Tema 3: Producto escalar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 3: Producto escalar"

Transcripción

1 Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica las siguientes propiedades: 1. Bilineal: (i) (u + u 0 ) v = u v + u 0 v para todo u, u 0,v V (i 0 ) u (v + v 0 ) = u v + u v 0 para todo u, v, v 0 V (ii) αu v = u αv = α(u v) para todo α R ytodou, v V 2. Simétrica: Para todo u, v V se tiene que u v = v u. 3. Definida positiva: Para todo vector u V no nulo se tiene que u u>0. La expresión u v es un escalar al que se le denomina producto escalar de u y v. Observación 1.1 Rigurosamente hablando un producto escalar en V es una aplicación f : V V R, lo único es que por comodidad en vez de utilizar la notación f(u, v) para el número real producto de los dos vectores, preferimos por comodidad y tradición, denotarlo con el punto de multiplicar. Incluso otros autores utilizan para esto la notación <u,v>. Al par (V, ), formado por un R-espacio vectorial junto con un producto escalar se le denomina espacio vectorial euclídeo. Incluso suele hablarse del espacio vectorial euclídeo V sin mencionar el producto escalar, que se supone sobreentendido. Propiedad: En un espacio vectorial euclídeo (V, ) se cumple que: Para cualquier vector v V se tiene que v 0=0 En conclusión el único modo de que se anule v v es para el vector nulo v =0.Puessiv 6= 0entonces v v>0 Ejemplo El producto escalar usual (canónico o euclídeo) enr n. Dados (x 1,x 2,...,x n ), (y 1,y 2,..., y n ) R n se define el producto escalar euclídeo en R n del siguiente modo: (x 1,x 2,..., x n ) (y 1,y 2,..., y n )=x 1 y 1 + x 2 y x n y n 1

2 2. He aquí un ejemplo de un producto escalar (distinto del euclídeo) definido en R 3 : (x 1,x 2,x 3 ) (y 1,y 2,y 3 )=x 1 y 1 +5x 2 y 2 +2x 3 y 3 3. En R 3 con el producto escalar euclídeo obtenemos (2, 1, 3) (5, 2, 4) = ( 3) 4= = 0 y con el producto escalar visto en el ejemplo 2) obtenemos (2, 1, 3) (5, 2, 4) = ( 3) 4= = 4 4. En P 2 [R], el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2, ytomando[a, b] un intervalo cualquiera de la recta real,se define el producto escalar Z b p(x) q(x) = p(x)q(x)dx Mediante dicho producto realicemos el siguiente ejemplo, suponiendo que estamos trabajando con el intervalo [0, 1]: a Z 1 x (x 2 +2)= 0 Z 1 x (x 2 +2)dx = 0 (x 3 +2x)dx =[ x4 4 + x2 ] 1 0 =(1 4 +1) 0=5 4 2 Norma asociada a un producto escalar Sea (V, ) un espacio vectorial euclídeo y v V.Sellamanorma (módulo o longitud) del vector v (asociada al producto escalar anterior) al número real no negativo A este valor lo llamaremos norma del vector v. kvk =+ v v Observación 2.1 La norma asociada al producto escalar euclídeo de R n está dada para un vector (x 1,x 2,..., x n ) R n por q k(x 1,x 2,...,x n )k = x x x 2 n (la llamaremos norma euclídea). Se dice que un vector es unitario cuando tiene norma 1. A partir de cualquier vector no nulo siempre puede construirse un vector unitario dividiendo por la norma. Ejemplo 2.2 Con el producto escalar usual en R 3 la norma del vector u =(2, 3, 0) vale kuk = k(2, 3, 0)k = p 2 2 +( 3) = 4+9+0= 13. Entonces el vector u kuk =( 2, 3, 0)

3 es unitario, pues u kuk = ( 2, 3 s, 0) = = r r = 13 = 1=1 ( 2 13 ) 2 +( 3 13 ) = Ejemplo 2.3 Utilizando la norma asociada al producto escalar en R 2 dado mediante la expresión (x, y) (x 0,y 0 )=4xx 0 +2yy 0 2xy 0 2yx 0 la norma del vector (2, 1) es k(2, 1)k = p (2, 1) (2, 1) = = 10 mientras que la norma euclídea del mismo vector es k(2, 1)k = p (2, 1) (2, 1) = = 5 3 Ortogonalidad Se dice que dos vectores u y v de un espacio vectorial euclídeo son ortogonales (o perpendiculares) cuando u v =0. Un sistema de vectores se dice que es un sistema ortogonal de vectores cuando los vectores son ortogonales dos a dos. Si además todos los vectores son unitarios entonces se dirá que el sistema es ortonormal. Ejemplo vectores u 1,u 2,u 3 constituyen un sistema ortogonal si u 1 u 2 = 0 u 1 u 3 = 0 u 2 u 3 = vectores v 1,v 2 forman un sistema ortonormal si v 1 v 2 = 0 kv 1 k = 1 kv 2 k = 1 3. Con el producto escalar usual en R 4 los vectores constituyen un sistema ortogonal. (1, 2, 3, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 3, 2, 0) 3

4 4. Con el producto escalar usual en R 3 los vectores ( 1 2, 1 2, 0), (0, 0, 1) 5. Utilizando la norma asociada al producto escalar en R 2 dado mediante la expresión los vectores (2, 1) y (1, 3) son ortogonales pues (x, y) (x 0,y 0 )=4xx 0 +2yy 0 2xy 0 2yx 0 (2, 1) (1, 3) = = =0 mientras que con el producto escalar euclídeo no lo son, pues (2, 1) (1, 3)=2+3=5 Una base de un espacio vectorial euclídeo V que además es un sistema ortogonal (respectivamente ortonormal) de vectores se llamará base ortogonal de V (respectivamente base ortonormal de V ). Propiedades: En un espacio vectorial euclídeo se verifican las siguientes propiedades: 1. Un sistema formado por un solo vector es un sistema ortogonal. 2. La base canónica de R n es una base ortonormal de este espacio vectorial, si estamos considerando el producto escalar euclídeo en R n. 3. Un sistema ortogonal de vectores no nulos es un sistema LI de vectores. En consecuencia un sistema ortonormal de vectores es un sistema LI de vectores. 4. La ortogonalidad es una propiedad que se conserva por CL, en particular por múltiplos. De este modo, si u es un vector ortogonal v entonces es ortogonal a todo múltiplo de v (del mismo modo se cumple que si u no es ortogonal a v entonces no es ortogonal a ningún múltiplo de v). Como casos particularmente interesantes tenemos los siguientes: (a) Si tenemos una base ortogonal podemos multiplicar cada vector por un escalar no nulo que el resultado sigue siendo una base ortogonal. (b) Si en una base ortogonal de un espacio vectorial euclídeo de V dividimos cada vector por su norma, entonces el sistema resultante de vectores es una base ortonormal de V. 3.1 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt Sea {u 1,u 2,..., u n } una base de un espacio vectorial euclídeo V. Vamos a construir una base ortogonal de V a partir de la base dada. Empezamos cogiendo w 1 = u 1 4

5 Después buscamos un vector de la forma w 2 = u 2 + α 21 w 1 donde α 21 es un escalar del cuerpo, el único para el que se cumple que w 2 es ortogonal a w 1. Para hallarlo se hace el producto escalar por el vector w 1 en la igualdad anterior, y obtenemos la igualdad w 2 w 1 =0=u 2 w 1 + α 21 w 1 w 1 de donde deducimos que El tercer vector será de la forma α 21 = u 2 w 1 w 1 w 1 w 3 = u 3 + α 31 w 1 + α 32 w 2 donde α 31 y α 32 son escalares del cuerpo, los únicos para los que se cumple que w 3 es ortogonal a w 1 yaw 2. Para hallarlos se hace el producto escalar en la igualdad anterior, por un lado por el vector w 1,yobtenemos w 3 w 1 =0=u 3 w 1 + α 31 w 1 w 1 + α 32 w 2 w 1 de donde deducimos que α 31 = u 3 w 1 w 1 w 1 (tengamos en cuenta que w 2 y w 1 son ortogonales, luego su producto escalar se anula). Y por otro lado, ahora toca cambiar los papeles de w 1 y w 2 y multiplicar escalarmente por este último. Entonces obtenemos w 3 w 2 =0=u 3 w 2 + α 31 w 1 w 2 + α 32 w 2 w 2 de donde deducimos que α 32 = u 3 w 2 w 2 w 2 (tengamos en cuenta que w 2 y w 1 son ortogonales, luego su producto escalar se anula). Supongamos que tenemos definidos vectores ortogonales w 1,w 2,..., w k 1,parak 1 <n.entonces buscaremos un nuevo vector de la forma w k = u k + α k1 w α kk 1 w k 1 donde los α k1, α k2,..., α kk 1 se hallan imponiendo que w k es ortogonal a w 1,w 2,..., w k 1, respectivamente, de una forma similar a la anterior (o sea, multiplicando escalarmente w k por w 1,w 2,..., w k 1 ). Así cada uno de los escalares puede calcularse mediante la expresión α ki = u k w i w i w i De este modo se obtiene una base ortogonal {w 1,w 2,...,w n } de V. Además, a partir de esta base ortogonal puede obtenerse una ortonormal {w 0 1,w 0 2,...,w 0 n} tomando wi 0 = w i kw i k para cada i, es decir, dividiendo cada vector de la base ortogonal por su propia norma. 5

6 Observación 3.2 Si en algún momento nos sale un vector con fracciones en la base ortogonal que se va obteniendo, puede reemplazarse éste por cualquier múltiplo suyo (como ya dijimos en la última propiedad), para así eliminar las fracciones. Incluso puede hacerse sin esperar hasta tener todos los vectores. Por ejemplo. Para el caso de 3 vectores u 1,u 2,u 3 cuando tengamos w 1 y w 2 si éste último tiene fracciones se puede multiplicar por un escalar para quitarlas antes de hallar w 3. Ejemplo 3.3 Con el producto escalar usual hallar una base ortonormal de R 3 a partir de la base {u 1 =(1, 1, 1),u 2 =(2, 1, 0),u 3 =(1, 0, 0)} En primer lugar pongamos Ahora ponemos w 1 = u 1 =(1, 1, 1). w 2 = u 2 + αw 1 (pongo α 21 = α) donde α = u 2 w 1 (2, 1, 0) (1, 1, 1) = w 1 w 1 (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 3 3 = 1 De este modo obtenemos que w 2 =(2, 1, 0) (1, 1, 1) = (1, 0, 1). Finalmente necesitamos hallar un vector w 3 = u 3 + βw 1 + γw 2 (pongo α 31 = β y α 32 = γ) donde sabemos que y Entonces β = u 3 w 1 (1, 0, 0) (1, 1, 1) = w 1 w 1 (1, 1, 1) (1, 1, 1) = 1 3 γ = u 3 w 2 (1, 0, 0) (1, 0, 1) = w 2 w 2 (1, 0, 1) (1, 0, 1) = 1 2 w 3 =(1, 0, 0) 1 3 (1, 1, 1) 1 (1, 0, 1) = 2 Así hemos obtenido una base ortogonal de R 3 : =(1, 0, 0) + ( 1 3, 1 3, 1 3 )+( 1 2, 0, 1 2 ) =( , 1 3, )=(1 6, 1 3, 1 6 ) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), ( 1 6, 1 3, 1 6 )} Como lo que se pedía era una base ortonormal es suficiente con dividir cada uno de estos vectores por su norma. Como kw 1 k = 3 kw 2 k = 2 kw 3 k = 1 6 6

7 obtenemos la base {w 0 1,w 0 2,w 0 3} de R 3, w 0 1 = 1 3 (1, 1, 1) = ( 1 3, 1 3, w3 0 = 6( 1 6, 1 3, )=( 6, Nota: Podríamos haber tomado la base ortogonal 1 ),w2 0 = 1 (1, 0, 1) = ( 1, 0, 1 ) , 6 )=( 1, 2 1, ) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 1)} obtenida de la anterior multiplicando el último vector por 6. De aquí habríamos obtenido al final la misma base ortonormal. Ejemplo 3.4 Utilizando el producto escalar en R 2 dado mediante la expresión hallemos una base ortonormal a partir de la base (x, y) (x 0,y 0 )=4xx 0 +2yy 0 2xy 0 2yx 0 {(2, 0), ( 1, 1)} Tomamos Ahora consideramos w 1 =(2, 0) w 2 =( 1, 1) + α(2, 0), donde ( 1, 1) (2, 0) α = (2, 0) (2, 0) = 4( 1) = = 3 4 De este modo obtenemos que w 2 =( 1, 1) (2, 0) = (1 2, 1) Así hemos obtenido una base ortogonal de R 2 : {(2, 0), (1, 2)} Multiplicamos el último vector por 2 y seguimos teniendo una base ortogonal, en este caso {(2, 0), (1, 2)} Como lo que se pedía era una base ortonormal es suficiente con dividir cada uno de estos vectores por su norma (la norma asociada a este producto escalar) y se tiene que k(2, 0)k = 4 2 2=4 k(1, 2)k = = 4=2 Finalmente obtenemos la base ortonormal {w1,w 0 2} 0 de R 2 (con el producto escalar con el que estamos trabajando), con w1 0 = 1(2, 0) = (1 4 2, 0) w0 2 = 1(1, 2) = (1 2 2, 1) 7

8 Ejemplo 3.5 Con el producto escalar usual, hallar una base ortononormal de U = {(x, y) R 2 : x 2y =0} Es sencillo hallar una base. A partir de la ecuación implícita de U queseda,x 2y =0, se obtienen las ecuaciones paramétricas de dicho subespacio ( x =2y y = y yportantounabasedeu es {(2, 1)}. Al estar formada por un solo vector esta base de U es ortogonal. Ycomok(2, 1)k = 5 se tiene que una base ortonormal de U es {( 2 5, 1 5 )}. Ejemplo 3.6 Con el producto escalar usual, hallar una base ortogonal de W = {(x, y, z, t) R 4 : x + y z +3t =0,y+ z +2t =0} Nos han dado W mediante ecuaciones implícitas. Pasemos a paramétricas. Basta observar que el sistema está escalonado con los pivotes x e y, luego los parámetros son z y t. Despejando tenemos x =2z t y = z 2t z = z t = t y por tanto una base de W es {(2, 1, 1, 0), ( 1, 2, 0, 1)} Emplearemos ahora el método de Gram-Schmidt para ortogonalizarla. Empezamos considerando w 1 =(2, 1, 1, 0) Ahora consideramos w 2 =( 1, 2, 0, 1) + α(2, 1, 1, 0) donde ( 1, 2, 0, 1) (2, 1, 1, 0) α = (2, 1, 1, 0) (2, 1, 1, 0) = 0 6 =0 De este modo obtenemos que Así hemos obtenido una base ortogonal de W : w 2 =( 1, 2, 0, 1) + 0(2, 1, 1, 0) = ( 1, 2, 0, 1) {(2, 1, 1, 0), ( 1, 2, 0, 1)} Observemos que es la misma base que habíamos obtenido. Esto es casual y se debe a que los vectores ya eran ortogonales entre sí. Por esta misma razón nos sale α =0. 8

9 3.2 Subespacio ortogonal Propiedad: Sea V un espacio vectorial euclídeo y W un subespacio suyo. Entonces el conjunto de los vectores de V que son ortogonales a todos los de W es un subespacio vectorial de V, llamado el subespacio ortogonal de W, y será denotado por W.Esdecir,tenemosque W = {v V v w =0 w W } Observación 3.7 Además se tiene que V = W + W y que esta suma es directa, es decir, V = W L W Luego dim V =dimw L W =dimw +dimw En las condiciones anteriores, conocida una base (o más generalmente, un SG) de W, se cumple que un vector v V es ortogonal a todos los vectores de W si y sólo si es ortogonal a todos los vectores de dicha base (o SG). A partir de ahí se puede obtener W, el subespacio ortogonal de W. Veámoslo en el caso más sencillo en que V = R n. Un vector (x 1,..., x n ) R n pertenece a W si y sólo si es ortogonal a todos los vectores de la base B = {(a 11,..., a 1n ),..., (a k1,..., a kn )} de W, es decir, si y sólo si se cumplen las siguientes ecuaciones (que serán las ecuaciones implícitas de W ) (a 11,..., a 1n ) (x 1,..., x n ) = 0... (a k1,...,a kn ) (x 1,..., x n ) = 0 que dependerán del producto escalar con el que estemos. euclídeo las ecuaciones implícitas de W quedarán así En el caso del producto escalar a 11 x a 1n x n = 0... a k1 x a kn x n = 0 En el caso del producto escalar euclídeo, de modo simétrico puede obtenerse que si el subespacio inicial está dado por ecuaciones implí citas entonces el subespacio ortogonal tiene como sistema generador las filas de la matriz de coeficientes del sistema anterior. Ejemplo Supongamos que tenemos el subespacio de R 4 siguiente W =< (1, 2, 0, 3), ( 3, 0, 2, 0), (5, 0, 1, 0) > Entonces, respecto al producto escalar euclídeo, tenemos que W tiene por ecuaciones implícitas (1, 2, 0, 3) (x, y, z, t) =0 ( 3, 0, 2, 0) (x, y, z, t) =0 (5, 0, 1, 0) (x, y, z, t) =0 9

10 es decir x 2y +3t =0 3x +2z =0 5x z =0 2. Supongamos que tenemos el subespacio de R 3 siguiente U =< ( 3, 2, 1), (2, 0, 1) > Entonces, respecto al producto escalar euclídeo tenemos que U tiene por ecuaciones implícitas ( 3x +2y + z =0 2x z =0 3. Supongamos que tenemos el subespacio de R 3 siguiente T x +2y z =0 Entonces, respecto al producto escalar euclídeo tenemos que T =< ( 1, 2, 1) > 4. Supongamos que tenemos el subespacio de R 3 siguiente S =< (1, 3, 2), ( 1, 0, 3) > Entonces, respecto al producto escalar siguiente (x, y, z) (x 0,y 0,z 0 )=xx 0 +2yy 0 +4zz 0 tenemos que S tiene por ecuaciones implícitas ( (x, y, z) (1, 3, 2) = 0 (x, y, z) ( 1, 0, 3) = 0 es decir, ( x +6y 8z =0 x +12z =0 Supongamos ahora que con este mismo espacio vectorial euclídeo (R 3 con este producto escalar) tomamos el subespacio H de R 3 cuyas ecuaciones implícitas son 2x + y z =0 Entonces para obtener H debemos disponer de una base de H. Es inmediato que unas ecuaciones paramétricas de H son x = x y = z 2x z = z 10

11 (tomando y como pivote y las otras dos variables como parámetros). Así pues una base de H es {(1, 2, 0), (0, 1, 1)} Esto nos da lugar a que unas ecuaciones implícitas de H son ( (x, y, z) (1, 2, 0) = 0 (x, y, z) (0, 1, 1) = 0 es decir, ( 3.3 Proyección ortogonal x 4y =0 2y +4z =0 Sea W un subespacio de un espacio vectorial euclídeo V. DebidoaqueV = W L W,todovector del espacio puede ponerse de modo único como suma de un vector de W yotrodew.seav V y supongamos que tenemos v = v 1 + v 2 con v 1 W y v 2 W. Entonces a v 1 lo llamaremos proyección ortogonal de v sobre W. Además, este vector cumple que v v 1 W y es el único de todos los vectores de W que cumple esta propiedad, es decir, si w W cumple que v w W,entoncesw = v 1 (la proyección ortogonal de v sobre W ). Veamos a continuación un método para hallar la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio: Sea v V y W V. Supongamos que tenemos una base B = {u 1,u 2,..., u k } de W. Entonces puede escribirse v = v 1 + v 2, donde v 1 es la proyección ortogonal de v sobre W y v 2 W.Entoncesv 1 se pone como CL de los vectores de B en la forma v 1 = α 1 u 1 + α 2 u α k u k (observemos que v 2 w i =0,yaquev 2 W ).i multiplicamos escalarmente v por cada w i,apartir de la igualdad v = v 1 + v 2, obtenemos que v u i = v 1 u i + v 2 u i = α 1 u 1 u i + α 2 u 2 u i α k u k u i lo cual representa una ecuación en las incógnitas α 1, α 2,..., α k. Si esto lo hacemos para i =1, 2,..., k tendremos un sistema de k ecuaciones con k incógnitas que al resolver nos da el valor de las incógnitas α 1, α 2,..., α k que nos servirán para hallar v 1. Si la base escogida es una base ortogonal B = {w 1,w 2,..., w k } de W (siempre es posible hallarla a partir de una base cualquiera mediante el método de Gram- Schmidt), entonces en la fórmula anterior obtenemos que v w i = v 1 w i + v 2 w i = β 1 w 1 w i + β 2 w 2 w i β k w k w i = β i w i w i 11

12 (puesto que w j w i =0si j 6= i, ya que son vectores de una base ortogonal). De aquí despejamos el valor del escalar β i = v w i w i w i Entonces tenemos determinado v 1, la proyección ortogonal de v sobre W, sustituyendo el valor de cada β i,esdecir, v 1 = β 1 w 1 + β 2 w β k w k = v w 1 w 1 w 1 w 1 + v w 2 w 2 w 2 w v w k w k w k w k Finalmente, si B = {w 0 1,w 0 2,..., w 0 k} es una base ortonormal entonces para cada i se tiene que w 0 i w 0 i = kw 0 ik 2 =1con lo que la fórmula de los escalares queda más sencillamente así: yportanto γ i = v w 0 i v 1 = γ 1 w γ 2 w γ k w 0 k =(v w 0 1)w 0 1 +(v w 0 2)w (v w 0 k)w 0 k Observación 3.9 Puedeelegirselabasedelaformaquecadacualconsidereoportunaalahorade obtener la proyección ortogonal.si elegimos una base ortogonal u ortonormal para el cálculo de los escalares, previo a esto probablemente sea necesario hallar esta base ortogonal u ortonormal, lo cual requiere también operaciones. En general es mejor inicialmente coger una base cualquiera de W (no necesariamente ortogonal ni ortonormal) y realizar, como hemos hecho anteriormente, los productos escalares de un modo similar al anterior y resolver el sistema de ecuaciones resultante. De esta manera nos ahorraríamos aplicar el método de Gram-Schmidt a la hora de hallar la base ortogonal. Ejemplo 3.10 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 3 con el producto escalar usual, el subespacio W =< (2, 0, 1), (6, 0, 1) > yelvector v =(2, 1, 3) Vamos a hallar la proyección ortogonal de v sobre W. Sabemos que v = v 1 + v 2, para ciertos v 1 W y v 2 W.Enestasituaciónv 1 es la proyección ortogonal de v sobre W. Tenemos que hallar una base de W. Enestecasoesinmediatoquelos vectores u 1 =(2, 0, 1) y u 2 =(6, 0, 1) nos sirven como base de W. Entonces sabemos que v 1 = α 1 u 1 + α 2 u 2. Pues bien, si multiplicamos escalarmente v con cada uno de estos vectores obtenemos por un lado que v u 1 =(v 1 + v 2 ) u 1 = v 1 u 1 + v 2 u 1 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 1 +0=α 1 u 1 u 1 + α 2 u 2 u 1 de donde, calculando los productos escalares v u 1 =(2, 1, 3) (2, 0, 1) = 1 u 1 u 1 =(2, 0, 1) (2, 0, 1) = 5 u 2 u 1 =(6, 0, 1) (2, 0, 1) = 11 12

13 deducimos que 1=5α 1 +11α 2 y por otro lado que v u 2 =(v 1 + v 2 ) u 2 = v 1 u 2 + v 2 u 2 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 2 +0=α 1 u 1 u 2 + α 2 u 2 u 2 de donde, hallando ahora los productos v u 2 =(2, 1, 3) (6, 0, 1) = 15 u 1 u 2 =(2, 0, 1) (6, 0, 1) = 11 u 2 u 2 =(6, 0, 1) (6, 0, 1) = 37 deducimos que 15 = 11α 1 +37α 2 Entonces resolviendo el sistema 1 = 5α 1 +11α 2 15 = 11α 1 +37α 2 obtenemos que α 1 = 2 α 2 =1 Así, la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio W es v 1 = 2 (2, 0, 1) + 1 (6, 0, 1) = (2, 0, 3) Ejemplo 3.11 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 4 con el producto escalar usual, el subespacio S =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1) > yelvector v =(0, 1, 3, 0) Vamos a hallar la proyección ortogonal de v sobre S. Sabemos que v = v 1 + v 2,paraciertosv 1 S y v 2 S. En esta situación v 1 es la proyección ortogonal de v sobre S. Tenemos que hallar una base de S. Enestecasoesinmediatoquelos vectores u 1 =(1, 0, 0, 1) y u 2 =(1, 1, 2, 1) nos sirven como base de S. Entonces sabemos que v 1 = α 1 u 1 + α 2 u 2. Pues bien, si multiplicamos escalarmente v con cada uno de estos vectores obtenemos por un lado que v u 1 =(v 1 + v 2 ) u 1 = v 1 u 1 + v 2 u 1 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 1 +0=α 1 u 1 u 1 + α 2 u 2 u 1 de donde, calculando los productos escalares v u 1 =(0, 1, 3, 0) (1, 0, 0, 1) = 0 u 1 u 1 =(1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 u 2 u 1 =(1, 1, 2, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 13

14 deducimos que 0=2α 1 +2α 2 y por otro lado que v u 2 =(v 1 + v 2 ) u 2 = v 1 u 2 + v 2 u 2 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 2 +0=α 1 u 1 u 2 + α 2 u 2 u 2 de donde, hallando ahora los productos v u 2 =(0, 1, 3, 0) (1, 1, 2, 1) = 5 u 1 u 2 =(1, 0, 0, 1) (1, 1, 2, 1) = 2 u 2 u 2 =(1, 1, 2, 1) (1, 1, 2, 1) = 7 deducimos que 5=2α 1 +7α 2 Entonces resolviendo el sistema 0 = 2α 1 +2α 2 5 = 2α 1 +7α 2 obtenemos que α 1 = 1 α 2 =1 Así, la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio S es v 1 = 1 (1, 0, 0, 1) + 1 (1, 1, 2, 1) = (0, 1, 2, 0) Otra forma de hacerlo sería a partir de una base ortogonal de S. UtilizandoelmétododeGram- Schmidt tomemos w 1 = u 1 =(1, 0, 0, 1) Busquemos ahora un vector de la forma de donde sabemos que debe ser w 2 = u 2 + λw 1 λ = w 1 u 2 (1, 0, 0, 1) (1, 1, 2, 1) = w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 2 = 1 Entonces w 2 =(1, 1, 2, 1) (1, 0, 0, 1) = (0, 1, 2, 0) Entonces v 1 = λ 2 w 1 + λ 3 w 2 y las ecuaciones que obtendríamos con la base ortogonal {w 1,w 2 } de S serían v w 1 = β 1 w 1 w 1 + β 2 w 2 w 1 = β 1 w 1 w 1 v w 2 = β 1 w 1 w 2 + β 2 w 2 w 2 = β 23 w 2 w 2 14

15 luego Entonces β 1 = v w 1 (0, 1, 3, 0) (1, 0, 0, 1) = w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 0 2 =0 β 2 = v w 2 w 2 w 2 = (0, 1, 3, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) = 5 5 =1 v 1 =0 (1, 0, 0, 1) + 1 (0, 1, 2, 0) = (0, 1, 2, 0) Ejemplo 3.12 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 4 con el producto escalar usual, el subespacio T =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 2, 1) > yelvector v =(2, 2, 1, 0) Vamos a hallar la proyección ortogonal de v sobre T. Sabemos que v = v 1 + v 2, para ciertos v 1 T y v 2 T. En esta situación v 1 es la proyección ortogonal de v sobre T. Tenemos que hallar una base de T. En este caso es inmediato que los vectores u 1 =(1, 0, 0, 1) y u 2 =(1, 1, 2, 1) nos sirven como base de T. Entonces sabemos que v 1 = α 1 u 1 + α 2 u 2. Pues bien, si multiplicamos escalarmente v con cada uno de estos vectores obtenemos por un lado que v u 1 =(v 1 + v 2 ) u 1 = v 1 u 1 + v 2 u 1 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 1 +0=α 1 u 1 u 1 + α 2 u 2 u 1 de donde, calculando los productos escalares deducimos que y por otro lado que v u 1 = (2, 2, 1, 0) (1, 0, 0, 1) = 2 u 1 u 1 = (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 u 2 u 1 = (1, 1, 2, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 2=2α 1 +2α 2 v u 2 =(v 1 + v 2 ) u 2 = v 1 u 2 + v 2 u 2 =(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) u 2 +0=α 1 u 1 u 2 + α 2 u 2 u 2 de donde, hallando ahora los productos deducimos que Entonces resolviendo el sistema v u 2 =(2, 2, 1, 0) (1, 1, 2, 1) = 2 u 1 u 2 =(1, 0, 0, 1) (1, 1, 2, 1) = 2 u 2 u 2 =(1, 1, 2, 1) (1, 1, 2, 1) = 7 2=2α 1 +7α 2 2 = 2α 1 +2α 2 2 = 2α 1 +7α 2 15

16 obtenemos que α 1 =1 α 2 =0 Así, la proyección ortogonal del vector v sobre el subespacio T es v 1 =1 (1, 0, 0, 1) + 0 (1, 1, 2, 1) = (1, 0, 0, 1) Otra forma de hacerlo sería a partir de una base ortogonal de T. tenemos ya calculada y es {w 1,w 2 } = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0)} En el ejemplo anterior la Entonces v 1 = β 1 w 1 + β 2 w 2 y las ecuaciones que obtendríamos con la base ortogonal serían luego v w 1 = β 1 w 1 w 1 + β 2 w 2 w 1 = β 1 w 1 w 1 v w 2 = β 1 w 1 w 2 + β 2 w 2 w 2 = β 2 w 2 w 2 β 1 = v w 1 (2, 2, 1, 0) (1, 0, 0, 1) = w 1 w 1 (1, 0, 0, 1) (1, 0, 0, 1) = 2 2 =1 β 2 = v w 2 w 2 w 2 = (2, 2, 1, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) (0, 1, 2, 0) = 0 5 =0 Entonces v 1 =1 (1, 0, 0, 1) + 0 (0, 1, 2, 0) = (1, 0, 0, 1) Ejemplo 3.13 Consideremos en el espacio vectorial euclídeo R 3 con el producto escalar definido por (x, y, z) (x 0,y 0,z 0 )=2xx 0 + yy 0 +3zz 0 el subespacio U = {(x, y, z) :x y z =0} Se pide: 1. Hallar una base ortogonal de U. 2. Determinar U. 3. Obtener la proyección ortogonal sobre U del vector v =(6, 6, 10) 1) Resolviendo las ecuaciones implícitas de U x = y + z y = y z = z 16

17 setienequeunabasedeu es {u 1 = (1, 1, 0),u 2 = (1, 0, 1)}. Por el método de Gram-Schmidt hallamos una base ortogonal {w 1,w 2 } de U tomando w 1 = u 1 =(1, 1, 0) w 2 = (1, 0, 1) (1, 1, 0) u 2 + (1, 1, 0) (1, 1, 0) w =(1, 0, 1) (1, 1, 0) = = (1, 0, 1) 2 3 (1, 1, 0) = (1 3, 2 3, 1) o si se quiere cambiando este último vector por su triple, obtenemos la siguiente base ortogonal de U {(1, 1, 0)(1, 2, 3)} 2) El subespacio ortonal de U tiene por ecuaciones implícitas es decir (1, 1, 0) (x, y, z) = 0 (1, 0, 1) (x, y, z) = 0 2x + y = 0 2x +3z = 0 Por tanto una base de U (se obtiene sin más que resolver las ecuaciones implícitas anteriores) está formado por el vector {(3, 6, 2)} 3) Si v = v 1 + v 2,siendov 1 la proyección ortogonal de v sobre, podemos afirmar que v 2 = [(6, 6, 10) (3, 6, 2)] (3, 6, 2) (3, 6, 2) (3, 6, 2) = 6, 2) = 2 (3, 6, 2) = (6, 12, 4) (3, y por tanto la proyección ortogonal es v 1 =(6, 6, 10) (6, 12, 4) = (0, 6 6) 17

Tema 6: Espacio vectorial euclídeo

Tema 6: Espacio vectorial euclídeo Tema 6: Espacio vectorial euclídeo 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una aplicación f : V V R que verifica las siguientes propiedades: 1. Bilineal: (i) f(u + u 0,v)

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : , y los vectores

Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : , y los vectores FASÍCULO: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Teorema. Sea un espacio vectorial sobre y sea un producto interno en ; entonces, : i) ii) iii) iv) Ejemplo: Sean el espacio vectorial con el producto interno definido

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

Tema 4.- El espacio vectorial R n.

Tema 4.- El espacio vectorial R n. Tema 4- El espacio vectorial R n Subespacios vectoriales de R n Bases de un subespacio Rango de una matriz 4 Bases de R n Cambios de base 5 Ejercicios En este tema estudiamos la estructura vectorial del

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Tema 2: Espacios vectoriales

Tema 2: Espacios vectoriales Tema 2: Espacios vectoriales La estructura de espacio vectorial juega un papel fundamental en el álgebra lineal pues es la base de todos los conceptos que ahí se desarrollan. Vamos en la siguiente sección

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 6: Ortogonalidad. Método de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal y mejor aproximación

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 6: Ortogonalidad. Método de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal y mejor aproximación Álgebra Lineal Sesión de Prácticas 6: Ortogonalidad. Método de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal y mejor aproximación Primero Grado Ingeniería Informática Departamento de Matemática Aplicada Facultad

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Producto Interno y Ortogonalidad

Producto Interno y Ortogonalidad Producto Interno y Ortogonalidad Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009 Índice 8.1. Contexto................................................ 1 8.2. Introducción...............................................

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

Tema 5.- Ortogonalidad y mejor aproximación.

Tema 5.- Ortogonalidad y mejor aproximación. Ingeniería Civil Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 5- Ortogonalidad y mejor aproximación 5- El producto escalar Norma, distancia,

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II

Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II Tema 14: Cálculo diferencial de funciones de varias variables II 1 Desarrollos de Taylor en varias variables Vamos ahora a generalizar los desarrollos de Taylor que vimos para funciones de una variable.

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 0-0 Opción A Ejercicio, Opción A, Modelo 5 de 0 ['5 puntos] Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos Con el primero se forma

Más detalles

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3) Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,

Más detalles

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4. Ejercicio 1. Se consideran los vectores EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I HOJA 4 Ejercicio 1. Se consideran los vectores u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1, 0), u 3 = ( 1, 1, 1, 1), u 4 = (2, 2, 1, 0) de R 4. Expresa, si es posible, los vectores u

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Clasificación de métricas.

Clasificación de métricas. Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla

Más detalles

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

Aplicaciones de vectores

Aplicaciones de vectores Aplicaciones de vectores Coordenadas del punto medio de un segmento Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del

Más detalles

Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicios resueltos de vectores Ejercicios resueltos de vectores 1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores: a) 3a + b - c b) a -2b c) a c 2) Utilizando los vectores del ejercicio 1, comprueba

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales 1. Estudia cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de R n para el n que corresponda: i) S 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = b} siendo

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1; 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

Práctica de Aplicaciones Lineales

Práctica de Aplicaciones Lineales practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.)

Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) Tema 1 Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 1.1 Definiciones Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3]

Más detalles

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3. ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Aplicaciones lineales continuas

Aplicaciones lineales continuas Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas

Más detalles