Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

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1 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación local en una variable En el primer cuatrimestre hemos trabajado con funciones de una variable y hemos aprendido mucho sobre el problema de la aproximación local (mediante polinomios) de estas funciones. Dada una función y = f(x) que es derivable en un punto x 0, entonces la recta tangente y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) es la recta que mejor aproxima a la gráfica de f cuando nos acercamos a x 0. Recordemos en qué sentido decimos que es la mejor recta: si se considera cualquier recta de la forma podemos considerar la diferencia y = f(x 0 ) + m(x x 0 ) (función en x) (recta en x) = f(x) (f(x 0 ) + m(x x 0 )) Para que la recta sea una buena aproximación de f cerca de x 0 esta diferencia tiene que hacerse más y más pequeña a medida que x se acerque a x 0. Para garantizar que esta cantidad es pequeña la comparamos con una cantidad que de antemano sabemos que es pequeña: la diferencia entre x y x 0. Estas ideas nos llevan a considerar el cociente (función en x) (recta en x) x x 0 = f(x) (f(x 0) + m(x x 0 )) x x 0 Para que la recta sea una buena aproximación, el numerador de este cociente debe ser más pequeño que el denominador cuando nos acercamos a x 0. Por eso imponemos esta condición f(x) (f(x 0 ) + m(x x 0 )) lím = 0 x x 0 x x 0 y nos preguntamos cuál es el valor de m que hace que esto se cumpla? La respuesta la obtuvimos en el primer parcial: si f es derivable en x 0, la única recta que hace que el anterior límite sea 0 es la recta tangente, cuya pendiente es m = f (x 0 ). 1.. Generalización a funciones de dos variables Ahora trataremos de generalizar la discusión anterior al caso de funciones de dos variables. Por el camino nos encontraremos con varias dificultades que van a marcar el trabajo que hay que desarrollar en esta y en las sucesivas secciones. 1

2 Tenemos una función z = f(x, y), que puede ser bastante complicada, y queremos aproximarla mediante una fórmula muy sencilla, de manera que esa aproximación sea muy buena cerca de un cierto punto dado (x 0, y 0 ). Llamemos z 0 = f(x 0, y 0 ). En el apartado anterior utilizábamos una recta para aproximar una curva. Eso significa que para aproximar una función y = f(x) cerca de x 0 buscábamos rectas de la forma y = f(x 0 ) + k(x x 0 ) Y se trataba de escoger el valor de k que produce la recta que más se parece a f cerca de x 0. Pues bien, si tenemos una función de dos variables z = f(x, y), lo natural es buscar una aproximación de la forma: z = f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) Esta ecuación describe a un plano que pasa por el punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )), y que cambia su inclinación según los valores de A y B. La siguiente figura muestra tres planos que pasan por un punto de la gráfica, para distintos valores de A y B. Como puede verse, hay uno entre ellos que se aproxima a la gráfica cerca de ese punto mucho más que los otros dos. Parece natural por tanto buscar un plano tangente como sustituto de la recta tangente cuando pasamos a funciones de dos variables. Y para garantizar que ese plano tangente es una buena aproximación tenemos que pedir que la diferencia entre la función y el plano sea pequeña. Pequeña comparada con qué? Vamos a usar el plano para aproximar a la función f en un punto (x, y) que está muy cerca de (x 0, y 0 ). Así que suponemos que (x, y) y (x 0, y 0 ) no son muy distintos, con lo que la diferencia entre ellos es una cantidad pequeña. Parece natural entonces expresar lo que queremos conseguir mediante el cociente: función (plano tangente) diferencia entre (x, y) y (x 0, y 0 )

3 El primer problema con esta fórmula es que (x, y) y (x 0, y 0 ) son puntos del plano, y la diferencia entre ellos es un vector, no un número. Así que no podemos usar directamente esa diferencia para el cociente, porque no sabemos dividir por un vector! Pero es fácil ver cuál es la solución: si la diferencia entre los dos puntos es pequeña, la distancia (que es el módulo del vector diferencia) también debe ser pequeña y viceversa. Así que el cociente que escribimos es El denominador se puede escribir ahora así: Con lo que finalmente vemos que: función (plano tangente) distancia entre (x, y) y (x 0, y 0 ) distancia entre (x, y) y (x 0, y 0 ) = (x x 0 ) + (y y 0 ) función (plano tangente) distancia entre (x, y) y (x 0, y 0 ) = f(x, y) (f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 )) (x x0 ) + (y y 0 ) Si este cociente tiende a 0 cuando (x, y) se acerca a (x 0, y 0 ), eso significará que el plano z = f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) es una buena aproximación a f cerca de (x 0, y 0 ). Y por tanto será razonable decir que ese plano es el plano tangente a f en (x 0, y 0 ). El resumen de la discusión anterior es esta definición provisional: Definición 1.1 (Provisional: función diferenciable en un punto). Si existen unos números A y B tales que f(x, y) (f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 )) lím = 0 (1) (x,y) (x 0,y 0 ) (x x0 ) + (y y 0 ) entonces diremos que el plano z = f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) es el plano tangente a la gráfica de f en (x 0, y 0 ), y que la función es diferenciable en (x 0, y 0 ). Naturalmente, todo depende de los números A y B que controlan la inclinación del plano. Si el plano está mal colocado, no podemos esperar que produzca una buena aproximación. Esta definición provisional plantea varios problemas, a los que vamos a atender en ésta y en las próximas lecciones del curso. 1. En la definición aparece el límite de una función de dos variables. Tendremos que analizar estos límites y descubrir en qué se parecen y en que difieren de los límites de funciones de una variable. Volveremos sobre esta cuestión en breve.. La segunda pregunta que nos debemos hacer es evidente: cómo se deben escoger los números A y B para que el plano que definen sea realmente el plano tangente? Vamos a empezar por responder a esta pregunta en el siguiente apartado. 3. Finalmente, una vez que tengamos un plano candidato, y entendamos lo que quieren decir los límites, nos ocuparemos de la pregunta pendiente: ese plano, una vez hallado, es realmente una buena aproximación a la función? Esta cuestión nos conducirá a la definición formal de diferenciabilidad. 3

4 . Derivadas parciales.1. Introducción geométrica Empezamos por la segunda de estas preguntas: cómo se deben escoger los números A y B para que el plano z = f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) que definen sea un buen candidato a plano tangente? Para entender la respuesta a esta pregunta vamos a combinar las ideas que acabamos de ver con el estudio de las secciones con planos verticales. La aproximación mediante un plano que estamos tratando de lograr se puede expresar así: f(x, y) f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) cuando (x, y) está cerca de (x 0, y 0 ) En lugar de estudiar esta aproximación para un punto (x, y) cualquiera, lo que sería tal vez demasiado complicado, podemos tratar de entenderla mejor estudiando un caso particular. Sustituiremos en esta aproximación (x, y) por un punto de la forma (x, y 0 ). Es decir, que dejamos fija la coordenada y. Está claro que si x se acerca a x 0, el punto de la forma (x, y 0 ) se acerca al punto (x 0, y 0 ). La ventaja de hacer ésto es que, al fijar la variable y, en lugar de estudiar una fórmula con dos variables libre pasamos a estudiar una fórmula con sólo una variable libre, la x. Ejemplo.1. Vamos a tratar de encontrar el plano tangente a la gráfica de la función z = f(x, y) = 8 x y en el punto (x 0, y 0, z 0 ) = (1,, 3). Obsérvese que z 0 = 3 = f(1, ), de manera que (x 0, y 0 ) = (1, ). Ese plano que buscamos será por tanto de la forma: z = f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 3 + A(x 1) + B(y ) Para tratar de encontrar el número A sustituimos, como habíamos dicho, y por y 0 = : hacemos la sustitución tanto en el plano como en la fórmula z = f(x, y). Al sustituir en el plano, el término que contiene a B se anula y se obtiene: z plano = 3 + A(x 1) Obsérvese que la fórmula que hemos obtenido para z plano es un polinomio de primer grado en x. Es decir, que si pensamos en las variables x, z esto es la ecuación de una recta. Por otro lado, al sustituir en z = f(x, y) se obtiene: z función = f(x, ) = 8 x = 4 x La fórmula que hemos obtenido depende sólo de la variable x. Para referirnos a esta fórmula vamos a ponerle un nombre z función = f (x) = f(x, ) = 4 x Para acercarnos al punto (x 0, y 0 ) debemos pensar que en estas fórmulas el valor de x está muy cerca de 1. Y el problema de aproximación queda planteado así: cómo hay que escoger A para que z plano se parezca mucho a z función = f 1 (x) cuando x está cerca de 1. 4

5 Este problema ya está resuelto: es el problema de aproximación para funciones de una variable que hemos tratado al comienzo de esta sección. Y la respuesta está clara: el valor A es la derivada de la función f 1 (x) = 4 x en el punto x = 1. Es decir: f (1) = Este es el valor que proponemos, de forma natural para A. De la misma forma, el valor para B se obtiene sustituyendo x por x 0 = 1, tanto en la ecuación del plano como en la de la función z = f(x, y), para luego aproximar y a y 0 =. Al sustituir en el plano se obtiene z plano = 3 + B(y ) que describe una recta cuando se piensa en las variables x e y. Si sustituimos x por 1 en la función se obtiene ahora: z función = f 1 (y) = f(1, y) = 8 1 y = 7 y Y lo que tenemos que hacer es seleccionar el valor de B para que la recta z = 3 + B(y ) sea la recta que mejor aproxima a f 1 (y) = f(1, y) = 8 1 y = 7 y cuando y está cerca de. La respuesta, naturalmente, es que se debe tomar Así que estas cuentas nos llevan a considerar B = f 1() y como f 1(y) = y tomamos B = 4 z = 3 (x 1) 4(y ) como un candidato razonable a ser el plano tangente a la gráfica de f en el punto (x 0, y 0, z 0 ) = (1,, 3). Este ejemplo ilustra la forma en que podemos razonar, aprovechando las enseñanzas del cálculo de una variable, para obtener un candidato a ser el plano tangente. Vamos a fijar la terminología que hemos usado en este ejemplo, y a resumir lo que hemos aprendido en unas definiciones. Dada una función de dos variables z = f(x, y) y un punto (x 0, y 0 ), buscamos la ecuación del plano tangente en ese punto, que será de la forma: z = f(x 0, y 0 ) + A(x x 0 ) + B(y y 0 ) Para determinar los números A y B consideramos las funciones f y0 (x) = f(x, y 0 ) f x0 (y) = f(x 0, y) Y entonces hemos visto que lo sensato es tomar A = f y 0 (x 0 ), B = f x 0 (y 0 ), naturalmente, siempre que estas derivadas existan. La siguiente figura ilustra la geometría que hay detrás de estas ideas: 5

6 La función f y0 (x) aparece cuando se corta la gráfica de f con un plano vertical paralelo al plano xz que pase por (x 0, y 0, z 0 ) (la ecuación de ese plano vertical es y = y 0 ). Es una función que sólo depende de x puesto que hemos fijado la y. Y usando el cálculo de una variable medimos su pendiente, es decir su inclinación, en ese punto, mediante la derivada f y 0 (x 0 ). Ese valor nos permite medir la inclinación del plano tangente en esa dirección, paralela al eje x. Si obtenemos también la inclinación f x 0 (y 0 ) del plano tangente en la dirección paralela al eje y tendremos suficiente información (un punto y dos vectores directores) para determinar el plano... Definición formal (mediante límites) de las derivadas parciales Pero, como hemos dicho, lo primero que se necesita es que existan las derivadas f y 0 (x 0 ) y f x 0 (y 0 ). Cómo se calculan esas derivadas? Se trata de derivadas de funciones de una variable, y basta con usar la definición que ya conocemos. La siguiente definición fija la terminología y la notación que vamos a usar: Definición. (Derivadas parciales, función derivable.). La función z = f(x, y) es derivable en el punto (x 0, y 0 ) si existen las dos derivadas f y 0 (x 0 ) y f x 0 (y 0 ). Esas derivadas se representan con estos símbolos f y 0 (x 0 ) =, f x x 0 (y 0 ) = y se denominan derivadas parciales de f en (x 0, y 0 ). Los límites que las definen son éstos: f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x = lím x x 0 x x 0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) = lím y y 0 y y 0 6

7 Otra notación común para las derivadas parciales, aparte de la que hemos indicado en la definición es ésta: x = D 1 f(x 0, y 0 ), = D f(x 0, y 0 ) Esta notación será útil sobre todo más adelante, cuando consideremos funciones de más de dos variables, y generalicemos todos los conceptos que estamos presentando..3. Cálculo de derivadas parciales. Usando límites El cálculo de una derivada parcial utilizando la definición es un límite de una función de una variable, y por tanto es igual de fácil o de difícil que una derivada de una variable. Ejemplo.3. (a) Sea f : R 3 R dada por f(x, y, z) = x y + zy y calculemos la derivada parcial: (1, 0, ) usando la definición. Sería: f(1, y, ) f(1, 0, ) (1, 0, ) = lím (y 0) y 0 lím (y 0) (b) Sea ahora f : R R dada por: (1 y + y ) 1 y = = lím 1 + y = 1 (y 0) xy x y f(x, y) = x + y (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Y calculemos (x, 0) (aquí el punto (x, 0) es cualquier punto del eje x): f(x, y) f(x, 0) (x, 0) = lím = (y 0) y 0 xy x y x lím + y (y 0) y = lím (y 0) xx y x + y = lím (y 0) xx y x + y = xx x = x (Si x = 0 el resultado es el mismo aunque debe escribirse de forma ligeramente distinta; por qué?) Como puede verse en estos ejemplos, el cálculo de derivadas parciales mediante la definición no presenta más dificultades que el de una derivada normal ( porque se trata de una derivada normal!) 7

8 Usando reglas de derivación Las buenas noticias son que en realidad el lector ya sabe calcular muchas derivadas parciales. Porque, según la definición, la derivada parcial se calcula x simplemente derivando la expresión que define a f como si fuera una función que sólo depende de la variable x y tratando a la variable y como una constante. Por tanto podemos utilizar todas las reglas de derivación que conocemos del cálculo de una variable para calcular derivadas parciales. Ejemplo.4. Sea f : R R dada por: f(x, y) = y + xe x +y y calculemos las derivadas parciales en un punto cualquiera (x, y). Para calcular debemos pensar que y es una constante x y derivar la función de x resultante. Tenemos: Y para calcular x = ex +y + x e x +y tratamos ahora a x como una constante: = 1 + xyex +y Este es un buen momento para que el lector se dirija a la lista de ejercicios y practique el cálculo de derivadas parciales, ya sea aplicando la definición mediante límites o utilizando las reglas de derivación. 3. Las derivadas parciales no son suficientes Supongamos que z = f(x, y) es una función derivable en el punto (x 0, y 0 ). Entonces podemos usar sus derivadas parciales para escribir la ecuación de un plano: ( ) ( ) z = f(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) + (y y 0 ) x que es el único candidato posible a ser el plano tangente a la gráfica de f en (x 0, y 0 ). Pero, volviendo a una de nuestras preguntas pendientes es de verdad el plano tangente? Es decir, es una aproximación local a f de buena calidad? El siguiente ejemplo va a mostrar que no siempre sucede así. Ejemplo 3.1. Consideremos la función xy x + y + (x, y) (0, 0) z = f(x, y) = x + y 0 (x, y) = (0, 0) Vamos a tratar de encontrar un plano tangente a la gráfica de esta función en el origen. Empezamos por calcular sus derivadas parciales Entonces f es derivable en (0, 0). Por ejemplo: f(x, 0) f(0, 0) x 0 (0, 0) = lím = lím = 1 x x 0 x 0 x 0 x 8

9 De la misma forma se obtiene (0, 0) = 1 Por lo tanto el único candidato posible a ser el plano tangente es el plano: z = x + y Ahora nos preguntamos cómo de bueno es este plano para aproximar a f cerca del origen? Es decir es esta xy x + y + x + y x + y () una buena aproximación para (x, y) cerca de (0, 0)? Para responder vamos a considerar una recta que pase por el origen del plano xy, por ejemplo la recta y = x, y vamos a comparar los valores de la función y el plano en los puntos de esa recta. Si la aproximación es buena entonces los dos resultados deben ser muy parecidos. Eso nos lleva a plantear este cálculo: f(x, y) = x + y + x + y xy x +y y=x f(x, x) = x + x + x x = x + x +x x y=x x = x + x x = x + x Al hacer esto hemos reducido el problema a un problema de aproximación local en una variable (la x); es x una buena aproximación local de x + x en el origen? La respuesta, después del trabajo del primer cuatrimestre, debería ser evidente. No, no lo es. Porque la expresión x + x no es derivable en x = 0. Así que no es una buena aproximación porque esa aproximación no existe. Y eso significa que la aproximación x + y + xy x + y x + y no puede ser correcta. El plano z = x + y no se puede considerar como plano tangente a la gráfica de f en el origen. Como ilustra este ejemplo, para construir un plano que merezca el nombre de plano tangente, no basta con que existan las derivadas parciales. Se necesita que la función tenga una propiedad adicional: la diferenciabilidad. Para presentar esta noción adecuadamente necesitamos el lenguaje de los límites de funciones de varias variables y ese es nuestro siguiente objetivo. 9

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