4 Aplicaciones lineales

Transcripción

1 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación f : V W se llama aplicación lineal u homomorfismo si f(u + v = f(u + f(v, u, v V. f(αu = αf(u, u V, α K. Estas dos condiciones son equivalentes a la única condición: f(αu + βv = αf(u + βf(v, u, v V, α, β K 4.2 Ejemplos. Las siguientes aplicaciones, f : R 2 R 2, son aplicaciones lineales: (a Homotecia: f(u = λu, con λ R. (b Proyección: f(x, y = (x, 0. (c Simetría: f(x, y = (x, y 2. Si A M m n (R, la aplicación f : R n R m definida por f(u = Au es una aplicación lineal (asociada a la matriz A. Obviamente, para que tenga sentido el producto Au, se entiende que el vector u se escribe en columna, como se hará siempre que esté implicado en operaciones matriciales. 3. La aplicación lineal asociada a la matriz A = 0 es f : R 2 R 3 definida por: Propiedades f(x, y = 0 2 ( x = y Si f : V W es una aplicación lineal, se cumple:. f(0 = f( u = f(u. x y x x + 2y = 3. S subespacio vectorial de V = f(s es subespacio vectorial de W. x = x y y = x z = x + 2y 4. T subespacio vectorial de W = f (T es subespacio vectorial de V. 4.4 Núcleo e imagen de una aplicación lineal Si f : V W es una aplicación lineal, se llama imagen al subespacio vectorial Im f = f(v, y núcleo al subespacio vectorial Ker f = f ({0}.

2 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Definiciones Una aplicación lineal (homomorfismo se llama monomorfismo si es inyectiva, epimorfismo si es sobreyectiva, e isomorfismo si es biyectiva. Cuando los espacios inicial y final coinciden, la aplicación lineal y el isomorfismo se suelen llamar endomorfismo y automorfismo, respectivamente. 4.6 Condición necesaria y suficiente de monomorfismo Sea f : V W es una aplicación lineal. Entonces Demostración: ( Si f es inyectiva, entonces: luego Ker f = {0}. ( Inversamente, si Ker f = {0}, entonces luego f es inyectiva. f es monomorfismo Ker f = {0} f(u = 0 = f(u = f(0 = u = 0 f(u = f(v = f(u v = 0 = u v = 0 = u = v 4.7 Dimensión del subespacio imagen Sea f : V W es una aplicación lineal. Si B = {v, v 2,..., v n } es una base de V, entonces Im f = L ({f(v, f(v 2,..., f(v n } y, en consecuencia dim Im f dim V Demostración: Si w Im f, existe v = (x, x 2,..., x n B V tal que ( w = f(v = f x i v i = x i f (v i luego w L ({f(v, f(v 2,..., f(v n }. Inversamente, si w L ({f(v, f(v 2,..., f(v n }, entonces ( w = α i f(v i = f α i v i y v = α i v i V luego w Im f. 4.8 Determinación de una aplicación lineal Si B = {v, v 2,..., v n } es una base de V y {w, w 2,..., w n } son n vectores cualesquiera de W, entonces existe una única aplicación lineal f : V W tal que f(v i = w i, para i n

3 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 3 Demostración: Para cada v = n x iv i V se define f(v = x i w i Es fácil ver que f es aplicación lineal y que f(v i = w i, para i n. Además es única, pues si g : V W verifica la misma condición, entonces ( g(v = g x i v i = x i g(v i = x i w i = f(v 4.9 Observaciones Si f : R n R m viene definida por f(u = Au, A M m n (R, entonces Ker f son las soluciones del sistema homogéneo Au = 0. Si B = {e, e 2,..., e n } es la base canónica de R n, entonces Im f = L ({f(e, f(e 2,..., f(e n } = L ({c, c 2,..., c n } donde c i es la columna i-ésima de la matriz A. 4.0 Ejemplo 0 Si f : R 3 R 3 es la aplicación lineal asociada a la matriz A = 0 0, entonces Im f = L ({(, 0,, (0,,, (, 0, } = L ({(, 0,, (0,, } Ker f = {u : Au = 0} = L ({(, 0, } ya que 0 0 x = λ = y = z = λ, λ R 4. Matriz de una aplicación lineal Como se ha visto, una áplicación lineal f : V W queda unívocamente determinada por las imágenes de los elementos de una base B V = {v, v 2,..., v n } de V. Si B W = {w, w 2,..., w m } es una base de W, y m f(v j = a ij w i, j n

4 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 entonces la imagen de cualquier u = (x, x 2,..., x n BV V, expresada en la base B W de W, es m m f(u = f x j v j = x j f(v j = x j a ij w i = a ij x j w i j= j= j= n j= a jx j a a 2 a n x n j= = a 2jx j. = a 2 a 22 a 2n x = Au n j= a mjx j a m a m2 a mn x n donde las columnas de la matriz A M m n (R, llamada matriz de la aplicación respecto de las bases B V y B W, son las coordenadas en la base B W de las imágenes de los vectores de la base B V. Se suele indicar A = M (f, B V, B W. Fijadas las bases B V y B W, a cada aplicación lineal le corresponde una matriz y viceversa. En el caso particular de que V = W y que la base B en ambos es la misma, se indica simplemente A = M(f, B. 4.2 Ejemplo La expresión matricial de la aplicación lineal f : R 4 R 3 definida, respecto de las bases canónicas, por f (x, x 2, x 3, x 4 = (x + x 4, x + x 2 + x 3, x + x 2 + x 3 es Para hallar el núcleo, se resuelve el sistema: f(u = Au = 0 = x 0 0 f (x, x 2, x 3, x 4 = 0 x 2 x 0 3 x 4 { x + x 4 = 0 x + x 2 + x 3 = 0 = de donde Ker f = {(, 0,,, (0,,, 0}. La imagen es x = α x 2 = β x 3 = α β x 4 = α Im f = {(,,, (0,,, (0,,, (, 0, 0} = {(, 0, 0, (0,, } 4.3 Dimensiones de la imagen y el núcleo Si f : V W es una aplicación lineal, entonces dim(ker f + dim(im f = dim V Demostración: Sean dim V = n, dim(ker f = r n, y B = {v,..., v r } una base del Ker f B = {v,..., v r, v r+,..., v n } una base de V Entonces B 2 = {f(v r+,..., f(v n } es una base de Im f, ya que j=, α, β R

5 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 5 B 2 es un sistema de generadores: w Im f = w = f(v con v = x i v i V ( = w = f(v = f x i v i = B 2 es linealmente independiente: ( α i f(v i = f α i v i = 0 = i=r+ = i=r+ i=r+ x i f(v i = α i v i Ker f = i=r+ i=r+ x i f(v i α i v i = α i v i = 0 = α i = 0, i n = α i = 0, r + i n Por lo tanto dim(ker f + dim(im f = dim V. 4.4 Rango de una aplicación lineal r ( α i v i Si A es la matriz asociada a una aplicación lineal f : V W, respecto de las bases B V y B W, entonces, puesto que el núcleo es el espacio de soluciones del sistema Au = 0, se ha de cumplir que dim(ker f = dim V rg A = dim(im f = rg A Luego el rango de cualquier matriz asociada a f (respecto de bases cualesquiera, que se llama rango de la aplicación lineal, ha de ser constante e igual a la dimensión de la imagen. 4.5 Proposición Si f : V W es una aplicación lineal con dim V = dim W = n <, entonces Demostración: f es isomorfismo f es monomorfismo f es epimorfismo f es epimorfismo dim(im f = dim W = n dim(ker f = 0 f es monomorfismo 4.6 Composición de aplicaciones lineales Si f : U V y g : V W son aplicaciones lineales, entonces g f : U W es aplicación lineal, y M(g f, B U, B W = M(g, B V, B W M(f, B U, B V Demostración: Sean A = M(g f, B U, B W, B = M(g, B V, B W y C = M(f, B U, B V. Entonces (g f (u BU = g (f (u BU = g ((Cu BV = (BCu BW = A = BC

6 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM Ejemplo Si f : R 2 R 3 y g : R 3 R 2 vienen definidas por ( f(x, y = 0 x g(x, y, z = y ( x y z respecto de las bases canónicas, entonces g f : R 2 R 2 y f g : R 3 R 3 vienen definidas por ( ( ( ( ( 0 g f(x, y = 0 x 0 0 x 0 = = 0 0 y 0 y y ( x x y + z f g(x, y, z = 0 0 x y = 0 0 y = y 0 0 z z x + y z respecto de las bases canónicas. 4.8 Matriz de un cambio de base Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sean B = {v,..., v n } y B = { v,..., v n } dos bases de V. La aplicación que hace corresponder a cada vector u V en la base B el mismo vector expresado en la base B es la apl8icación identidad: Id : V B V B u B u B = Au B donde A M n n (R es la matriz cuya columna i-ésima es la imagen de v i, es decir las coordenadas de v i en la base B. Puesto que esta aplicación es un isomorfismo, rg A = n y la matriz A es regular. Su inversa A es la que pasa de las coordenadas respecto de B a las coordenadas respecto de B. Resumiendo: A = M(Id, B, B = ((v B,..., (v n B y Au B = u B A = M(Id, B, B = ( (v B,..., (v n B y A u B = u B 4.9 Ejemplo Si en R 3 se considera la base canónica B c = {e, e 2, e 3 } y la base B = {v = (, 0,, v 2 = (0,, 2, v 3 = (,, 0} entonces 0 A = M(Id, B, B c = 0 y u Bc = Au B 2 0

7 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 7 De esta manera, si u = (3, 2, B, entonces u Bc = 0 2 = 2 0 es decir u = (2,, Bc = (2,,. Además: 2 2 A = M(Id, B c, B = y u B = A u Bc 2 de donde e = (2,, B, e 2 = (,, B y e 3 = (, 2, B Cambios de base en una aplicación lineal Sea f : V W una aplicación lineal cuya matriz, respecto de las bases B V en V y B W en W, es A. Cuál es la matriz de f respecto de nuevas bases B V en V y B W en W? Sean P = M(Id V, B V, B V y Q = M(Id W, B W, B W las matrices del cambio de base en V y W, respectivamente. Observando el diagrama se deduce que V B V P V B V A W B W Q C W B W C = M ( f, B V, B W = Q AP 4.2 Ejemplo Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal que respecto de la base canónica B c tiene asociada la matriz x A = M (f, B c, B c = M (f, B c = 3, es decir f(x, y, z = 3 y z. Cuál es la matriz de f respecto de la base Se construye el diagrama y entonces B = {v = (, 0,, v 2 = (0,, 2, v 3 = (,, 0}? A (R 3 B c (R 3 B c P P (R 3 B C (R 3 B 0 donde P = M (Id, B, B c = C = M(f, B, B = M(f, B = P AP =

8 Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 8 es decir, que si u = (x, y, z B entonces su imagen, también expresada en la base B, es 2 4 x f(x, y, z = 2 3 y z 2. Cuál es la matriz de f respecto de la base B en el espacio inicial y la base canónica en el espacio final? Siendo I la matriz identidad, el nuevo diagrama, y la matriz buscada, son A (R 3 B c (R 3 B c P I (R 3 B D (R 3 Bc 4 de donde D = M(f, B, B c = IAP = AP =