1 Espacios y subespacios vectoriales.

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto al que sus elementos llamaremos vectores Diremos que V es un espacio vectorial si tenemos una operación interna + : V V V y una operación externa : R V V cumpliendo las siguientes propiedades (i) u + v = v + u para u, v V (la suma es conmutativa) (ii) (u + v) + w = (u + v) + w para u, v, w V (la suma es asociativa) (iii) Existe 0 V tal que para todo v V, u + 0 = 0 (existencia del neutro) (iv) Dado v V, existe w tal que v + w = 0 (existencia del opuesto) (v) λ(u + v) = λu + λv para λ R y u, v V (distributiva respecto la suma de vectores) (vi) (λ + µ)v = λv + µv para λ, µ R, v V (distributiva respecto la suma de números) (vii) (λµ)v = λ(µv) para λ, µ R y v V (pseudoasociativa) (viii) 1v = v para v V Ejemplo 2 El espacio R n con su suma y su producto por números es un espacio vectorial Ejemplo 3 En el conjunto de funciones de R en R podemos definir la suma como (f +g)(x) = f(x) + g(x) y el producto por números reales como (λf)(x) = λf(x) Este conjunto con estas operaciones también es un espacio vectorial Definición 4 Sea V un espacio vectorial y sea U V Se dice que U es un subespacio vectorial de V si U con la suma y producto definidas en V es un espacio vectorial, es decir, si las operaciones están definidas en U (la suma de dos elementos de U y el producto de un número por un elemento en U pertenecen a U) y se cumplen todas las condiciones dadas en la definición anterior Proposición 5 Sea V un espacio vectorial y U V U es un subespacio vectorial de V si y solo si para todo λ, µ R y u, v V se cumple que λu + µv U Ejemplo 6 Es fácil comprobar que el conjunto {(x, y, z) R 3 : x y + z = 0} es un subespacio vectorial de R 3 y sin embargo el conjunto {(x, y, z) R 3 : x y + z = 1} Proposición 7 Si U y V son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial W, su intersección U V también es un subespacio vectorial de W 1

2 Observación 8 Sin embargo, la unión de dos subespacios vectoriales no son un espacio vectorial Para verlo podemos tomar por ejemplo U = {(x, y) R 2 : x = 0 y V = {(x, y) R 2 : y = 0 Su unión no es un espacio vectorial ya que por ejemplo (1, 0), (0, 1) U V pero sin embargo (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) / U V Definición 9 Dados dos subespacios vectoriales U y V de un espacio vectorial W, se define su suma como U + V = {u + v : u U, v V } Proposición 10 Si U y V son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial W, su suma U + V también es un subespacio vectorial e W 2 Base de un espacio vectorial Definición 11 Dados v 1, v 2,, v n vectores de un espacio vectorial V, se dice que w es una combinación lineal de v 1, v 2,, v n si existen λ 1, λ 2,, λ n tales que w = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ n v n Definición 12 Dados v 1, v 2,, v n vectores de un espacio vectorial V, se define el espacio generado por v 1, v 2,, v n como el conjunto formado por sus combinaciones lineales, es decir v 1, v 2,, v n = {λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ n v n : λ 1, λ 2,, λ n R} Proposición 13 En las condiciones de la definición anterior, v 1, v 2,, v n es un subespacio vectorial de V Definición 14 Se dice que dos conjuntos de vectores {v 1, v 2,, v n } y {w 1, w 2,, w m } son sistemas equivalentes si generan el mismo espacio vectorial Proposición 15 Sea A una matriz obtenida de una matriz B haciendo operaciones elementales por filas Entonces los vectores que forman las filas de A y los vectores que forman las columnas de B son sistemas equivalentes Definición 16 Se dice que unos vectores v 1, v 2,, v n son linealmente independientes (o que forman un sistema libre) si la única combinación lineal que vale 0 es aquella con todos sus coeficientes nulos, es decir λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ n v n = 0 λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 En caso contrario se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un sistema ligado Proposición 17 Los vectores v 1, v 2,, v n son linealmente si, y solo si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás Proposición 18 El rango de una matriz coincide con el número máximo de filas de la matriz linealmente independientes y también coincide con el número máximo de columnas de la matriz linealmente independientes Definición 19 Se dice que los vectores v 1, v 2,, v n son una base de V son linealmente independientes y además generan V, es decir, v 1, v 2,, v n = V 2

3 Por las proposiciones anteriores, si tenemos un sistema generador de un espacio subvectorial, para calcular una base de este espacio nos bastará formar la matriz dada por los vectores del sistema generador y tras hacer ceros con el método de Gauss por filas, los vectores no nulos que nos quedarán serán una base del subespacio Proposición 20 Si {v 1, v 2,, v n } es una base de V entonces todo vector w V se puede poner de forma única como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, existen λ 1, λ 2,, λ n R únicos tales que w = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n Definición 21 Diremos que un espacio V es finitamente generado, si existen v 1, v 2,, v m V tales que V = v 1, v 2,, v n Teorema 22 Si V es un espacio vectorial finitamente generado tiene una base, todo conjunto linealmente independiente de vectores de V se puede completar a una base, es decir, dados v 1, v 2,, v i V linealmente independientes, existen v i+1, v i+2,, v n tales que el conjunto {v 1, v 2,, v i, v i+1,, v n } es una base de V En particular, V tiene una base Además todas las bases de V tienen el mismo número de vectores Definición 23 Dado un espacio vectorial V finitamente generado, se define su dimensión como el número de vectores que forman una base de V 3 Cambio de base Teorema 24 Sea V un espacio vectorial y sean = {v 1, v 2,, v n }, B 2 = {w 1, w 2,, w n } bases de V Entonces existe una única matriz A = (a ij ) nxn tal que para todo v V, si (x 1, x 2,, x n ) son las coordenadas de v en la base y (y 1, y 2,, y n ) son las coordenadas de v en la base B 2 se tiene que y 1 a 11 a 12 a 1n x 1 y 2 a 21 a 22 a 2n x 2 = a n1 a n2 a nn y n x n Definición 25 La matriz del teorema anterior se denotará como M B 2 o M B1 B 2 y la llamaremos matriz de cambio de base de a B 2 Observemos que en el teorema anterior, si el vector v fuese un v i de la base, entonces sus coordenadas serían todas 0 salvo la que estuviese en la posición i Teniendo esto en cuenta, al multiplicar la matriz A por las coordenadas del vector v i obtendríamos la fila i-ésima de la matriz A que a su vez debe de ser las coordenadas de v en la base B 2 Por lo tanto se tiene el siguiente resultado: Proposición 26 La columna i-ésima de la matriz A de la proposición anterior está formada por las coordenadas en la base B 2 del i-ésimo elemento de la base B 3

4 Proposición 27 Si, B 2 y B 3 son 3 bases de un espacio vectorial V, se tiene la siguiente relación M B 3 B 2 M B 2 = M B 3 Para ver que la proposición anterior es cierta, basta con multiplicar ambas expresiones por un vector columna representado en base y ver en qué se convierte Como corolario de esta proposición obtenemos lo siguiente Corolario 28 Si y B 2 son 2 bases de un espacio vectorial V, se tiene la siguiente relación ( ) 1 M B 2 = M B 2 4 Ecuaciones de un subespacio vectorial de R n Sea V un subespacio vectorial de R n y sea {v 1, v 2,, v m } una base de V Cualquier vector x V se podrá expresar de forma única como x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ m v m A esta expresión anterior se le llama ecuación vectorial de V Si suponemos que x = (x 1, x 2,, x n ), v 1 = (v 11, v 12,, v 1n ),, v m = (v m1, v m2,, v mn ), y desarrollamos la ecuación anterior coordenada a coordenada obtendremos una expresión de la forma x 1 = λ 1 v 11 + λ 2 v λ m v m1 x 2 = λ 1 v 12 + λ 2 v λ m v m2 x n = λ 1 v 1n + λ 2 v 2n + + λ m v mn Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de V Por último, los subespacios vectoriales de R n serán soluciones de sistemas de ecuaciones lineales con término independiente nulo Para obtener este sistema tendremos que ver qué condiciones debe de cumplir el vector (x 1, x 2,, x n ) para ser combinación lineal de la base de V Para ello lo que podemos hacer es estudiar cuándo la siguiente matriz v 11 v 12 v 1n v 21 v 22 v 2n v m1 v m2 v mn x 1 x 2 x n tiene rango m Para ello el mejor método es encontrar un menor de tamaño m m de rango m contenido en las m primeras filas, y una vez fijado este, igualar a 0 el determinante de cada matriz de tamaño (m+1) (m+1) obtenida ampliando el menor fijado, obteniendo un n m ecuaciones Este sistema de ecuaciones es lo que se llama ecuación general de V 4

5 Ejemplo 29 Sea V = (1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 2) Una ecuación vectorial de V será Una ecuación paramétrica será (x, y, z, t) = λ(1, 1, 1, 1) + µ(1, 1, 2, 2) x = λ + µ y = λ + µ z = λ + 2µ t = λ 2µ Por último, para obtener una ecuación general de V tendremos que ver cuándo tiene rango 2 la matriz x y z t Para ello tenemos que buscar primero un menor de orden 2 2 de rango 2 El que sale al quedarnos con las 2 primeras filas y columnas no nos valdría ya que tiene rango 1 así que cogeremos el que sale de las 2 primeras filas y de la columnas 2 y 3 ( ) Ampliamos ahora este menor a los 2 menores posibles de tamaño 3 3 y hacemos su determinante x y z = 0, y z t = 0, con lo que obtenemos que una ecuación general de V es { x y = 0 4y + 3z + t = 0 Veamos a continuación cómo podemos calcular las ecuaciones de la suma y la intersección de os espacios vectoriales Proposición 30 Dados dos subespacios vectoriales V y W de R n, sea {v 1, v 2,, v i } un sistema genrador de V y sea {w 1, w 2,, w j } un sistema genrador de W Entonces es un sistema generador de V + W {v 1, v 2,, v i, w 1, w 2,, w j } Por lo tanto lo que tenemos que hacer para calcular las ecuaciones de V + W es primero obtener un sistema generador de cada espacio, unirlos y de ahí sacar una base Una vez tengamos la base ya podremos obtener las ecuaciones de V + W Proposición 31 Dados dos subespacios vectoriales V y W de R n, el subespacio V W coincide con la solución del sistema de ecuaciones lineal que sale de juntar el sistema de ecuaciones que sale de la ecuación general de V con el sistema de ecuaciones que sale de la ecuación general de W Así que para obtener una ecuación general de V W, calculamos ecuaciones generales de V y W y las unimos Además deberíamos de tratar de reducir el número de ecuaciones obtenidas usando por ejemplo el método de Gauss 5