PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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Salvador Arroyo Córdoba
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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 007 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción A Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

2 Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máimo. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A a) Función que queremos que sea máimo: P y ma. b) Relación entre las variables: y 10 y 10 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. Pma y (10 ) (100 0 ) d) Derivamos e igualamos a cero 3 P' ; 5 ; 10 e) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máimo. P '' P ''(0) 00 0 mínimo P ''(5) Máimo P ''(10) 00 0 Máimo Luego, los números son: 5 ; y 5

3 3 Sea f : la función definida por f ( ) 1 a b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta y 3. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B Calculamos el punto de infleión. f '( ) 6 4 a f ''( ) Como la recta tangente pasa por el punto de infleión y ( ) 3 1. Luego el punto de infleión tiene de coordenadas: PI..(, 1). - f '( ) 4 48 a a 6 - La función pasa por (, 1) f ( ) a b 1 a b 33 b 19

4 Sea f : (0, ) la función definida por f ( ) Ln( ) (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa e. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( ) Ln (Ln 1) 0 0 ; e 1 1 0,e 1 e, Signo y ' + Función D C m e, e 1 1 b) La ecuación de la recta tangente en e e - f e es: y f e f ' e e - f ' e e e Luego, la recta tangente es: y e e

5 Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo? MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN B. Cuadrado 1 Cuadrado 4 y 4 Cuadrado 1: Lado ; perímetro ; área = y y y Cuadrado : Lado ; perímetro y ; área = a) Función que queremos que sea máimo es: y A b) Relación entre las variables: y 100 y 100 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. y 3(100 ) A d) Derivamos e igualamos a cero A' Los lados de los cuadrados son: cuadrado 1 = cm ; cuadrado = 4 4 y cm 4 4

6 De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación y 1 (ver figura), determina el que tiene mayor área. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1.OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea máimo es: A y b) Relación entre las variables: y 1 y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. A d) Derivamos e igualamos a cero Las dimensiones del rectángulo son: A' ; y

7 Sea f : la función definida por f ( ) e. a) Determina los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f e e e '( ) ( ) 0 0 ;,0 0,, Signo f ' + Función D C D b) El dominio de la función f() es R. 4 mínimo (0,0) Máimo, e Asíntotas Verticales: No tiene Asíntotas Horizontales: lim f ( ) lim lim 0 y 0 e e lim f( ) No tiene Luego, y = 0 es una asíntota horizontal cuando Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua.

8 Sea f : la función definida por f ( ) ( 3) e. a) Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. f '( ) e ( 3) e e ( ) 0,, Signo f ' + Función D C mínimo, e b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. f ''( ) e ( ) e e ( 1) 0 1 La ecuación de la recta tangente en 1 es: y f (1) f '(1) ( 1) - f(1) e - f '(1) e Luego, la recta tangente es: y e e( 1)

9 3 Sea f la función definida, para y, por f( ) 4 a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) El dominio de la función f() es,. Asíntotas Verticales: y. Asíntotas Horizontales: lim f ( ) lim 1 y 1 Al tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua. b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. ( 4) ( 3) 14 f '( ) 0 0 ( 4) ( 4),,0 0,, Signo f ' + + Función C C D D 3 Máimo 0, 4

10 Determina la función f : sabiendo que f ''( ) 1 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 0 es la recta y 1. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. 4 3 La función que nos piden tendrá de ecuación: f ( ) a b c d e. Calculamos la primera y segunda derivada y vamos aplicando las condiciones del problema. 3 f '( ) 4a 3b c d 1 1 f ''( ) 1a 6b c 1 a ; b 0 ; c 1 La ecuación de la tangente en 0, será: y f (0) f '(0) ( 0) y f (0) f '(0) ( 0) y e d( 0) 1 e 1 ; d 0 Luego, la función que nos piden tiene de ecuación: 1 1 f 1 4 ( ) 1

11 Se quiere construir un depósito en forma de prisma de base cuadrada sin tapadera que tenga 3 una capacidad de 500 m. Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su superficie sea mínima?. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. y a) Función que queremos que sea máimo es: S 4 y b) Relación entre las variables: 500 y 500 y c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable S y d) Derivamos e igualamos a cero ( 000) 000 S' Las dimensiones del depósito son: 10 m ; y 5 m

12 Sea f : (0, ) la función definida por 3 1 f( ) a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula el punto de infleión de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( ) ,, 3 3 Signo y ' + Función D C 1 m, 3 3 b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: 3 3 f ''( ) ,1 1, Signo y + Función C Cn P.I. 1,4

13 Determina una función f : sabiendo que su derivada viene dada por f '( ) 6 y que el valor que alcanza f en su punto máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo). MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) La función que nos piden será una función polinómica de tercer grado, es decir, 3 f ( ) a b c d 1 1 f '( ) 3a b c 6 a ; b ; c 6 3 Vamos a calcular el máimo y el mínimo. f '( ) 6 0 ; 3, 3 3,, Signo y ' + + Función C D C Máimo mínimo Como el valor que alcanza en el máimo es el triple del que alcanza en el mínimo, tenemos que: f ( 3) 3 f () 7a 9b 3c d 4a 1b 6c 3d 51a 3b 9c d ( 6) d d d 3 4 Luego, la función que nos pedían es: f ( ) 6

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