Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B.

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1 Una relación R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de A x B. Sea R una relación de un conjunto A en un conjunto B. Se dice que un elemento a de A está relacionado con un elemento b de B, y se denota arb, si el par (a,b) está en R. Una relación en un conjunto A es un subconjunto R de A x A. Sea A un conjunto y R una relación en A. i) R tiene la propiedad reflexiva si y sólo si ara para todo a en A ii) R tiene la propiedad simétrica si y sólo si arb implica que bra, para a, b en A. iii) R tiene la propiedad antisimétrica si y sólo si arb, bra implica que a = b, para a,b en A. iv) R tiene la propiedad transitiva si y sólo si arb, brc implica que arc, para a, b, c en A.

2 Se dice que una relación R en un conjunto A es de equivalencia si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Si R es una relación de equivalencia en A, la letra R se suele sustituir por el símbolo ~ ; de este modo, si a, b en A están relacionados, escribiremos a ~ b en lugar de arb. La clase de equivalencia de un elemento a en A es el subconjunto de A formado por todos los elementos de A que están relacionados con a, es decir, es el subconjunto de A definido por [a] = { b є A ; b ~ a } Se verifica que: i) a є [a] para todo a en A. ii) Dados a, b en A, [a] = [b] si y sólo si a ~ b. iii) Dados a, b en A, [a] [b] si y sólo si [a] [b] = Ø.

3 Se define el conjunto cociente de A por la relación de equivalencia ~, y se denota por A /~ como el conjunto cuyos elementos son todas las clases de equivalencia determinadas por la relación de equivalencia ~, es decir, A/~ = { [a] ; a є A } El conjunto cociente A/~ determina una partición del conjunto A pues la unión de todos sus elementos, es decir, la unión de todas las clases de equivalencia, es todo el conjunto A y cada par de elementos distintos de A/~ son disjuntos.

4 Se dice que una relación R en un conjunto A es de orden si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si R es una relación de orden en A, la letra R se suele sustituir por el símbolo de este modo, si a, b en A están relacionados, escribiremos a b (que se leerá "a menor o igual que b") en lugar de arb. Una relación de orden en un conjunto A se dice de orden total si dados dos elementos cualesquiera a, b en A, o bien es a menor o igual que b o bien es b menor o igual que a. En otro caso se dice que la relación es de orden parcial.

5 Sean A y B dos conjuntos. Una aplicación (o función) definida sobre A a valores en B (abreviadamente, una aplicación de A en B) es una relación de A en B para la cual cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B. Una aplicación f de A en B se denotará por f: A B. Sea f: A B una aplicación y sea a un elemento de A. Al único elemento b tal que a está relacionado con b se le llama imagen de a por f y se denota b = f(a). Si f: A B es una aplicación, se dice que A es el dominio de f y que B es el codominio de f. Se define el grafo de f como el subconjunto del producto cartesiano A x B dado por: grafo(f) = { (a, f(a)) ; a є A }

6 Sean f: A B y g: B C aplicaciones. Se define la aplicación composición de f con g y se denota por g o f (f compuesta con g) como la aplicación de A en C que a cada elemento a є A le asigna (g o f )(a) = g(f(a)) є C. Sea f: A B una aplicación. i) Se dice que f es inyectiva si a elementos distintos de A le corresponden imágenes distintas en B, es decir, si x, y є A, x y, entonces f(x) f(y) o bien si x, y є A, f(x) = f(y), entonces x = y ii) Se dice que f es sobreyectiva si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A, es decir, si Para todo b є B existe a є A tal que f(a) = b iii) Se dice que f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir, si Para todo b є B existe un único a є A tal que f(a) = b

7 Sean f: A B y g: B A dos aplicaciones tales que g o f = id A. Entonces f es inyectiva y g es sobreyectiva. Sean f: A B y g: B A dos aplicaciones tales que g o f = id A y f o g = id B. Entonces f y g son biyectivas. Sea ahora f: A B una aplicación biyectiva. Entonces, dado b є B, existe un único a є A tal que f(a) = b. Podemos por tanto definir una aplicación g: B A del siguiente modo: Dado b є B, g(b) se define como el único elemento a є A tal que f(a) = b. Esta aplicación g así definida verifica que g o f = id A y f o g = id B y por tanto, es biyectiva. A g se le llama aplicación inversa de la aplicación biyectiva f y se denota g = f -1.

8 Sea f: A B una aplicación y sean X un subconjunto de A e Y un subconjunto de B. Se define el conjunto imagen de X por f como el subconjunto de B dado por: f(x) = { f(x) ; x є X} Se define el conjunto imagen recíproca de Y por f como el subconjunto de A dado por f -1 (Y ) = { a є A ; f(a) є Y } Sean A y B dos conjuntos y sea ~ una relación de equivalencia en A. Una aplicación f: A/~ B se dice que está bien definida si la definición de f no depende del representante elegido en cada clase de equivalencia, es decir, si x, y є A, [x] = [y], entonces f([x]) = f([y]).

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