 h) = -5 r) = +9 i) 7-2 = +5 s) = +16 j) = -16 t) = +2 Ley de precedencia: Si en una expresión Aritmética existen multiplicaciones y divisiones, sumas y restas, se calculan primero las multiplicaciones y divisiones y después las sumas y restas. Si hay paréntesis, antes que nada se resuelven los paréntesis. 22
24 Ejercicios: a) = -1 b) 2-3 = -1 c) = -3 k) = -5 d) = -24 l) = -1 e) 5-5 = 0 m) = -9 f) = -1 n) = +16 g) = +10 ñ) = 0 h) = -5 o) = -17 i) 7-2 = +5 p) = -15 j) = -16 q) = +5 r) = +2 Resolver paréntesis negativos.- s) -2-8 = -10 1) 3 - ( 4-8 ) = (-4 ) t) = +9 2) 5 - ( 2-3 ) = ( -1 ) u) = -2 3) 18 - ( ) = ( +2) v) = +2 4) ( ) = ( +10) w) = -5 5) ( ) - ( ) = ( +13) y) = +9 6) ( ) - ( ) = (+13) z) = +2 7) ( 518-2) + ( ) =
25 Otros ejercicios de resta en Z.- a) = -4 a) = -27 b) = -5 b) = +17 c) = -5 c) = +23 d) = -3 d) = -14 e) = -4 e) = -16 f) = +2 f) = -27 g) = -8 g) = -26 h) = -5 h) = +32 i) = -3 i) = +28 j) = -6 j) = -48 k) = +10 k) = -47 l) = -1 l) = +57 a) = -33 i) = +41 b) = -5 j) = -59 c) = -95 k) = +15 d) = +68 l) = +39 e) = +9 f) = -11 g) = 0 h) ( ) =
26 EJERCICIOS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PARÉNTESIS.- 1) 3 ( 4 8 ) = +7 11) ( +5 ) ( +3 ) ( +9 ) ( -5 ) = ( -4 ) ) 5 ( 2-3 ) = ) ( 0 ) ( +4 ) + ( +6 ) ( -2 ) = ( -6 ) ) 18 ( ) = ) ( +2 ) + ( +7 ) + ( +0 ) ( -1 ) = ( +2) ) 124 ( 12-2 ) = ) ( +8 ) ( +9 ) + ( -3-) ( -3 ) = ( -24 ) ) ( ) ( ) = ) ( +9 ) [ ( -7 ) ( -1 ) ( -2 ) + ( -5 ) ] = 48 - ( +13) 6) ( ) ( 15 2 ) = -2 16) ( +3) [ ( +4 ) ( +8 ) ( -6 ) + ( +1) ] = ( +30) 3 - [ ] 7) 316 ( ) = ) ( 0 ) [ ( +6 ) ( -5 ) + ( -7 ) ( -9 ) ] = ( -30) - [ ] 8) ( ) ( ) = ) ( -4 ) [ ( -8 ) + ( -7 ) ( -3 ) ( +2 ) ] = ( ) -4 - [ ] 9) ( ) ( 42-1 ) = Desde el 15 al 18, transfórmese primero el 10) ( ) ( 18-2 ) = -330 sustraendo del 2º grupo, es decir, todo lo que ( - 36) está dentro del paréntesis cuadrado [ ] es 11) ( +5 ) - ( +3 ) - ( +9) - ( -5 ) = una suma 12) ( 0 ) ( +4 ) + ( +6 ) ( -2 ) = Elimina todos los paréntesis en los siguientes ejercicios: 1) a) +( v + x + y + z ) b) a +( b + c ) c) p +( q r ) v + x + y + z a + b + c p + q - r 2) a) a +( b c + d e ) b) ( u + v ) + ( - x + y z ) a + b - c + d e u + v -x + y - z 3) a) -( m + n ) b) - ( p q + r ) c) -( - a + b c ) - m n - p + q r a b + c 4) a) x ( y + z ) b) x ( y z ) c) x ( - y z ) x y z x y + z x + y + z 5) a) -( a b ) ( - a b ) b) ( x y ) ( x + y z ) - a + b + a + b x y x y + z 25
27 MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS.- Para multiplicar dos números enteros, nos regiremos por la regla de los signos de un producto. El producto de dos enteros de igual signo es positivo. El producto de dos enteros de distinto signo es negativo. + + = = = = - Ejercicios: Resuelve las siguientes multiplicaciones. a) -5-3 = +15 l) -3 5 = -15 b) 8 2 = +16 m) -2 8 = -16 c) -4-3 = +12 n) 6-3 = -18 d) = +200 o) 5-7 = -35 e) 9 5 = +45 p) -4-2 = + 8 f) -4-8 = +32 q) 8 6 = +48 g) -6-2 = +12 r) -3 2 = - 6 h) -5-5 = +25 s) 5-4 = -20 i) -2-2 = + 4 t) 9-7 = -63 j) 7 12 = +84 u) 4-2 = - 8 k) = +44 v) -1-3 = + 3 a) = -30 b) = -24 c) = -30 d) = -24 e) = -16 f) =
28 Más ejercicios de multiplicación de enteros. a) = +50 b) = -80 c) = -30 d) = +16 e) = +27 f) = -100 g) = + 8 h) = + 1 i) = -16 j) = +36 k) = -64 l) = Completa las tablas: En el segundo cuadro, todo se rellena como en el del ejemplo a 5a 2a -3a 8a 10a -12 a 9a -8a b 5b a b 5a b a 5 a b 5 b ( a + b) 5(a + b) (a b) 5(a b) a : b 5(a : b) Resolver: a) 5-2 = -10 e) 10-1 = -10 b) -4-2 = 8 f) +1-1 = -1 c) = -56 g) = 1 d) -4 0 = 0 h) -6 3 =
29 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z.- 4) Propiedad de clausura: El producto de dos números enteros es un entero. Si a,b Z a b Z 5) Es conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Si a, b Z a b = b a 3) Es asociativa: En una multiplicación en que intervienen 3 o más enteros, el modo de agruparlos no altera el producto. Si a, b, c Z a ( b c ) = ( a b ) c 6) Está provista de un elemento neutro.- En este caso es el 1. Si multiplicamos por 1 cualquier elemento del conjunto, éste no cambia. Si a, ( +1 ) Z a ( +1 ) = ( +1 ) a = a 5) Propiedad multiplicativa del 0.- Todo elemento de Z multiplicado por 0 es = 0 Si a, 0 Z a 0 = 0 a = 0 8) Propiedad distributiva con respecto a la adición.- Por la derecha y por la izquierda. Si a, b, c Z ( a + b ) c = ac + bc Si a, b, c Z c ( a + b ) = ac * bc 9) Propiedad distributiva con respecto a la sustracción.- Solamente por la derecha Si a, b, c Z ( a b ) c = ac - bc 28
30 LA DIVISIÓN EN Z.- Múltiplo de un entero: es el producto de él por cualquier número entero distinto de 0- En el conjunto Z la división es posible solamente si el dividendo es múltiplo del divisor. La división por 0 no existe porque no es posible. Aquí también ocuparemos la regla de los signos de un cuociente. El cuociente de dos enteros de igual signo es positivo. El cuociente de dos enteros de distinto signo es negativo. Ejercicios de aplicación.- + : + = + - : - = + + : - = - - : + = - ( +8 ) : ( +4 ) = +2 ( -7 ) : ( -1 ) = +7 ( -9 ) : ( +3 ) = -3 ( +5 ) : ( -5 ) = -1 ( +6 ) : ( -2 ) = -3 ( 0 ) : ( +2 ) = 0 (-15 ) : ( -5 ) = +3 ( -4 ) : ( -2 ) = +2 Resuelve los siguientes ejercicios, respetando prioridad de operaciones y paréntesis. 1) 4 : [ - ( ) ] = -5 2) : -5-1 [ -3 + ( ] = -7 3) = -50 4) = -2 5) = +17 6) -7 : : = +38 7) - { - [ - ( 2 4 ) ] } = +3 8) -5 - { -4 [ - ( ) ( ) ] } =
31 9) = ) 2 : : [ -3 ( 3 3 ) ] = ) ( ) : -5 = -6 12) ( ) : 9 = -6 13) = -21 PROBLEMAS.- 5) Si a es menor que b en 3 unidades, b es mayor que c en 8 unidades y c es 3. c = -3 Calcula a + b + c. a + b + c = b = = = 4 a = 2 6) Pericles, general orador y político Ateniense, vivió entre los años 499 y 429 A.C. Sófocles, poeta trágico Griego, vivió entre los años 496 y 405 A.C. Calcula cuántos años vivió cada personaje; quién es mayor y quién murió antes. Perícles vivió 70 años. Murió antes que Sófocles Sófocles vivió 91 años. Es el mayor de todos estos genios. 7) Pitágoras, filósofo y matemático Griego, nació el año 582 A.C. Dibuja una línea de tiempo indicando el año de nacimiento de los 3 personajes nombrados en 2) y 3) Quién es el mayor? Pitágoras ) Sócrates, filósofo Griego, nació el año 470 A.C. y murió 69 años más tarde. Calcula el año de su muerte, ubícalo en la línea del tiempo y contesta entre cuales de los personajes citados se encuentra Socrates murió en el año 401 A.C. 30
32 Otros ejercicios de prioridad de las operaciones en Z.- Si a = 4, b = -16 c = -20, calcula: a) a + ( b + c ) = 4 + ( ) = 4 + ( -36 ) = -32 c) a b + c = -84 c) a c + b = = -96 d) b c + a b = =
33 Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes en los ejercicios siguientes: Recordar cuando sea el caso, la propiedad distributiva de la multiplicación. 1) ( ) = 472 2) ( ) = ) 8a + ( 3b 6a ) = 2a + 3b 4) ( 7x 2y ) + 5y = 7x + 3y 8a + 3b - 6a 7x 2y + 5y 5) 7a + ( 5b + 2a ) + ( a 7b ) = 10a 2b 6) 364 ( ) = 515 7a + 5b + 2a + a - 7b ) 745 ( ) = 337 8) 9x ( 6x + 7 ) = 3x x - 6x - 7 9) 12m ( 5 + 9m ) = 3m ) ( x + 5y ) ( x + 4y ) = y 12m - 5-9m x + 5y - x - 4y 11) ( 3p 7q ) ( 2p 8q ) = p + q 12) ( 6a + 3b ) ( 5a + 4b ) = a - b 3p - 7q - 2p + 8q 6a + 3b - 5a - 4b 13) ( 15c 16d ) ( 20c + d ) = -5c 17d 15c - 16d - 20c - d 14) 28a - ( 35a - 23b ) + 45b ( 21b a ) + 6a = 47b 28a - 35a + 23b + 45b - 21b + a + 6a 15) 31x ( 42y 52z ) + 9y ( 30x 51z ) + 8z ( 11z 33y ) = x + 100z 31x - 42y + 52z + 9y - 30x + 51z + 8z - 11z + 33y 16) 25 ( 5a - 8 ) + ( 6a + 7 ) ( a + 20 ) = a a a ) x 3 + y 2 ( 3x 3 2y 2 ) + ( y 2 x 3 ) ( 4y 2 6x 3 ) = 3x 3 x 3 + y 2 3x 3 + 2y 2 + y 2 - x 3-4y 2 + 6x 3 18) 6a - ( 7a + 3b 5c ) + ( a + 4b 3c ) = b + 2c 6a - 7a - 3b + 5c + a + 4b 3c 32
34 19) 35x ( 40y 59z + 41x ) ( 60z 7x 41y ) = x + y - z 35x - 40y + 59z - 41x - 60z + 7x + 41y 20) ( 7a - 2b ) [ ( 3a - c ) ( 2b 3c )] = 4a - 2c 7a - 2b - [ 3a - c - 2b + 3c ] 7a - 2b - 3a + c + 2b - 3c 21) ( x + y 1 ) 4 = 4x + 4y ) a( x + y ) + b( x y ) = ax + ay +bx - by 23) 10 6( x 5y ) + 2( 3x y ) = 58y 10-6x + 30y + 6x y 24) 9[ 8 ( 2a - 3b ) + ( 12a + 23b ) ] = 9[ 16a - 24b + 12a + 23b ] 9[ 28a - b] 252a - 9b 25) 12a [ a 3( 2a - b ) 4( 3a + 2b )] ( -17 ) = 12a [ a - 6a +3b - 12a - 8b ] a [ -17a - 5b ] a 2-60ab
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo
Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales
Más detallesREPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente
Más detallesLección 9: Polinomios
LECCIÓN 9 c) (8 + ) j) [ 9.56 ( 9.56)] 8 q) (a x b) d) ( 5) 4 k) (6z) r) [k 0 (k 5 k )] e) (. 0.) l) (y z) s) (v u ) 4 f) ( 5) + ( 4) m) (c d) 7 t) (p + q) g) (0 x 0.) n) (g 7 g ) Lección 9: Polinomios
Más detallesTema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.
2010 Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León mgdl 01/01/2010 INDICE: 01. DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS. 02. VALOR
Más detallesEJERCICIOS SOBRE : NÚMEROS ENTEROS
1.- Magnitudes Absolutas y Relativas: Se denomina magnitud a todo lo que se puede medir cuantitativamente. Ejemplo: peso de un cuerpo, longitud de una cuerda, capacidad de un recipiente, el tiempo que
Más detallesLos números racionales
Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesA estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:
ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,
Más detallesEL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE FORMAN UN POLINOMIO
RECONOCER OBJETIVO EL GRADO Y LOS ELEMENTOS QUE ORMAN UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma algebraica de monomios, que son los términos del polinomio.
Más detallesmartilloatomico@gmail.com
Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:
Más detallesQué son los monomios?
Qué son los monomios? Recordemos qué es una expresión algebraica. Definición Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Si se observan las siguientes
Más detallesBiblioteca Virtual Ejercicios Resueltos
EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar
Más detallesPolinomios y fracciones algebraicas
829566 _ 0249-008.qxd 27/6/08 09:21 Página 27 Polinomios y fracciones algebraicas INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 9 página 10 FACTORIZACIÓN CONCEPTO Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar lo que se mencionó en la página referente al nombre que
Más detallesGUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CON DECIMALES.
GUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CON DECIMALES. D E C I M A L E S MARÍA LUCÍA BRIONES PODADERA PROFESORA DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE. 38 Si tenemos el número 4,762135 la ubicación de cada
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detallesOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS
82652 _ 0275-0286.qxd 27/4/07 1:20 Página 275 Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender
Más detallesGuía de estudio. Para la primera evaluación de álgebra octavo 2015
Guía de estudio Para la primera evaluación de álgebra octavo 2015 Encontrará una serie de ejercicios que tienen como finalidad hacer un breve repaso sobre lo abordado durante este periodo en clase de álgebra,
Más detallesNÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES EN Z + 7 + + 8= + 15
LICEO DE APLICACIÓN DEPTO MATEMÁTICA GUÍA DE NÚMEROS ENTEROS ( COMPLEMENTARIA) Nombre y Apellidos: Contenidos: - Operatoria con los números enteros. - Operaciones combinadas. - Resolución de problemas.
Más detallesSi los términos no son semejantes no se pueden reducir a un total. Cuando los elementos son de la misma especie se dice que son semejantes.
Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (adición, sustracción, multiplicación y división) y redacta un informe Teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al
Más detalles4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN
4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,
Más detallesUNIDAD I NÚMEROS REALES
UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman V A R I A B L ES, I N C Ó G N I T A S o
Más detallesOperaciones con polinomios
Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)
Más detalles. Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.
Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm. Definición: Dos o más términos son semejantes
Más detallesTEMA 4 FRACCIONES MATEMÁTICAS 1º ESO
TEMA 4 FRACCIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. 2 Leer, escribir,
Más detallesIniciación a las Matemáticas para la ingenieria
Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?
Más detallesUna desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Más detallesLA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES LA MULTIPLICACIÓN Una multiplicación es una suma de varios sumandos iguales. 15 + 15 + 15 + 15 = 60 14 x 4 = 60 Los términos de la multiplicación se llaman 12 factor
Más detallesNÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES
NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES Unidad didáctica. Números racionales y decimales CONTENIDOS Fracciones Fracciones equivalentes Amplificar fracciones Simplificar fracciones Representación en la recta numérica.
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesLos polinomios. Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x
Los polinomios Los polinomios Un polinomio es una expresión algebraica con una única letra, llamada variable. Ejemplo: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomio de variable x Elementos de un polinomio Los términos: cada
Más detallesOperatoria algebraica
Eje temático: Algebra y funciones Contenidos: Operatoria algebraica Ecuaciones de primer grado Nivel: 1 Medio Operatoria algebraica 1. Operatoria algebraica 1.1. Términos semejantes Un término algebraico
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES Curso de Formación en Matemáticas - 06 - Autor: Lic. Esp. Fernando Javier Quiroga Villegas OBJETIVOS DEL CURSO Objetivo General: Afianzar los conocimientos adquiridos
Más detallesSistemas de numeración y aritmética binaria
Sistemas de numeración y aritmética binaria Héctor Antonio Villa Martínez Programa de Ciencias de la Computación Universidad de Sonora Este reporte consta de tres secciones. Primero, la Sección 1 presenta
Más detallesTEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro
Más detallesConjuntos Numéricos. Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la Multiplicación.
Conjuntos Numéricos Axiomas de los números La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la matemática, estas bases se llaman axiomas. Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma
Más detallesUNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Números reales
úmeros reales En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.
Más detallesÍndice Introducción Números Polinomios Funciones y su Representación. Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones
Curso 0: Matemáticas y sus Aplicaciones Tema 1. Números, Polinomios y Funciones Leandro Marín Dpto. de Matemática Aplicada Universidad de Murcia 2012 1 Números 2 Polinomios 3 Funciones y su Representación
Más detallesCONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS
CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...
Más detalles1-1 Un plan para resolver problemas
A NOMRE FECHA PERÍODO 1-1 Un plan para resolver problemas (páginas 6 10) Puedes usar un plan de cuatro pasos para resolver problemas. Explora Planifica Resuelve Examina Determina la información que se
Más detallesEXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Un grupo de variables representadas por letras junto con un conjunto de números combinados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia o etracción de raíces
Más detallesLA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES
LA MULTIPLICACIÓN Y SUS PROPIEDADES Observa la siguiente multiplicación: 7 x 4 = 28 7: es el sumando que se repite y recibe el nombre de multiplicando. 4: es el número de veces que se repite el sumando
Más detallesMatrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices
Más detallesMultiplicación. Adición. Sustracción
bernardsanz TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Algebra: generalización de la aritmética, la cual representa cantidades por medio de símbolos en lugar de números concretos, estos símbolos representan números cualesquiera.
Más detallesCONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS
CONCEPTOS ALGEBRAICOS BASICOS OBJETIVOS: 1.- Expresar relaciones numéricas mediante símbolos numéricos y literales. 2.- Reconocer las expresiones algebraicas y sus elementos. 3.- Reducir y evaluar expresiones
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS. a) 9 500 b) 3 c) 2 d) 20 e) 25
2 NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS PROPUESTOS 2.1 Expresa con un número entero las siguientes informaciones. a) El avión está volando a 9 500 metros de altura. b) La temperatura mínima de ayer fue de 3 C bajo
Más detallesComputación I Representación Interna Curso 2011
Computación I Representación Interna Curso 2011 Facultad de Ingeniería Universidad de la República Temario Representación de Números Enteros Representación de Punto Fijo Enteros sin signo Binarios puros
Más detallesUnidad 1 números enteros 2º ESO
Unidad 1 números enteros 2º ESO 1 2 Conceptos 1. Concepto de número entero: diferenciación entre número entero, natural y fraccionario. 2. Representación gráfica y ordenación. 3. Valor absoluto de un número
Más detallesTema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.
2010 Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2010 . INDICE: 01. APARICIÓN DE LAS FRACCIONES. 02. CONCEPTO DE FRACCIÓN. 03.
Más detallesÁmbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte
Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte En esta unidad vamos a estudiar los números racionales, esto es, los que se pueden expresar en
Más detallesLección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Lección 1-Introducción a los Polinomios y Suma y Resta de Polinomios Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Identificarán, de una lista de expresiones
Más detallesOPERACIONES CON POLINOMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS. SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS. En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos deajo de los otros, de tal modo que los términos semejantes queden en columna,
Más detallesMATEMATICAS I SESIÓN 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES)
MATEMATICAS I SESIÓN 1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES (REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES) Introducción: El alumno comprenderá qué estudia el algebra, así como algunas definiciones importantes como son: expresión
Más detallesLección 4: Suma y resta de números racionales
GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS. CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Algebra Baldor
PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados
Más detallesMódulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias
Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional
Más detallesNombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2
SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de
Más detallesPolinomios y fracciones algebraicas
UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se ha trabajado con números complejos, polinomio y matrices y hemos efectuado con ellos ciertas operaciones: sin embargo no todas las operaciones se comportan de la misma manera,
Más detallesSon números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)
CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia
Más detallesTema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice
Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y estructuras algebraicas: Apéndice 1 Polinomios Dedicaremos este apartado al repaso de los polinomios. Se define R[x] ={a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... +
Más detallesMatemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato. Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada
Matemáticas I (Álgebra) Manual de bachillerato Primera Edición, 2009 Compilación y Asesoría Pedagógica Erika Alejandra López Estrada Coordinador editorial Alan Santacruz Farfán Revisión Alejandro Vázquez
Más detallesMATEMÁTICA 6º AÑO NÚMEROS COMPLEJOS
MATEMÁTICA 6º AÑO PROFESORA: RUHL, CLAUDIA CURSOS: 6º1º--6º6º Actividad Nº1: Resuelve las siguientes operaciones NÚMEROS COMPLEJOS a) 4 = b) 36 = c) 4 16= d) 3 27 = e) 3-125= f) 3-8= g) -1 = h) -4= i)
Más detallesEDWIN KÄMMERER ORCASITA INGENIERO ELECTRÓNICO
Identifica los tipos de datos y funciones - Tipos de Datos: Excel soporta 5 tipos de datos, estos son: a) Numéricos: Están formados por cualquiera de los 10 dígitos (del 0 al 9) y pueden estar acompañados
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesSistemas de numeración
Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan
Más detallesSUMA Y RESTA DE FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES CONCEPTOS IMPORTANTES FRACCIÓN: Es la simbología que se utiliza para indicar que un todo será dividido en varias partes (se fraccionará). Toda fracción tiene dos partes básicas:
Más detallesLECCIÓN 4ª Operaciones Numéricas
REALIZAR OPERACIONES NUMERICAS LECCIÓN 4ª Operaciones Numéricas Excel es una hoja de cálculo y, como su nombre indica, su función fundamental es trabajar con grandes volúmenes de números y realizar cálculos
Más detallesCapitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)
Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES
Más detallesLos números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b
Números racionales NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números enteros y b b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa
Más detallesGUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO OCTAVO
GUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO OCTAVO IDENTIFICACIÓN AREA: Matemáticas. ASIGNATURA: Matemáticas. DOCENTE. Juan Gabriel Chacón c. GRADO. Octavo. PERIODO: Segundo UNIDAD: Polinomios TEMA: Expresiones
Más detallesINSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA CARACAS, MARZO DE 2013 ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL CONTENIDO Base del sistema decimal Nomenclatura Ordenes Subordenes
Más detallesESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Fundamentos de la Matemática 1 Operaciones Binarias Dado un conjunto A, A, decimos que es una operación binaria en A si, y sólo si, : A A A es una función. Investigar si los siguientes son ejemplos de
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesDescomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
Más detallesESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.
ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesPolinomios y Ecuaciones
Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesTarea 4 Soluciones. la parte literal es x3 y 4
Tarea 4 Soluciones Extracto del libro Baldor. Definición. Término.-es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, 3b, 2xy,
Más detallesLa suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:
Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesMatrices: Conceptos y Operaciones Básicas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 8 de septiembre de 010 Índice 111 Introducción 1 11 Matriz 1 113 Igualdad entre matrices 11 Matrices especiales 3 115 Suma
Más detallesMaterial N 15 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 12
C u r s o : Matemática Material N 5 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una epresión algebraica consiste en sustituir
Más detallesx : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3
3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones
Más detallesREGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.
Más detallesDivisibilidad y números primos
Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesAlianza para el Aprendizaje de las Ciencias y las Matemáticas. Las Fracciones Heterogéneas I
Alianza para el Aprendizaje de las Ciencias y las Matemáticas (AlACiMa) Actividad de Matemáticas Nivel 4-6 Guía del Maestro Las Fracciones Heterogéneas I Metas El estudiante: explorará mediante manipulativos
Más detallesCASO PRÁCTICO DISTRIBUCIÓN DE COSTES
CASO PRÁCTICO DISTRIBUCIÓN DE COSTES Nuestra empresa tiene centros de distribución en tres ciudades europeas: Zaragoza, Milán y Burdeos. Hemos solicitado a los responsables de cada uno de los centros que
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones
Más detallesClases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut
Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Este texto intenta ser un complemento de las clases de apoyo de matemáticas que se están realizando en la
Más detallesNivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina
Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar info@faena.edu.ar TERCER BLOQUE MATEMATICA Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución
Más detalles