4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES"

Transcripción

1 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..- Propiedades de los Sistemas Libres y Ligados. 4.- Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios. 5.- Bases de un Espacio Vectorial. Dimensión. 6.- Relación entre Dimensiones. 7.- Cambio de Base. 8.- Aplicaciones Lineales. 9.- Nomenclatura Matriz Asociada a una Aplicación Lineal Operaciones con Homomorfismos y sus Matrices Asociadas. 1.- Cambios de Bases. PROBLEMAS RESUELTOS. BIBLIOGRAFÍA 95

2 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCIÓN Aunque ya se ha trabajado con un espacio vectorial, el de las matrices cuadradas sobre el cuerpo de los reales o los complejos, hasta ahora no se ha definido dicha estructura. En este tema introducimos la estructura de espacio vectorial, que es la estructura básica del Algebra Lineal. Se trata de enriquecer la estructura de grupo abeliano (definida en el capítulo ) con una ley de composición externa: el producto por escalares. Para presentar de una forma intuitiva la nueva estructura, se comienza con los ejemplos geométricos de los vectores libres del plano o del espacio físico. Se hace ver entonces al alumno que existen otros objetos matemáticos, tales como las matrices reales de un cierto orden mxn o los polinomios de coeficientes reales de grado no superior a n dado, para los cuales también es posible la suma y el producto por escalares. Además, en los tres casos (vectores, matrices y polinomios) dichas operaciones comparten las mismas propiedades algebraicas. Surge así, de manera natural, la estructura de espacio vectorial sobre un cuerpo K. OBJETIVOS Asimilar el concepto de espacio vectorial y las propiedades más notables que son consecuencia de los axiomas definitorios de la estructura. Reforzar el conocimiento de la estructura comprobando que son espacios vectoriales reales los conjuntos:, los polinomios en la indeterminada x con coeficientes números reales y de grado 96

3 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales menor o igual que n, las funciones reales continuas, las matrices reales de orden mxn etc. Obtener combinaciones lineales de vectores de un subconjunto dado en un espacio vectorial y conocer las propiedades que verifican. Decidir si un vector es expresable, o no, como combinación lineal de otros. Conocer la posibilidad de generar un subespacio vectorial a partir de un subconjunto cualquiera de vectores de un espacio vectorial. Decidir con soltura si un sistema de vectores es libre o ligado. Determinar con destreza el rango de un conjunto de vectores. Asimilar el concepto de base y dimensión para un subespacio y para el propio espacio. Decidir sobre la posibilidad de expresar un espacio vectorial como suma directa de dos subespacios propios. Manejar los cambios de bases. Verificar que un homomorfismo entre espacios vectoriales está determinado con sólo conocer las imágenes de los vectores de una base. Utilizar la correspondencia entre operaciones con aplicaciones lineales y operaciones con matrices. Decidir con soltura si un homomorfismo es inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. 97

4 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1. ESPACIOS VECTORIALES Sea K un cuerpo conmutativo con leyes suma y producto a cuyos elementos llamaremos escalares. Sea E un conjunto a cuyos elementos los llamaremos vectores, denotándolos x, y, etc. E es un espacio vectorial sobre el cuerpo K si se verifica: Existe una ley de composición interna en E, para la cuál E tiene estructura de grupo abeliano (denotaremos esta ley por suma y al elemento neutro por el vector 0 ), debiendo por tanto verificar: x + y E, x, y E ( + es una ley de composición interna) ( x + y) + z = x+ ( y+ z), x, yz, E (propiedad asociativa) x + y = y+ x, x, y E (propiedad conmutativa) x E 0 E: x+ 0= x (el 0 es el elemento neutro). x E x E: x+ ( x) = 0 (existencia de elemento opuesto) Existe sobre E una ley de composición externa, cuyo dominio de operadores es el cuerpo K, con las siguientes propiedades ( λµ, K, x, y E) : (a) Distributiva respecto a la suma de escalares: ( λ + µ ) x = λ x+ µ x (b) Distributiva respecto a la suma de vectores: ( ) (c) Asociativa respecto a los escalares: λ ( µ x) = ( λµ ) λ x + y = λx+ λy x 98

5 (d) Identidad: 1 x = I = x. E Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales NOTA: Si no se hace mención contraria, K será el cuerpo de los números reales con las operaciones usuales, suma y producto en los números reales.. PROPIEDADES DE UN ESPACIO VECTORIAL Las principales propiedades de un espacio vectorial son las siguientes: x E: 0 x= 0 λ K : λ 0= 0 Si λ x = 0 λ = 0 ó x = 0 λ K, x E: ( λ) x= λx= λ( x).1. Sistema de Vectores Un sistema de vectores es un conjunto (trabajaremos siempre con un número finito) de vectores, lo representaremos por: S { } = x1, x,, xn... Combinación Lineal Un vector x E es una combinación lineal de los vectores del sistema S si existen n escalares λ1, λ,, λn K tal que: x x x x = λ1 1+ λ + + λn n. Los escalares λ1 λ λn coeficientes de la combinación lineal.,,, son los 99

6 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A... Sistemas linealmente dependientes o independientes Un sistema S = { x1, x,, x n } de vectores es linealmente independientes, si la condición x = λ1x1+ λ x + + λ x = 0, implica necesariamente que: λ1 = λ = = λ = 0. n En caso contrario, el sistema S es linealmente dependiente. n n.4. Proposición. En un sistema linealmente independiente S la única posibilidad de conseguir una combinación lineal de vectores de S igualada al vector 0 es que todos los coeficientes de dicha combinación deben ser 0, no siendo así si el sistema linealmente dependiente.. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LINEALMENTE DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Las principales propiedades de los sistemas linealmente dependientes o independientes son las siguientes: x 0 el sistema S = { x} es linealmente independiente. Si un sistema S es linealmente independiente, cualquier sistema S extraído de él ( S S) también lo es. Todo sistema S que contenga al vector 0 es linealmente dependiente Si un sistema S es linealmente dependiente, todo sistema S que lo contenga ( S S) también lo es. Si un sistema S es linealmente dependiente, al menos uno de los vectores de S es combinación lineal de los restantes vectores de S. 100

7 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Si un sistema S es linealmente independiente y el sistema S = S { x} es linealmente dependiente, entonces el vector x es combinación lineal de los vectores de S..1. V(S) Si S es un sistema de vectores, S denotará el conjunto de vectores que son combinación lineal de vectores de S... Sistemas Equivalentes Dos sistemas de vectores S 1 y S son equivalentes si S1 = S. Las principales formas para obtener un sistema equivalente a uno dado son: Añadir al sistema nuevos vectores que sean combinación lineal de los existentes. Cambiando el orden de los vectores del sistema. Multiplicando cualquier vector por un escalar distinto de 0. Sumando a un vector del sistema otro del mismo multiplicado por cualquier escalar. 4. SUBESPACIOS VECTORIALES. OPERACIONES CON SUBESPACIOS 4.1. Subespacio vectorial Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Todo subconjunto V de E, que tenga estructura de espacio vectorial con las mismas leyes que E, diremos que es un subespacio vectorial de E. 101

8 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 4.. Propiedad Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea V un subconjunto de E, entonces V es un subespacio vectorial de E si y sólo si: x + y V, x, y V. λ x V, x V y λ K Esta propiedad también se podría enunciar de la siguiente forma: 4.. Propiedad: Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea V un subconjunto de E, entonces V es un subespacio vectorial de E si y sólo si: λµ, K, x, y V : λ x+ µ y V 4.4. Intersección de Subespacios vectoriales Dados dos subespacios vectoriales V 1 y V de E se define su intersección como: V = x E/ x V y x V V 1 1 El conjunto V 1 V es un subespacio vectorial de E Subespacios Disjuntos Dos subespacios vectoriales V 1 y V son disjuntos si y sólo si V 1 V = { 0} Suma de subespacios vectoriales Dados dos subespacios vectoriales V 1 y V de E, se define su suma: 10

9 V + V = x E/ x = x1 + x, con x1 V y x V 1 1 V 1 + V es un subespacio vectorial. Si 1 V { 0} Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales V =, la suma se llama directa y se denota por V 1 V. Si V 1 V = E, V 1 y V se llaman subespacios suplementarios Propiedad Si un espacio vectorial E es suma directa de dos subespacios V 1 y V, todo vector de E se puede expresar de forma única como suma de un vector de V 1 y otro de V. Importante: La unión de subespacios vectoriales no es en general subespacio vectorial Sistema generador Un sistema S de vectores de V es un sistema generador del subespacio vectorial V E si S = V. NOTAS: Las formas más usuales de expresar un subespacio V suelen ser: Dando un sistema S generador de V, es decir, S = V. Dando las ecuaciones implícitas, que equivale a dar restricciones a las coordenadas de los vectores de E para que estén en V. Por ejemplo, si {( ) 0} V = x, y, z / x+ y+ z = E =, podemos considerar el subespacio 10

10 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Dando las ecuaciones paramétricas, que expresan las coordenadas de los vectores de V en función de parámetros que pueden tomar cualquier valor de los escalares de K. Por ejemplo, si E =, podemos considerar el subespacio x = λ+ β V = ( x, y, z) / y = λ : λ, β z = β El paso de unas a otras se realiza de forma cómoda por medio de la teoría de sistemas de ecuaciones lineales que veremos posteriormente. 5. BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL. DIMENSIÓN 5.1. Base de un espacio vectorial Una base de un espacio vectorial E es cualquier sistema S de vectores libres que sean generadores de E. 5.. Teorema Todo espacio vectorial admite al menos una base NOTA: Un espacio que admite un sistema finito de generadores se dice que es de tipo finito o finitamente generado. 5.. Teorema En un espacio vectorial de tipo finito todas las bases son finitas y tienen el mismo número de elementos. 104

11 5.4. Dimensión Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Al número de elementos de una base de un espacio vectorial de tipo finito, se le llama dimensión del espacio vectorial Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n y = {,,, } B v1 v vn una base suya. Si divido B en dos sistemas de vectores disjuntos B = B1 B, entonces se cumple que B 1 B = V. Es decir, los subespacios generados por los sistemas B 1 y B son suplementarios Coordenadas de un vector en una base Sea B { e e e } =,,, una base del espacio vectorial E y x E. Si 1 n x xe 1 1 xe xe n n = se dice que ( x x x ) del vector x en la base B.,,, son las coordenadas 1 n Las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas. NOTA: Un vector tiene tantas coordenadas como la dimensión del mayor espacio vectorial al que pertenece. En el espacio vectorial real t n la base B { e1 e en } t t = ( ), e = ( ),, e ( 00 01) e base canónica n =,,, con = la llamaremos 105

12 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A Rango de un sistema de vectores. El rango de un sistema S de vectores es la dimensión del subespacio S engendrado por S. Es decir, es el máximo número de vectores linealmente independientes de S. Otro procedimiento para calcular el rango de un sistema de vectores S es construir una matriz situando las coordenadas de cada uno de los vectores de S en columnas, es decir, si S { x 1 x x p} asociada es =,,,, la matriz A = x 1 x x p, siendo x i x 1 i i n x i x =, =, i 1,, p dim( S ) = rang( S) = rang( A) 5.8. Base Incompleta Sea E un espacio vectorial de dimensión n y V un subespacio vectorial de E de dimensión m. Si B { } = c1, c,, cm es una base de V, se puede encontrar una base B de E ampliando la de V, es decir: { c1 c c 1 } m e m + e m + e n B =,,,,,,, 6. RELACIÓN ENTRE DIMENSIONES Si V es un subespacio vectorial de E, dim( V) dim( E). Si V = { 0}, dim( V ) =

13 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Si V 1 y V son subespacios vectoriales de V se tiene que: ( V V ) ( V ) ( V ) ( V V ) dim + = dim + dim dim Fórmula de Grassman En particular se tiene que si V 1 es suma directa con V : ( V V ) = ( V ) + ( V ) dim dim dim CAMBIO DE BASE Sea E un espacio vectorial de dim( E) B { } = n, sean B = { v1, v,, vn} y = u1, u,, un dos bases de E. Supongamos que el vector x E, tiene de coordenadas ( x x x ),,, respecto de la base B y tiene unas 1 n coordenadas x1, x,, xn respecto de la base B. Vamos a estudiar cómo se pueden obtener las coordenadas de un vector en una base conociendo sus coordenadas en la otra base. Por ser B base de E, sus elementos son vectores de E, por lo que se podrán expresar como combinación lineal de los vectores de la base B : u = a v + a v + + a v n1 n u = a v + a v + + a v 1 1 n n u = a v + a v + + a v n 1n 1 n nn n Sabemos que x = xv 1 1+ xv + + xv n n y x = xu 1 1+ xu + + xu n n. Si sustituimos los datos conocidos obtenemos que: x = xu + xu + + xu = 1 1 n n 107

14 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. ( ) ( ) = x a v + a v + + a v + x a v + a v + + a v n1 n 1 1 n n ( ) + + x a v + a v + + a v = n 1n 1 n nn n = x a + x a + + x a v + xa + x a + + x a v n 1n n n + + x a + x a + + x a v = 1 n1 n n nn n = x1v1+ xv + + xnvn De todas estas igualdades obtenemos que si igualamos coordenada a coordenada, queda la siguiente relación: x = xa + x a + + x a n 1n x= xa 1 1+ x a+ + x nan n = 1 n1+ n + + n nn x xa x a x a Ecuaciones del Cambio de Base Expresando este sistema de forma matricial, quedaría: x = Px Ecuación Matricial del Cambio de Base x x a a a n x x a 1 a a n ' x n x a n n1 an a nn x =, x =, P= Matriz Cambio de Base de B a B, sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base B respecto de la base B Espacio Vectorial Producto Sean E y F espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Al conjunto E F le dotamos de estructura de espacio vectorial con las leyes: 108

15 ( ) ( ) ( ) Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales u1, u + v1, v = u1+ v1, u+ v ; u1, v1 E; u, v F ( ) ( ) λ uv, = λu, λv; λ K; u E; v F Dicho espacio vectorial se denomina espacio vectorial producto de E y F. Siendo {,,, } una base de E y { } e e e 1 n w1, w,, wm una base de F, la dimensión E F es n+ m y una base de E F puede ser: {( e, 0)(, e, 0),,( e, 0)(0,, w )(0,, w ),,(0, w )} 1 n 1 m 8. APLICACIONES LINEALES 8.1. Aplicación Lineal Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y f : E F una aplicación. f es una aplicación lineal si verifica: f ( x+ y) = f ( x) + f ( y), x, y E ( ) ( ) f λx = λ f x, λ K, x E 8.. Propiedad f es un homomorfismo o aplicación lineal si y sólo si: ( ) ( ) ( ) f λ x+ µ y = λ f x + µ f y, λ, µ K, x, y E 109

16 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 8.. Propiedades de las Aplicaciones Lineales Sea f : E F una aplicación lineal entre los espacios vectoriales E y F, entonces: f ( 0) = 0 x E, f( x) = f( x) Si V es un espacio vectorial de E, entonces f ( V ) es un subespacio vectorial de F. En particular, f ( E ) recibe el nombre de subespacio imagen de f. Se suele denotar por Im( f ). Si S es un sistema de generadores de un subespacio vectorial V de E, entonces f ( S ) es un sistema de generadores del subespacio vectorial f ( V ). Por lo tanto, f es sobreyectiva si y sólo si, la imagen de una base B de E, f ( B ), es un sistema generador de F. Si V es un subespacio de F, f 1 ( V ) es un subespacio de E. 9. NOMENCLATURA Sea f Si E : E F un homomorfismo: = F, a f se le denomina endomorfismo. Si f es inyectivo, se denomina monomorfismo. Si f es biyectivo recibe el nombre de isomorfismo Un endomorfismo biyectivo se llama automorfismo. 110

17 9.1. Núcleo Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Se llama núcleo de una aplicación lineal f, designándose Ker ( f ) ó N( f ), al siguiente subconjunto de E : { } Ker ( f ) = x E / f ( x) = Propiedades del Núcleo Las principales propiedades del núcleo son las siguientes: Ker ( f ) es un subespacio vectorial de E. f es un homomorfismo inyectivo si y sólo si Ker ( f ) = { 0} Ker ( f ) = { 0} si y sólo si la imagen de cualquier sistema libre de E es un sistema libre de F. 9.. Propiedad. Si la restricción de f a un subespacio V de E es inyectivo y S es un sistema libre de V entonces f ( S ) es un sistema libre del subespacio f ( V ) F Rango de una aplicación lineal Una aplicación lineal queda determinada conociendo las imágenes de los vectores de una base de E. Si B { e e e } =,,, es una base de E y conocemos 1 n { ( ) ( ) ( )} f e, f e,, f e n, vectores de F, la imagen de cualquier vector x 1 de coordenadas ( x x x ),,, en la base B será: 1 n 111

18 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. n n f ( x) = f ( xe) = x f ( e). i i i i i= 1 i= 1 IMPORTANTE: Podría parecer que no siempre se expresa el homomorfismo por medio de las imágenes de una base, pero dicha información siempre se puede obtener y esto será de utilidad para enlazar homomorfismos y matrices como veremos a continuación. 10. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL Sean E y F dos espacios vectoriales de dimensiones n y m, B = {,,, } una base de E, B { } e e e 1 n F = u1, u,, um una base de F. Sea n x = xe, i= 1 i i (1) n () = =. Si: f ( x) x f ( e) y u i i j j i= 1 j= 1 m f ( e1) = a11u1 + a1u + + am 1um f ( e) = a1u1 + au + + amu m. f ( en) = a1 nu1 + anu + + amnu m (1) Por las propiedades de aplicación lineal. () Ya que f ( x ) es un vector de F se podrá poner como combinación lineal de la base Se tiene que: y x B F. = Px, siendo: y a a a n x y a1 a a n x n y n am 1 am a mn x=, y =, P= donde: 11

19 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales y es la matriz columna que representa las coordenadas de f ( x ) en la base B F ; x es la matriz columna que representa las coordenadas de x en la base B ; P es la matriz del homomorfismo en las bases B y B F ( o con respecto a las bases B y B F ). Las columnas de la matriz A son las coordenadas de los vectores f ( e i ), i = 1,,, n respecto de la base B F. P es una matriz de orden m n. Fijadas las bases B y B F, la matriz del homomorfismo es única. NOTA: Si utilizamos matrices fila para las componentes de x y de f ( x ), la matriz del homomorfismo sería la traspuesta de la obtenida anteriormente. 11. OPERACIONES CON HOMOMORFISMOS Y SUS MATRICES ASOCIADAS. Sean E y F dos espacios vectoriales, B una base de E, B de F. Sean f y una base g dos homomorfismos de E en F, siendo sus matrices sociadas (respecto a las bases B y B ), A y C respectivamente. Al homomorfismo f ( f + g)( x) = f ( x) + g( x), x E, le corresponde la matriz A + C. + g: E F definido por: 11

20 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Al homomorfismo λ f : E F,(producto escalar), definido por: ( λ )( ) λ ( ) f x = f x, x E, le corresponde la matriz λ A. Con estas dos operaciones, el conjunto de homomorfismos entre los espacios vectoriales E y F, denotado por LEF (, ), tiene estructura de espacio vectorial, isomorfo al espacio vectorial de las matrices Por tanto, la dimensión del espacio LEF (, ) es mn. M m n. NOTA: Fijada una matriz A M m n, siempre es posible encontrar una base B E en E y una base B F en F, respecto de las cuales la matriz asociada a la aplicación linea f : E F es A. Sean E un espacio vectorial de dimensión n y B una base de E, F un espacio vectorial de dimensión m y espacio vectorial de dimensión p y B G una base de G. B F una base de F, y G un Se consideran las aplicaciones lineales siguientes: f : E F, g: F G y sean A la matriz asociada a f, y C la matriz asociada a g, en las bases dadas. Entonces la aplicación compuesta g f : E G, definida por ( g f )( x) g f ( x) =, tiene como matriz asociada a C A, en las bases B E y B G. Si un homomorfismo f : E E, de matriz asociada A, tiene inverso, la matriz asociada a f 1 : E E es 1 A. 114

21 1. CAMBIOS DE BASES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Al efectuarse cambios de base en E, en F o en ambos, la matriz del homomorfismo queda modificada obteniéndose la nueva matriz por medio de las fórmulas del cambio de base. Si tenemos una aplicación lineal f A respecto a una base B E en E y una base : E F de matriz asociada B F en F, veamos cómo queda la matriz asociada a la aplicación lineal si en E considero una nueva base B E y en F una nueva base B F. Sea P la matriz cambio de base de Sea Q la matriz cambio de base de Tenemos entonces el siguiente diagrama: B E en B E en el espacio E. B F en B F en el espacio F. E BE P E B E A A F BF Q F B F 1 Se cumple que: A 1 = Q AP Si sólo se realizara el cambio de base en el espacio vectorial E, tendríamos: E BE P E B E A A F F BF I B F En este caso se cumple que: A = AP 115

22 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Si sólo se realizara el cambio de base en el espacio vectorial F, tendríamos: E BE I E B E A A F BF Q F B F 1 En este caso se cumple que: 1 A = Q A. 116

23 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Sean en 4 los vectores u = (,,, 5), v= (1,, 4, 0), w= (1, 1, 10/ 7, m). Calcular el valor de m para que w pertenezca al subespacio engendrado por u y v. Para que el vector w pertenezca al subespacio generado por u y v es necesario que existan dos escalares α y β que cumplan lo siguiente: w= αu+ βv= α(,,, 5) + β(1,, 4, 0) = (α + β, α β, α + 4β, 5 α). Es decir, se tiene que dar la siguiente igualdad: (1,, 1 10/ 7, m) = (α + β, α β, α + 4β, 5 α). Sabemos que dos vectores son iguales si coinciden componente a componente, de donde obtenemos las siguientes ecuaciones: α + β = 1 α β = 1 α + 4β = 10/ 7 5α = m si multiplicamos la primera ecuación por y se la sumamos a la o ecuación, obtenemos que: 7α = α = y de aquí 7 ya obtenemos, despejando por ejemplo de la 1 o ecuación que 6 1 β = 1 =. Sólo hemos utilizado las dos primeras ecuaciones, 7 7 veamos que estos valores de α y β también sastisfacen la a ecuación: 117

24 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A =, luego, efectivamente, sí se cumple. Por último como también se tiene que cumplir la 4 o ecuación = m m = Sea la aplicación lineal f : dada por f ( xyz,, ) = x y z. Calcular el núcleo de f. {( ) } Ker( f ) = x, y, z / f ( x, y, z) = 0 = {( ) } ( ) { } =,, / = 0 =,, / = + x yz x y z xyz x y z ( y zyz) yz ( ) ( ) = { +,, /, } = 110,,,, 01,.- Sea f la aplicación lineal de matriz asociada Hallar la dimensión de Im( f ). 1 4 A = Sabemos que 1 4 dim( Im( f )) = rang( A) = rang 0 4 = En el espacio vectorial V ( 11a) ( 1a 1) ( a 11) se considera el subespacio =,,,,,,,,. Razonar para qué valores de a se tiene que dim( V ) =. 118

25 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Estudiar la dim( V ) es equivalente a estudiar el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores de V. Sea esta matriz la siguiente: 1 1 a A= 1 a 1. Una condición necesaria, aunque no suficiente para a 1 1 que dimv = es que A = 0. Si desarrollamos este determinante obtenemos que: A a a a = 0 ( 1) ( + ) = 0 = 1 ó a =. 5.- Sean los subespacios de V v v v 1 4 =< v, v, v > y 4, V1 1 =<, >. El sistema de vectores { } dependiente y vi 0 v1, v, v, v4 es linealmente i. Se pide justificiar la veracidad o falsedad (dando los correspondientes contraejemplos) de las siguientes afirmaciones: a) V1 V = { 0} b) dim V1 V ( ) = c) dim V1 V d) V ( ) = 1 + V 1 SOLUCION: a) Falso. Si tomamos { } 4 v1, v, v, v4 = {(1000)(0100)(0010)(1110)},,,,,,,,,,,,,,, Es evidente que el vector v1 v= (, 0, 1, 0), está tanto en V 1 (por ser combinación lineal de v 1 y v ) como en V. b) Falso. 119

26 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Si tomamos { } v1, v, v, v4 = {(1000)(0100)(1000)(1000)},,,,,,,,,,,,,,, V =< v1 v, v4>=< (1000)(1000),,,,,,, >=< (1000),,, > V V =< (1000),,, > dim( V V ) = 1. c) Falso. 1 1 Si tomamos { } v1, v, v, v4 = {(1000)(0100)(1000)(0100)},,,,,,,,,,,,,,, V =< v1 v, v4>=< (10,, 0, 0),(010,,, 0) > dim( V1 V) = 1. d) Verdadero. V1+ V =< v1, v, v, v4, v1 v, v4>=< v1, v, v, v4> dim( V V ) 4 + < ya que { } 1 linealmente dependiente, con lo cual V v1, v, v, v4 es un conjunto de vectores 4 1+ V. 6.- Cual de los siguientes subconjuntos de no es subespacio vectorial? a) 1 = ( 1,, ) / L x x x x = x 1 = x x b) L x x x 1 = ( 1,, ) / x1 x = 0 x x = 0 c) L { = (4 s, s, s) / s R} d) L { 4 = ( x1, x, x) / x1 x = 1} Para que un subconjunto sea subespacio vectorial debe cumplir que la suma de dos elementos de el también pertenezca al subconjunto y que al 10

27 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales multipliar un elemento de el por un escalar también siga perteneciendo al subconjunto, es decir: i) x+ y L, x, y L 1 1 ii) k x L, x L, k 1 1 a) Si es un subespacio vectorial: i) x y x = x 1 x= x x1+ y1 = x + y, L1 y1= y x+ y= ( x+ y) y= y ( x + y, x + y, x + y ) L x+ y L x = x kx = kx ii) x L ( kx, kx, kx ) L kx L x= x kx= kx b) Si es un subespacio vectorial: i) x y L x1 x = 0 x x = 0 ( x + y ) ( x + y ) = 0 = + + = y y = 0 1 1, 1 y1 y 0 ( x y) ( x y) 0 ( x + y, x + y, x + y ) L x+ y L. ii) x x x = 0 k( x x ) = L1 x x = 0 k( x x) = 0 kx kx = 0 1 ( kx1, kx, kx) L1 k x L1. kx kx 0 = 11

28 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. c) Si es un subespacio vectorial: x= (4 sss,, ) i) x, y L1 x+ y = (4( s+ t), s+ t, s+ t) x+ y L1. y = (4 t, t, t) ii) x L x = (4 s, s, s) k x = (4 ks, ks, ks) k x L. 1 1 d) No es subespacio vectorial ya que incumple las dos propiedades ( Nota: deja de ser subespacio vectorial desde que incumpla una de ellas). Veamos que no cumple la segunda. x = (4,, 0) L1 y sin embargo 5 x (0 15 0) L = 5 1. =,, ya que 7.- Sea la aplicación lineal g : definida por gxyz (,, ) = ( x+ y+ zx, + z), calcular una base de su núcleo. Por definición sabemos que el Ker( g ) está formado por los vectores de cuya imagen mediante g es el vector {( ) } Ker( g) = x, y, z / g( x, y, z) = (0, 0) = {( xyz) ( x y zx z ) ( 0 0 )} =,, / + +, + =, = x+ y+ z = 0 = ( xyz,, ) R/ = x+ z = 0 {( x yz) x z y y z} =,, / = = = 0. Es decir: ( z z z) z R ( ) ( ) = {,,, } = 1, 11, = 11,, 1 1

29 8.- Sea la aplicación lineal Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales f : definida por la matriz 1 A = 1 sobreyectiva o biyectiva.. Estudiar si se trata de una aplicación inyectiva, En primer lugar estudiamos el rango de la matriz A que nos dará la dimensión de la Imagen de f. 1 1 ( oper. elemen. ) rang( A) = rang = rang 0 = dim( Im( f )) =, para que fuera sobreyectiva tendría que suceder que dim( ( )) dim( ) Im f = =, es decir, la dimensión de Im( f ) tiene que coincidir con la del espacio de llegada, que es. Por lo tanto, ya podemos concluir que la aplicación no es sobreyectiva, porque dim( ( )) dim( ) Im f = =. Al no ser sobreyectiva, tampoco puede ser biyectiva la aplicación. La dimensión del Núcleo de f la podemos obtener de la fórmula: = +, dim( ) dim( Ker( f )) dim( Im( f )) como la dimensión de Im( f ) es y la dimensión de es, concluimos que dim( Ker( f )) = 1. Este resultado nos indica que f tampoco es inyectiva, pues para ello tendría que suceder que dim( Ker( f )) = 0. 1

30 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 9.- Dados los subespacios vectoriales de H = ( 111,, ),( 11,, ) y ( ) de S H. { } Sabemos que se cumple la siguiente relación: dim( H + S) = dim H + dim S dim( H S) R definidos por S = x, y, z / x= z calcular la dimensión Tenemos que H está generado por dos vectores que son linealmente independientes, por lo tanto, dim H =, por otro lado, se tiene que ( ) {( ) } {( ) } ( 101) ( 010) = S = x, y, z / x= z x, y, x, x, y R =,,,,,, es decir, S también está generado por dos vectores linealmente independientes, por lo que dim S =. ()NOTA : En las ecuaciones de S sólo aparecen las coordenadas x y z. Un error generalizado entre los alumnos es el pensar, en este caso, que la coordenada y = 0. En caso de que eso sucediera vendría especificado como una ecuación más de las de S. Sabiendo que el subespacio H + S está generado por los vectores que generan a H junto con los vectores que generan a S, entonces se tiene que si colocamos esos vectores como columnas de una matriz: dim( H + S) = rang = rang = Sustituyendo estos datos en la fórmula de las dimensiones, tenemos que: = + dim( H S), es decir: dim( H S) =. 14

31 10.- Dada la aplicación lineal Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales f : definida por la matriz A =, 1 1 nuevas bases { } calcular la matriz asociada a f, respecto a las B = (,, ),(,, ),(,, ) y B ( ) ( ) { } = 1, 1,,. La matriz A que define a la aplicación lineal inicial viene dada respecto a las bases canónicas en matriz A y en, lo que nos están pidiendo es la asociada a la aplicación lineal cuando la base tomada en sea B 1, y la base tomada en, sea B. Es decir, tenemos: A Bc Bc -- f :, y lo que nos están pidiendo es f A B1 B -- :, para llegar hasta este resultado, podemos pasar de con la base B 1 a con la base canónica B C, mediante la matriz P cambio de base de B 1 a B C. Esta matriz P es la siguiente: , 0 1 por otro lado podemos pasar de con la base canónica B C a con la base B, mediante la matriz 1 Q, siendo Q, la matriz cambio de base de B a B C, tenemos lo siguiente: 1 Q =. 1 Esquemáticamente 15

32 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. f 1 Q B BC Bc---- B x---- Px -----APx ----Q 1APx :, de aquí concluimos que la matriz buscada es A = Q AP = = = Si f f : es una aplicación lineal, tal que; ( 1, 1, ) = ( 1, ); f ( 1, 0, ) = ( 01, ) y ( 001) ( 10) valor de f ( 11,, 1)? f,, =, Cuál es el El vector (,, 1 1 1) se puede expresar como combinación lineal de los vectores: {( 1 1 ) ( 1 0 ) ( 0 01) },,,,,,,,. ( ) ( ) ( ) ( 11,, 1) = α 1, 1, + β 1, 0, + γ 0, 01, De esta expresión obtenemos el siguiente sistema: α + β = 1 α = 1 α β + γ = 1 La solución de este sistema es α = ; 1 β = 0; γ = 1. Concretamente tenemos que: ( 11,, 1) = ( 1, 1, ) + 0( 1, 0, ) + ( 0, 01, ). 16

33 Por lo tanto, aplicando f se tiene que: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales (1) ( ) ( ) ( ) (1) f( 11,, 1) = f[ 1, 1, + 0 1, 0, + 0, 01, ] = f(1, 1, ) + 0 f(1, 0, ) + f(0, 0, 1) = = (, 1) + 0(0, 1) + (1, 0) = ( 1, 1) (1) Esta igualdad se cumple por ser f una aplicación lineal. = 1.- Dada la aplicación lineal f : definida por la matriz A 1 0 = bases: Calcular la matriz asociada a f en las nuevas B 1 = {( 01,, ),( 110,, ),( 01,, )} y {( 10) ( 1) } B =,,,. La matriz A que define a la aplicación lineal inicial viene dada respecto a las bases canónicas en matriz A y en, lo que nos están pidiendo es la asociada a la aplicación lineal cuando la base tomada en sea B 1, y la base tomada en, sea B. Es decir, tenemos: A Bc Bc ---- f :, y lo que nos están pidiendo es f A B1 B ---- :, para llegar hasta este resultado, podemos pasar de con la base B 1 a con la base canónica B C, mediante la matriz P cambio de base de B 1 a B C. Esta matriz P es la siguiente: 17

34 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A , por otro lado podemos pasar de con la base canónica B C a con la base B, mediante la matriz 1 Q, siendo Q, la matriz cambio de base de B a B C, tenemos lo siguiente: Q 1 =. 0 1 Esquemáticamente f 1 P A Q B1 BC Bc B :, de aquí concluimos que la matriz buscada es 1 0 A = Q AP= = Sea 4 f : la aplicación lineal definida por: f ( x1, x, x, x4) = ( x + x+ x4, x1+ x + x+ x4, x1+ x + 6x+ 4 x4). Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas. La base canónica de { } 4 es ( 1000) ( 0100) ( 0010) ( 0001),,,,,,,,,,,,,,,. Veamos cuáles son sus imágenes mediante la aplicacion f. f (1, 0, 0, 0) = (0, 1, ) ; f (0, 1, 0, 0) = (1, 1, ) ; f (0, 0, 1, 0) = (,, 6) ; f (0, 0, 0, 1) = (,, 4) por lo tanto, la matriz asociada a f en las bases canónicas es aquella cuyas columnas son las imágenes de los vectores de la base: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) A= f,,, f,,, f,,, f,,, = 18

35 0 1 = Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 14.- Sea f : una aplicación lineal definida como f ( xy, ) = ( x+ yx, y). Se pide hallar la matriz asociada a f respecto de la base {( 1) ( ) } B =,,,. La matriz asociada a f respecto a las bases canónicas es 1 1 A = La matriz cambio de base de B a B es P =. Sabemos que con el cambio de base la nueva matriz asociada viene dada por: A P AP 4 4 = = 1 1 = Otra forma de resolverlo: 9 7 f(1, ) = (, 1) = α(1, ) + β(, ) α = y β = f(, ) = (5, 1) = λ (1, ) + µ (, ) λ = y µ = 4 4 Es decir: 9 7 (1 ) ( ) 4 4 f, =, en la base B = {( 1, ),(, )} 7 9 ( ) ( ) 4 4 f, =, en la base {( 1) ( ) } B =,,,. 19

36 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Luego: 9 7 A 4 4 = Calcular la dimensión del núcleo de la aplicación lineal cuya matriz asociada es: A = Como la matriz A es de orde x 5, entonces la aplicación lineal será 5 f :. Sabemos que: R = Ker f + Im f 5 dim( ) dim( ( )) dim( ( )) Por otro lado sabemos que: dim( Im( f )) = rang( A) = rang ( oper. elem. ) = rang 0 4 = Luego: 5 = dim( Ker( f)) + dim( Ker( f)) = ( oper. elem. ) 16.- Sea un sistema lineal homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas en el que la matriz del sistema, A, tiene rango 1. Los vectores ( 1, 1, 0) y ( 011),, son soluciones de este sistema, cuál de los siguientes vectores no es solución del sistema? = 10

37 a) (0 ) Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales,, b) ( 101,, ) c) (,, 11) d) (,, 1 0) Como el sistema es de tres ecuaciones con tres incógnitas y la matriz A, cumple que rang( A ) = 1 (es decir el sistema puede ser reducido a una sóla ecuación por ser las otras dos combinación lineal de ésta), se tiene que el subespacio solución del sistema (recordamos que la solución de todo sistema homogéneo es un espacio vectorial ) es de dimensión, sabemos que ( 1, 1, 0) y ( 011),, son vectores del subespacio solución y además son linealmente independientes, por lo tanto podemos decir que forman una base de dicho subespacio. Luego de los vectores que nos dan, el que no sea combinación lineal de {( 1 1 0) ( 011) },,,,, no será solución del sistema.,, = ( 1 1 0) ( 011) a) (0 ) 0 subespacio solución.,, +,,, por lo tanto (0),, pertenece al b) ( 101,, ) = 11 (, 10, ) + 1( 011,, ), por lo tanto (1, 0, 1) pertenece al subespacio solución. c) (, 11, ) = ( 1, 1, 0) + 1( 011,, ), por lo tanto (, 1, 1) pertenece al subespacio solución. d) No existen α, β :(,, 1 0) = α( 1,, 1 0) + β( 011,,), ya que tendríamos el siguiente sistema: α = α + β = 1, de la primera y la β = 0 última ecuación obtenemos que α = y que β = 0, pero si sustituimos 11

38 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. estos valores en la a ecuación obtenemos que + 0= 1, lo que evidentemente no es cierto, por lo que el sistema es incompatible, ya que no existen valores de α y β que verifiquen las tres ecuaciones. De este resultado deducimos que (,, 1 0) no pertenece al subespacio de las soluciones del sistema homogéneo Estudiar para qué valores de a y b los vectores (, 0, a, 1),(1, 1, 0, b) y (, 5, b, 4) de dependientes. 4 son linealmente Para que sean linealmente independientes la matriz que definen tiene que tener rango. Dicha matriz es A =. Realizando transformaciones a 0 b 1 b 4 elementales obtenemos la siguiente forma escalonada reducida de A : b+ a Como el rango de una matriz y el de cualquiera de sus formas escalonadas reducidas coincide, tenemos que rang( A ) =, si y sólo si b+ a= 0, es decir, si y sólo si a =. b 18.- Sea f : una aplicación lineal que verifica: f (1,, 1) = (1, 1), f (01),, = (1),, f (0, 0, 1) = (1, 1). Calcular la imagen del vector (5,, 1). 1

39 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Vamos a calcular cuál es la matriz asociada a f respecto de la base canónica: f(1, 0, 0) = f((1,, 1) (0, 1, ) + (0, 0, 1)) = = f(1,, 1) f(0, 1, ) + f(0, 0, 1) = = (1, 1) (1, ) + (1, 1) = (, 6) f(0,, 1 0) = f((0,, 1 ) (0, 0, 1)) = = f(0, 1, ) f(0, 0, 1) = (1, ) (1, 1) = ( 1, 4) f(0, 0, 1) = f(0, 0, 1) Por lo tanto la matriz asociada a f respecto a las bases canónicas es: 1 1 A= ( f(100),, f(010),, f(001),, ) = Conocida la matriz sabemos que f( x) = Ax f((5,, 1)) = =

40 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A Estudiar si la aplicación lineal de matriz asociada es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. 1 A = 1, 1 0 Por ser A M ( R) f x :. Se tiene que Im f = ranga = f no es sobreyectiva. dim( ( )) dim( ) Por la fórmula: dim( ) dim( Ker( f )) dim( Im( f )) = + dim( Ker( f )) = dim( Im( f )) = = 0 { } Ker( f ) = 0 f es inyectiva. A pesar de ser inyectiva, por no ser sobreyectiva, no podrá ser biyectiva. 0.- Para la aplicación 4 f : la aplicación lineal definida por: f ( x1, x, x, x4) = ( x + x+ x4, x1+ x + x+ x4, x1+ x + 6x+ 4 x4) calcular unas ecuaciones del subespacio Im( f ). 4 { ( ) } Im( f) = y R / x : f x = y = 4 y = ( y1, y, y) / x= ( x1, x, x, x4) : = ( x + x+ x4, x1+ x + x+ x4, x1+ x + 6x+ 4 x4) =,, ( y y y ) 1 14

41 = ( y y y ) ( x x x x ),, /,,, : x + x + x = y = = x x x x y x x 6x 4x y (1) = Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales NOTA: La matriz del sistema es 0 1 A = Rang( A) = rang 1 1 = y la matriz ampliada viene dada por A 0 1 y, 1 = 1 1 y 6 4 y 0 1 y1 rang( A ) = rang 1 1 y y y El sistema será compatible cuando rang( A) = rang( A ) = y eso sólo ocurre cuando y y = 0 por lo que se obtiene que: (1) {( y1, y, y ) / y y = 0} = 1.- Calcular una base para el núcleo de la aplicación lineal 4 f : definida por: f ( x, x, x, x ) = ( x + x + x, x + x + x + x, x + x + 6x + 4 x )

42 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. {( ) ( 1 4 ) ( )} Ker( f ) = x, x, x, x / f x, x, x, x = 000,, = ( x x x x ) 4 1,,, 4 / = ( x + x+ x4, x1+ x + x+ x4, x1+ x + 6x+ 4 x4) = = = ( 000,, ) x + x + x4 = 0 4 = ( x1, x, x, x4 ) / x1+ x + x+ x4 = 0 = x1+ x + 6x + 4x4 = 0 ( x x x x ) x 4 1 = 1,,, 4 / = x + x + x4 = 0 = ( 1, 10,, ),( 0,, 01, ) = = ( 1,, 10, ),( 00,,, 1). + x = 0.- Consideremos los siguientes subespacios vectoriales de L = ( 10,, ),(010),, y ( ) { } : M = xyz,, / x= y. Estudiar cuándo el vector x= ( a, 1, ) pertenece al subespacio L M. Si a = 1 Entonces x = ( 1, 1, ), cumple que como sus dos primeras componentes coinciden entonces x M, veamos si x L. Para ello tendríamos que encontrar α, β tal que: ( ) x = α 10,, + β (010),, ( 1, 1, ) = ( α, 0, α) + (0, β, 0) = ( α, β, α) 16

43 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales ( 1, 1, ) = ( α, β, α) α = 1 y β = 1, es decir x L. Obtenemos que x L M..- Consideremos la matriz A = y sea f : la aplicación lineal de matriz asociada A con respecto a las bases canónicas. Encontrar una base de Im( f ) Sabemos que las columnas de la matriz A nos dan un sistema generador de Im( f ), por lo que un sistema generador es {( 111) ( 0 1 ) ( 01) },,,,,,,,, sin embargo en el ejercicio se nos pregunta por una base, por lo que a la condición de ser generador hay que añadirle ser linealmente independientes. El vector ( 0,, 1 ) = 1( 01,, ), por lo que podría ser extraído del sistema por ser combinación lineal de uno de ellos. Nos quedaríamos con {( 111) ( 01) },,,,, que sigue siendo sistema generador de Im( f ) y además es linealmente independiente, ya que los únicos α, y β que cumplen que: α( 111) β( 01) ( 0 0 0),, +,, =,, son α = 0, y β = 0. También se podría haber razonado viendo que el rango 1 0 de la matriz 1 1 es dos, por lo tanto los dos vectores que definen sus 1 columnas son linealmente independientes. 17

44 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Luego una base de ( ) Im f es {( 111) ( 01) },,,,,. 4.- Consideremos los elementos del espacio vectorial P, de los polinomios reales de grado a lo sumo, px ( ) = 1, qx ( ) = 1+ x, y rx ( ) 1 = x. Razonar la veracidad o falsedad de las afirmaciones siguientes: a) { p( x) q( x) r( x) },, es un sistema linealmente independiente. b) El subespacio vectorial de tiene dimensión. P engendrado por { p( x), q( x), r( x) } c) El subespacio vectorial engendrado por { p( x) q( x) r( x) } dimensión 1. a) Verdadera.,, tiene Vamos a igualar una combinación lineal de los tres vectores al polinomio = + x + x. Para que sean linealmente independientes los escalares de la combinación nos tendrían que dar 0. Sean α, β, γ : αpx ( ) + βqx ( ) + γrx ( ) = 0 α = β = γ = 0? α ( ) + β ( ) + γ ( ) = 0 α1 + β γ 1 = 0 Si px qx rx ( x) x α β γ β γ x x = 0 para que un polinomio sea idénticamente nulo, tiene que suceder que los coeficientes que acompañan a las diferentes potencias de la variable sean 0 y además el término independiente también sea 0. 18

45 Por lo tanto, obtenemos que: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales α + β + γ = 0 β = 0 γ = β = 0 y γ = 0 sustituyendo en la 1 a ecuación se tiene: α = 0 de aquí obtenemos que el sistema { p( x) q( x) r( x) } b) Falso.,, es linealmente independiente. Ya hemos visto que los tres vectores son linealmente independientes por lo tanto, ellos serán una base del subespacio que generen, y esto conduce a que dicho subespacio tendrá dimensión. c) Falso. El razonamiento es el mismo que en b). 5.- Si { uv, } y { vw}, son dos sistemas libres en un espacio vectorial U, justificar razonadamente si los siguientes apartados son verdaderos o falsos: a) { uvw,, } es un sistema libre. b) { uvw,, } es un sistema ligado. c) { uuw,, } es un sistema libre. a) Falso. Valga el siguiente contraejemplo: Sea { uv, } = {( 100,, ),( 010,, )} y { vw} ( 010) ( 00) { } U =,, =,,,,,, se cumple que 19

46 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. ambos sistemas son libres, sin embargo, { uvw} ( ) { 100 (010)(00)},, =,,,,,,,, no es un sistema libre, ya que w= u. b) Falso. Valga el siguiente contraejemplo: Sea { uv, } = {( 100,, ),( 010,, )} y { vw} ( 010) ( 001) { } ambos sistemas son libres y { uvw} ( ) sistema libre, ya que se trata de la base canónica de c) Falso. U =,, =,,,,,, se cumple que { 100 (010)(001)},, =,,,,,,,, es un. Un sistema de la forma { uuw,, } nunca puede ser libre, porque dos de sus vectores son linealmente dependiente u = 1. u. 6.- Dados los subespacios vectoriales de 4 : L = ( 100,,, ),( 111,,, ),( 0010,,, ),( 0001,,, ) y {( ) 0} S = x, y, z, t / x y =. Se pide la dimensión de L S. Tenemos que S {( xyzt) x y 0} {( xxzt) xzt } =,,, / = =,,, /,, = = ( 1100,,, ),( 0010,,, )(, 0001,,, ). Para calcular dim( L S), lo que vamos a hacer es calcular dim( L+ S) y a continuación aplicar la fórmula: dim( L+ S) = dim( L) + dim( S) dim( L S) dim( L S) = dim( L) + dim( S) dim( L+ S). 140

47 Tenemos que: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales dim( L) = Rang = Rang = dim( S) = Rang = Rang = L+ S está generado por los vectores que generan a L junto con los vectores que generan a S, por lo tanto: ( 100)( 111)( 0010) ( 0001) ( 1100) L+ S =,,,,,,,,,,,,,,,,,,, dim( L+ S) = = Rang = Rang = Sustituyendo estos datos en la fórmula de las dimensiones, obtenemos que: dim( L S) = = Otra forma de haberlo razonado es, una vez sabido que dim( L ) = 4, como L es un subespacio de = = = dim( ) = dim( ) = 4 4 L L S S S L S S 4, se obtiene que 141

48 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. 7.- Sea la aplicación lineal f : definida por f ( xyz,, ) = ( x+ yx, z). Hallar el conjunto imagen de f. Sabemos {( ) } ( ) Im( f) = ab, / ( xyz,, ) : f(( xyz,, )) = ( ab, ) = { ab ( xyz) (( x yx z)) ( ab) } =, /,, : +, =, = x+ y = a ( ab) ( ) x z = b =, / xyz,, : = = {( x+ y, x z) / x, y, z } = ( 11 ) (10) (0 1) ( 10) ( 0 1) = ( 10, ),( 01, ) = =,,,,, =,,, = que: 8.- Sea f : la aplicación lineal definida por f ( xyz,, ) = x y+ 5z. Encontrar una base del núcleo de f. {( ) ( ) } ( xyz) x y 5z 0 {( xyz) x (y 5 z) } ((y 5 z) yz) yz Ker( f ) = x, y, z / f ( x, y, z ) = 0 = { } =,, / + = = =,, / = / = { } = /,, /, = 5 =,, 10, (, 01), = ( 0,, ),, ( 50), 9.- Sea E un espacio vectorial sobre K de dimensión n. Sea f un endomorfismo de E y sea M su matriz asociada. Razonar la veracidad o no de cada uno de los siguientes apartados: a) M es invertible f es inyectivo. 14

49 b) M nunca es invertible. c) Al ser f un endomorfismo es siempre biyectivo. d) M siempre es invertible. a) Verdadero. i ) Veamos que si f es inyectiva Tenemos la fórmula: dim( E) = dim( Im( f )) + dim( Ker( f )). Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales M es invertible. Si f es inyectiva, sabemos que Ker f { } ( ) = 0 dim( Ker( f)) = 0, sustituyendo este dato en la fórmula anterior vemos que dim( E) = dim( Im( f)). Por otro lado, sabemos que dim( Im( f )) = rang( M ), luego rang( M ) = dim( E) = n, y como M M ( R), se deduce que M 0 y esta propiedad ya implica que M es invertible. ii ) Veamos que si M es invertible f es inyectiva. Si M es invertible M 0, por lo tanto, rang( M ) = n, y como rang( M ) = dim( Im( f )), obtenemos que dim( Im( f)) = n. Sustituyendo este dato en la fórmula de las dimensiones: dim( E) = dim( Im( f)) + dim( Ker( f)), se llega a que n= n+ dim( Ker( f)), es decir, nxn 14

50 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. dim( Ker( f )) = 0 y el único subespacio de dimensión 0 es el subespacio nulo: Ker( f ) = { 0} y esa es la condición necesaria y suficiente para que f sea inyectiva. b) Falso. Ya hemos visto en a) que cuando f es inyectiva c) Falso. Sea M es invertible. f : definida de la siguiente forma: f (( xy, )) = ( x yx, y) Veamos que f es un endomorfismo. Para ello sólo habría que comprobar que es lineal ya que evidentemente es aplicación.? f ( αx+ β y) α f( x) + β f( y) = Supongamos que x = ( x1, x) e y = ( y1, y), entonces: f( αx+ βy) = f( α( x1, x) + β( y1, y)) = f(( αx1+ βy1, αx + βy)) = = ( αx1+ βy1 ( αx + βy), αx1+ βy1 ( αx + βy)) = = (( αx1 αx) + ( βy1 βy),( αx1 αx) + ( βy1 βy)) = = ( αx1 αx, αx1 αx) + ( βy1 βy, βy1 βy) = = α( x1 x, x1 x) + β( y1 y, y1 y) = = α f( x, x ) + β f( y, y ) = α f( x) + β f( y) 1 1 Por lo tanto f es un endomorfismo de. Sin embargo, vamos a comprobar que f no es biyectiva. 144

51 Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales Ker( f ) = x / f ( x) = 0 = ( x, y) / f ( x, y) = (0, 0) = { } { } = {( xy, ) /( x yx, y) = (0, 0) } = = {( xy, ) / x= y} =< (11), > Hemos obtenido que Ker( f ) { 0}, por lo que f no es inyectivo, y esto significa que no puede ser biyectivo. d) Falso. En el apartado a) ya hemos demostrado que M sólo es invertible cuando f sea inyectiva. 0.- Sean f : V W y g: W U, las aplicaciones lineales con matrices asociadas A y B respectivamente. Calcular la matriz asociada a la aplicación lineal g f : V U. La matriz asociada a g f, será M, tal que g f( x) = Mx Ahora bien, sabemos que: ( f ( x) = Ax) ( g( y) = By) = = = = g f( x) g( f( x)) g( Ax) B( Ax) ( BA) x Luego, la matriz asociada a g f es BA. 1.- Sea f una aplicación lineal. Razonar si de los siguientes apartados puede haber alguno(s) verdadero(s): a) Si b) Si c) Si f : 5 nunca será sobreyectiva. f : siempre es biyectiva. 4 f : siempre es inyectiva. 145

52 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. d) Si f : nunca será sobreyectiva. a) Verdadero. Por la fórmula de las dimensiones sabemos que:, si la aplicación fuera dim( ) = dim( Ker( f )) + dim( Im( f )) sobreyectiva tendríamos que 5 Im( f ) =, por lo tanto 5 dim( Im( f )) = dim( ) = 5. Luego, la fórmula de las dimensiones nos quedaría como sigue: = dim( Ker( f )) + 5, de donde se deduce que dim( Ker( f )) =, lo que no puede suceder, ya que la dimensión de todo espacio vectorial es siempre un número entero no negativo. b) Falso. Como contraejemplo utilizaremos la siguiente aplicación: f : definida por: f(( x, y, z)) = ( x, 0, 0). Veamos en primer lugar que f es una aplicación lineal. i ) f es aplicación: i. 1) ( xyz,, ), ( x, 0, 0) : f(( xyz,, )) = ( x, 0, 0), es decir, todo elemento de tiene su imagen en. i. ) Si ( x, yz, ) = ( x, y, z), entonces sus componentes coinciden, es decir: x = x, y = y, z = z, en particular nos interesa saber que x = x, de donde se obtiene que ( x, 0, 0) = ( x, 0, 0), es decir, f (( xyz,, )) = f(( x, y, z)). Con este razonamiento lo que se ha visto es que cada elemento de tiene una única imagen en. 146

53 ii ) f es lineal: Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales? f ( αx+ β y) α f( x) + β f( y) = Supongamos que x = ( xyz,, ) e y = ( x, y, z ), entonces tendríamos que: f( αx+ β y) = f(( αx, αy, αz) + ( βx, βy, βz )) = = f(( αx+ βx, αy+ βy, αz+ βz )) = ( αx+ βx, 0, 0) = = ( αx, 0, 0) + ( βx, 0, 0) = α( x, 0, 0) + β( x, 0, 0) = = α f (( xyz,, )) + β f(( x, y, z)) = α f( x) + β f( y) Veamos que f no es inyectiva Sean por ejemplo x = (1,, ) e y = (1,, 4) evidentemente se tiene que x y y sin embargo, f ( x) = (10,, 0) = f( y), luego f no es inyectiva. Por no ser inyectiva, ya no será biyectiva. c) Falsa. De nuevo recurrimos a la fórmula: 4 dim( ) = dim( Ker( f )) + dim( Im( f )), si f fuera inyectiva, sabemos que Ker( f ) = { 0}, es decir, dim( Ker( f )) = 0, y sustituyendo este dato en la anterior fórmula, se obtiene que: 4 dim( ) = dim( Im( f)), por lo tanto: dim( Im( f )) = 4, sin embargo, Im( f ) de donde se deduce que dim( Im( f )) dim( ) =. De este razonamiento se concluye que si 4 f : es una aplicación lineal, nunca puede ser inyectiva. d) Falso. 147

54 Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A. Como contraejemplo nos sirve la aplicación identidad: i :, : = x ix ( ) x. Es evidente que es una aplicación lineal y es biyectiva, por lo tanto, en particular será sobreyectiva..- Dado un endomorfismo 4 f : 4 definido como f ( xyzt,,, ) = ( x y t, x y z t, x y, t z x), demostrar que Ker ( f ) = Im( f ). La matriz asociada a este endomorfismo es Sabemos que A ( f( ) f( ) f( ) f( )) A = = e1 e e e4, y que el conjunto Im( f ) esta generado por las imágenes de los vectores de la base, es decir, Im( f ) =< f ( e1), f ( e), f ( e), f ( e4) >, luego de este conjunto podemos extraer una base de Im( f ) rango( A) = rango = = rango =

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario) 2 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Repaso de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Comenzamos este primer tema con un problema de motivación. Problema: El aire puro está compuesto esencialmente por un 78 por ciento

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

Tema 2: Espacios vectoriales

Tema 2: Espacios vectoriales Tema 2: Espacios vectoriales La estructura de espacio vectorial juega un papel fundamental en el álgebra lineal pues es la base de todos los conceptos que ahí se desarrollan. Vamos en la siguiente sección

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

1. Cambios de base en R n.

1. Cambios de base en R n. er Curso de Ingeniero de Telecomunicación. Álgebra. Curso 8-9. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema 5. Cambios de Base. Aplicaciones Lineales. Teoría y Ejercicios Resueltos..

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre

CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales 1. Estudia cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de R n para el n que corresponda: i) S 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = b} siendo

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química

E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid. Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Grado en Ingeniería Química E. T. S. de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Grado en Ingeniería Química Apuntes de Álgebra ( Curso 2014/15) Departamento de Matemática

Más detalles

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal CAPÍTULO II 3 El grupo lineal Como ya se advirtió en el capítulo precedente, los grupos de transformaciones juegan un importante papel en el estudio de la geometría. En esta sección nos ocuparemos de aquellas

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,

Más detalles

1 El espacio vectorial R n.

1 El espacio vectorial R n. Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más

Más detalles

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Tema 4.- El espacio vectorial R n.

Tema 4.- El espacio vectorial R n. Tema 4- El espacio vectorial R n Subespacios vectoriales de R n Bases de un subespacio Rango de una matriz 4 Bases de R n Cambios de base 5 Ejercicios En este tema estudiamos la estructura vectorial del

Más detalles

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN

ESPACIO VECTORIAL ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN Tema 5.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIO VECTORIAL SUBESPACIO VECTORIAL BASE Y DIMENSIÓN N DE UN ESPACIO VECTORIAL Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Aunque históricamente el primer trabajo de Álgebra

Más detalles

4 Aplicaciones lineales

4 Aplicaciones lineales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación

Más detalles

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos

Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos Capítulo Espacio afín. Transformaciones afines y movimientos. Espacio afín y espacio afín métrico Definición. El espacio afín (tridimensional) está constituido por los siguientes elementos. El espacio

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n

CAPÍTULO II. 2 El espacio vectorial R n CAPÍTULO II 2 El espacio vectorial R n A una n upla (x 1, x 2,..., x n ) de números reales se le denomina vector de n coordenadas o, simplemente, vector. Por ejemplo, el par ( 3, 2) es un vector de R 2,

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1; 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.

Más detalles

VII. Estructuras Algebraicas

VII. Estructuras Algebraicas VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación

Más detalles

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d

4.- Para los siguientes conjuntos de vectores, probar si son o no subespacios vectoriales de R 4 : 2d + 1 : b, d reales. d GRADO EN I. TELEMÁTICA. HOJA : ESPACIOS VECTORIALES. ESPACIOS NULO Y COLUMNA.- Sea W el conjunto de todos los vectores de R de la forma subespacio de R. s + t s t s t t, con s, t R. Probar que W es un.-

Más detalles

Cambio de representaciones para variedades lineales.

Cambio de representaciones para variedades lineales. Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia

Más detalles

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos.

Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Dependencia lineal de vectores y sus aplicaciones a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de problemas geométricos. Prof. D. Miguel Ángel García Hoyo. Septiembre de 2011 Dependencia lineal

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica

Más detalles

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos

Más detalles

CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1 CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. Pérez Dep. de Informática y Matemática Aplicada Universidad de Girona RESUMEN: Se va a desarrollar la

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una

Más detalles

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3) Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 Concepto de espacio vectorial y propiedades 1.1 Definición Se llama espacio vectorial sobre K (IR o C a toda terna

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad nº7: Transformaciones Lineales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Transformación lineal entre dos espacios vectoriales. Teorema fundamental

Más detalles

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones.

Sección 4.5: Transformaciones del plano y del espacio. Sección 4.6: Problema de mínimos cuadrados y aplicaciones. Tema 4 Producto escalar En bachiller habéis visto los conceptos de producto escalar, longitud, distancia y perpendicularidad en R y R 3 En este tema del curso se generalizan estos conceptos a R n, junto

Más detalles

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3.

13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL... 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL... 275 13.3. ÍNDICE 13.TRANSFORMACIONES LINEALES 273 13.1. DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL............. 273 13.2. DETERMINACIÓN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL...... 275 13.3. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN

Más detalles

Problemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás

Problemas de 2 o Bachillerato (ciencias sociales) Isaac Musat Hervás Problemas de 2 o Bachillerato ciencias sociales) Isaac Musat Hervás 27 de mayo de 2007 2 Índice General 1 Problemas de Álgebra 5 1.1 Matrices, Exámenes de Ciencias Sociales............ 5 1.2 Sistemas de

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo 2006 1. La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva.

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.

8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar si el

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

Física, Matemáticas y Estadística Primer Curso ÁLGEBRA LINEAL I. Juan A. Navarro González

Física, Matemáticas y Estadística Primer Curso ÁLGEBRA LINEAL I. Juan A. Navarro González Física, Matemáticas y Estadística Primer Curso ÁLGEBRA LINEAL I Juan A. Navarro González 26 de noviembre de 2015 2 Índice General 1 Preliminares 1 1.1 Relaciones de Equivalencia............................

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas I: Hoja 2 Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1 Escribe las siguientes matrices en forma normal de Hermite: 2 4 3 1 2 3 2 4 3 1 2 3 1. 1 2 3 2. 2 1 1 3. 1 2 3 4. 2

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios. Primero Grado Ingeniería Informática

Álgebra Lineal. Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios. Primero Grado Ingeniería Informática Álgebra Lineal Sesión de Prácticas 3: Subespacios vectoriales de K n. Operaciones con subespacios Primero Grado Ingeniería Informática Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Informática 1 / 22

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Capítulo 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 7.1. Introducción Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias,

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

Bibliografía recomendada

Bibliografía recomendada Álgebra II Guía del Examen a Título de Suficiencia Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional Licenciatura en Física y Matemáticas Esta guía está elaborada por el colectivo

Más detalles