NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES

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1 NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES Unidad didáctica. Números racionales y decimales CONTENIDOS Fracciones Fracciones equivalentes Amplificar fracciones Simplificar fracciones Representación en la recta numérica. Operaciones con fracciones Suma y resta Multiplicación y división Potencia Jerarquía de las operaciones Números decimales Representación en la recta numérica Conversión de fracción a decimal Operaciones con decimales Suma y resta Multiplicación División Multiplicación y división por potencias de 0 COMENZAMOS... Los números racionales incluyen a fraccionarios y decimales se relacionan de forma clara, pues si resolvemos las posibles operaciones de un número fraccionario, obtenemos un número decimal y podemos hacer lo contrario. Si realizamos la división entre numerador y denominador, obtendremos un número entero o decimal; éste puede ser decimal exacto, decimal periódico puro o decimal periódico mixto. La operatoria con números fraccionarios y decimales ya la has trabajado en cursos anteriores de secundaria y recordarás que hay que observar una serie de reglas que recordaremos y sobre las que seguiremos trabajando para que adquieras agilidad y seguridad. Trabajaremos las operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división así como todo lo necesario para simplificar o ampliar fracciones y seguir en la operatoria la jerarquía de operaciones. De igual manera procederemos con los números decimales, observando las reglas básicas en la operatoria de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Con esta unidad cerraremos el trabajo con números y su operatoria. Al terminar esta unidad didáctica SERÁS CAPAZ DE... Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con números fraccionarios y decimales. Resolver problemas sencillos de la vida cotidiana con números fraccionarios y decimales. Aplicar las normas de divisibilidad para obtener el M.C.D. y el m.c.m. de denominadores. Utilizar con corrección la jerarquía de operaciones con los números racionales y decimales. Representar en la recta numérica los números racionales y decimales. Controlar todas las situaciones de operatoria básica para adquirir seguridad y agilidad en el cálculo. Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

2 Unidad didáctica. Números racionales y decimales Sabías que...? El conjunto formado por una fracción y todos sus equivalentes es un número racional. Y la fracción irreducible positiva se llama representante canónico. { },, Número racional Representante canónico Una fracción a b cero. FRACCIONES es el cociente de dos números enteros, donde el denominador no puede ser a Numerador indica el número de unidades fraccionarias que elegimos b Denominador indica el número de partes en que se divide la unidad Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad y y Recuerda Fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar más. Para obtener una fracción irreducible de manera rápida basta con dividir el numerador y el denominador por su M.C.D. M.C.D., Amplificar fracciones Amplificar una fracción es multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero. Se comprueba si las fracciones son equivalentes mediante la regla de los productos cruzados multiplicamos en cruz los términos y obtenemos el mismo resultado. Todas las fracciones obtenidas son fracciones equivalentes. Simplificar fracciones Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero. Analiza En dos fracciones de igual denominador es mayor la de mayor numerador. > En dos fracciones de igual numerador es mayor la de menor denominador. > Representación en la recta numérica Todas las fracciones obtenidas son fracciones equivalentes. Para representar una fracción dividimos cada unidad en tantas partes como indica el denominador y tomamos tantas como indica el numerador. Si la fracción es positiva, se sitúa a la derecha del 0, y si es negativa, a la izquierda del Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

3 Unidad didáctica. Números racionales y decimales EJERCICIOS RESUELTOS º. Cuáles de las siguientes parejas de fracciones son equivalentes? y y y º. Escribe dos fracciones amplificadas para cada fracción º. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener la fracción irreducible 0 º. Escribe el representante canónico de la siguiente fracción y represéntalo en la recta numérica y y y No son equivalentes 0 00 No son equivalentes Sí son equivalentes representante canónico Otro procedimiento es calcular el m.c.d m.c.d., 0 0 m.c.d., 0 EJERCICIOS PROPUESTOS º. Empareja las fracciones equivalentes. º. Amplifica cada fracción. º. Simplifica hasta obtener la fracción irreducible. 0 º. Rellena los huecos para que las fracciones sean equivalentes. º. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones º. Escribe el número racional y su representante canónico de las siguientes fracciones º. Calcula la fracción irreducible de las siguientes fracciones º. Representa gráficamente con rectángulos las siguientes fracciones y ordénalas de mayor a menor e 0 0 f 0 Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

4 Unidad didáctica. Números racionales y decimales Sabías que...? Para comparar fracciones también se reducen al mínimo común denominador. 0 y m.c.m., 0 y < Recuerda Cuando una fracción va seguida de la preposición de y de una cantidad o de otra fracción, esa preposición indica multiplicación. de Suma y resta OPERACIONES CON FRACCIONES Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Suma mismo denominador Multiplicación y división Se suman o restan los numeradores y se queda el mismo denominador. Resta mismo denominador Suma Se reducen las fracciones a Resta distinto denominador común denominador, calculando el m.c.m. El m.c.m. se distinto denominador m.c.m., m.c.m., divide entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador de cada fracción. A continuación se opera 0 como en el caso anterior. Recuerda En las fracciones cuyo exponente es un número entero negativo, se convierte dicho número en positivo si se intercambian numerador y denominador. Son fracciones inversas Multiplicación Se multiplica en línea Potencia a b 0 n veces a n a a a a n b b b b b n Jerarquía de las operaciones División c a c Se multiplica en cruz a c a d d b d b d b c Se elevan numerador y denominador tantas veces como indica el exponente. Las potencias cuya base es un número fraccionario cumplen las mismas propiedades que si la base es un número entero y ya fueron explicadas en la unidad anterior. Analiza En la composición siguiente cada color forma una parte Al igual que con los números enteros, cuando tenemos que efectuar operaciones combinadas, seguimos las siguientes normas º. Paréntesis º. Potencias º. Multiplicaciones y divisiones º. Sumas y restas Ejemplo 0 0 m.c.m.,, Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

5 Unidad didáctica. Números racionales y decimales EJERCICIOS RESUELTOS º. Ordena de mayor a menor las fracciones,, Calculamos el m.c.m.,, 0 y transformamos las fracciones dadas a otras equivalentes que tengan el mismo denominador. 0, 0, ,, 0 0 > > º. Suma y resta las siguientes fracciones Calculamos el m.c.m.,, 0. º. Resuelve 0 º. Calcula las siguientes potencias > > º. Teniendo en cuenta el orden de las operaciones calcula º. Paréntesis º. División 0 0 º. Resta º. Opera EJERCICIOS PROPUESTOS º. Ordena de menor a mayor º. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones º. Calcula las potencias,, 0 0 e f e f [ º. Realiza las siguientes operaciones combinadas º. Un pantalón vaquero encoge al lavarlo / de su longitud. Cuánto medirá un pantalón de 0 cm después de lavarlo? º. Al estreno de una obra han asistido personas, de las cuales / son adolescentes. Cuántos adolescentes asistieron? Si la mitad de los adolescentes son chicas, cuántas chicas adolescentes asistieron? e [ 0 f e f Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

6 Unidad didáctica. Números racionales y decimales Analiza La representación de números decimales puede ser positiva o negativa. Compárala con la representación de los números estudiados en unidades anteriores., 0, Cada número tiene su opuesto. Sabías que...? Todo número fraccionario se puede escribir como número decimal; éste se obtiene al dividir el numerador por el denominador. 0, Recuerda Un número decimal puede ser Exacto 0, Periódico puro 0 0,... Periódico mixto,... antiperíodo período NÚMEROS DECIMALES Un número decimal está formado por una parte entera, situada a la izquierda de la coma, y una parte decimal, situada a la derecha de la coma. parte entera UM C D U d c m dm Ejemplo, { parte decimal, Se lee setenta y tres enteros, doscientas ochenta y cuatro milésimas. Representación en la recta numérica Los números decimales también se representan en la recta numérica, pero dividiendo cada unidad en diez partes iguales, si queremos representar las décimas; y cada una de las décimas se volvería a dividir en otras diez partes iguales para poder representar las centésimas, y así sucesivamente. Ejemplo Conversión de fracción a decimal Toda fracción se puede expresar como número decimal, si dividimos el numerador entre el denominador. Según el cociente obtenido, los decimales pueden ser Decimal exacto aquel que tiene un número finito de cifras decimales. 0, Decimal periódico aquel que tiene un número infinito de cifras decimales que se repiten. El grupo de cifras decimales que se repite recibe el nombre de período y se marca con el símbolo.,,, },,, <, <, <, <, Periódico puro aquel cuyo período empieza después de la coma. Periódico mixto aquel cuyo período no empieza inmediatamente después de la coma. 0,... 0, Decimal con infinitas cifras decimales que no forman período aquel cuyo período no se repite con periodicidad. p,...,,0 También existe conversión de decimal a fracción ésta se llama fracción generatriz Decimal exacto a fracción, 0, 0 00 Decimal periódico se verá en cursos posteriores.,..., unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

7 Unidad didáctica. Números racionales y decimales EJERCICIOS RESUELTOS º. Escribe dos números decimales comprendidos entre 0, y 0,. 0, y 0,, por ejemplo; y si lo aproximamos a las centésimas, 0, y 0,, por ejemplo. EJERCICIOS PROPUESTOS º. Escribe la lectura de los números decimales siguientes,, e 0,00, 0,0 f,000 º. Ordena de menor a mayor los números º. Escribe cómo se leen estos números 0,, 0, 0, 0, 0, 0, º. Representa en la recta numérica los números 0, 0 unidades, ochenta y ocho centésimas, unidades, novecientas treinta y cinco milésimas 0, 0 unidades, tres décimas º. Qué valores tienen las cifras de color rojo?, es milésima. es decena y es milésima. es diezmilésima. º. Ordena de mayor a menor los siguientes números 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 > 0,0 > 0,0 > 0,0 º. Escribe el número que representan los círculos de color rojo.,, 0,, 0,,, º. Escribe la fracción generatriz de estos decimales exactos 0, f, 0, g 0,, h 0,00, i 0, e,0 j, º. Di qué tipo de decimales son,...,...,... e,, f 0,... º. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones y di qué tipo de decimales son º. Indica los números decimales,,,,,,, º. Clasifica los siguientes números decimales y, para los que sean exactos, escribe su fracción generatriz. 0 0, 0 decimal exacto, 0 decimal exacto fracción generatriz fracción generatriz 0, 0, decimal periódico mixto decimal periódico puro Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

8 Unidad didáctica. Números racionales y decimales OPERACIONES CON DECIMALES Suma y resta Para sumar o restar números decimales se escriben uno debajo del otro haciendo coincidir las comas. Suma,,, Resta,0,, Valor con decimales. Multiplicación Para multiplicar números decimales se multiplican sin las comas y en el resultado se coloca la coma en función del número de cifras decimales que hay en total entre los dos números. Analiza Para pasar un número decimal exacto a fracción, escribimos en el numerador el número decimal sin coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como dígitos tenga la parte decimal. Ejemplo, Recuerda En cualquier número decimal, la parte entera, si es mayor que la unidad, está formada por Decenas 0 Centenas 0 Millares 0 En la parte decimal tendremos Décimas 0 Centésimas 0 Milésimas 0 División,,, Multiplicación decimales decimal cifras decimales Para dividir números decimales, se eliminan las comas del divisor multiplicando el dividendo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, y se efectúa la división. División,, 0, ,, 0 0 Multiplicación y división por potencias de 0 Fíjate en los siguientes ejemplos , 0,0 00, 0, Multiplicar por un número decimal de potencia 0 Mayor que la unidad La coma se desplaza a la derecha Menor que la unidad La coma se desplaza a la izquierda Dividir por un número decimal de potencia 0 Mayor que la unidad La coma se desplaza a la izquierda Menor que la unidad La coma se desplaza a la derecha Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

9 Unidad didáctica. Números racionales y decimales EJERCICIOS RESUELTOS º. Realiza las siguientes operaciones con decimales,,,,,,,,,,,,,,,, º. Hemos comprado, l de leche a 0, el litro. Cuánto hemos pagado?, 0,,,,,,,,,,,,,,,, 0, 0,0,,, decimales º. Resuelve º. Opera EJERCICIOS PROPUESTOS, 0,,,,, 0,00 0,, 0,,00,,, 0, 0, 0,,, e,,,, º. Realiza las siguientes operaciones, 0,,,0 e,, 0, f., º. Queremos embotellar litros de zumo de uva en botellas de 0, litros cada una. Cuántas botellas se necesitarán? Sobra alguna cantidad de zumo? º. El precio de un piso es de 0.,. Si el piso tiene 0,m, a cuánto nos ha salido el metro cuadrado? 0, 0 0, 0 0 0, 0, 0., 0,.,. Resto. º. Opera, 0.000, 0,0, 00 0,0 00 e 0,0 0,000 f, 0,00, ,00, 0,0., 00 0, 0,0 00, e 0,0 0,000 0,00000 f, 0,00 0,00 0 porque el divisor tiene una cifra decimal º. Cuál es el perímetro de las siguientes figuras?, cm, cm, cm, cm, cm,0 cm, cm, cm º. Calcula, 0,00 g, 000, 00 h.0 0,00, 0,00 i, ,0 0,0000 j 0,00 0,0 e 0,0 0, k, 0,00 f,.000 l, 0,, cm, cm, cm, cm Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

10 Unidad didáctica. Números racionales y decimales. Busca en horizontal, vertical y diagonal grupos de tres fracciones equivalentes / / / / / / 0/0 / / / 0/ / / / / / / / /0 / / / / / / / /0 / / / / / / / / / / / / / / /0 / / / / 0/0 / / / / / / / / / / / 0/0 00/00 /. Opera 0 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PARA AMPLIAR Y REFORZAR 0. Ordena de mayor a menor las fracciones. Realiza las siguientes operaciones 0,00 0, 0,0 0,,,,, 0,. Una empresa gasta en enero / de su presupuesto en el sueldo de sus empleados, / en materiales y / en el alquiler del local. Qué fracción le queda al dueño de la empresa? VOCABULARIO Fracción Numerador Denominador Amplificación de fracciones Simplificación de fracciones Fracción irreducible Período Decimal exacto Decimal periódico puro Decimal periódico mixto Representante canónico Conversión de fracción a decimal Fracción inversa Fracción generatriz REPASAMOS CONTENIDOS Y EJERCICIOS PARA AMPLIAR... ver CD DEL PROFESOR Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

11 Unidad didáctica. Números racionales y decimales MAPA CONCEPTUAL N Ú M E R O S F R A C C I O N A R I O S DEFINICIÓN Una fracción a es el cociente de dos números enteros donde b 0. b FRACCIONES EQUIVALENTES Las fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. AMPLIFICAR FRACCIONES Es multiplicar por el mismo número distinto de cero numerador y denominador. SIMPLIFICAR FRACCIONES Es dividir por el mismo número distinto de cero numerador y denominador. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA 0 OPERACIONES CON FRACCIONES 0 0 producto cruzado SUMA Y RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN POTENCIA JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Mismo denominador Se multiplica en línea Se multiplica en cruz Se elevan el numerador y el denominador las veces 0 que indique el exponente Distinto denominador 0 Se hace el m.c.m. m.c.m., º. Paréntesis º. Potencias º. Multiplicaciones y divisiones º. Sumas y restas DEFINICIÓN Es aquel que está formado por una parte entera y otra parte decimal., { parte entera parte decimal N Ú M E R O S D E C I M A L E S REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Se divide cada unidad de la recta en 0 partes iguales, y cada una de éstas en diez partes, y así sucesivamente. CONVERSIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL Se divide el numerador por el denominador. OPERACIONES CON DECIMALES <, < Decimal exacto / 0, período Decimal periódico puro /,..., Decimal periódico mixto / 0,... 0, SUMA Y RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR POTENCIAS DE 0,, 0,, 0, 0, decimal decimal decimales, 0, , 0,0, 0, Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

12 Unidad didáctica. Números racionales y decimales AUTOEVALUACIÓN DE CONCEPTOS. Simplifica al máximo y representa el resultado. Opera 0 0. Realiza las siguientes operaciones,, 0,,,,,. Con rollos de papel de, m de longitud cada rollo, se empapela una habitación. Si los rollos tuvieran la misma anchura y, m de longitud, cuántos harían falta?. Alberto compró una finca de 00 m. Ha utilizado / de la finca para construir una casa, / para la piscina y el resto para jardín. Qué fracción de la finca ha utilizado para jardín? Cuántos metros cuadrados son?. Di de qué tipo son los siguientes decimales y pasa a fracción los decimales exactos,,0...,.... Calcula el valor exacto de. Tres amigos han comido en un cumpleaños /, / y / de una tarta. Quién es el que ha comido más tarta? 0. Opera 0, DE COMPETENCIAS. Ya conoces los números naturales enteros fraccionarios y decimales. Indica un ejemplo de cada uno. Realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de dos números fraccionarios y dos decimales. Analiza y contrasta tus propuestas con las de otro compañero. Resolved todas las dudas que pueda tener cada uno.. Define qué entiendes por Fracciones equivalentes Fracciones irreductibles Amplificar fracciones Simplificar fracciones. Escribe como decimal. Opera con potencias de 0 0 0, ,00 0,,,. Opera con potencias de 0 0,0 00,.000, 0,00, 0, 0 Educación Secundaria de Personas Adultas - Editorial Donostiarra

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