Aplicaciones abiertas y cerradas

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1 44 3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a conjuntos, y las únicas propiedades de aplicaciones que conocemos (aparte de la continuidad) no tienen que ver con espacios topológicos, sino con conjuntos, como son la inyectividad y la sobreyectividad. Vamos a dedicar este capítulo a estudiar propiedades de otras aplicaciones que tienen que ver con espacios topológicos, es decir, enunciadas en términos de abiertos. Definición Consideremos (X, T X ) e (Y, T Y ) e.t. y una aplicación f : X Y. Diremos que f es abierta (resp. cerrada) si A T X (resp. A C TX ), se tiene que f(a) T Y (resp. f(a) C TY ). La siguiente es una caracterización del concepto de aplicación abierta en términos de entornos: Proposición Sea f : X Y aplicación. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. x X y V x entorno de x X, se tiene que f(v x ) es entorno de f(x) Y, 2. La aplicación f es abierta. Ejercicio Sea f : X Y una aplicación y X un espacio pseudométrico (X, d). Demuestra que f es abierta si y sólo si para todo x 0 X existe ε > 0 tal que f(b d (x 0 ; δ)) es un entorno de f(x 0 ) para cualquier 0 < δ ε. Observaciones Todo homeomorfismo es abierto y cerrado. (La demostración aparece en la Proposición 3.7.4). 2. Si el punto y 0 Y es cerrado en Y, entonces la aplicación constante f y0 : X Y definida por f y0 (x) := y 0 x X es cerrada ya que si C = f y0 (C) = {y 0 } si C que en ambos casos son conjuntos cerrados en Y. 3. Utilizando aplicaciones afines es fácil comprobar que existen aplicaciones continuas que son abiertas y no cerradas (en general si es sobreyectiva y la dimensión del espacio final es menor que la del inicial) y cerradas que no son abiertas (en general siempre que la dimensión del espacio final es mayor que la del inicial). Por ejemplo:

2 TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS 45 a) La aplicación entre espacios topológicos usuales f 1 : R 2 R definida por f 1 (x, y) = x es abierta pero no es cerrada: Abierta. Usemos el Ejercicio Para ello sea ε > 0 cualquiera y definamos U := B d ((x, y); ε) = (x ε, x + ε) (y ε, y + ε) (Ejemplo ). Observa que f 1 (U) = (x ε, x + ε) es un entorno de x = f 1 (x, y). Así pues f 1 es aplicación abierta. No cerrada. Consideremos C := {(x, 1 ) x R \ {0}}, que un x cerrado por ser grafo de la aplicación continua g : R \ {0} R definida por g(x) = 1 con asíntota vertical en 0 (Ejercicio 3.4). x Como f 1 (C) = R \ {0} no es cerrado (ya que su complementario {0} no es abierto) hemos probado que f no es aplicación cerrada. Obsérvese que la misma demostración del apartado 3a prueba que la proyección f i : R n R, f ( x 1,..., x n ) := x i es abierta. b) La aplicación f 2 : R R 2 definida por f 2 (x) = (x, 0) no es abierta ya que f 2 (R) = R {0} no es abierto en R 2. En cambio sí es cerrada ya que, si C es un cerrado de R, entonces f 2 (C) es el grafo de la aplicación continua f : (C, T u ) (R, T u ), definida por f(x) := 0. Así pues f 2 (C) es un cerrado de C R (Ejercicio 3.15), pero como C y R son cerrados en R entonces f 2 (C) es de hecho cerrado en R 2 (Observación 3.3.6). 4. La composición de aplicaciones abiertas (resp. cerradas) es abierta (resp. cerrada). Esto es inmediato ya que, si f : X Y y g : Y Z son abiertas y U X es abierto en X, entonces f(u) Y es abierto en Y y por tanto g f(u) = g(f(u)) Z es abierto en Z (análogamente para aplicaciones cerradas). 5. Si las aplicaciones f 1 : A B 1 y f 2 : A B 2 (A R n, B 1 R n 1 y B 2 R n 2 ) son abiertas, entonces f : A B := B 1 B 2 es una aplicación abierta. Para ver esto basta tomar un abierto U A, entonces f(u) = f 1 (U) f 2 (U) que es abierto en B (Ejercicio 2.27). 6. La suma de aplicaciones abiertas definidas en subconjuntos de R n es una aplicación abierta. Es decir, supongamos que f 1 : A B y f 2 : A B son aplicaciones abiertas (A R n, B R m ) y que B + B B (es decir, que si b 1, b 2 B, entonces b 1 +b 2 B, por ejemplo si B = R m ) entonces la aplicación suma f : A B, está bien definida como f(x) := f 1 (x)+f 2 (x), y es una aplicación abierta. El motivo es el siguiente: si U A es abierto en A, entonces f(u) = f 1 (U) + f 2 (U) es abierto en R m (Ejercicio 1.5).

3 46 3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO Ejercicio Demuestra que una aplicación biyectiva entre espacios topológicos es cerrada si y solo si es abierta Ejercicio Demuestra que la aplicación f 3 de la Figura 1(a) no es abierta ni cerrada, mientras que f 4, de la Figura 1(b), es tanto abierta como cerrada. x = 0 x = 0 y = 1 y = 0 y = 0 x = 1 x = 1 (a) f 3 : R \ {±1} R x x2 x 2 1 Figura 1. (b) f 4 : R R x x 3 Ejercicio Sean (X, T X ) e (Y, T Y ) e.t. y sea f : X Y una aplicación. Supongamos que A X es abierto (resp. cerrado). Demuestra que si f es abierta (resp. cerrada), entonces f A es abierta (resp. cerrada). Ejercicio El hecho de que una aplicación sea abierta depende no sólo de la fórmula que define la aplicación sino también de los conjuntos inicial y final. Por ejemplo, demuestra que la aplicación f 1 : R R f 1 (x) := x 2 no es abierta, mientras que f 2 : R R 0 f 2 (x) := x 2 sí lo es. Ejercicio Sean (X, T X ) e (Y, T Y ) e.t. y sea f : X Y una aplicación. Supongamos que la familia {A λ } λ Λ de subconjuntos recubre X (es decir, λ Λ A λ = X). Denotemos por f λ := f A λ : A λ Y a la restricción. Demuestra que: 1. Si f λ es abierta λ Λ, entonces f es abierta. 2. Si Λ finito y f λ es cerrada λ Λ, entonces f es cerrada. Ejercicio Sea f : X Y una aplicación continua y abierta entre espacios topológicos. Demuestra que si B Y, entonces f 1 (B) = f 1 (B).

4 TEMA 7. APLICACIONES ABIERTAS Y CERRADAS 47 Ejercicio Denotemos por d := d 2 n la distancia euclídea en R n y sea d x0 : R n R 0 la aplicación distancia a x 0 R n (definida en el Ejercicio 2.20). Demuestra que d x0 es abierta. Ejercicio Utiliza los Ejercicios 3.39 y 3.40 para probar que B d (x 0 ; ε) = D d (x 0 ; ε), donde d := d 2 n es la distancia euclídea en Rn (ver Observación 3.4.5). Veamos la relación entre las aplicaciones abiertas, las cerradas y los homeomorfismos. Proposición Sea f : X Y una aplicación biyectiva. Son equivalentes: a) f es homeomorfismo. b) f es continua y abierta. c) f es continua y cerrada. Los homeomorfismos sobre la imagen se caracterizan también con aplicaciones abiertas. Proposición La aplicación f es un homeomorfismo sobre la imagen si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. f es inyectiva; 2. f es continua; 3. f es abierta sobre la imagen, es decir, U X abierto, f(u) es abierto en f(x). Ejercicio Demuestra que la aplicación f : R R 2 f(x) = (x, 0) es un homeomorfismo sobre la imagen. definida por Ejercicio Sea f : X Y homeomorfismo y A X, demuestra que f A : A f(a) (Ejercicio A.13) es también homeomorfismo. Ejercicio Considera el conjunto S de la Figura 2. Formalmente podemos ver esta figura de dos formas distintas. Una, como imagen de la siguiente aplicación definida a trozos: (2πx, 0) si x [ 1, 1 ] π π f(x) := (1 cos 1 x, sen 1) si x [ 1, + ) x π ( 1 + cos 1, sen 1 ) si x (, 1 ] x x π

5 48 3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO ( 2, 0) (2, 0) Figura 2. Figura ocho y otra, como subconjunto de R 2. En cada caso obtenemos una topología: a la de S como subespacio de R 2 la denotaremos por T u S, mientras que a la de S como imagen de f la denotaremos por ft u. Comprueba que T u S ft u.