Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

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1 Apuntes Tema 5 Estudio de funciones

2 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a los siguientes aspectos: a) El denominador nunca puede ser cero. b) Raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual que cero. c) Logaritmos: el argumento del logaritmo debe ser positivo. En los dos últimos casos se resuelve la inecuación que resulta de hacer no negativo el radicando o positivo el argumento. Ejemplo: Calcula el dominio de f(x) = x2 x 6 Error! Marcador no definido.. x + 1 Ejemplo: Calcula el dominio de f(x) = Ln (x 2 + 3x - 10). 52

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4 5.2 Simetría Se dice que una función es par, o simétrica respecto al eje OY, cuando se cumple para todas las x del dominio: Ejemplo.: Estudia la simetría de la siguiente función: f(x) = x3 5x Error! Marcador 2x 5 + x no definido.. Se dice que una función es impar, o simétrica respecto al origen, cuando se cumple para todas las x del dominio: Ejemplo: Estudia la simetría de la siguiente función: f(x) = 4 x 3 + x. 54

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6 5.3 Puntos de corte y signos a) Puntos de corte con OX: Normalmente, entre dos puntos de corte existe un cambio de signo en la función. b) Puntos de corte con OY: Habrá como máximo un punto de corte con OY y éste existirá siempre que x = 0 pertenezca al dominio. Ejemplo: Determina los puntos de corte y estudia los signos de f(x) = 2x 1 x + 2 Error! Marcador no definido.. Ejemplo: Halla los puntos de corte y estudia los signos de paraf(x) = ex 2x. Para estudiar los signos de una función llevaremos a la recta real los ceros del numerador (abscisas de los puntos de corte con el eje OX) y los ceros del denominador (valores excluidos del dominio) y, a continuación, estudiaremos los signos de cada uno de los intervalos creados. 56

7 Ejemplo: estudia los signos de la siguiente función: f(x) = x2 x Asíntotas de una curva x + 1 Def.: Asíntotas de una curva son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. Existen tres tipos de puntos en el infinito: 1. lim f(x) = ± Error! Marcador no definido. x a ± tiende a infinito para x tiende hacia a. decimos que la curva 2. lim f(x) = b Error! Marcador no definido. decimos que la función tiende a b x ± cuando x tiende a más menos infinito. 3. lim f(x) = ± Error! Marcador no definido. x ± decimos que la función tiende a más menos infinito cuando x tiende a más menos infinito. Estos puntos no determinados, en general, se llaman ramas infinitas de la curva y en muchos casos quedan determinados por la dirección de una recta (asíntota), diciéndose entonces que son ramas asintóticas de una función. Existen tres tipos de asíntotas, según la pendiente que tengan: Asíntotas verticales: Estas las veíamos en el curso pasado como los puntos aislados que no pertenecían al dominio. Dada la función y = f(x), si lim f(x) = ±, x a ± entonces la curva se acerca tanto como queramos a la asíntota x = a. Ejemplo: Calcula las asíntotas verticales de la función f(x) = x2 x 5 x

8 Ejemplo: Calcula las asíntotas verticales de la función f(x) = x 3 e x 1. 58

9 5.4.2 Asíntotas horizontales: dada la función y = f(x), si se cumple que lim f(x) = b x ± entonces la curva se aproxima en el infinito tanto como queramos a la recta = b. y Ejemplo: Halla las asíntotas horizontales de la función f(x) = 2x2 5x 3 x 2 + 2x 3. Ejemplo: Calcula las asíntotas horizontales de la función f(x) = x Error! 1 + x Marcador no definido Asíntotas oblicuas: si existen, son de la forma y = mx + n. La recta y = mx + n es una asíntota oblicua si existen los límites: f(x) m = lim Error! Marcador no definido. x x n = lim [f(x) mx] Error! Marcador no definido. x Como máximo existen dos asíntotas oblicuas, correspondientes a x tiende a + y -. 59

10 Ejemplo: Determina la ecuación de las asíntotas de la función f(x) = 2x 2 x 1. Ejemplo: Se piden todas las asíntotas de la función f(x) = x Error! Marcador e x 1 no definido Crecimiento y decrecimiento Dado que la derivada nos da la pendiente de la función para cada valor de x, la función será creciente siempre que la primera derivada sea positiva. f (a) > 0 f(x) es estrictamente creciente para x = a. En caso contrario, la pendiente será negativa y la función decreciente. f (a) < 0 f(x) es estrictamente decreciente para x = a. Ejemplo: Sea la función f(x) = - x 2 + 4x + 3. estudia el crecimiento para x = 5. Ayúdate de la primera derivada, para estudiar también el crecimiento de la función. 60

11 Ejemplo: Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x 2 x Máximos y mínimos: extremos de una función El problema de los máximos y mínimos de una función lo resolveremos también usando la primera derivada. El máximo es un paso de creciente a decreciente, por lo tanto la derivada pasará de ser positiva a ser negativa. La x donde el valor es máximo tiene una derivada igual a cero. El mínimo es un paso de decreciente a creciente, la derivada pasará de ser negativa a ser positiva. La x donde el valor es extremo también tiene la derivada igual a cero. Cómo distinguir un máximo de un mínimo? 1 a opción: se halla la primera derivada y se iguala a cero, se estudia sus cambios de signos y se determina si es un máximo o un mínimo. Ejemplo: Calcula los valores extremos de la función f(x) = x 3-9x x

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13 2 a opción: Los extremos relativos de una función sólo ocurren en puntos en los que la derivada es cero. Si además de esto, la derivada segunda es negativa, el punto es un máximo, si la derivada segunda fuera positiva, el punto sería un mínimo. Si f (a) = 0 y f (a) < 0 f(x) tiene un máximo en Max (a, f(a)) Si f (b) = 0 y f (b) > 0 f(x) tiene un mínimo en Min (b, f(b)) Ejemplo: Calcula los máximos y mínimos de las siguientes funciones: f(x) = x 4-2x y g(x) = x2 1 x 2 63

14 3ª opción: Qué ocurre en el caso de que la derivada segunda de un posible extremo se anule? Ejemplo: f(x) = x 4 y g(x) = x 5 f (a) = 0, si la primera derivada no nula es: PAR { > 0 mínimo { < 0 máximo > 0 inflexión creciente IMPAR { < 0 inflexión decreciente 5.7 Concavidad y convexidad: puntos de inflexión Def.: Una curva es cóncava en un punto, cuando al trazar la tangente en ese punto la curva queda por encima de la tangente. Para la condición analítica de concavidad de una función f(x) en x = a, basta comprobar: f (a) > 0 cóncava 64

15 Def.: Una curva es convexa en un punto, cuando al trazar la tangente en ese punto la curva queda por debajo de la tangente. Para la condición analítica de convexidad de una función f(x) en x = a, basta comprobar: f (a) < 0 convexa Ejemplo: Se pide el estudio de la curvatura de la función f(x) = x 4-12x Ejemplo: Halla los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) = x 3 + 4x 2 + x - 6. Def.: Puntos de inflexión de una curva son los puntos en que cambia el sentido de la curvatura pasando de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. La condición necesaria para que x = a sea punto de inflexión de una curva es la siguiente: f (a) = 0 y f (a) 0 I(a, f(a)) es punto de inflexión Ejemplo: Calcula los puntos de inflexión de la curva del ejemplo anterior. 5.8 Representación gráfica de una función 65

16 Para realizar la gráfica de una función, seguiremos los siguientes pasos: 1. Dominio 2. Simetría 3. Puntos de corte (signos de la función) 4. Asíntotas (comportamiento en el infinito) 5. Máximos y mínimos (intervalos de crecimiento) Concavidad y convexidad 7. Puntos de inflexión Ejercicios: Estudia y representa las siguientes funciones: 1. f(x) = x e x 2. f(x) = ln x x 3. f(x) = x 2 e - x 66

17 Ejercicios: 3 1. Sea la función f(x) = 1 x 2 Se pide: a) Estudia el dominio, la continuidad y la derivabilidad en x = 0. b) Determina los límites en el infinito. c) Halla los puntos de corte con los ejes. 2. Determina el dominio de las siguientes funciones: a) y = 5x 1 1 4x b) y = x2 +3x+2 x c) y = x+2 7 x 2 d) y = Ln(2x + 3) + 1 x 3. Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) y = x3 +x 2 +2 x 2 +1 b) y = x3 Lnx c) y = e x2 +2x d) y = e 1 x 4. Estudia la monotonía y extremos relativos de las siguientes funciones: a) y = x 2 3x + 4 b) y = (x 2-1)e x c) y = x Lnx d) y = Ln 2 x 5. Estudia la curvatura y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a) y = Lnx 2 b) y = (x 1)e x c) y = xe x2 d) y = x3 6. Dada la función f(x) = 1 1+e x + 1 a) Halla el dominio b) Determina sus asíntotas c) Estudia la monotonía y extremos relativos d) Estudia la curvatura y puntos de inflexión e) Represéntala gráficamente 7. Estudia y representa las siguientes funciones (x 3) 2 a) y = x2 +8 x 2 +4 e) y = xlnx b) y = 4x x2 4+x2 f) y = ex 1 c) y = 2x3 x 2 1 d) y = ex x g) y = xln 2 x h) y = x + e -x 8. Determina los parámetros a, b y c de la función x 3 + ax 2 bx + c que pasa por el punto P(- 1, 0) y tiene un máximo en el punto Q(0,4). 67

18 9. Halla a, b y c en la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c para que tenga un punto de inflexión de abscisa 3, tangente horizontal en x = 1 y pase por el punto P(1, 0) 10. Determina a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 2 tenga un punto de inflexión en P(1, 4) cuya recta tangente forma un ángulo de 45º con el eje OX 11. Dada la curva y = 2 x + Lnx2, busca el punto de ésta en el cual la recta tangente sea paralela al eje de abscisas. 12. De la función f(x) = ax 3 + bx sabemos que tiene una gráfica que pasa por el punto P(- 1, 1) y que en éste su recta tangente es paralela a 3x + y = 0. Halla a y b y estudia la monotonía, curvatura, extremos relativos y puntos de inflexión de esta función. 13. Halla los coeficientes a, b, c y d de la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión I(1, 0) es y = -3x + 3 y que la función tiene un extremo relativo en x = Representa gráficamente una función que satisfaga las siguientes condiciones: a) f(0) = 0 ; f (0) = 0 b) asíntotas vertical la recta x = - 3 c) creciente en (, 3) ( 3,0) d) lim f(x) = x 1 e) lim f(x) = 0 ; lim f(x) = 0 x x f) decreciente en (0,1) (1, ) 15. Esboza la gráfica de una función que cumpla a la vez que: a) en x = - 3 tiene una discontinuidad evitable b) en x = - 1 tenga una discontinuidad de 1ª especie de salto 2 c) lim f(x) = 3 ; lim f(x) = x x 1 d) f (3) = 0 ; f (3) > Representa gráficamente un función que cumpla las siguientes condiciones: a) tiene dos asíntotas verticales en x = 1 y x = - 1 b) para x ±, se cumple f(x) 1 c) f( - 2) = f (2) = 0 d) es decreciente en (, 1) ( 1,0) y creciente en (0,1) (1, ) e) f(0) = 4 y f (0) = 0 68

19 17. A partir de la gráfica de la derivada de una función estudia la monotonía, curvatura, extremos relativos y puntos de inflexión de dicha función 69

20 Ejercicios PAU 1. Halla los valores de a, b y c sabiendo que la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c tiene extremos relativos en x = 1 y x = - 3, y que corta a su función derivada en x = 0. Determina la naturaleza de los extremos. (Junio 2013) 2. Dada la función f(x) = 2x2 +3, (Sept 2012) x 2 4 a) Obtén su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas (explicación). b) Halla las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas. c) Determina los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos de esta función. 3. Calcula la derivada de las siguientes funciones, justificando en cada caso si la función es creciente o decreciente en el punto indicado: (Junio 2012) a) f(x) = arcsen (2x) tg (3x) en x = 0. b) g(x) = e x2 4 + cos (πx) en x = Representa la gráfica de una función f(x) que tenga las siguientes propiedades: a) Es continua en todos los reales salvo en x = 4 y x = 0. b) Tiene asíntotas verticales en x = - 4 y x = 0. c) Para x se cumple f(x) 0. d) Corta al eje OX sólo en un punto, que es de inflexión. e) Su función derivada es negativa en (, 6) ( 4,0) y es positiva en ( 6, 4) (0, ). (Sept 2011) 5. Dada la función f(x) = x 1 x2 (Junio 2010) a) Halla el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente a la curva sea igual a 1. b) Halla las asíntotas de la función dada. 6. Determina una función de la forma f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 y para la cual el punto P(1,2) sea punto de inflexión. (Junio 2010) 7. Representa la gráfica de una función f(x) que cumpla las siguientes propiedades: a) Tiene dos asíntotas verticales x = - 1 y x = 3. b) Para x ± se cumple f(x) 2. c) f( - 3) = f(0) = f (2) = f(5) = 0. d) Es decreciente en (, 1) ( 1,1) y creciente en (1,3) (3, ). e) f(1) = - 1. (Junio 2010) 8. Determina una función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(- 1, 2) y tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en Q(0, - 2). (Sept 2010) 9. Dada la función f(x) = 1 x 2 e x2, se pide: (Sept 2008) a) Halla las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. b) Calcula, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal. 70

21 10. Indica, para una función f(x), sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores de x que corresponden a sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos concavidad y convexidad, sabiendo que su función derivada tiene como gráfica la siguiente: 11. Determina el dominio, puntos de corte con los ejes, puntos de discontinuidad, asíntotas, máximos y mínimos relativos de una función cuya gráfica es: 71

22 Ficha de Repaso 1. Determina el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = Ln (x 2 + 2x + 3) (Sol.: R) b) f(x) = 3x3 +5 x 2 5x+4 c) f(x) = x2 +4x+3 x 2 9 (Sol.: (, 1) (4, )) (Sol.: (, 3) ( 3, 1] (3, )) 2. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x2 2 x 2 2 b) f(x) = x2 2x+1 x 3 (Sol.: AV: x = ± 2 ; AH: y = 3) (Sol.: AV : x = 3 ; AO: y = x + 1) 3. Estudia la monotonía y extremos relativos de las siguientes funciones: a) y = 2x + 8 x (Sol.: max en ( - 2, 8) y min en (2, 8)) b) f(x) = 4x 12 (x 2) 2 (Sol.: max en (4, 1), crece en (2, 4)) c) f(x) = ex (también asíntotas) x 2 3 (Sol.: AV en x = ± 3 ; AH en y = 0 sólo por la izquierda, max en ( - 1, - 1/(2e)) y min en (3, e 3 /6)) d) f(x) = x 2 4 x 2 (también asíntotas) (Sol.: AH en y = 2 por la derecha, AO en y = - 2x 2 por la izquierda, decrece en (, 2) y crece en (2, )) e) y = x3 Lnx (Sol.: min en (e 1 3, 3e), crece en (e 1 3, ) y decrece en (0,1) (1, e 1 3)) 4. Estudia la monotonía, curvatura, asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a) f(x) = ex e x 2 (Sol.: Crece en R y tiene PI en (0, 0), sin asíntotas) b) f(x) = e x2 (Sol.: Min en (0,1) y PI en ± 1, AH en y 2 = 0) 72

23 5. Sea la función f(x) = 2x x 2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es y = 2x + 3 (Sol.: a = 26, b = 19) 6. Sea la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 1: a) Determina a y b para que la gráfica de f pase por el punto P(2,2) y tenga un punto de inflexión en x = 0 (Sol.: a = 0, b = - 7/2) b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de inflexión (Sol.: y = (-2/7)x + 1) 7. Determina a y b para que la siguiente función tenga un extremo relativo en el punto P( - 2, 3): f(x) = x 3 + ax 2 + b. (Sol.: a = 3, b = - 1) 8. Calcula k para que f(x) = xe -kx tenga un extremo relativo en x = 1. Es un máximo o un mínimo? (Sol.: k = 1) 9. Determina los valores de k para que se cumpla que que f(x) = Ln (kx 2 + 1) sea creciente en x = 1. (Sol.: k > 0) 10. Determina los coeficientes a y b para que la f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 7 tenga un punto de inflexión en x = 1, cuya recta tangente forme un ángulo de 45º con el eje OX en sentido positivo. (Sol.: a = - 3, b = 4) 11. Se considera f(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 7. Calcula a, b y c sabiendo que tiene recta tangente horizontal en x = 0, un extremo relativo en x = - 2 y que corta al eje OX en x = 1. (Sol.: a = c = 0, b = - 8) 12. Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función f(x) = x 3 + bx 2 + cx + d corte el eje OY en el punto de ordenada 1, pase por el punto P(2, 3) y en éste tenga tangente paralela al eje OX. (Sol.: b= - 5,c= 8 y d= - 1) 13. Determina la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, sabiendo que tiene un máximo en x = - 1, que su gráfica corta el eje OX en el punto de abscisa 2, que tiene un punto de inflexión en x = 0 y que tiene en x = 2 una recta tangente paralela a la recta de ecuación 9x y = 6. (Sol.: a = 1, b = 0, c = - 3, d = 2) 73