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1 TRANSFORMACIONES LINEALES Transformaciones Conceptos básicos Gilberto Aguilar Miranda Instituto Tecnologico de Chihuahua : Una transformación lineal L de R n en R m (L : R n R m ) es una función que asigna a cada vector u de R n un único vector L(u) en R m, de modo que: 1 L(u + v) L(u) + L(v) para cada u y v en R n. 2 L(ku) kl(u), para cada u en R n y cada escalar k. 27 de mayo de 214 TRANSFORMACIONES LINEALES TRANSFORMACIONES LINEALES Sea L : R 3 R 2 definida como a L b c a + 1 b + c Iniciamos con dos vectores generales del dominio u 1 v 1 u u 2 y v v 2 u 3 v 3 Probar la propiedad T (u + v) T (u) + T (v), determinamos u + v y la imagen de u + v L(u + v) u 1 v 1 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 [ ] [ ] (u 1 + v 1 ) + 1 u 1 + v (u 2 + v 2 ) + (u 3 + v 3 ) u 2 + v 2 + u 3 + v 3 y un escalar c

2 TRANSFORMACIONES LINEALES TRANSFORMACIONES MATRICIALES Ahora la imagen de u y de v u1 + 1 L(u) u 2 + u 3 v1 + 1 L(v) v 2 + v 3 y por último su suma L(u) + L(v) [ (u1 + 1) + (v 1 + 1) (u 2 + u 3 ) + (v 2 + v 3 ) Se observa que L(u + v) L(u) + L(v), por lo que la transformación es no lineal. u 1 + v u 2 + v 2 + u 3 + v 3 ] Si A es una matriz de m n y x un n-vector, el producto Ax es un m-vector. Entonces, Ax b define una función f que asigna a cada vector x de R n un vector b de R m. La función se denota por f : R n R m y se define por Ax. A esta función se le llama transformación matricial. El vector f (x) es la imagen de x. Es decir, la matriz A representa una función con dominio en R n e imagen en R m. TRANSFORMACIONES MATRICIALES LAS TRANSFORMACIONES MATRICIALES SON LINEALES Sea f la transformación matricial definida por la matriz 2 4 A 3 1 o sea que, x es un 2-vector y su imagen f (x) es también un 2-vector. 2 La imagen de es 1 f () L : R n R m definida por la matriz A de m n y los vectores u y v en R n, de manera que L(u) Au, y L(v) Av Utilizando las propiedades de las matrices se tiene L(u + v) A(u + v) Au + Av L(u) + L(v) si k es un escalar L(ku) A(ku) kau kl(u)

3 Para una transformación de R n en R m, las columnas de la matriz de la transformación son la imagen de los vectores de una base del dominio (R n ). Considerar la transformación L : R 3 R 2, definida por x L y x + y 2z z Para la matriz de la transformación respecto a la base estándar (canónica), la imagen de los vectores de la base del dominio (R 3 ). 1 L L 1 L 1 La matriz de la transformación es Por ejemplo, la imagen del vector [2, 5, 4] T 2 L 5 4 Nota, comprobar con la definición

4 Ejercicio TRANSFORMACIONES UNO A UNO Determinar la matriz estándar de la transformación lineal x 1 x 1 2x 2 + 5x 3 L x 2 2x 1 + 3x 3 x 3 4x 1 + 2x 2 2x 3 Una transformación lineal L : R n R m es uno a uno si para todo par de vectores de R n, v 1 v 2 implica que L(v 1 ) L(v 2 ) NUCLEO DE UNA TRANSFORMACION NUCLEO DE UNA TRANSFORMACION El núcleo de una transformación L : R n R m es el subconjunto del dominio (R n ) que consta de todos los vectores v tales que la imagen de v es el vector nulo, o sea, L(v), y se denota por núcleo(l). Si la dimensión del núcleo es cero, la transformación es uno a uno. Para determinar los vectores que forman el núcleo, se obtiene una base para el subespacio de vectores del dominio que tienen como imagen el vector nulo (igualar la función de la transformación a cero y resolver). Si L : R 4 R 2 se define como x L y x + y z z + w w La dimensión del núcleo es 2, entonces la transformación no es uno a uno.

5 TRANSFORMACIONES SOBRE TRANSFORMACIONES SOBRE Una transformación T : R n R m es sobre R m si cada vector b del codominio es la imagen de al menos un vector x del dominio. Esta definición implica que al menos debe haber una solución para T (x) b, o sea, el rango de T es el codominio. Si el rango de la transformación es el mismo que el rango del codominio, la transformación es sobre. Recordar: para la transformación T : R n R m, un vector b está en rango(t) si existe un vector x en R n tal que T (x) b. El rango se obtiene de la función que define la transformación. : Sea L : R n R m la transformación lineal definida por L a 1 a 2 a 3 a 1 + a 3 a 1 + a 2 a 2 a 3 La dimensión del rango es 2, y la dimensión del codominio es 3, por lo tanto, la transformación no es sobre.

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