Polinomios de Taylor.

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1 Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) + f (a)! (x a) + + f n) (a) (x a) n. n! Como es fácil ver, este polinomio verifica que sus derivadas hasta el orden n coinciden con las derivadas de la función f en el punto a. Teorema 7. Supongamos que f es una función para la cual existen f, f,..., f n 1) en un entorno de a y existe f n) (a). Sea P n,a (x) el polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, entonces: f(x) P n,a (x) x a (x a) n = 0 Nota: Este resultado nos indica que la diferencia entre f(x) y P n,a (x) no solo se hace pequeña cuando x tiende a a, sino que se hace pequeña incluso en comparación con (x a) n. Observación: Con lo anterior estamos expresando que los polinomios de Taylor se aproximan muy bien a la función, casi puede decirse que reproducen la función cerca del punto. Por ello, el uso de los polinomios de Taylor en este sentido, es uno de los métodos más sencilos para evaluar funciones de forma aproximada. Es obvio, que si aumentamos el orden del polinomio se produce una mejor aproximación, no solo porque el valor del polinomio en un punto sea más cercano al valor real de la función ( mejor aproximación) sino también porque pueden aumentar los puntos para los cuales la aproximación es buena. No obstante ésto no es lineal, es decir, no por aumentar mucho el grado del polinomio vamos a conseguir una buena aproximación en todo el dominio. En la Figura 7.1, podemos ver un ejemplo de lo que estamos diciendo, por mucho que aumentemos el orden de los polinomios de Taylor, P n = P n,0, en x = 0 la función f(x) = 1 x +1 no puede aproximarse para los valores de x fuera de ( 1, 1). Por ello se dice que las aproximaciones de Taylor son aproximaciones locales Estudio de máximos y mínimos locales. Proposición 7.3 Sea f una función para la cual existen f, f,..., f n 1) en un entorno del punto a y tal que entonces: f (a) = f (a) = = f n 1) (a) = 0 y f n) (a) 0, a) Si n es par y f n) (a) > 0, f presenta un mínimo local en a. Cálculo diferencial. 77

2 7. Fórmula de Taylor. P8 P4 P0 f(x) P P6 Fig f(x) = 1 1+x y sus polinomios de Taylor en x = 0 de grados 0,, 4, 6 y 8. Se observa claramente que la aproximación es buena cerca de x = 0, pero muy mala lejos de x = 0 b) Si n es par y f n) (a) < 0, f presenta un máximo local en a. c) Si n es impar y f n) (a) > 0, f es estrictamente creciente en a. d) Si n es impar y f n) (a) < 0, f es estrictamente decreciente en a. 7. Fórmula de Taylor. Fórmula de Taylor 7.4 Supongamos que para una función f existen f, f,..., f n+1) sobre el intervalo [a, x], y sea R n,a (x) definido por es decir, Entonces f(x) = P n,a (x) + R n,a (x) = f(a) + f (a) 1! llamado resto de Lagrange, o bien que se denomina resto de Cauchy. R n,a (x) = f(x) P n,a (x), (x a) + + f n) (a) (x a) n + R n,a (x) n! R n,a (x) = f n+1) (t) (n + 1)! (x a)n+1 para un cierto t (a, x), R n,a (x) = f n+1) (t) (x t) n (x a) para un cierto t (a, x), n! 7..1 Operaciones con los polinomios de Taylor. Propiedades 7.5 Sean f y g dos funciones y P n,a y Q n,a los polinomios de Taylor de grado n en a respectivos. Se tiene a) El polinomio de Taylor de grado n para f + g en a es P n,a + Q n,a b) El polinomio de Taylor de grado n para fg en a es la parte hasta grado n del polinomio producto de P n,a y Q n,a. Cálculo diferencial. 78

3 7.3 Representación de funciones. c) El polinomio de Taylor de grado n para f/g en a se obtiene dividiendo el polinomio P n,a entre el polinomio Q n,a, pero ordenados de la potencia menor a la potencia mayor, hasta llegar al grado n en el cociente. Esto es cierto siempre que Q n,a (a) 0 ó que si los k primeros términos del polinomio Q n,a son cero, también lo sean los k primeros términos de P n,a Proposición 7.6 Si P n,a es el polinomio de Taylor de grado n para f en a y Q n,f(a) es el polinomio de Taylor de grado n para g en f(a), entonces el polinomio de Taylor de grado n para g f en a se obtiene tomando la parte hasta el grado n del polinomio Q n,f(a) [P n,a (x)], composición de los de f y g. Corolario 7.7 De la fórmula de Taylor se deduce que cualquier polinomio de grado n, P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n se puede escribir como P (x) = P (a) + P (a) 1! (x a) + + P n) (a) (x a) n a IR, n! ya que R n,a (x) = 0, por ser nula la derivada de orden n + 1 de un polinomio de grado n. 7.3 Representación de funciones Concavidad y convexidad. Definición 7.8 Sea f: (a, b) IR admitiendo derivada en cada punto x (a, b). Se dice que f es convexa en el intervalo (a, b) si todos los puntos de la curva y = f(x) están por debajo de la recta tangente a la curva en cualquier punto x 0 (a, b). Esta definición geométrica se traduce analíticamente de la forma siguiente: La ecuación de la recta tangente a la curva en cada punto x 0 (a, b) es y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) luego f es convexa en (a, b) si o equivalentemente, si y sólo si f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 (a, b) f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 (a, b) Definición 7.9 Sea f: (a, b) IR derivable en (a, b). Se dice que f es cóncava en (a, b) si y sólo si todos los puntos de la curva y = f(x) están por encima de la recta tangente a la curva en cualquier punto x 0 (a, b). Lo que es equivalente a que f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 (a, b). Teorema 7.10 Sea f: (a, b) IR. Si f (x) < 0, x (a, b), entonces f(x) es convexa en (a, b). Demostración: Sea x 0 (a, b), entonces: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (t) (x x 0 ) para un cierto t (x, x 0 )! Cálculo diferencial. 79

4 7.3 Representación de funciones. Por tanto f(x) [f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )] = f (t) (x x 0 ) 0! luego f es convexa ya que ésto se dará para todo x, x 0 (a, b), y significa que todos los puntos de la curva están por debajo de la tangente a la curva en cualquier punto x 0 (a, b). Análogamente se puede probar que si f (x) > 0, x (a, b), entonces f será cóncava en (a, b), o puede usarse que f es cóncava f es convexa. Por lo tanto, los intervalos de concavidad y convexidad pueden determinarse estudiando el signo de la derivada segunda de la función f Puntos de inflexión. Definición 7.11 Sea x 0 un punto en el que la función f es continua, y supongamos que existen dos intervalos (a, x 0 ) y (x 0, b) en los que f es de distinta concavidad, entonces se dice que f presenta un punto de inflexión en x 0. Teorema 7.1 Si f (x) existe en un entorno de x 0 y es continua en x 0, entonces una condición necesaria para que x 0 sea un punto de inflexión de f es que f (x 0 ) = 0. Demostración: Si x 0 es un punto de inflexión de f, entonces: Si f es cóncava a la derecha de x 0 (luego f (x) > 0 en (x 0, b)), será convexa a la izquierda de x 0 (luego f (x) < 0 en (a, x 0 )), y viceversa. Como f es continua en x 0, se tiene que f (x 0 ) = 0. x x 0 f (x) = f (x 0 ) de donde puede concluirse que Proposición 7.13 Sea f una función continua en x 0. Si f (x 0 ) = 0 ó f (x 0 ) no existe y la función f (x) cambia de signo en x 0, entonces f tiene un punto de inflexión en x 0. Como consecuencia del estudio general de máximos y mínimos, y crecimiento y decrecimiento local, se tiene: Proposición 7.14 a) Si f (x 0 ) = 0 y la primera derivada que no se anula en x 0 es de orden impar, entonces f tiene un punto de inflexión en x 0. b) Si f (x 0 ) = 0 y la primera derivada que no se anula en x 0 es de orden par, entonces f no tiene un punto de inflexión en x Representación de funciones Funciones en forma explícita: y = f(x). Dada una función y = f(x), nos proponemos hacer su estudio y representación gráfica. Para ello se deben estudiar en términos generales los siguientes aspectos: a) Dominio de la función (si es que no viene explícitamente definido) y continuidad de f. b) Simetrías (par e impar) y periodicidad. Cálculo diferencial. 80

5 7.3 Representación de funciones. Definición 7.15 Una función f se dice par si f( x) = f(x) (f simétrica respecto al eje de ordenadas, OY ). Una función f se dice impar si f( x) = f(x) ( f simétrica respecto al origen de coordenadas, (0, 0)). Definición 7.16 Una función f se dice periódica de periodo T, si T es el menor número real tal que f(x + T ) = f(x), x. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos locales y globales. Definición 7.17 Sea f: A IR, se dice que f alcanza un máximo global en el punto x 0 A si y sólo si f(x 0 ) f(x), x A. Se dice que f alcanza un mínimo global en el punto x 0 A si y sólo f(x 0 ) f(x), x A. Generalmente, al estudiar una función f sobre un conjunto A va a interesar conocer los valores más extremos que puede tomar f en la totalidad del conjunto A, es decir, el máximo global y el mínimo global. Estos extremos globales (también llamados extremos absolutos) pueden existir o no, según sean f y A; sin embargo el teorema de Weierstrass (Th. 6.5) garantiza, bajo ciertas condiciones su existencia. Es claro que los extremos globales han de buscarse entre los extremos locales y los posibles valores de f en la frontera de A. e) Intervalos de concavidad y convexidad. f) Puntos de inflexión. g) Comportamiento asintótico. Definición 7.18 Se denomina asíntota a la curva dada por la función y = f(x), a toda recta tangente a la curva en el infinito; más precisamente, a toda recta tal que su distancia a un punto P de la curva que se aleje infinitamente tienda a cero. Asíntotas verticales.- Si la recta x = a es una asíntota de f, la condición necesaria y suficiente para que ello ocurra es que f(x) = ± x a Por ejemplo, si es f(x) = y f(x) = +, la posición relativa de la recta x a x a + x = a y de la curva y = f(x) será la que se observa en la Figura 7.. Resto de asíntotas.- Cualquier recta no vertical puede escribirse de la forma y = mx + n. Y una recta y = mx + n será asíntota de la curva y = f(x) si y sólo si [f(x) (mx + n)] = 0 ó bien [f(x) (mx + n)] = 0 ó ambas cosas. x + Se tendrá que x [f(x) (mx + n)] = 0 [f(x) mx] = n que nos permite x encontrar n (conocido m). Para conseguir m basta tener en cuenta que, f(x) f(x) m = 0 x x x x = m x f(x) mx x x n = x x = 0 Cálculo diferencial. 81

6 7.3 Representación de funciones. y=f(x) y=f(x) x=a y=mx+n Fig. 7.. Asíntota vertical Fig Asíntota oblicua f(x) Así pues, si m = es un número real y también lo es n = [f(x) mx], x + x x + la recta y = mx + n es una asíntota hacia + a la curva y = f(x). Análogamente para. Si m = 0 decimos que la asíntota es horizontal, y si m 0 diremos que la asíntota es oblicua (ver Figura 7.3) Curvas dadas en forma paramétrica: x = ϕ(t), y = ψ(t). x = ϕ(t) Dadas las ecuaciones, a cada valor de t le corresponde un único valor de x y de y y = ψ(t) y por lo tanto a cada valor de t le corresponde un punto del plano. El conjunto de puntos del plano de la forma (ϕ(t), ψ(t)) cuando t recorre un determinado x = ϕ(t) conjunto de IR forma la gráfica de la curva dada por las ecuaciones. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de dicha curva y se denomina parámetro al y = ψ(t) valor t. Puede ocurrir que la función x = ϕ(t) admita inversa, t = ϕ 1 (x), entonces y se podrá escribir como función de x, y = ψ(t) = ψ(ϕ 1 (x)) = f(x) y tendremos la curva representada por una función en forma explícita. En general, dada una curva en paramétricas, aunque x = ϕ(t) no admita inversa para todo t, si admitirá inversa por trozos, luego podemos suponer que a una curva en paramétricas se le puede asociar una función en forma explícita (por trozos). Entonces para estudiar una curva dada en paramétricas, podemos usar los resultados conocidos para la forma explícita. x = ϕ(t) Sea y una función de x dada por las ecuaciones. Supongamos que estas y = ψ(t) funciones son derivables y que la función x = ϕ(t) admite inversa t = ϕ 1 (x) asimismo derivable. Por tanto y = ψ(t) = ψ(ϕ 1 (x)) = (ψ ϕ 1 )(x) = y(x), con ψ y ϕ 1 derivables. Aplicando la regla de la cadena se obtiene: y (x) = ψ [ϕ 1 (x)] (ϕ 1 ) (x) = ψ (t)(ϕ 1 ) (x) = ψ 1 (t) ϕ (t) Cálculo diferencial. 8

7 7.3 Representación de funciones. Del mismo modo para obtener y (x) procederemos como sigue: y (x) = d dx [ ψ ] (t) ϕ = d (t) dt [ ψ ] (t) dt ϕ (t) dx = d dt [ ψ ] (t) ϕ (t) (ϕ 1 ) (x) = ψ (t)ϕ (t) ϕ (t)ψ (t) (ϕ (t) 1 ϕ (t) El estudio y representación gráfica de una curva plana dada en paramétricas se hace de modo análogo a como se realizó para funciones del tipo y = f(x): a) Dominio: Serán los valores de t para los que estén definidas ambas funciones (salvo que venga explicitado). b) Simetrías: ϕ(t) = ϕ( t) (i) Si ocurre que, para cada punto de la curva de coordenadas ψ(t) = ψ( t) (ϕ(t), ψ(t)), hay otro de coordenadas (ϕ(t), ψ(t)) que corresponde al valor del parámetro t. Y la curva será simétrica respecto al eje OX. ϕ(t) = ϕ( t) (ii) Si ocurre que, para cada punto de la curva de coordenadas (ϕ(t), ψ(t)), ψ(t) = ψ( t) hay otro de coordenadas ( ϕ(t), ψ(t)) que corresponde al valor del parámetro t. Y la curva será simétrica respecto al eje OY. ϕ(t) = ϕ( t) (iii) Si ocurre que, para cada punto de la curva de coordenadas ψ(t) = ψ( t) (ϕ(t), ψ(t)), hay otro de coordenadas ( ϕ(t), ψ(t)) que corresponde al valor del parámetro t. Y la curva será simétrica respecto al origen. ϕ(t) = ϕ( t) (iv) Si ocurre que, para t y t obtenemos el mismo punto del plano, ψ(t) = ψ( t) luego la curva se repite y bastará con representarla para los valores positivos (o negativos) de t. Todo ésto no recoge todos los casos, pero sí los que son de fácil comprobación. c) Periodicidad: ϕ(t + T ) = ϕ(t) (i) Si ocurre que:. En este caso, basta representarla para valores ψ(t + T ) = ψ(t) del paramétro en un intervalo de la longitud del periodo T, pues luego se repite. ϕ(t + T ) = ϕ(t) + K (ii) Si ocurre que, entonces para cada intervalo en el eje OX ψ(t + T ) = ψ(t) de longitud K, la curva se repite y bastará estudiarla para los valores del parámetro en un intervalo de longitud T. ϕ(t + T ) = ϕ(t) (iii) Si ocurre que, entonces para cada intervalo en el eje OY ψ(t + T ) = ψ(t) + H de longitud H, la curva se repite y bastará estudiarla para los valores del parámetro en un intervalo de longitud T. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Para hacer este estudio se calcula dy ϕ (t). A continuación se buscan los valores del parámetro t que anulan al menos una de las derivadas ψ (t) ó ϕ (t). A estos valores los denominamos críticos. dx = ψ (t) Cálculo diferencial. 83

8 7.3 Representación de funciones. Si estos valores críticos son t 1 < t <... < t k determinaremos el signo de dy dx en los intervalos ( (, t 1 ), (t 1 ), t (),..., (t k, + ). ) O( lo que es lo mismo ) en los intervalos para la x, ϕ(t), ϕ(t 1), ϕ(t 1 ), ϕ(t ),..., ϕ(t k ), ϕ(t). t t + e) Intervalos de concavidad y convexidad. A partir del cálculo de d y, se puede hacer un estudio de los intervalos de concavidad y de dx convexidad y de los puntos de inflexión. Hay que tener en cuenta que la expresión de d y dx puede ser bastante complicada por lo que en muchas ocasiones no es rentable su cálculo. f) Asíntotas: (i) Asíntotas verticales: x = a es asíntota vertical si y sólo si (ii) Asíntotas horizontales: y = b es asíntota horizontal si y sólo si (iii) Asíntotas oblicuas: y = mx + n es asíntota oblicua si y sólo si ψ(t) ϕ(t) = m IR, m 0 [ψ(t) mϕ(t)] = n ϕ(t) = a ψ(t) = ± ϕ(t) = ± ψ(t) = b ϕ(t) = ± ψ(t) = ± y Curvas dadas en coordenadas polares. Sean O un punto del plano, al que llamaremos polo, y una semirrecta, llamada eje polar, que tiene su origen en O. La posición de un punto cualquiera P del plano se determina por dos números: r y θ; el primero de ellos indica la distancia del punto P al polo y el segundo el ángulo formado por el eje polar y la recta OP. Los números r y θ se denominan coordenadas polares del punto P. Si θ varía entre 0 y π, a todo punto P distinto de O le corresponde un par, bien determinado, de números r y θ. El polo es el único punto cuyo r vale 0, aunque θ no está determinado. Veamos la relación que existe entre las coordenadas cartesianas de un punto (x, y) y sus coordenadas polares (r, θ), suponiendo que el polo coincide con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje polar coincide con el semieje de las abcisas positivas. y r θ P=(x,y) x Eje Polar x = r cos θ y = r sen θ x + y = r = r = x + y tg θ = y x = θ = arctg y x La ecuación de algunas curvas se ve muy simplificada si se utilizan coordenadas polares. Por ejemplo, la ecuación de la circunferencia de radio R y centro el origen de coordenadas es en coordenadas polares r = R. No vamos a hacer un estudio exhaustivo de curvas dadas en coordenadas polares, r = f(θ), pero sí se trata de conseguir una representación de dichas curvas en ciertos casos sencillos, como a) r = aθ, la espiral de Arquímedes. Cálculo diferencial. 84

9 7.4 Funciónes hiperbólicas y sus inversas b) r = a cos(θ), lemniscata de Bernouilli. c) r = a(1 + cos θ), cardioide, etc. 7.4 Funciónes hiperbólicas y sus inversas Definición 7.19 Llamamos función seno hiperbólico a la función sh: IR IR definida por sh x = ex e x Llamamos función coseno hiperbólico a la función ch: IR [1, + ) definida por ch x = ex + e x Llamamos función tangente hiperbólica a la función th: IR IR definida por th x = sh x ch x = ex e x e x + e x = 1 e x + 1 Las funciones hiperbólicas verifican relaciones entre ellas similares a las funciones trigronométricas usuales, la mas importante es sin duda: ch x sh x = Inversas de las funciones hiperbólicas Función Argumento del seno hiperbólico Definición 7.0 A la función, definida en todo IR, inversa de y = sh(x) la denominaremos argumento del seno hiperbólico y la denotaremos por y = argsh(x). Para obtenerla, basta con usar el método propuesto: Si de y = sh x = ex e x pasamos a x = ey e y tendremos que despejar y para obtener su expresión. x = e y e y = xe y = e y 1 por ser e y 0, luego tenemos que (e y ) xe y 1 = 3 y=sh(x) y=x 1 y=argsh(x) Fig sh x y su inversa argsh x 0 de donde se obtiene que e y = x± 4x +4 = x ± x + 1. Pero como e y > 0 debe ser e y = x + x + 1 por lo que y = ln(x + x + 1) es la función buscada. Cálculo diferencial. 85

10 7.5 Ejercicios Argumento del coseno y tangente hiperbólicas Las funciones ch x y th x admiten funciones inversas, que denominaremos argumento del coseno hiperbólico, argsh x, y argumento de la tangente hiperbólica, argth x, respectivamente. 3 y=ch(x) y=argch(x) y=x -1 argch: [1, ) IR + {0 y = argch x x = ch y y = argch(x) = ln(x + x 1) 3y=argth(x) y=x 1 argth: ( 1, 1) IR y=th(x) y = argth x x = th y y = argth(x) = 1 ( ) x ln 1 x -1 - Ejercicio.- Claramente las funciones hiperbólicas son derivables, encontrar el dominio de derivación y la expresión de las funciones derivadas. 7.5 Ejercicios 7.1 Escribir el polinomio x 3 x + 3x + 5 en potencias de x. 7. Encontrar un polinomio de grado menor o igual que 10 que verifique: P (7) = 1, P (7) =, P (7) = 3, P (7) =... = P 8) (7) = 0, P 9) (7) = 1, P (7) = 5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de P (x) en el punto de abscisa x = Hallar el desarrollo de McLaurin (fórmula de Taylor en x=0) de las siguientes funciones: a) y = sen x; b) y = cos x; c) y = e x ; d) y = ln(1 + x); e) y = (1 + x) α. Deducir: 1) Que sen x es un infinitésimo equivalente al infinitésimo x. -3 Cálculo diferencial. 86

11 7.5 Ejercicios ) Que 1 cos x es un infinitésimo equivalente al infinitésimo x. 3) Que e x 1 es un infinitésimo equivalente al infinitésimo x. 4) Que ln(1 + x) es un infinitésimo equivalente al infinitésimo x. 7.4 Calcular 1 + x por medio de un polinomio y evaluar el error cometido en función del número de términos de dicho polinomio y en función de x. Calcular (1.1) 1/ con un error menor que una diezmilésima (10 4 ). 7.5 Calcular 1 e e x. con un error menor que 0.01 usando el desarrollo de McLaurin de la función 7.6 Calcular para qué valores de x, al evaluar sen x por x se comete un error menor que Calcular ln 0.9 con un error menor que a partir del desarrollo de la función y = ln(1 + x). 7.8 Escribir la fórmula de Taylor hasta el orden 4 para las siguientes funciones: a) f(x) = (1 + x) 1 en un entorno del punto 1. b) f(x) = ln x en un entorno del punto 1. c) f(x) = e x en un entorno del punto 1. d) f(x) = 1 x(x+1) en un entorno del punto Obtener la fórmula de Taylor de la función f(x) = x 3 ln x en el punto x = 1. Hallar una cota óptima del error que se comete al evaluar f(1.1) con el polinomio de Taylor de f en el punto x = 1 de grado Hallar el polinomio de Taylor en el punto cero de grado n de la función y = a ch( x a ) con a > 0. Expresar el resto para una aproximación polinómica de grado par. Acotar el error cometido al aproximar la función por la parábola: y = a + x a en x = a. x sen x 7.11 Hallar x 0 x(1 cos(3x)). 7.1 Para qué valores de a y de b es finito el límite: x 0 x(1 + a cos x) b sen x x 3? arctg x tg x 7.13 Hallar n IN tal que x 0 x n = k 0 y finito Encontrar una función equivalente cuando x tiende a cero a la función: g(x) = ex + e x x 1 y deducir que g(x) = 0. x 0 e x 1+ax 1+bx 7.15 Encontrar a y b para qué x 0 x 3 sea finito Encontrar a y b para que ln( 1+x 1 x ) x(+ax ) 1+bx cero. sea equivalente a 8x7 175 cuando x tiende a 7.17 Encontrar una función equivalente a la función f(x) = x+ x cuando x tiende a. Cálculo diferencial. 87

12 7.5 Ejercicios 7.18 Estudiar: continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mímimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión de la función f, siendo: f(x) = 1 x+ si x < 3 x 4 si 3 x (x 5) e x 3 si x > Estudiar y representar la gráfica de las funciones siguientes: a) f(x) = x + x 3 ; b) f(x) = c) f(x) = 1 x 1 si x < 1, x 1 x 1 si x 1 1 x 1 + x 1 x 7.0 Estudiar y representar gráficamente la función: y = arctg 1 + x. x 7.1 Sea f(x) = (x ). Estudiar crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y absolutos, asíntotas y representación gráfica. (Aclaración: No es necesario estudiar concavidad x 1 y convexidad.). 7. Dada la función f(x) = xex e x 1. a) Definir la función f en el punto cero de forma que f sea continua en dicho punto, si ello es posible. b) Hallar las asíntotas de f. 7.3 Dada la función f(x) = x n e x (n IN y n > 0), estudiar sus máximos y mínimos según los valores de n. 7.4 Dada la función f(x) = ln(x 3x + 1), estudiar su dominio de definición, crecimiento y decrecimiento y utilizar dichos datos para obtener una representación gráfica aproximada de la función. 7.5 Se considera la función f(x) = x ln x x 1 definida en los intervalos (0, 1) y (1, ). a) Probar que se pueden dar valores a f(0) y a f(1) para qué la función sea continua en 0 a la derecha y para que f sea continua y derivable en 1. b) Qué vale en cero la derivada a la derecha supuesto dado a f en cero el valor del apartado anterior?. 7.6 Estudiar y representar las siguientes curvas, dadas en coordenadas paramétricas: x = 3t 1+t 3 x = t x = a cos 3 t y = a sen 3 t 7.7 Dada la función f(x) = arcsen y = 3t 1+t 3 x + 1, se pide: (x + 1) y = t t3 3 Cálculo diferencial. 88

13 7.5 Ejercicios a) Dominio de f. b) Estudiar crecimiento y decrecimiento de f. c) Ver que f no es derivable en x = 1. Hallar la derivada a la derecha y a la izquierda del punto x = 1. d) Máximos y mínimos relativos y absolutos de f. e) Estudiar concavidad y convexidad de f. f) Puntos de inflexión de f. g) Asíntotas de f. h) Representación gráfica de f. 7.8 Dada la gráfica de f (x), f : (0, 8) (8, 9) IR: Estudiar: Intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad, y convexidad; puntos críticos y de inflexión de f suponiendo que existe f (x) donde existe f (x). Representar gráficamente f(x), sabiendo que f(x) > 0, si x (0, 9) y f continua en (0, 9). Cálculo diferencial. 89

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