SIMULACRO RECUPERACIÓN TERCERA EVALUACIÓN MATEMÁTICAS I ACS JUNIO 2014

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1 JUNIO 04 Sobre los sucesos A y B se conoce las siguientes probabilidades: P(A) 0 7, P(B) 0 y P(A B) 0 4 Calcular P(B/A) y P(Ā B ) Una firma de perfumería cuenta con tres cadenas de producción, A, B y C, en las que se envasa su nueva fragancia La cadena A envasa el 0% del total de perfumes que salen a la venta; la cadena B, el 0%; la C, el 30% La probabilidad de que un envase sea defectuoso es de /3 en A; / en B y de /4 en C Calcular: a) La probabilidad de que escogido un envase al azar, este no sea defectuoso b) La probabilidad de que un envase no sea defectuoso y proceda de la cadena B c) Si un envase es defectuoso, cuál es la probabilidad de que provenga de la cadena C? 3 Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del al y otro trucado, con 4 caras con el número y caras con el número Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos tiradas con el dado elegido a) Calcula la probabilidad de sacar en la primera tirada y en la segunda b) Si el resultado de la primera tirada es y el resultado de la segunda tirada es, cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? 4 Calcule la derivada de las siguientes funciones: a) b) sen y cos y ln ( 3 ) 3 ( e ) ( ) + Sea la función f definida mediante f ( ) + a + b si < Ln si ( ) a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en b) Para a y b, estudie la derivabilidad de f en y y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa e Dada la función f ( ), determina: 4 a) Dominio y continuidad, simetría y puntos de corte con los ejes coordenados b) Ecuación de sus asíntotas c) Monotonía y etremos relativos d) Curvatura y puntos de infleión e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente 7 La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la cantidad de abono (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función C( ) 0 ( + 0) ( a ), donde [0, 00] y a es un parámetro a) Determina el valor de a sabiendo que con 30 gramos de abono se recogen 0, kg de tomate b) Supuesto a 0, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máima cantidad de tomates Cuál es esa máima cantidad de tomates? 8 Se quiere diseñar un panel, con forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mida metros a) Cuáles deben ser las dimensiones de los otros lados para que su área sea máima? b) Si el panel se fabrica con chapa que cuesta 0 euros el metro cuadrado, cuánto costará? FRANCISCANOS CONVENTUALES PL SAN FRANCISCO DE ASÍS, 4703

2 JUNIO 04 SOLUCIÓN: Sobre los sucesos A y B se conoce las siguientes probabilidades: P(A) 0 7, P(B) 0 y P(A B) 0 4 Calcular P(B/A) y P(Ā B ) P(B/A) 0 4; P(Ā B ) 0 Una firma de perfumería cuenta con tres cadenas de producción, A, B y C, en las que se envasa su nueva fragancia La cadena A envasa el 0% del total de perfumes que salen a la venta; la cadena B, el 0%; la C, el 30% La probabilidad de que un envase sea defectuoso es de /3 en A; / en B y de /4 en C Calcular: a) La probabilidad de que escogido un envase al azar, este no sea defectuoso b) La probabilidad de que un envase no sea defectuoso y proceda de la cadena B c) Si un envase es defectuoso, cuál es la probabilidad de que provenga de la cadena C? Llamaremos D al suceso ser defectuosa El diagrama de árbol asociado al problema es: A /3 Defectuoso 0, /3 No defectuoso Perfumería 0, B / Defectuoso / No defectuoso 0,3 C /4 Defectuoso 3/4 No defectuoso 3 P D B 0, 3 4 a) P ( D) 0, + 0, + 0,3 0, 77 b) ( ) 0,4 0,3 P P( C D) P 4 0,333 P 0, c) ( C / D) ( C D) P( D) ( D) 3 Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del al y otro trucado, con 4 caras con el número y caras con el número Se elige al azar uno de los dados y se realizan dos tiradas con el dado elegido a) Calcula la probabilidad de sacar en la primera tirada y en la segunda b) Si el resultado de la primera tirada es y el resultado de la segunda tirada es, cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? Sea [] el dado normal y [] el dado trucado Se tienen las siguientes probabilidades: P(/[]), P(/[]) ; P(/[]) 4, P(/[]) La probabilidad de elegir los dados [] o [] es 0, en cada caso FRANCISCANOS CONVENTUALES PL SAN FRANCISCO DE ASÍS, 4703

3 JUNIO 04 En el diagrama de árbol siguiente se indica el eperimento a) P( y consecutivamente) P([]) P(/[]) P(/[]) + P([]) P(/[]) P(/[]) P b) P([]/º y º ) ([ ] ) P( /[ ] ) P( /[ ] ) P( y ) Calcule la derivada de las siguientes funciones: a) b) ( 3 ) 3 ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 cos ( ) sen cos 3 3 ln 3 cos e sen 3 cos e + 3cos e sen e e y y ' cos e e ln ( ) ( ) ( ) ( ) ln + ln y y ' + + ( + ) Sea la función f definida mediante f ( ) + a + b si < Ln( ) si a) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en b) Para a y b, estudie la derivabilidad de f en y y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa e FRANCISCANOS CONVENTUALES PL SAN FRANCISCO DE ASÍS, 4703

4 JUNIO 04 Dada la función f ( ), determina: 4 a) Dominio y continuidad, simetría y puntos de corte con los ejes coordenados b) Ecuación de sus asíntotas c) Monotonía y etremos relativos d) Curvatura y puntos de infleión e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente a) La función f ( ) es una función racional definida en toda la recta real salvo en los 4 puntos donde se anula el denominador, ed, dominio es IR {, } Solo hay un punto de corte con los ejes: (0, 0) b) Calculemos sus asíntotas: VERTICALES: En hay una asíntota vertical, ya que la función no está definida en ese punto Además, f ( ) y lím f ( + lím + ) En hay una asíntota vertical, ya que la función no está definida en ese punto Además, lím + f ( ) + y lím f ( ) lím f ( ) y lím HORIZONTALES: f ( ) Por tanto, hay una asíntota horizontal en y OBLICUAS: Al haber asíntota horizontal, no hay oblicuas c) Calculamos los puntos críticos de la función 4 8 f ( ) ( 4 + ) 8 ( 4 + f ( ) Estudiamos el crecimiento de la función con el signo de la derivada: si (,0 ) f ( ) < 0 f si ( 0, ) f ( ) > 0 f 8( ) d) Máimos y mínimos: f ( ) ( 4 + ) 3 e) La gráfica de la función es, por tanto, ) 0 0 decreciente creciente 3 f ( 0 ) > 0 ( 0,0 )Mínimo 4 FRANCISCANOS CONVENTUALES PL SAN FRANCISCO DE ASÍS, 4703

5 JUNIO 04 7 La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la cantidad de abono (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función C( ) 0 ( + 0) ( a ), donde [0, 00] y a es un parámetro a) Determina el valor de a sabiendo que con 30 gramos de abono se recogen 0, kg de tomate b) Supuesto a 0, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máima cantidad de tomates Cuál es esa máima cantidad de tomates? a) C( ) 0 ( + 0) ( a ) 00 Si C ( 30) 0, 0, 0 (30 + 0) ( a 30) 0, ( a 30) a 30 a 0 b) Si a 0, la función es C( ) 0 ( + 0) (0 ) Derivando e igualando a 0: [ ( + 0) (0 ) + ( + 0) ( ) ] 0 C ( ) 0 C ( ) 0 ( + 0) [ (0 ) ( + 0) ] 0 ( ) 0 ( + 0) [ 40 3] 0 40 La solución 0 hay que descartarla C 0; La derivada segunda: C ( ) 0 ( ) C ( ) 0 ( + 30) Como C ( 40) < 0, para ese valor se da el máimo buscado La cantidad de tomates para 40 es C (40) 0 (40 + 0) (0 40) 0, 48 kg FRANCISCANOS CONVENTUALES PL SAN FRANCISCO DE ASÍS, 4703

6 JUNIO 04 8 Se quiere diseñar un panel, con forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mida metros a) Cuáles deben ser las dimensiones de los otros lados para que su área sea máima? b) Si el panel se fabrica con chapa que cuesta 0 euros el metro cuadrado, cuánto costará? a) El triángulo es como el que se muestra en la figura adjunta La relación entre los catetos y la hipotenusa es y + y Su área viene dada por la función A( ) A( ) A y 4 El área será máima en las soluciones de ( ) 0 3, que en función de es 0 4 A ( ) ( ) 0 0, La solución 0 carece de sentido Como para A que hagan negativa a () A 0 < < A () > 0, luego A crece; y para < < () se da el máimo buscado implica que A decrece, se tiene que para A < 0, lo que Para el valor de isósceles se tiene y Luego el triángulo rectángulo también es b) El área de ese triángulo es A m 4 Si cada metro cuadrado cuesta 0 euros, el precio del panel será: 0, euros 4 FRANCISCANOS CONVENTUALES PL SAN FRANCISCO DE ASÍS, 4703

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