CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

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1 CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando consideremos a una n-upla de R n como un punto en vez de como un vector, lo denotaremos mediante una latina mayúscula. En ocasiones, cuando nos convenga concebir al punto P como un vector, nos referiremos a él como el vector de posición del punto P. Gráficamente, un punto quedará representado solamente por el extremo de su vector de posición, obviando dibujar el resto de la flecha con origen en O. Es frecuente en matemáticas esta disociación conceptual entre objetos de la misma naturaleza. Por ejemplo, hemos visto en la sección precedente cómo el mismo ente algebraico, una matriz no singular, puede interpretarse como la matriz de un cambio de base o como la matriz de un automorfismo. (Y también surgen las matrices no singulares en los sistemas de Cramer, esto es, en los sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados.) Y con puntos y vectores sucederá lo propio: dependiendo de lo que proceda en cada caso, veremos en una n-upla, bien un vector, bien un punto. No obstante, hay que tener siempre en mente que en el espacio afín, que definiremos más adelante, no habrá distinción intrínseca entre puntos y vectores. Más aún, tampoco queremos que haya puntos con propiedades especiales o que se salgan de lo corriente. Desde ese punto de vista, el vector 0 es algo díscolo. Hay circunstancias que distinguen al 0 sobre el resto de sus compañeros de espacio: * El vector 0 es el único que se aplica en sí mismo por cualquier automorfismo. * Todo subespacio contiene al vector 0, y no hay ningún otro vector con 2

2 la misma propiedad. * El vector 0 es el único que no puede formar parte de ninguna base. Por eso se introducen los espacios afines, para meter en cintura al vector 0, de forma que todos los puntos (vectores) posean los mismos derechos y deberes. A ello nos dedicamos de inmediato. Un tipo particularmente interesante de transformaciones del plano que no son automorfismos son las traslaciones. Definición II.4 Escogido un a en R n, se define la traslación de vector a como la aplicación τ a : R n R n que aplica cada vector u R n en el vector τ a (u) = a + u. Consecuencias inmediatas de la definición son las siguientes: * La traslación de vector 0 es la identidad (τ 0 = Id). * Si a y b son dos vectores de R n, entonces τ a τ b = τ a+b. * La inversa de la traslación de vector a es la traslación de vector a (τ 1 a = τ a ). Figura II.12 3

3 De lo anterior debería deducirse que el conjunto de todas las traslaciones de R n constituye un grupo. Este grupo, además, es esencialmente idéntico al grupo R n con la operación suma de vectores. En la figura II.12 se representan los trasladados de diversos conjuntos de puntos del plano R 2 por una traslación de vector a. Conviene experimentar con ella a fin de asimilar una impresión intuitiva de las traslaciones. Pero el resultado más importante acerca de traslaciones lo enuncia el Teorema II.5 Dados cualesquiera puntos A y B de R n, existe una única traslación que transforma A en B. Demostración Si suponemos que hay alguna traslación τ a que aplica A en B, habría de verificarse que τ a (A) = B, es decir, a + A = B. El único vector a que satisface la igualdad anterior es a = A+B, donde ahora hemos considerado a A y a B como vectores, en vez de como puntos, para poder escribir la suma de vectores A + B. El teorema está ya demostrado pues τ a (A) = a + A = ( A + B) + A = B + 0 = B. A ese único vector a tal que τ a (A) = B se le denota por AB. En física, donde nuestra distinción entre puntos y vectores es análoga a la establecida allí entre vectores fijos y vectores libres, a AB se le denomina vector de origen A y extremo B y se representa gráficamente por una flecha con origen en A y extremo en B (véase la figura II.13). Figura II.13 Estamos ahora en condiciones de definir el espacio afín. 4

4 Definición II.5 Por espacio afín de dimensión n se entenderá al espacio vectorial R n, a cuyos elementos se les llamará puntos. De un subconjunto S de R n se dirá que es un subespacio afín (o simplemente un subespacio si no hay confusión), si es el trasladado de algún subespacio vectorial T de R n, en otras palabras, si existe un vector a R n tal que S es la imagen de T por medio de la traslación de vector a (S = τ a (T )). En tal caso, se define la dimensión dim(s) del subespacio afín S como la dimensión que tuviera el subespacio vectorial T. Al subespacio afín τ a (T ) también se lo denotará por a + T. Conviene que nos cercioremos de que la definición dada de dimensión de un subespacio afín es buena. Y es que podría en principio ocurrir que un subespacio afín S fuese al mismo tiempo el trasladado de dos subespacios T y T de distinta dimensión, en cuyo caso dim(s) no estaría determinada de forma única. Para ello, supongamos que S = τ a (T ) = τ a (T ), para ciertos vectores a y a y subespacios vectoriales T y T. De la igualdad a + T = a + T es fácil deducir que el vector u = a a pertenece tanto a T como a T. Tomemos un vector arbitrario v de T. Entonces u + v T y a + v = a + (a a) + v = a + (u + v) a + T. Pero a+t = a +T, luego a +v a +T implica que v T. Esto prueba que T T. Un razonamiento análogo demostraría la otra inclusión y T = T. 5

5 Figura II.14 En suma, un subespacio afín es el trasladado de un subespacio vectorial único. Lo que no es necesariamente único es el vector a que traslada un subespacio vectorial T en un subespacio afín S = τ a (T ). De hecho, para cualquier punto B de S de vector de posición b, se tiene que S = τ b (T ). (Véase la Figura II.14.) Los subespacios de un espacio afín se describen con facilidad en dimensiones pequeñas. Los subespacios afines de R n de dimensión 0 no son más que los trasladados del subespacio vectorial nulo, que consistía exclusivamente en el vector 0 (el origen de coordenadas). Aplicar una traslación τ a al vector 0 no es sino trasladar el origen al punto de vector de posición τ a (0) = a + 0 = a, es decir, los subespacios afines de R n de dimensión 0 son los puntos de R n. Los subespacios vectoriales de R n unidimensionales eran las que llamábamos rectas vectoriales. Todas ellas pasaban por el origen. Por medio de traslaciones, estas rectas vectoriales van a parar a rectas afines, las cuales no necesariamente atraviesan el origen de coordenadas. En definitiva, cualquier recta de R n, contenga o no al punto O de vector de posición 0, es una recta afín. E igual acontece con los planos afines, que son todos los planos, alojen o no al punto O. Así, el papel privilegiado que ostentaba el vector 0 en los espacios vectoriales lo pierde en los espacios afines donde hay democracia total entre los 6

6 puntos. Definición II.6 Por afinidad de R n se entenderá a la composición de un automorfismo f de R n con una traslación τ a (a R n ). Tras haber estudiado tanto a los automorfismos como a las traslaciones, no resultará difícil deducir algunas propiedades de las afinidades. Por ejemplo, como una afinidad α = τ a f no es sino la composición de un automorfismo f y de una traslación τ a, y ambos constituyen aplicaciones biyectivas, las afinidades son biyecciones. Los automorfismos pueden verse como el caso particular de las afinidades de vector traslación nulo, pues (τ 0 f)(p ) = 0 + f(p ) = f(p ), cualquiera que sea el punto P. Por tanto, las afinidades de R n contienen a los automorfismos. Y también contienen a las traslaciones pues basta tomar el automorfismo identidad para que τ a Id = τ a. Así pues, el conjunto de todas las afinidades de R n contiene tanto al grupo lineal GL n como al grupo de las traslaciones de R n. Teorema II.6 El conjunto de todas las afinidades de un espacio afín R n constituye un grupo denominado el grupo afín el cual será denotado por GA n. Demostración: Comencemos viendo que la composición de afinidades es otra afinidad. Sean α = τ a f y β = τ b g dos afinidades de GA n. Entonces, para cada punto P, se tiene (α β)(p ) = α(β(p )) = α(b + g(p )) = a + f(b + g(p )) = a + f(b) + f(g(p )) = (a + f(b)) + (f g)(p ), es decir, α β = τ a+f(b) (f g), y α β no es sino la afinidad resultante de componer el automorfismo f g con la traslación de vector a + f(b). Como la composición de aplicaciones es asociativa, solo resta comprobar que en GA n hay elemento neutro y que toda afinidad posee inversa en GA n. 7

7 Puesto que la identidad no es sino la composición del automorfismo identidad con la traslación de vector 0 (Id = τ 0 Id), la identidad es una afinidad y GL n tiene un elemento neutro, a saber, la identidad. Si α = τ a f es una afinidad, queremos visualizar una inversa suya dentro de GA n, es decir, alguna afinidad β = τ b g tal que α β = Id. De la regla para la composición de afinidades obtenida más arriba, se deduce que el vector b y el automorfismo g deberían satisfacer las condiciones a + f(b) = 0 y f g = Id, de donde se deduce que g = f 1 y b = f 1 ( a). En definitiva, α 1 = τ f 1 ( a) f 1 es otra afinidad al expresarse como composición de un automorfismo con una traslación. De nuevo podemos ahora definir lo que es la geometría afín: la parte de la matemática que se ocupa de los conceptos invariantes por afinidades. Figura II.15 Antes de proseguir y para familiarizarnos con las afinidades, ilustraremos algún caso concreto. Consideremos la afinidad σ = τ a f de R 2 de vector de traslación a = ( 1, 3) y automorfismo f, el cual transforma el vector e 1 en 8

8 el u 1 = ( 2, 1) y el e 2 en el u 2 = (2, 2) ( figura II.15), donde e 1 y e 2 son los vectores de la base canónica y u 1 y u 2 constituyen otra base de R 2. Entonces un punto dado P = (x, y) se transformará por f en el punto f(p ) = ( x y ) ( ) Así, si la imagen P = σ(p ) de P tiene coordenadas P = (x, y ), se tendrá (x, y ) = ( 1, 3) + ( x y ) Por ejemplo, la imagen de P = (1, 2) es σ(p ) = ( 1, 3) + ( 1 2 ) ( ) ( ) 2 1 = ( 1, 3) + ( 6, 3) = ( 7, 0). 2 2 Resulta ahora obvio que una afinidad α = τ a f de R n queda descrita por una ecuación del tipo α (y 1,..., y n ) = (a 1,..., a n ) + (x 1,..., x n ) o, de forma más compacta a 11 a a 1n a 21 a a 2n. a n1 a n2... a nn, α y = a + xa, donde x representa al vector fila de las coordenadas de un punto P, y al vector fila de las coordenadas de su imagen α(p ), a al vector de la traslación y A a la matriz no singular asociada al automorfismo f. Recuérdese que un automorfismo quedaba totalmente determinado dando la imagen de una base. Pero una afinidad surge de cocinar dos ingredientes: un automorfismo y una traslación. De ahí que sea necesario un dato más para determinar una afinidad, por ejemplo, la imagen del origen de coordenadas. En efecto, si de la afinidad α = τ a f se conocen las imágenes P 1 = α(u 1 ), P 2 = α(u 2 ),...,P n = α(u n ) de una base (u 1, u 2,..., u n ), y el transformado 9

9 O = σ(0) del vector 0, entonces la igualdad O = a + f(0) = a nos permite averiguar quién era a: el vector de posición del punto O. Con esta información tenemos suficiente para calcular f. Para ello, tomemos cualquier vector u i de la base. Como P i = α(u i ) = a + f(u i ) = O + f(u i ), entonces f(u i ) es el vector que traslada O a P i (teorema II.5), es decir, el vector O P i de origen O y extremo P i. Conocidas las imagen O P i de cada vector u i de la base, el automorfismo f queda totalmente determinado. Esto sugiere la siguiente Definición II.7 Un sistema de referencia afín de R n es una (n + 1) upla (P, u 1, u 2,..., u n ), donde P es un punto de R n y (u 1, u 2,..., u n ) constituye una base del espacio vectorial R n. De forma equivalente puede introducirse un sistema de referencia afín como una (n+1) upla de puntos (P, P 1, P 2,..., P n ) tal que la n upla (P P 1, P P 2,..., P P n ) es una base. El objeto de las referencias afines es análogo al de las bases, o sea, asignar coordenadas unívocas a cada punto del espacio. Y es que es evidente que fijado un sistema de referencia afín (P, u 1, u 2,..., u n ) en R n, cada punto X del espacio queda determinado de forma única por una n upla (x 1, x 2,..., x n ), denominadas coordenadas cartesianas de X, donde (x 1, x 2,..., x n ) son las coordenadas del vector P X en la base (u 1, u 2,..., u n ). Intuitivamente, elegir a (P, P 1, P 2,..., P n ) como sistema de referencia afín es como considerar a P como nuevo origen de coordenadas, tomar las rectas que pasan por P y por los P i como nuevos ejes coordenados y las distancias entre P y los P i como unidades de medida de longitud sobre esos ejes. Hay un sistema de referencia afín canónico, el integrado por el origen O de vector de posición nulo y por la base canónica. No es difícil ver que dado un sistema de referencia afín (P, u 1, u 2,..., u n ), y un punto X de vector fila de coordenadas x en el sistema de referencia canónico, las coordenadas cartesianas del mismo X respecto al primero de los sistemas se obtienen como imagen de x por la afinidad τ a f, donde τ a es la traslación que lleva O a P, y f el automorfismo que transforma cada e 1 de la 10

10 base canónica en el correspondiente u i. En la figura II.16 se ilustra un sistema de referencia afín con el que se recomienda experimentar. Figura II.16 11

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