Comparar las siguientes ecuaciones, y hallar sus soluciones:

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1 TEMA. Iteraciones. % Hemos aprendido que para resolver una ecuación en x, se despeja la x y se evalúa la expresión que resulta. El siguiente ejemplo nos hará revisar ese esquema. Ejemplo. Comparar las siguientes ecuaciones, y hallar sus soluciones: x = x, x = x, (x > ), x = e x Con las dos primeras no hay problema: x = / =., x = + =.44, pero en la tercera...?? Aunque en ese caso no es posible despejar x, basta comparar las gráficas y = x, y = e x /, para ver que hay exactamente una solución x = α, que es el único punto fijo de g(x) = e x / : !. iterando g(x) = e!x /!.! Las lineas de trazos muestran la siguiente operación: partiendo de la abscisa x = /, ir a la nueva abscisa x = g(x ). Al continuar ese proceso: x k = g(x k ), vemos cómo las x k tienden al punto fijo. (a la izquierda de la figura, limitada ahora a la zona de interés, vemos los valores que van saliendo) x = iterando g(x) = e!x / % Esto nunca llega a ser exacto, pero =.4... tampoco! De x = sabemos que cumple x = exactamente, pero de nuestro α también: α = e α, exactamente. Reflexionar sobre la palabra resolver : para ciertos usos, queremos un desarrollo decimal, con cierto margen de error; para otros, la ecuación misma es lo que vale. Generalicemos: funcionará este método para resolver x = ce x para todo c >? Pues NO: si tomamos c =, vemos que el punto fijo está cerca de x =, pero al tomar sus imágenes iteradas x k = g(x k ), lo que vemos es que en lugar de acercarse al punto fijo α,...

2 .5 iterando g(x) = e!x.5 { b = g(a)... se alejan hacia un ciclo a = g(b), con a < α < b..5.5 Qué hace diferentes a esos dos casos?!.5! PROPOSICION. Sea α = g(α), un punto fijo para la función derivable g. Si en algún entorno J = [α h, α + h] se tiene g (x) <, entonces las iteradas x k = g(x k ) de cualquier x J tienden a α ; decimos entonces que el punto fijo α es un atractor. Si por el contrario g (x) > en J, entonces las iteradas se alejan de α, al menos mientras permanezcan en J. Prueba: Mientras sea x k J, el TVM x k+ α = g(x k ) g(α) < x k α en el primer caso, lo contrario en el otro. Esto prueba, por inducción sobre k, la a. afirmación; para la a. falta probar que r < tal que x k+ α < r x k α. Pero basta tomar g (α) < r < para tener algún δ > tal que x α < δ g(x) α < r x α, y de ahí, usando g <, deducir que x J g(x) α < r x α, para algún r < (que depende de r, δ, h). g(x) = e!x ; en rojo: pendiente > Por ejemplo, g(x) = ce x cumple g (x) = g(x), luego su punto fijo α cumple la hipótesis si y sólo si es α <, es decir si c < e =.78 : E.! EJEMPLO PARA TRABAJAR HASTA LA CLASE SIGUIENTE Vamos a hallar aproximaciones cada vez mejores de la raíz cuadrada α = m del modo siguiente: al tomar una aproximación inicial a y escribir m = a + b, vemos que α = a + b (α + a)(α a) = b de donde es inmediato deducir que α es punto fijo de g(x) = a + b/(x + a). Hacerlo, y probar que g (α) <, usando que α, a >. En cada uno de los casos α =,, 5, tomar como a el entero más cercano, y luego dibujar aproximadamente la función g(x) a iterar, y usando la calculadora, hallar iteradas x k = g(x k ) de x = a, hasta que 4 dígitos más coincidan con los de m. [ ] Si g tiene punto fijo α, probar que la condición g (α) < implica, sin más hipótesis sobre g, la existencia de un J = [α h, α + h] en el que las iteradas de cada punto tienden a α. Pero esa condición no es necesaria para un atractor: estudiar el caso g(x) = e x, y comprobar que el punto fijo x =, en el que g =, es atractor, aunque lentíiiisimo. Basta un dibujo para convencerse. Experimentalmente, pero se puede también probar que es así usando el desarrollo de Taylor de g g en x =.

3 Para el problema encontrado al iterar g(x) = e x, hay un remedio sencillísimo: iterar en su lugar h = g, porque α también es fijo para h, y h (α) = /g (α). El problema es lo lento que va:. iteradas de h(x) = log(/x) diferencias: x k! x k! El por qué nos lo da la prueba de la PROPOSICION: el error x k α se multiplica cada vez por un factor h (ξ) h (α), y en este caso es g (α) = g(α) =.499, luego h (α) =.955, y log h (α) /47, por eso hacen falta 5 iteradas de h para ganar un dígito de precisión!! Moraleja: la derivada de la función que iteramos debería ser pequeña en el atractor α. Por otra parte, el signo de h (α) =.95 es el que hace girar a las iteraciones de h(x). Al estar α entre cada iterada y su imagen, tenemos cada vez una cota del error x k α. Comparar con la escalera (ver figura siguiente, a la izquierda) del caso en el ejercicio E., donde se tiene g (α) >. Lo bueno es que hay muchos posibles iteradores que fijen la solución de una ecuación dada: Ejemplo. Los ceros de la función F (x) = x a son puntos fijos de cada una de estas funciones: g (x) = a/x, g (x) = (x + a/x)/ La primera no sirve como iterador, porque g ( a) = ; pero la segunda... g ( a) = Iteradas de g(x) = Iteradas! /(x+) de g y de g desde x = distancia de x k al atractor!!4!6!8! g (x) = /x, g (x) = (x+/x) /.5

4 4 g (x) = /x, g (x) = (x+/x)/ Iteradas de g y de g Vemos en el logplot de la derecha cómo en el caso de g(x) = /(x + ) el error residual x k α, con α =.5, se multiplica cada vez aproximadamente por la misma constante: g (α) = /.9. Por eso sus log son aproximadamente función lineal de k, y se ven alineados (convergencia lineal al atractor). Como vemos también allí (las estrellas verdes), los errores de la g (x) = (x + /x)/ disminuyen mucho más rápido, porque { g (α) = g (α) = α = g (x) = α + g (α).5.5 distancia de x k al atractor, con x =!!4!6!8! k (x α) +... x k+ α (x k α) Cómo conseguir iteradores así de buenos? La idea general es: Si F (α) =, cada g(x) = x k(x)f (x) fija α, y α es atractor si k(α)f (α) <. Lo ideal es g (α) =, como se consigue con el método de Newton: g(x) = x F (x)/f (x) g(x) = la abscisa donde corta al eje x la recta tangente en (x, F (x)) a la gráfica de F. Ejemplos de Newton : (x + a/x)/ g(x) = ( + log c log x)/( + /x) x( ax).5 g(x) = (x+/x)/ x a (ver gráfico de la izquierda) si F (x) = x + log(x/c) (equivale al Ejemplo ) a /x.5 5!.5!!.5!!.5 F(x) = x!!.5.5!5!8!6!4! En los ejemplos anteriores es muy fácil tomar x en la cuenca del atractor buscado, pero no siempre la situación es tan limpia: observar por ejemplo F (x) = sen(x) cx (gráfico de la derecha). Puede verse cuál es (para las iteraciones Newton) la cuenca inmediata del punto α > en el que F se anula; si escogemos x ligeramente fuera de ella, podemos terminar en cualquier parte... Por eso hay que tener bien localizado el cero buscado de F (x), y disponer de métodos de arranque más seguros hasta llegar cerca de él, como por ejemplo Bisección: Dados dos puntos a, b entre los cuales la función (continua) F cambia de signo, reemplazar uno de ellos con el punto medio (a + b)/, de modo que F siga cambiando de signo. Cuánto podemos acercarnos al punto buscado? Lo que permita la precisión de la calculadora que usemos: cuando F (x)/f (x) llegue a ser demasiado pequeño en comparación con x, la calculadora dirá que x F (x)/f (x) = x, y habremos llegado en la práctica 4 al punto fijo de g. El último es el algoritmo multiplicar para dividir, que aproxima /a sin hacer divisiones. 4 Más sobre eso en los próximos días.

5 5 E. EJEMPLO PARA TRABAJAR HASTA LA CLASE SIGUIENTE Considerar la función F (x) = sen(x) cx + d, donde c, d (, ) son constantes dadas (por ejemplo, producidas al azar por la tecla RAN# de alguna calculadora). El objetivo es hallar el menor α > en el que F (α) =. Probar que hay al menos un tal α >, y luego escribir seudocódigo (es decir, un plan traducible inmediatamente en código), que incluya las siguientes etapas: Localización: usando bisección, llegar a un x que pueda estar en la cuenca de α. Aproximación: usando Newton, acercarse a α hasta la precisión deseada. Hará falta algún criterio de parada, y recordar que la precisión está limitada por la calculadora que usemos. Recuperación: qué hacer si las iteradas x k escapan de la zona prevista. [ ] Usando el desarrollo de Taylor de g, hemos visto qué relación hay entre los sucesivos x k α cuando iteramos una g que cumple g (α) = g (α). Probar ahora que el iterador g(x) = x F (x)/f (x) cumple esas condiciones si, en el punto que tratamos de aproximar, la función F (x) tiene derivada F (α) = F (α). Usar el desarrollo de Taylor de F para estudiar qué ocurre si F (α) =. Tema : BIBLIOGRAFIA Y COMENTARIOS. Terminaremos de ver este Tema en el Laboratorio, mientras tratamos de convertir en código las ideas vistas en clase (como se apunta en el ejercicio E.), y de experimentar con ellas. Las ideas esenciales están contenidas en el Capítulo 9 de nuestro texto principal Sanz-Serna: Diez Lecciones de Cálculo Numérico que tiene, entre otras muchas, la rara virtud de ser breve 5. Vamos a ver en el Laboratorio alguna variante más de esas ideas. Quizá procede este comentario: La escritura, como medio de transmisión del saber, parece llevar unida la tendencia a multiplicar las páginas, los nombres, las maneras diversas de exponer una misma idea. Quien mire las que dedican muchos libros de Cálculo Numérico al tema que nos ocupa, puede sacar a veces la impresión de que hay docenas de métodos posibles. Y parece que esa tendencia se contagia fácilmente al buen estudiante, que puede llegar a medir el éxito de su esfuerzo por la cantidad de nombrecillos a los que ha conseguido asociar alguna idea. Y sin embargo, la Historia del pensamiento es una batalla continua por reducir la complejidad con que nos llegan los datos, los problemas, las propuestas de solución de los mismos. Podemos decir en alabanza de la Física que allí la búsqueda de teorías unificadas ha convertido en un lugar común esta verdad general de las Ciencias: que el objetivo es llegar a ver como ramas de un mismo árbol el mayor número posible de ideas a primera vista diversas. Por ejemplo, en este Tema las ideas diferentes son como mucho dos, las mismas que debe aplicar cualquier predador: cómo acorralar a la presa, cómo saltar sobre ella... 5 Y como consecuencia aunque menos importante la de ser barato...