Tema 3: Producto escalar

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1 Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica las siguientes propiedades: 1. Bilineal: (i) (u + u 0 ) v = u v + u 0 v para todo u, u 0,v V (i 0 ) u (v + v 0 ) = u v + u v 0 para todo u, v, v 0 V (ii) αu v = u αv = α(u v) para todo α R ytodou, v V 2. Simétrica: Para todo u, v V se tiene que u v = v u. 3. Definida positiva: Para todo vector u V no nulo se tiene que u u>0. La expresión u v es un escalar al que se le denomina producto escalar de u y v. Observación 1.1 Rigurosamente hablando un producto escalar en V es una aplicación f : V V R, lo único es que por comodidad en vez de utilizar la notación f(u, v) para el número real producto de los dos vectores, preferimos por comodidad y tradición, denotarlo con el punto de multiplicar. Incluso otros autores utilizan para esto la notación <u,v>. Al par (V, ), formado por un R-espacio vectorial junto con un producto escalar se le denomina espacio vectorial euclídeo. Incluso suele hablarse del espacio vectorial euclídeo V sin mencionar el producto escalar, que se supone sobreentendido. Propiedad: En un espacio vectorial euclídeo (V, ) se cumple que: Para cualquier vector v V se tiene que v 0=0 En conclusión el único modo de que se anule v v es para el vector nulo v =0.Puessiv 6= 0entonces v v>0 Ejemplo El producto escalar usual (canónico o euclídeo) enr n. Dados (x 1,x 2,...,x n ), (y 1,y 2,..., y n ) R n se define el producto escalar euclídeo en R n del siguiente modo: (x 1,x 2,..., x n ) (y 1,y 2,..., y n )=x 1 y 1 + x 2 y x n y n 1

2 2. He aquí un ejemplo de un producto escalar (distinto del euclídeo) definido en R 3 : (x 1,x 2,x 3 ) (y 1,y 2,y 3 )=x 1 y 1 +5x 2 y 2 +2x 3 y 3 3. En R 3 con el producto escalar euclídeo obtenemos (2, 1, 3) (5, 2, 4) = ( 3) 4= = 0 y con el producto escalar visto en el ejemplo 2) obtenemos (2, 1, 3) (5, 2, 4) = ( 3) 4= = 4 4. En P 2 [R], el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, ytomando[a, b] un intervalo cualquiera de la recta real,se define el producto escalar Z b p(x) q(x) = p(x)q(x)dx Mediante dicho producto realicemos el siguiente ejemplo, suponiendo que estamos trabajando con el intervalo [0, 1]: a Z 1 x (x 2 +2)= 0 Z 1 x (x 2 +2)dx = 0 (x 3 +2x)dx =[ x4 4 + x2 ] 1 0 =(1 4 +1) 0=5 4 2 Norma asociada a un producto escalar Sea (V, ) un espacio vectorial euclídeo y v V.Sellamanorma (módulo o longitud) del vector v (asociada al producto escalar anterior) al número real no negativo A este valor lo llamaremos norma del vector v. kvk =+ v v Observación 2.1 La norma asociada al producto escalar euclídeo de R n está dada para un vector (x 1,x 2,..., x n ) R n por q k(x 1,x 2,...,x n )k = x x x 2 n (la llamaremos norma euclídea). Se dice que un vector es unitario cuando tiene norma 1. A partir de cualquier vector no nulo siempre puede construirse un vector unitario dividiendo por la norma. Ejemplo 2.2 Con el producto escalar usual en R 3 la norma del vector u =(2, 3, 0) vale kuk = k(2, 3, 0)k = p 2 2 +( 3) = 4+9+0= 13. Entonces el vector u kuk =( 2, 3, 0)

3 es unitario, pues u kuk = ( 2, 3 s, 0) = = r r = 13 = 1=1 ( 2 13 ) 2 +( 3 13 ) = Ejemplo 2.3 Utilizando la norma asociada al producto escalar en R 2 dado mediante la expresión (x, y) (x 0,y 0 )=4xx 0 +2yy 0 2xy 0 2yx 0 la norma del vector (2, 1) es k(2, 1)k = p (2, 1) (2, 1) = = 10 mientras que la norma euclídea del mismo vector es k(2, 1)k = p (2, 1) (2, 1) = = 5 3 Ortogonalidad Se dice que dos vectores u y v de un espacio vectorial euclídeo son ortogonales (o perpendiculares) cuando u v =0. Un sistema de vectores se dice que es un sistema ortogonal de vectores cuando los vectores son ortogonales dos a dos. Si además todos los vectores son unitarios entonces se dirá que el sistema es ortonormal. Ejemplo vectores u 1,u 2,u 3 constituyen un sistema ortogonal si u 1 u 2 = 0 u 1 u 3 = 0 u 2 u 3 = vectores v 1,v 2 forman un sistema ortonormal si v 1 v 2 = 0 kv 1 k = 1 kv 2 k = 1 3. Con el producto escalar usual en R 4 los vectores constituyen un sistema ortogonal. (1, 2, 3, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 3, 2, 0) 3

4 4. Con el producto escalar usual en R 3 los vectores ( 1 2, 1 2, 0), (0, 0, 1) 5. Utilizando la norma asociada al producto escalar en R 2 dado mediante la expresión los vectores (2, 1) y (1, 3) son ortogonales pues (x, y) (x 0,y 0 )=4xx 0 +2yy 0 2xy 0 2yx 0 (2, 1) (1, 3) = = =0 mientras que con el producto escalar euclídeo no lo son, pues (2, 1) (1, 3)=2+3=5 Una base de un espacio vectorial euclídeo V que además es un sistema ortogonal (respectivamente ortonormal) de vectores se llamará base ortogonal de V (respectivamente base ortonormal de V ). Propiedades: En un espacio vectorial euclídeo se verifican las siguientes propiedades: 1. Un sistema formado por un solo vector es un sistema ortogonal. 2. La base canónica de R n es una base ortonormal de este espacio vectorial, si estamos considerando el producto escalar euclídeo en R n. 3. Un sistema ortogonal de vectores no nulos es un sistema LI de vectores. En consecuencia un sistema ortonormal de vectores es un sistema LI de vectores. 4. La ortogonalidad es una propiedad que se conserva por CL, en particular por múltiplos. De este modo, si u es un vector ortogonal v entonces es ortogonal a todo múltiplo de v (del mismo modo se cumple que si u no es ortogonal a v entonces no es ortogonal a ningún múltiplo de v). Como casos particularmente interesantes tenemos los siguientes: (a) Si tenemos una base ortogonal podemos multiplicar cada vector por un escalar no nulo que el resultado sigue siendo una base ortogonal. (b) Si en una base ortogonal de un espacio vectorial euclídeo de V dividimos cada vector por su norma, entonces el sistema resultante de vectores es una base ortonormal de V. 3.1 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt Sea {u 1,u 2,..., u n } una base de un espacio vectorial euclídeo V. Vamos a construir una base ortogonal de V a partir de la base dada. Empezamos cogiendo w 1 = u 1 4

5 Después buscamos un vector de la forma w 2 = u 2 + α 21 w 1 donde α 21 es un escalar del cuerpo, el único para el que se cumple que w 2 es ortogonal a w 1. Para hallarlo se hace el producto escalar por el vector w 1 en la igualdad anterior, y obtenemos la igualdad w 2 w 1 =0=u 2 w 1 + α 21 w 1 w 1 de donde deducimos que El tercer vector será de la forma α 21 = u 2 w 1 w 1 w 1 w 3 = u 3 + α 31 w 1 + α 32 w 2 donde α 31 y α 32 son escalares del cuerpo, los únicos para los que se cumple que w 3 es ortogonal a w 1 yaw 2. Para hallarlos se hace el producto escalar en la igualdad anterior, por un lado por el vector w 1,yobtenemos w 3 w 1 =0=u 3 w 1 + α 31 w 1 w 1 + α 32 w 2 w 1 de donde deducimos que α 31 = u 3 w 1 w 1 w 1 (tengamos en cuenta que w 2 y w 1 son ortogonales, luego su producto escalar se anula). Y por otro lado, ahora toca cambiar los papeles de w 1 y w 2 y multiplicar escalarmente por este último. Entonces obtenemos w 3 w 2 =0=u 3 w 2 + α 31 w 1 w 2 + α 32 w 2 w 2 de donde deducimos que α 32 = u 3 w 2 w 2 w 2 (tengamos en cuenta que w 2 y w 1 son ortogonales, luego su producto escalar se anula). Supongamos que tenemos definidos vectores ortogonales w 1,w 2,..., w k 1,parak 1 <n.entonces buscaremos un nuevo vector de la forma w k = u k + α k1 w α kk 1 w k 1 donde los α k1, α k2,..., α kk 1 se hallan imponiendo que w k es ortogonal a w 1,w 2,..., w k 1, respectivamente, de una forma similar a la anterior (o sea, multiplicando escalarmente w k por w 1,w 2,..., w k 1 ). Así cada uno de los escalares puede calcularse mediante la expresión α ki = u k w i w i w i De este modo se obtiene una base ortogonal {w 1,w 2,...,w n } de V. Además, a partir de esta base ortogonal puede obtenerse una ortonormal {w 0 1,w 0 2,...,w 0 n} tomando wi 0 = w i kw i k para cada i, es decir, dividiendo cada vector de la base ortogonal por su propia norma. 5

6 Observación 3.2 Si en algún momento nos sale un vector con fracciones en la base ortogonal que se va obteniendo, puede reemplazarse éste por cualquier múltiplo suyo (como ya dijimos en la última propiedad), para así eliminar las fracciones. Incluso puede hacerse sin esperar hasta tener todos los vectores. Por ejemplo. Para el caso de 3 vectores u 1,u 2,u 3 cuando tengamos w 1 y w 2 si éste último tiene fracciones se puede multiplicar por un escalar para quitarlas antes de hallar w 3. Ejemplo 3.3 Con el producto escalar usual hallar una base ortonormal de R 3 a partir de la base {u 1 =(1, 1, 1),u 2 =(2, 1, 0),u 3 =(1, 0, 0)} En primer lugar pongamos Ahora ponemos w 1 = u 1 =(1, 1, 1). w 2 = u 2 + αw 1 (pongo α 21 = α) donde α = u 2 w 1 (2, 1, 0) (1, 1, 1) = w 1 w 1 (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 3 3 = 1 De este modo obtenemos que w 2 =(2, 1, 0) (1, 1, 1) = (1, 0, 1). Finalmente necesitamos hallar un vector w 3 = u 3 + βw 1 + γw 2 (pongo α 31 = β y α 32 = γ) donde sabemos que y Entonces β = u 3 w 1 (1, 0, 0) (1, 1, 1) = w 1 w 1 (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 1 3 γ = u 3 w 2 (1, 0, 0) (1, 0, 1) = w 2 w 2 (1, 0, 1) (1, 0, 1) = 1 2 w 3 =(1, 0, 0) 1 3 (1, 1, 1) 1 (1, 0, 1) = 2 Así hemos obtenido una base ortogonal de R 3 : =(1, 0, 0) + ( 1 3, 1 3, 1 3 )+( 1 2, 0, 1 2 ) =( , 1 3, )=(1 6, 1 3, 1 6 ) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), ( 1 6, 1 3, 1 6 )} Como lo que se pedía era una base ortonormal es suficiente con dividir cada uno de estos vectores por su norma. Como kw 1 k = 3 kw 2 k = 2 kw 3 k = 1 6 6

7 obtenemos la base {w 0 1,w 0 2,w 0 3} de R 3, w 0 1 = 1 3 (1, 1, 1) = ( 1 3, 1 3, w3 0 = 6( 1 6, 1 3, )=( 6, Nota: Podríamos haber tomado la base ortogonal 1 ),w2 0 = 1 (1, 0, 1) = ( 1, 0, 1 ) , 6 )=( 1, 2 1, ) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 1)} obtenida de la anterior multiplicando el último vector por 6. De aquí habríamos obtenido al final la misma base ortonormal. Ejemplo 3.4 Utilizando el producto escalar en R 2 dado mediante la expresión hallemos una base ortonormal a partir de la base (x, y) (x 0,y 0 )=4xx 0 +2yy 0 2xy 0 2yx 0 {(2, 0), ( 1, 1)} Tomamos Ahora consideramos w 1 =(2, 0) w 2 =( 1, 1) + α(2, 0), donde ( 1, 1) (2, 0) α = (2, 0) (2, 0) = 4( 1) = = 3 4 De este modo obtenemos que w 2 =( 1, 1) (2, 0) = (1 2, 1) Así hemos obtenido una base ortogonal de R 2 : {(2, 0), (1, 2)} Multiplicamos el último vector por 2 y seguimos teniendo una base ortogonal, en este caso {(2, 0), (1, 2)} Como lo que se pedía era una base ortonormal es suficiente con dividir cada uno de estos vectores por su norma (la norma asociada a este producto escalar) y se tiene que k(2, 0)k = 4 2 2=4 k(1, 2)k = = 4=2 Finalmente obtenemos la base ortonormal {w1,w 0 2} 0 de R 2 (con el producto escalar con el que estamos trabajando), con w1 0 = 1(2, 0) = (1 4 2, 0) w0 2 = 1(1, 2) = (1 2 2, 1) 7

8 Ejemplo 3.5 Con el producto escalar usual, hallar una base ortononormal de U = {(x, y) R 2 : x 2y =0} Es sencillo hallar una base. A partir de la ecuación implícita de U queseda,x 2y =0, se obtienen las ecuaciones paramétricas de dicho subespacio ( x =2y y = y yportantounabasedeu es {(2, 1)}. Al estar formada por un solo vector esta base de U es ortogonal. Ycomok(2, 1)k = 5 se tiene que una base ortonormal de U es {( 2 5, 1 5 )}. Ejemplo 3.6 Con el producto escalar usual, hallar una base ortogonal de W = {(x, y, z, t) R 4 : x + y z +3t =0,y+ z +2t =0} Nos han dado W mediante ecuaciones implícitas. Pasemos a paramétricas. Basta observar que el sistema está escalonado con los pivotes x e y, luego los parámetros son z y t. Despejando tenemos x =2z t y = z 2t z = z t = t y por tanto una base de W es {(2, 1, 1, 0), ( 1, 2, 0, 1)} Emplearemos ahora el método de Gram-Schmidt para ortogonalizarla. Empezamos considerando w 1 =(2, 1, 1, 0) Ahora consideramos w 2 =( 1, 2, 0, 1) + α(2, 1, 1, 0) donde ( 1, 2, 0, 1) (2, 1, 1, 0) α = (2, 1, 1, 0) (2, 1, 1, 0) = 0 6 =0 De este modo obtenemos que Así hemos obtenido una base ortogonal de W : w 2 =( 1, 2, 0, 1) + 0(2, 1, 1, 0) = ( 1, 2, 0, 1) {(2, 1, 1, 0), ( 1, 2, 0, 1)} Observemos que es la misma base que habíamos obtenido. Esto es casual y se debe a que los vectores ya eran ortogonales entre sí. Por esta misma razón nos sale α =0. 8

9 3.2 Subespacio ortogonal Propiedad: Sea V un espacio vectorial euclídeo y W un subespacio suyo. Entonces el conjunto de los vectores de V que son ortogonales a todos los de W es un subespacio vectorial de V, llamado el subespacio ortogonal de W, y será denotado por W.Esdecir,tenemosque W = {v V v w =0 w W } Observación 3.7 Además se tiene que V = W + W y que esta suma es directa, es decir, V = W L W Luego dim V =dimw L W =dimw +dimw En las condiciones anteriores, conocida una base (o más generalmente, un SG) de W, se cumple que un vector v V es ortogonal a todos los vectores de W si y sólo si es ortogonal a todos los vectores de dicha base (o SG). A partir de ahí se puede obtener W, el subespacio ortogonal de W. Veámoslo en el caso más sencillo en que V = R n. Un vector (x 1,..., x n ) R n pertenece a W si y sólo si es ortogonal a todos los vectores de la base B = {(a 11,..., a 1n ),..., (a k1,..., a kn )} de W, es decir, si y sólo si se cumplen las siguientes ecuaciones (que serán las ecuaciones implícitas de W ) (a 11,..., a 1n ) (x 1,..., x n ) = 0... (a k1,...,a kn ) (x 1,..., x n ) = 0 que dependerán del producto escalar con el que estemos. euclídeo las ecuaciones implícitas de W quedarán así En el caso del producto escalar a 11 x a 1n x n = 0... a k1 x a kn x n = 0 En el caso del producto escalar euclídeo, de modo simétrico puede obtenerse que si el subespacio inicial está dado por ecuaciones implí citas entonces el subespacio ortogonal tiene como sistema generador las filas de la matriz de coeficientes del sistema anterior. Ejemplo Supongamos que tenemos el subespacio de R 4 siguiente W =< (1, 2, 0, 3), ( 3, 0, 2, 0), (5, 0, 1, 0) > Entonces, respecto al producto escalar euclídeo, tenemos que W tiene por ecuaciones implícitas (1, 2, 0, 3) (x, y, z, t) =0 ( 3, 0, 2, 0) (x, y, z, t) =0 (5, 0, 1, 0) (x, y, z, t) =0 9

10 es decir x 2y +3t =0 3x +2z =0 5x z =0 2. Supongamos que tenemos el subespacio de R 3 siguiente U =< ( 3, 2, 1), (2, 0, 1) > Entonces, respecto al producto escalar euclídeo tenemos que U tiene por ecuaciones implícitas ( 3x +2y + z =0 2x z =0 3. Supongamos que tenemos el subespacio de R 3 siguiente T x +2y z =0 Entonces, respecto al producto escalar euclídeo tenemos que T =< ( 1, 2, 1) > 4. Supongamos que tenemos el subespacio de R 3 siguiente S =< (1, 3, 2), ( 1, 0, 3) > Entonces, respecto al producto escalar siguiente (x, y, z) (x 0,y 0,z 0 )=xx 0 +2yy 0 +4zz 0 tenemos que S tiene por ecuaciones implícitas ( (x, y, z) (1, 3, 2) = 0 (x, y, z) ( 1, 0, 3) = 0 es decir, ( x +6y 8z =0 x +12z =0 Supongamos ahora que con este mismo espacio vectorial euclídeo (R 3 con este producto escalar) tomamos el subespacio H de R 3 cuyas ecuaciones implícitas son 2x + y z =0 Entonces para obtener H debemos disponer de una base de H. Es inmediato que unas ecuaciones paramétricas de H son x = x y = z 2x z = z 10

11 (tomando y como pivote y las otras dos variables como parámetros). Así pues una base de H es {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} Esto nos da lugar a que unas ecuaciones implícitas de H son ( (x, y, z) (1, 2, 0) = 0 (x, y, z) (0, 1, 1) = 0 es decir, ( 3.3 Proyección ortogonal x 4y =0 2y +4z =0 Sea W un subespacio de un espacio vectorial euclídeo V. DebidoaqueV = W L W,todovector del espacio puede ponerse de modo único como suma de un vector de W yotrodew.seav V y supongamos que tenemos v = v 1 + v 2 con v 1 W y v 2 W. Entonces a v 1 lo llamaremos proyección ortogonal de v sobre W. Además, este vector cumple que v v 1 W y es el único de todos los vectores de W que cumple esta propiedad, es decir, si w W cumple que v w W,entoncesw = v 1 (la proyección ortogonal de v sobre W ). Veamos a continuación un método para hallar la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio: Sea v V y W V. Supongamos que tenemos una base B = {u 1,u 2,..., u k } de W. Entonces puede escribirse v = v 1 + v 2, donde v 1 es la proyección ortogonal de v sobre W y v 2 W.Entoncesv 1 se pone como CL de los vectores de B en la forma v 1 = α 1 u 1 + α 2 u α k u k (observemos que v 2 w i =0,yaquev 2 W ).i multiplicamos escalarmente v por cada w i,apartir de la igualdad v = v 1 + v 2, obtenemos que v u i = v 1 u i + v 2 u i = α 1 u 1 u i + α 2 u 2 u i α k u k u i lo cual representa una ecuación en las incógnitas α 1, α 2,..., α k. Si esto lo hacemos para i =1, 2,..., k tendremos un sistema de k ecuaciones con k incógnitas que al resolver nos da el valor de las incógnitas α 1, α 2,..., α k que nos servirán para hallar v 1. Si la base escogida es una base ortogonal B = {w 1,w 2,..., w k } de W (siempre es posible hallarla a partir de una base cualquiera mediante el método de Gram- Schmidt), entonces en la fórmula anterior obtenemos que v w i = v 1 w i + v 2 w i = β 1 w 1 w i + β 2 w 2 w i β k w k w i = β i w i w i 11

12 (puesto que w j w i =0si j 6= i, ya que son vectores de una base ortogonal). De aquí despejamos el valor del escalar β i = v w i w i w i Entonces tenemos determinado v 1, la proyección ortogonal de v sobre W, sustituyendo el valor de cada β i,esdecir, v 1 = β 1 w 1 + β 2 w β k w k = v w 1 w 1 w 1 w 1 + v w 2 w 2 w 2 w v w k w k w k w k Finalmente, si B = {w 0 1,w 0 2,..., w 0 k} es una base ortonormal entonces para cada i se tiene que w 0 i w 0 i = kw 0 ik 2 =1con lo que la fórmula de los escalares queda más sencillamente así: yportanto γ i = v w 0 i v 1 = γ 1 w γ 2 w γ k w 0 k =(v w 0 1)w 0 1 +(v w 0 2)w (v w 0 k)w 0 k Observación 3.9 Puedeelegirselabasedelaformaquecadacualconsidereoportunaalahorade obtener la proyección ortogonal.si elegimos una base ortogonal u ortonormal para el cálculo de los escalares, previo a esto probablemente sea necesario hallar esta base ortogonal u ortonormal, lo cual requiere también operaciones. En general es mejor inicialmente coger una base cualquiera de W (no necesariamente ortogonal ni ortonormal) y realizar, como hemos hecho anteriormente, los productos escalares de un modo similar al anterior y resolver el sistema de ecuaciones resultante. De esta manera nos ahorraríamos aplicar el método de Gram-Schmidt a la hora de hallar la base ortogonal. Ejemplo 3.10 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 3 con el producto escalar usual, el subespacio W =< (2, 0, 1), (6, 0, 1) > yelvector v =(2, 1, 3) Vamos a hallar la proyección ortogonal de v sobre W. Sabemos que v = v 1 + v 2, para ciertos v 1 W y v 2 W.Enestasituaciónv 1 es la proyección ortogonal de v sobre W. Tenemos que hallar una base de W. Enestecasoesinmediatoquelos vectores u 1 =(2, 0, 1) y u 2 =(6, 0, 1) nos sirven como base de W. Entonces sabemos que v 1 = α 1 u 1 + α 2 u 2. Pues bien, si multiplicamos escalarmente v con cada uno de estos vectores obtenemos por un lado que v u 1 =(v 1 + v 2 ) u 1 = v 1 u 1 + v 2 u 1 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 1 +0=α 1 u 1 u 1 + α 2 u 2 u 1 de donde, calculando los productos escalares v u 1 =(2, 1, 3) (2, 0, 1) = 1 u 1 u 1 =(2, 0, 1) (2, 0, 1) = 5 u 2 u 1 =(6, 0, 1) (2, 0, 1) = 11 12

13 deducimos que 1=5α 1 +11α 2 y por otro lado que v u 2 =(v 1 + v 2 ) u 2 = v 1 u 2 + v 2 u 2 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 2 +0=α 1 u 1 u 2 + α 2 u 2 u 2 de donde, hallando ahora los productos v u 2 =(2, 1, 3) (6, 0, 1) = 15 u 1 u 2 =(2, 0, 1) (6, 0, 1) = 11 u 2 u 2 =(6, 0, 1) (6, 0, 1) = 37 deducimos que 15 = 11α 1 +37α 2 Entonces resolviendo el sistema 1 = 5α 1 +11α 2 15 = 11α 1 +37α 2 obtenemos que α 1 = 2 α 2 =1 Así, la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio W es v 1 = 2 (2, 0, 1) + 1 (6, 0, 1) = (2, 0, 3) Ejemplo 3.11 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 4 con el producto escalar usual, el subespacio S =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1) > yelvector v =(0, 1, 3, 0) Vamos a hallar la proyección ortogonal de v sobre S. Sabemos que v = v 1 + v 2,paraciertosv 1 S y v 2 S. En esta situación v 1 es la proyección ortogonal de v sobre S. Tenemos que hallar una base de S. Enestecasoesinmediatoquelos vectores u 1 =(1, 0, 0, 1) y u 2 =(1, 1, 2, 1) nos sirven como base de S. Entonces sabemos que v 1 = α 1 u 1 + α 2 u 2. Pues bien, si multiplicamos escalarmente v con cada uno de estos vectores obtenemos por un lado que v u 1 =(v 1 + v 2 ) u 1 = v 1 u 1 + v 2 u 1 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 1 +0=α 1 u 1 u 1 + α 2 u 2 u 1 de donde, calculando los productos escalares v u 1 =(0, 1, 3, 0) (1, 0, 0, 1) = 0 u 1 u 1 =(1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 u 2 u 1 =(1, 1, 2, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 13

14 deducimos que 0=2α 1 +2α 2 y por otro lado que v u 2 =(v 1 + v 2 ) u 2 = v 1 u 2 + v 2 u 2 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 2 +0=α 1 u 1 u 2 + α 2 u 2 u 2 de donde, hallando ahora los productos v u 2 =(0, 1, 3, 0) (1, 1, 2, 1) = 5 u 1 u 2 =(1, 0, 0, 1) (1, 1, 2, 1) = 2 u 2 u 2 =(1, 1, 2, 1) (1, 1, 2, 1) = 7 deducimos que 5=2α 1 +7α 2 Entonces resolviendo el sistema 0 = 2α 1 +2α 2 5 = 2α 1 +7α 2 obtenemos que α 1 = 1 α 2 =1 Así, la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio S es v 1 = 1 (1, 0, 0, 1) + 1 (1, 1, 2, 1) = (0, 1, 2, 0) Otra forma de hacerlo sería a partir de una base ortogonal de S. UtilizandoelmétododeGram- Schmidt tomemos w 1 = u 1 =(1, 0, 0, 1) Busquemos ahora un vector de la forma de donde sabemos que debe ser w 2 = u 2 + λw 1 λ = w 1 u 2 (1, 0, 0, 1) (1, 1, 2, 1) = w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 2 = 1 Entonces w 2 =(1, 1, 2, 1) (1, 0, 0, 1) = (0, 1, 2, 0) Entonces v 1 = λ 2 w 1 + λ 3 w 2 y las ecuaciones que obtendríamos con la base ortogonal {w 1,w 2 } de S serían v w 1 = β 1 w 1 w 1 + β 2 w 2 w 1 = β 1 w 1 w 1 v w 2 = β 1 w 1 w 2 + β 2 w 2 w 2 = β 23 w 2 w 2 14

15 luego Entonces β 1 = v w 1 (0, 1, 3, 0) (1, 0, 0, 1) = w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 0 2 =0 β 2 = v w 2 w 2 w 2 = (0, 1, 3, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) = 5 5 =1 v 1 =0 (1, 0, 0, 1) + 1 (0, 1, 2, 0) = (0, 1, 2, 0) Ejemplo 3.12 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 4 con el producto escalar usual, el subespacio T =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1) > yelvector v =(2, 2, 1, 0) Vamos a hallar la proyección ortogonal de v sobre T. Sabemos que v = v 1 + v 2, para ciertos v 1 T y v 2 T. En esta situación v 1 es la proyección ortogonal de v sobre T. Tenemos que hallar una base de T. En este caso es inmediato que los vectores u 1 =(1, 0, 0, 1) y u 2 =(1, 1, 2, 1) nos sirven como base de T. Entonces sabemos que v 1 = α 1 u 1 + α 2 u 2. Pues bien, si multiplicamos escalarmente v con cada uno de estos vectores obtenemos por un lado que v u 1 =(v 1 + v 2 ) u 1 = v 1 u 1 + v 2 u 1 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 1 +0=α 1 u 1 u 1 + α 2 u 2 u 1 de donde, calculando los productos escalares deducimos que y por otro lado que v u 1 = (2, 2, 1, 0) (1, 0, 0, 1) = 2 u 1 u 1 = (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 u 2 u 1 = (1, 1, 2, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 2=2α 1 +2α 2 v u 2 =(v 1 + v 2 ) u 2 = v 1 u 2 + v 2 u 2 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 2 +0=α 1 u 1 u 2 + α 2 u 2 u 2 de donde, hallando ahora los productos deducimos que Entonces resolviendo el sistema v u 2 =(2, 2, 1, 0) (1, 1, 2, 1) = 2 u 1 u 2 =(1, 0, 0, 1) (1, 1, 2, 1) = 2 u 2 u 2 =(1, 1, 2, 1) (1, 1, 2, 1) = 7 2=2α 1 +7α 2 2 = 2α 1 +2α 2 2 = 2α 1 +7α 2 15

16 obtenemos que α 1 =1 α 2 =0 Así, la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio T es v 1 =1 (1, 0, 0, 1) + 0 (1, 1, 2, 1) = (1, 0, 0, 1) Otra forma de hacerlo sería a partir de una base ortogonal de T. tenemos ya calculada y es {w 1,w 2 } = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0)} En el ejemplo anterior la Entonces v 1 = β 1 w 1 + β 2 w 2 y las ecuaciones que obtendríamos con la base ortogonal serían luego v w 1 = β 1 w 1 w 1 + β 2 w 2 w 1 = β 1 w 1 w 1 v w 2 = β 1 w 1 w 2 + β 2 w 2 w 2 = β 2 w 2 w 2 β 1 = v w 1 (2, 2, 1, 0) (1, 0, 0, 1) = w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 2 =1 β 2 = v w 2 w 2 w 2 = (2, 2, 1, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) = 0 5 =0 Entonces v 1 =1 (1, 0, 0, 1) + 0 (0, 1, 2, 0) = (1, 0, 0, 1) Ejemplo 3.13 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 3 con el producto escalar definido por (x, y, z) (x 0,y 0,z 0 )=2xx 0 + yy 0 +3zz 0 el subespacio U = {(x, y, z) :x y z =0} Se pide: 1. Hallar una base ortogonal de U. 2. Determinar U. 3. Obtener la proyección ortogonal sobre U del vector v =(6, 6, 10) 1) Resolviendo las ecuaciones implícitas de U x = y + z y = y z = z 16

17 setienequeunabasedeu es {u 1 = (1, 1, 0),u 2 = (1, 0, 1)}. Por el método de Gram-Schmidt hallamos una base ortogonal {w 1,w 2 } de U tomando w 1 = u 1 =(1, 1, 0) w 2 = (1, 0, 1) (1, 1, 0) u 2 + (1, 1, 0) (1, 1, 0) w =(1, 0, 1) (1, 1, 0) = = (1, 0, 1) 2 3 (1, 1, 0) = (1 3, 2 3, 1) o si se quiere cambiando este último vector por su triple, obtenemos la siguiente base ortogonal de U {(1, 1, 0)(1, 2, 3)} 2) El subespacio ortonal de U tiene por ecuaciones implícitas es decir (1, 1, 0) (x, y, z) = 0 (1, 0, 1) (x, y, z) = 0 2x + y = 0 2x +3z = 0 Por tanto una base de U (se obtiene sin más que resolver las ecuaciones implícitas anteriores) está formado por el vector {(3, 6, 2)} 3) Si v = v 1 + v 2,siendov 1 la proyección ortogonal de v sobre, podemos afirmar que v 2 = [(6, 6, 10) (3, 6, 2)] (3, 6, 2) (3, 6, 2) (3, 6, 2) = 6, 2) = 2 (3, 6, 2) = (6, 12, 4) (3, y por tanto la proyección ortogonal es v 1 =(6, 6, 10) (6, 12, 4) = (0, 6 6) 17