Tema 4: Aplicaciones lineales

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1 Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si cumple las dos siguientes propiedades:. Para todo par de vectores u, v V f(u + v) =f(u)+f(v). Para todo vector u V ytodoescalarα K f(αu) =αf(u) Propiedades:. Dada una aplicación f : V W entre dos espacios vectoriales V y W se tiene que f es lineal si y sólo si f(αu + βv) =αf(u)+βf(v) para todo par de vectores u, v V y todo par de escalares α, β K (así las dos propiedades de la definición pueden resumirse sólo en una).. Si f : V W es una aplicación lineal, entonces f(0 V )=0 W. La primera propiedad (que resume las dos anteriores de la definición) nos dice que las aplicaciones lineales son las que transforman combinaciones lineales de (dos o más) vectores del espacio vectorial inicial en las correspondientes combinaciones lineales de sus respectivas imágenes. La última propiedad nos proporciona un criterio útil, en ocasiones, para asegurar que ciertas aplicaciones son lineales: las que no cumplan el requisito anterior, es decir, las aplicaciones entre espacios vectoriales, en las queelvectornonulotengaimagennonula. Ejemplo.. La aplicación f : R R 3 definida por f(x, y) =(x, 0, x +5y) es lineal. Para probarlo cojamos vectores (a, b), (c, d) R y escalares arbitrarios α, β R. Entonces f([α(a, b)+β(c, d)] = f(αa + βc, αb + βd) =(αa +βc, 0, αa βc +5αb +5βd) αf(a, b)+βf(c, d) =α(a, 0, a+5b)+β(c, 0, c+5d) =(αa, 0, αa+5αb)+(βc, 0, βc+β5d) y ambas cosas coinciden, con lo que la aplicación es lineal.

2 . La aplicación f : R R definida por f(x, y) =(,x y) no es lineal, pues basta observar que f(0, 0) = (, 0) 6= (0, 0). 3. La aplicación f : R R definida por no es lineal a pesar de que f(0, 0) = (0, 0). f(x, y) =(xy, x) Para probarlo cojamos dos vectores (a, b), (c, d) R ydosescalaresα, β R. Entonces f[α(a, b)+β(c, d)] = f(αa + βc, αb + βd)`= = [(αa + βc) (αb + βd), (αa + βc)] y αf(a, b)+βf(c, d) =α(ab, a)+β(cd, c) =(αab + βcd, αa +βc) y ambas cosas no tienen por qué coincidir, pues si tomamos los valores α =, β =0,a = c = b = d =se tiene que lo primero vale (4, 4) ylosegundovale(, 4). 4. La aplicación f : R R definida por es lineal. f(x, y) = x +3y Para probarlo cojamos vectores (a, b), (c, d) R y escalares cualesquiera α, β R. Entonces f(α(a, b)+β(c, d)) = f(αa + βc, αb + βd) = (αa + βc)+3(αb + βd) y αf(a, b)+βf(c, d) =α( a +3b)+β( c +3d) = αa +3αb βc +3βd yambascosascoinciden. Cuando tengamos una aplicación f : R n R m alaexpresióndelvectorf(x,x,..., x n ) R m la denominaremos expresión analítica de f. Así en el primer ejemplo de los anteriores en el que teníamos una aplicación lineal su expresión analítica es f(x, y) =(x, 0, x +5y) Observación.3 En la práctica para ver que una aplicación f : R n R m es lineal basta observar si en cada una de las componentes de la expresión analítica de f aparecen CL de las incógnitas genéricas x,x,...,x n de R n.

3 Núcleo e imagen Dada una aplicación lineal f : V W se llama núcleo de f al siguiente conjunto de vectores de V ker f = {v V f(v) =0} Recordemos que la imagen de la aplicación f es el siguiente conjunto de vectores de W Im f = {w W v V cumpliendo que f(v) =w} = {f(v) v V } El siguiente resultado nos dice que ambos conjuntos son subespacios de los respectivos espacios vectoriales a los que pertenecen. Propiedad: Si f : V W es una aplicación lineal entonces ker f V Im f W En la práctica, del núcleo de una aplicación lineal podremos hallar fácilmente las ecuaciones implícitas, y de la imagen un SG. Lo primero lo veremos en los ejemplos más detalladamente. En cuanto a lo último he aquí la propiedad exacta: Propiedad: Si f : V W es una aplicación lineal y es una base(o SG)de V se tiene que es un SG de Im f. B = {v,v,..., v n } f(b) ={f(v ),f(v ),...,f(v n )}. Tipos de aplicaciones Recordemos que había 3 características que estudiábamos para las aplicaciones: el que fueran o no inyectivas, suprayectivas o biyectivas. En aplicaciones lineales introducimos un nuevo concepto: endomorfismo. Se trata de las aplicaciones lineales cuyos dominio y codominio coinciden. A continuación veremos, para una aplicación f : V W, cómo puede verse, en función del núcleo y la imagen, cuáles de estas propiedades se dan. Propiedades: Sea f : V W una aplicación lineal. Entonces:. f es un inyectiva si y sólo si ker f =0.. f es un suprayectiva si y sólo si dim Im f =dimw. 3. f es un biyectiva si y sólo si dim Im f =dimw y ker f =0. 3

4 Fórmula de las dimensiones: Si una aplicación f : V W es lineal entonces se cumple que dim ker f +dimimf =dimv Esta fórmula nos permite calcular sencillamente la dimensión de uno de los dos subespacios ker f o Im f teniendo la del otro. Ejemplo. Consideremos la aplicación lineal f : R R 3 vista anteriormente y definida por f(x, y) =(x, 0, x +5y) Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de f. En primer lugar ker f = {(x, y) f(x, y) =0} = {(x, y) (x, 0, x +5y) =(0, 0, 0)} Así ker f es el subespacio de R que tiene por ecuaciones implícitas x =0 0=0 x +5y =0 La única solución de este sistema es el vector (0, 0). Así ker f =0,luegof es inyectiva. Tomando un SG de R, por ejemplo {(, 0), (0, )}, sabemos que los vectores f(, 0) = (, 0, ) f(0, ) = (0, 0, 5) forman un SG de Im f. Y al ser además LI es claro que forman también una base de Im f, luego dim Im f =6= 3=dimR 3 y f no es suprayectiva. f no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo. Consideremos la aplicación lineal f : R 5 R 4 definida por f(x,x,x 3,x 4,x 5 )=(x x 4, 3x 3, 0, 5x + x 5 ) Hallemostantoelnúcleocomolaimagendef y veamos las propiedades de f. Las ecuaciones implícitas de ker f son x x 4 = 0 3x 3 = 0 0 = 0 5x +x 5 = 0 Después de eliminar la tercera ecuación obtenemos una posible escalonación del sistema x 4 +x = 0 5x +x 5 = 0 3x 3 = 0 4

5 Así, eligiendo como parámetros x = α y x 5 = β y resolviendo el sistema tendríamos unas ecuaciones paramétricas de ker f x = β 5 x = α x 3 =0 x 4 = β 5 x 5 = β de donde una base de ker f sería {(0,, 0, 0, 0), ( 5, 0, 0, 5, )} luego f no es inyectiva. La imagen de f estará generada por los vectores que son, respectivamente, f(, 0, 0, 0, 0),f(0,, 0, 0, 0),f(0, 0,, 0, 0),f(0, 0, 0,, 0),f(0, 0, 0, 0, ) (, 0, 0, 5), (0, 0, 0, 0), (0, 3, 0, 0), (, 0, 0, 0), (0, 0, 0, ) de donde puede obtenerse una base de Im f, por ejemplo {(0, 3, 0, 0), (, 0, 0, 0), (0, 0, 0, )} luego f no es suprayectiva. f no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo.3 Consideremos la aplicación lineal f : R R definida por f(x, y) =x 3y Hallemos su núcleo y su imagen y veamos las propiedades de f. En primer lugar ker f = {(x, y) f(x, y) =0} = {(x, y) x 3y =0} Así ker f R tiene por ecuación implícita x 3y =0. En consecuencia dim ker f =y f no es inyectiva. Tomando un SG de R, por ejemplo {(, 0), (0, )}, sabemos que los vectores f(, 0) = f(0, ) = 3 forman un SG de Im f. ComoéstesubespaciodeR debe tener dimensión (= dimr dim ker f) éste debe ser todo R (al coincidir las dimensiones), por tanto Im f = R, y por tanto sería una base suya, por ejemplo, {}. Así f es suprayectiva. f no es endomorfismo al no coincidir el espacio inicial y el final. Ejemplo.4 Consideremos la aplicación lineal f : R 4 R 4 definida por f(x, y, z, t) =(x, x y, 3x +y +z,4x + y +5z +7t) Hallemostantoelnúcleocomolaimagendef y veamos las propiedades de f. 5

6 La imagen de f estará generada por los vectores que son, respectivamente, f(, 0, 0, 0),f(0,, 0, 0),f(0, 0,, 0),f(0, 0, 0, ) (,, 3, 4), (0,,, ), (0, 0,, 5), (0, 0, 0, 7) se observa claramente que éstos son una base del codominio R 4, por lo que la aplicación es suprayectiva. Luego aplicando la fórmula de las dimensiones se cumple que dim R 4 =dimkerf +dimimf es decir 4=dimkerf +4 yportantodim ker f =0. De ahí concluimos que ker f =0. Ejemplo.5 Consideremos la aplicación lineal f : C 3 C definida por f(x, y) =(ix z,[3 i]x + y) Hallemos su núcleo y su imagen y la clasificación. En primer lugar ker f = {(x, y, z) C 3 f(x, y, z) =0} = {(x, y, z) ix z =0, (3 i)x + y =0} Así ker f es el subespacio de C 3 que tiene por ecuaciones implícitas Al pasar a paramétricas obtenemos que ix z =0 (3 i)x + y =0 x = x y =( 3+i)x z =ix y por tanto obtenemos una base para ker f, quees {(, 3+i, i)} luego dim ker f =y f no es inyectiva. De lo anterior se deduce que dim Im f =dimc 3 dim ker f =3 ==dimc luego f sí es suprayectiva. Tomando un SG de C 3, por ejemplo la base canónica {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} 6

7 sabemos que los vectores f(, 0, 0) = (i, 3 i) f(0,, 0) = (0, ) f(0, 0, ) = (, 0) forman un SG de Im f, de los cuáles sobra pues la dimensión es. Se observa que el primer vector es CL de los otros del modo (i, 3 i) =(3 i)(0, ) i(, 0) luego una base de Im f será {(0, ), (, 0)} 3 Existencia y unicidad de aplicaciones lineales Para una aplicación lineal f : R n R m hay otras formas de tener determinada además de la expresión analítica. Para darnos cuenta de ello y para disponer de un mecanismo de construcción de aplicaciones lineales resulta de utilidad el siguiente teorema (válido para aplicaciones lineales no sólo entre espacios vectoriales de la forma R n y R m ): Teorema 3. (Existencia y unicidad de aplicaciones lineales) Sean V y WK-espacios vectoriales. Dada una base B = {v,v,...,v n } de V y un sistema de vectores w,w,...,w n de W existe una única aplicación lineal f : V W tal que f(v )=w f(v )=w... f(v n )=w n Nota: Daremos una idea de cómo está definida tal aplicación. Dado v V, si sus coordenadas respecto de la base B son v B =(x,x,..., x n ), es decir entonces se tiene que v = x v + x v x n v n f(v) =x w + x w x n w n De esta forma tenemos construida una aplicación f que es lineal y que cumple lo requerido(y es la única que lo cumple). Ejemplo 3. Sea f : R 3 R una aplicación lineal de la que se conocen las imágenes de los vectores (, 0, 0), (,, ), (, 3, ) 7

8 Probar que entonces f queda totalmente determinada por dichas imágenes. Si conseguimos demostrar que el sistema B = {(, 0, 0), (,, ), (, 3, )} es una base de R 3 el Teorema de existencia y unicidad de aplicaciones lineales garantizaría en efecto que la aplicación lineal f está totalmente determinada por las imágenes de dichos vectores. Pero es inmediato que los 3 vectores son LI, pues el rango de la matriz es 3, luego queda probada la afirmación Ejemplo 3.3 Sea f : R R una aplicación lineal que verifica que f(, ) = (, ) y f(, 0) = (3, ) Hallar f(5, ). Poniendo el vector (5, ) como combinación lineal de los vectores (, ) y (, 0) obtenemos (5, ) = α(, ) + β(, 0) = (α + β, α) de donde se deduce que α =y β =3.Endefinitiva f(5, ) = f[(, ) + 3(, 0)] = f(, ) + 3f(, 0) = (, ) + 3(3, ) = (, 4) Ejemplo 3.4 Dada la base B de R formada por los vectores {(, ), (, 0)} y dada la aplicación lineal f : R R 3 cumpliendo que f(, ) = (, 0, ) f(, 0) = (,, ) determinar la expresión analítica de f. La expresión analítica de una aplicación lineal viene determinada por las imágenes de los vectores de la base canónica debido a lo siguiente: f(x, y) =f((x, 0) + (0,y)) = f(x(, 0) + y(0, )) = xf(, 0) + yf(0, ) Así que es suficiente con determinar f(, 0) y f(0, ). Para esto emplearemos el siguiente truco: (, 0, ) = f(, ) = f(, 0) + f(0, ) (,, ) = f(, 0) = f(, 0) 8

9 Si en el sistema anterior ponemos V = f(, 0),W = f(0, ), éstequeda (, 0, ) = V + W (,, ) = V lo cual representa un sistema de ecuaciones lineales en el que tanto las incógnitas V,W como los términos independientes son vectores tridimensionales (en vez de números, como habitualmente). De aquí obtenemos Finalmente se tiene que f(, 0) = V = (,, ) = (,, ) f(0, ) = W =(, 0, ) + (,, ) = ( 3,, ) f(x, y) =xf(, 0) + yf(0, ) = xv + yw = x(,, ) + y( 3,, ) = ( x 3y, x +y, x y) 4 Matriz asociada a una aplicación lineal Sean V y W espacios vectoriales cuyas dimensiones son dim V = n y dim W = m, sea f : V W una aplicación lineal y sean B = {v,v,..., v n } B 0 = {w,w,..., w m } bases de V y W respectivamente. Llamaremos matriz asociada a f respecto de B y B 0 alamatriz cuyascolumnasson f(v ) B 0,f(v ) B 0,..., f(v n ) B 0 (es decir, las coordenadas en B 0 de las imágenes de los vectores de B). Denotaremos a esta matriz por M B B 0 (f), y en el caso particular en que V = W y B = B 0 usaremos además de la notación M B B (f) también la notación M B (f). Observación 4. Este concepto es muy similar al de matrices cambio de base, de hecho éste último es un caso particular del que ahora introducimos, pues la matriz asociada a la aplicación identidad es la matriz cambio de base. Concretamente, si V es un espacio vectorial, son bases de V entonces donde I : V V es la aplicación identidad. B = {v,v,..., v n } B 0 = {w,w,..., w n } M B B 0(I) =M B B 0 La matriz asociada a una aplicación lineal respecto de ciertas bases B y B 0 nos proporciona una representación de la aplicación lineal, referida a las bases en cuestión, pues la aplicación lineal queda 9

10 totalmente determinada por la matriz. Nos permite relacionar las coordenadas de un vector v V respecto de la base B con las coordenadas de su imagen respecto de la base B 0, pues si entonces se cumple la siguiente fórmula: oabreviadamente v B = (x,x,..., x n ) f(v) B 0 = (y,y,..., y m ) y y... y m = M (f) B B 0 x x... x n f(v) B 0 = M B B 0(f) v B fórmulaenlaquetantov B como f(v) B 0 están puestos en forma de vector-columna. En el caso particular de que V = R n y W = R m, es decir, que estemos con una aplicación lineal f : R n R m y tomemos las bases canónicas de ambos espacios vectoriales C n y C m, la fórmula anterior queda así f(v) C m = M Cn Cm (f) v Cn y como las coordenadas de cualquier vector en la base canónica son las propias componentes del vector, lo que tenemos realmente es f(v) =M Cn Cm (f) v de donde vemos que podemos obtener la expresión analítica de f sin más que multiplicar por la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas: f(x,x,..., x n ) t = M Cn Cm (f) obteniendo la expresión analítica en forma de columna. x x... x n Observación 4. Observemos que si es una aplicación lineal y f : R n R m A = M C n Cm (f) es la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas, entonces ker f =kera 0

11 Ejemplo 4.3 Obtener la matriz asociada respecto de las bases canónicas de la aplicación lineal f : R R 4 cuya expresión analítica es f(x, y) =(x y, 0, 3x +5y, 7y) Como f(, 0) = (, 0, 3, 0) f(0, ) = (, 0, 5, 7) la matriz pedida es M C C 4 (f) = Ejemplo 4.4 Para la aplicación lineal f : R 3 R cuya expresión analítica es f(x, y, z) =(x 4y z,3x y) ylasbases B = {(,, 3), (0,, 0), (3,, )} C = {(, 0), (0, )} hallar la matriz M B C (f). Como las imágenes de los vectores de B salen f(,, 3) = ( 0, ) f(0,, 0) = (4, ) f(3,, ) = (9, 0) ylabasefinal es la canónica, la matriz pedida es Ejemplo 4.5 Obtener la expresión analítica de la aplicación lineal f : R 3 R 3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica es 0 3 0

12 Ésta es f(x, y, z) t = o puesto en forma de vector-fila x y z = x y +z y + z 3x + y f(x, y, z) =(x y +z,y + z, 3x + y) Ejemplo 4.6 Dada la aplicación lineal f : R R 3 cuya expresión analítica es hallar:. La matriz asociada a f respecto de las bases f(x, y) =(x y, y, 3x 3y) B = {(, ), (, 3)} B 0 = {(0, 0, ), (, 0, ), (,, 0)}. f(v) B 0,siendov R tal que v B = 4 En primer lugar, y mediante sustitución en la expresión analítica de la función, tenemos que f(, ) = (,, 3) f(, 3) = (, 6, 6) Omitiendo los cálculos intermedios para hallar las coordenadas de estos vectores se puede duducir que De esto deducimos que (,, 3) = 0(0, 0, ) + 3(, 0, ) (,, 0) (, 6, 6) = 0(0, 0, ) + 4(, 0, ) 6(,, 0) f(, ) B 0 =(0, 3, ) f(, 3) B 0 =( 0, 4, 6) M B B 0 (f) = Para el segundo apartado bastaría con multiplicar para obtener f(v) B 0 = M B B 0(f) v B = 3 4 = 6 0 8

13 Antesdepasaraverpropiedadesdelamatrizasociadaveamosotrasdelasaplicacioneslineales y que nos servirán: Propiedades:. La composición de aplicaciones lineales es lineal.. La aplicación identidad (que es el elemento neutro para la composición) es lineal. 3. La inversa de una aplicación biyectiva lineal es de nuevo lineal. 4. Propiedades de la matriz asociada. Dada una matriz A de orden m n con coeficientes sobre un cuerpo K y dadas dos bases B y B 0 de R n y R m, respectivamente, siempre existe una única aplicación lineal f : R n R m de manera que A es la matriz asociada a f respecto de las bases, es decir, A = M B B 0(f). El rango de la matriz asociada coincide con la dimensión de la imagen (también se llama rango de la aplicación lineal), sean cuales sean las dos bases elegidas. Ejemplo 4.7 Determinar si la aplicación lineal f : R 3 R 4 cuya matriz asociada respecto a sendas bases es es inyectiva. Para ello basta con que calculemos el rango, que es. Entonces dim Im f = y dim ker f =3 =6= 0 luego f no es inyectiva. 3

14 Ejemplo 4.8 Determinar si la aplicación lineal f : R 3 R 3 cuya matriz asociada respecto a una base de R 3 es 0 3 es biyectiva. Para ello basta con que calculemos el rango y veamos que es 3, luego dim Im f =3 y por tanto la aplicación lineal es suprayectiva. Como dim ker f =3 3=0 f es también inyectiva, y en conclusión, biyectiva. 3. Supongamos que tenemos dos aplicaciones lineales V f W g U y que tenemos bases B,B 0 y B 00, respectivamente de V,W y U. Entonces se verifica la siguiente fórmula ( ) M B B 00(g f) =M B 0 B 00 (g) M B B 0(f) Ejemplo 4.9 Consideremos las aplicaciones lineales definidas del siguiente modo: R 4 f R g R 3 f(x,x,x 3,x 4 )=(x 3x + x 3, x +x 4 ) g(x, y) =(x 3y, 0,x+4y) Considerando las bases canónicas en cada uno de los espacios hallemos la matriz asociada a la aplicación g f. Tenemos dos opciones: o bien hallar la expresión analítica de g f y después calcular la matriz requerida M C4 C 3 (g f), o bien hallar dicha matriz como el producto de M C C 3 (g) y de M C4 C (f). Haciéndolo de esta última forma resulta que 3 0 M C4 C (f) = 0 0 M C C 3 (g) =

15 = M C4 C 3 (g f) =M C C 3 (g) M C4 C (f) = 3 0 = Supongamos que tenemos una aplicación lineal f : V W y bases B y B 0 de V,yB y B 0 de W. Entonces si aplicamos la fórmula (*), y teniendo en cuenta que la matriz asociada a la aplicación identidad es la matriz cambio de base, tenemos que M B 0 (f) =M B 0 B M B 0 B B (f) M B 0 B Nota: En el caso particular en que f : R n R m y B = C n y B = C m sean las bases canónicas respectivas, vemos que siempre puede obtenerse la matriz M B 0 apartirdem B (f) 0 C (f), pues n Cm M B 0 (f) =M B 0 C M m B 0 Cn Cm (f) M B 0 Cn Y teniendo en cuenta que M C m B 0 =(M B 0 Cm ) obtenemos la versión más sencilla M B 0 (f) =(M B 0 B 0 ) M Cm Cn Cm (f) M B 0 Cn 5. Supongamos que tenemos una aplicación lineal f de un espacio vectorial V en sí mismo (un endomorfismo f : V V ) y dos bases B y B 0 de V. Entonces si aplicamos la fórmula (*) (o el apartado anterior) tenemos que M B 0 B 0 (f) =M B B 0 M B B (f) M B 0 B Como M B B 0 =(M B 0 B ) la fórmula anterior queda del siguiente modo M B 0 B 0(f) =(M B 0 B ) M B B (f) M B 0 B Definición 4.0 Dos matrices cuadradas del mismo tamaño A y A 0 se dice son semejantes cuando existe una matriz invertible Q que cumple que A 0 = Q AQ 5

16 Con este concepto tenemos que la última fórmula prueba que matrices asociadas a la misma aplicación lineal respecto de bases distintas, A = M B B (f) A 0 = M B 0 B 0(f) son matrices semejantes. Es más, puede comprobarse que matrices que sean semejantes siempre van asociadas a algún endomorfismo del espacio vectorial, cada una respecto de una base (como se ve en el apéndice del tema). Nota: En el caso particular en que B = C sea la base canónica vemos que siempre puede obtenerse la matriz M B 0 B 0(f) apartirdem C C (f), pues M B 0 B 0(f) =M C B 0 M C C (f) M B 0 C oequivalentemente M B 0 B 0 (f) =(M B 0 C ) M C C (f) M B 0 C Ejemplo 4. Consideremos la aplicación lineal f : R 3 R cuya expresión analítica es f(x, y, z) =(x 3y + z, x y +3z) Tomemos las siguientes bases respectivas B = {(,, ), (,, 0), (3, 0, 0)} B 0 = {(, ), (3, )}. Hallar la matriz asociada a f respecto de ambas bases. Aplicaremos la fórmula M B B 0(f) =(M B 0 C ) M C3 C (f) M B C3 siendo C 3 y C las bases canónicas respectivas. En primer lugar se tiene que 3 M B C3 = M B 0 C = pues cuando la base final es la canónica la matriz cambio de base se obtiene de modo inmediato poniendo las componentes de los vectores de la primera base por columnas. En segundo lugar se tiene de modo sencillo que 3 M C3 C (f) = 3 6 3

17 Finalmente habría que calcular la inversa (M B 0 C ) = 3 (que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a continuación M B B 0 (f) = 0 = = = Ejemplo 4. Consideremos el endomorfismo de R cuya expresión analítica es f(x, y) =(x y, x +4y) Tomemos como bases de R, la base canónica C y la siguiente B = {(, ), (3, )} Hallar la matriz asociada a f respecto de B, esdecir Aplicaremos la fórmula M B B (f) M B B (f) =(M B C ) M C C (f) M B C Tengamos en cuenta que M B C = M C C (f) = 3 4 Finalmente habría que calcular la inversa (M B C ) = 5 3 (que es un mero cálculo) y realizar la multiplicación de las 3 matrices, que lo hacemos a continuación M B B (f) = 3 3 = 5 4 = = =

18 Ejemplo 4.3 Consideremos el endomorfismo de R cuya expresión analítica es f(x, y) =(x + y, x +3y) Tomemos como bases de R, la base canónica C y la siguiente B = {(, ), (, )} Hallar M C B (f). Aplicaremos la fórmula Tengamos en cuenta que M C B (f) =(M B C ) M C C (f) M B C = M C C (f) = 3 Finalmente habría que calcular la inversa (M B C ) = 3 y realizar la multiplicación de las matrices, que lo hacemos a continuación M C B (f) = = =

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