Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10

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1 Álgebra y Matemática Discreta Sesión de Prácticas 10 (c) 2013 Leandro Marín, Francisco J. Vera, Gema M. Díaz 18 Nov Nov 2013

2 Núcleos e Imágenes Definición Sea f : V W una aplicación lineal. Se llama núcleo de f a los vectores v de V tales que f(v) = 0. Se llama imagen de f a los vectores w W tales que existe algún v V con f(v) = w. El núcleo de f, que se denota Kerf es un subespacio vectorial de V (del dominio de f). La imagen de f, que se denota Imf es un subespacio vectorial de W (del codominio de f). Estos conceptos ya los vimos asociados a matrices, puesto que no son mas que las soluciones de un sistema de ecuaciones homogéneo (el núcleo) y el espacio generado por las columnas de una matriz (la imagen).

3 Núcleos e Imágenes Cálculo del Núcleo y la Imagen de f [ ] Sea f : F 4 5 F2 5 la aplicación dada por la matriz Vamos a calcular bases respectivamente del núcleo y de la imagen. Lo primero es transponer la matriz y ampliarla con la identidad y reducirla por filas: Si reducimos por la fila de ceros, vemos que la imagen de f tiene como base las filas de la matriz identidad de tamaño 2. La imagen del núcleo tiene como base las filas que quedan en la esquina inferior derecha, que era lo que habíamos llamado f.

4 Núcleos e Imágenes Cálculo con sage F = matrix(gf(5),[[1,2,1,0],[2,1,1,3]]) M = F.transpose().augment(matrix(GF(5),4,4,1)) E = M.echelon_form() Las bases del núcleo y la imagen respectivamente son las que nos dan las matrices: E[:2,:2].transpose() E[2:,2:].transpose() Recordemos que hay que transponer porque las bases son las filas de las submatrices respectivas. Todos estos cálculos los hemos hecho muchas veces cuando definimos Ker e Im de una matriz en el tema anterior.

5 Núcleos e Imágenes Cálculo con sage II También podemos utilizar la clase linear_transformation para calcular núcleos e imágenes. El único problema es que tenemos que recordar que para sage la matriz de una aplicación lineal es la transpuesta de la que es para nosotros. F = matrix(gf(5),[[1,2,1,0],[2,1,1,3]]) f = linear_transformation(f.transpose()) f.kernel() Nos dirá Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 5 Basis matrix: [ ] [ ] que es la misma base que nosotros habíamos encontrado.

6 Núcleos e Imágenes Cálculo con sage II f.image() nos dará Vector space of degree 2 and dimension 2 over Finite Field of size 5 Basis matrix: [1 0] [0 1] Que también es la base que habíamos encontrado por el otro método. Esta forma de resolver el problema sólo tiene la dificultad de recordar que para sage, la matriz es la transpuesta que para nosotros.

7 Núcleos e Imágenes Cálculo con sage III Hay una tercera forma de hacerlo, en realidad no necesitamos pasar por la clase linear_transformation para hacer el cálculo, lo podemos hacer directamente con la matriz, PERO TRANSPONIENDO. F = matrix(gf(5),[[1,2,1,0],[2,1,1,3]]) F.transpose().kernel() nos dará el núcleo y la imagen vendrá dada por F.transpose().image()

8 Aplicaciones Inyectivas y Suprayectivas Definiciones Una aplicación lineal f : V W es inyectiva cuando tenemos la propiedad de que si u v entonces f(u) f(v). Esta propiedad es equivalente a que Kerf = 0. Una aplicación lineal f : V W es suprayectiva cuando para todo vector de w podemos encontrar al menos un vector v V tal que f(v) = w. Esta propiedad es equivalente a que Imf = W. Una aplicación lineal f : V W es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

9 Aplicaciones Inyectivas y Suprayectivas Inyectivas, suprayectivas y biyectivas con sage Podemos calcular núcleos e imágenes para comprobar las condiciones anteriores, pero sage también nos puede decir directamente si estas condiciones son ciertas o falsas a través de la clase linear_transformation. F = matrix(gf(2),[[1,1],[1,0]]) f = linear_transformation(f.transpose()) f.is_injective(); f.is_surjective(); f.is_bijective() en este caso nos dará verdadero a las tres condiciones.

10 Imagen y Antiimagen de Subespacios Cálculo de la Antiimagen de un Subespacio Sea f : V W una aplicación lineal, y sea L un subespacio de W. Llamaremos f 1 (L) al subconjunto de V formado por los vectores v tales que f(v) L. Este conjunto es un subespacio vectorial de V que se llama antiimagen de L por f. Supongamos que L nos lo dan en ecuaciones impĺıcitas, es decir L = Kerh para alguna aplicación lineal h : W K t. Entonces v f 1 (L) si y sólo si f(v) U = Kerh y por lo tanto hf(v) = 0. Es decir, que lo único que necesitamos es calcular el núcleo de la aplicación lineal hf, Ker(hf). ya que es igual a f 1 (L).

11 Imagen y Antiimagen de Subespacios Ejemplo Sea f : F 4 5 F3 5 la aplicación lineal dada por sea L el subespacio de F 3 5 dado en forma impĺıcita por [ ] L = Ker Calcula el subespacio f 1 (L). y

12 Imagen y Antiimagen de Subespacios Solución Empecemos tomando las matrices que nos definen f y el subespacio L. F = matrix(gf(5),[[1,2,1,1],[2,0,1,0],[1,4,2,1]]) L = matrix(gf(5),[[1,1,0],[2,1,0]]) S = L*F el subespacio f 1 (L) es el núcleo de la composición: [ f 1 (L) = Ker ] [ = Ker ]

13 Imagen y Antiimagen de Subespacios Cálculo de la Imagen de un Subespacio Sea f : V W una aplicación lineal, y sea U un subespacio de V. Llamaremos f(u) al subconjunto de W formado por los vectores w tales que existe u U con f(u) = w. Este conjunto se llama imagen de U por f. Supongamos que nos lo dan en ecuaciones paramétricas, es decir U = Imt para t : K n V una aplicación lineal. Entonces w f(u) si y sólo si existe u U = Imt tal que f(u) = w, pero eso es precisamente Im(ft), por lo tanto, lo único que tenemos que hacer es calcular la imagen de la aplicación lineal Im(ft).

14 Imagen y Antiimagen de Subespacios Ejemplo Sea f : F 4 2 F3 2 la aplicación lineal dada por la matriz y sea U el subespacio de F 4 2 generado por las columnas de la matriz Calcula el subespacio f(u)

15 Imagen y Antiimagen de Subespacios Solución Tomamos las matrices que definen f y el subespacio U como imagen de una aplicación lineal t y calculamos la imagen de la composición: F = matrix(gf(2),[[1,0,1,1],[1,0,1,0],[1,0,0,1]]) T = matrix(gf(2),[[1,1,0],[0,1,0],[1,1,1],[1,0,0]]) C = F*T f(u) = Im = Im

16 Diagonalización Polinomio Característico Sea A una matriz cuadrada de tamaño n. Llamaremos polinomio característico de la matriz A al determinante de xi A siendo x una variable indeterminada Por ejemplo, sea A = x La matriz xi A = 0 x 1 1 tiene como 3 0 x 1 determinante el polinomio característico, que es x 3 3x 2 6x +14.

17 Diagonalización Polinomio Característico en sage Es posible calcular el polinomio característico haciendo el determinante anterior, pero para poder calcular un determinante de este tipo, tenemos que definir matrices sobre el anillo de los polinomios: var( x ) R = PolynomialRing(QQ, x ) A = matrix(r,[[1,2,3],[0,1,-1],[3,0,1]]) I = matrix(r,3,3,1) p = det(x*i-a) Sin embargo es preferible utilizar las funciones internas para hacer el cálculo y mantener la matriz como una matriz sobre el cuerpo base. A = matrix(qq,[[1,2,3],[0,1,-1],[3,0,1]]) A. charpoly()

18 Diagonalización Valores Propios Llamaremos valor propio de una matriz cuadrada A a un valor λ para el cual existe algún vector v con Av = λv. Los vectores que cumplen esa condición se llaman vectores propios para el valor propio λ. Esos valores tienen la propiedad de que (λi A)v = 0 y eso sólo puede suceder si la matriz λi A tiene elementos no nulos en el núcleo. Es decir, que no puede ser invertible. Los valores λ para los cuales esta matriz no es invertible son precisamente las raices del polinomio característico. Los vectores propios se denominan también autovectores y los valores propios autovalores.

19 Diagonalización Valores Propios en sage Para factorizar el polinomio característico podemo usar el comando factor(a.charpoly()) A = matrix(qq,[[2,0,0],[2,2,-1],[2,0,1]]) factor(a.charpoly()) Nos daría (x - 1) * (x - 2)^2. Una forma más directa es poner simplemente: A. eigenvalues() que nos dará la lista con los valores propios [1, 2, 2].

20 Diagonalización Espacios Propios Para cada valor propio λ, tenemos un espacio propio asociado, que es el núcleo de λi A. Para calcularlo podemos calcular el núcleo, o en este caso particular, podemos utilizar el comando A. eigenspaces_ right() puesto que nosotros operamos las matrices por la derecha. Ese comando nos dará la siguiente información: [ (1, Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field User basis matrix: [0 1 1]), (2, Vector space of degree 3 and dimension 2 over Rational Field User basis matrix: [1 0 2] [0 1 0]) ]

21 Diagonalización Espacios Propios y Vectores Propios Lo que necesitamos es calcular una base formada por los vectores propios. Esa base se formará utilizando las bases de cada uno de los espacios propios. El comando A.eigenspaces_right() nos ha dado ya las bases, pero nos ha dado mucha más información. El comando A.eigenvectors_right() nos da una lista formada por los valores propios, los vectores correspondientes a cada vector propio y su número: [(1, [ (0, 1, 1) ], 1), (2, [ (1, 0, 2), (0, 1, 0) ], 2)]

22 Diagonalización Diagonalización Completa Lo que necesitamos es la base formada por los vectores propios y la forma diagonal es la matriz que tiene dichos valores propios en la diagonal, y el resto tiene ceros. Esa matriz la podemos sacar de los datos obtenidos anteriormente, o directamente nos la proporciona sage con un único comando: A. eigenmatrix_ right() Nos da como resultado las matrices D y B: ( [1 0 0] [0 1 0] [0 2 0] [1 0 1] [0 0 2], [1 2 0] ) que son precisamente las dos matrices que necesitamos para obtener B 1 AB = D, que es la diagonalización que buscamos.

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