1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades que se estudian dependen, generalmente, de dos o más variables independientes. Por tanto, necesitamos etender las ideas básicas del cálculo de funciones de una variable a funciones de varias variables. Esta lección la dedicaremos al cálculo diferencial de funciones que dependen de dos o tres variables y que toman valores en, llamados campos escalares, o bien en o 3, llamados campos vectoriales. DEFINICIÓN. Una función escalar de dos variables f :(, y) U es una regla f que asigna a cada punto (, y ) de un conjunto U un único número real f ( y, ). El conjunto U se llama dominio de definición de la función. Estas funciones también se llaman campos escalares de dos variables. Aunque trabajaremos esencialmente con funciones de dos variables, casi todo lo que digamos puede etenderse de manera natural a funciones de tres variables, es decir, funciones 3 f :(, y, z) U f(, y, z) definidas en subconjuntos de 3 que se llaman campos escalares de tres variables. EJEMPLO. Las funciones de varias variables más simples son los polinomios. Una función polinómica de dos variables (, y ) es una suma de monomios de la forma a y, donde m y n son núme- m n ros naturales y a es un número real no nulo. La suma m+ n se llama grado del monomio y se llama grado del polinomio al máimo grado de sus monomios. Por ejemplo, f y y y y y 3 (, ) = es un polinomio en dos variables de grado 5 y grado tres en tres variables. 3 f (, y, z) y yz z y = es un polinomio de Dominio de un campo escalar. De forma análoga a lo que sucede para funciones de una variable, entenderemos que el dominio de una función de varias variables, dada por una o varias fórmulas, es el conjunto más grande donde dichas fórmulas tienen sentido. EJEMPLO. ) El dominio de un polinomio de dos variables es todo el plano y el dominio de un polinomio de tres variables es todo el espacio 3. ) El dominio de la función f ( y, ) = log( + y) está formado por los puntos (, y ) del plano tales que + y > 0; es decir, es un semiplano. 3) El dominio de la función f(, y) = está formado por todos los puntos del plano salvo el + y origen de coordenadas, es decir, {(0,0)}. 4) El dominio de la función f ( y, ) = y está formado por los puntos (, y ) del plano tales que + y, es decir, el rombo con vértices en los puntos (,0), (0,), (,0) y (0, ).

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. 5) La función de tres variables f ( yz,, ) = log( y z) está definida para puntos (, yz, ) tales que + y + z < ; es decir, su dominio es el interior de la esfera unidad de 3. Los dominios de las funciones de una variable son, casi siempre, intervalos de. Los dominios de las funciones de varias variables pueden ser conjuntos más complicados, como acabamos de ver. A la hora de trabajar en dominios que son subconjuntos de o 3 será necesario distinguir entre puntos interiores al dominio y puntos de su frontera. DEFINICIÓN. Se dice que un punto P es interior a un conjunto U si eiste un círculo (o disco) centrado en P y de radio r > 0 que está contenido en U. Se dice que un punto P está en la frontera de un conjunto U si cualquier círculo centrado en P contiene puntos de U y puntos que no están en U. Los puntos de la frontera de U no son necesariamente puntos de U. Los puntos interiores de un conjunto constituyen el interior del conjunto y los puntos frontera constituyen la frontera del conjunto. Un conjunto se llama abierto si todos sus puntos son interiores y se llama cerrado si contiene a los puntos de su frontera. EJEMPLO. Sea U : = {(, y) : + y } el círculo de radio centrado en el origen de coorde- nadas. Entonces los puntos interiores a U son los puntos (, y ) que cumplen + y < y su frontera la forman los puntos (, y ) de la circunferencia unidad, es decir, los que verifican + y =. U = (, y) (0,0) : + y, entonces los puntos interiores a U son los { } Por otra parte, si { } puntos ( y, ) (0,0) que cumplen + y < y su frontera los puntos (, y ) de la circunferencia unidad junto con el origen de coordenadas. Por último, si U está formado por los puntos de una curva regular, entonces todos sus puntos son puntos frontera. De hecho, una curva regular no tiene puntos interiores. EJEMPLO. El dominio de la función = es el conjunto U = { y y } f ( y, ) y = y su in- Su frontera es el conjunto { y y = } terior es el conjunto {( y, ) : y > 0 }. : (, ) : 0. (, ) :, es decir, los puntos de la parábola y Observa la figura siguiente.

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. OBSERVACIÓN. Para trasladar las nociones de punto interior o frontera a 3 basta sustituir en la definición círculo por esfera (o bola). En los conjuntos que se emplean como dominios en la mayoría de los casos de interés (rectángulos, círculos, triángulos, semiplanos, sectores angulares, esferas, prismas, semiespacios, etc.), la noción de interior y de frontera coincide con lo que nos dice la intuición geométrica. Gráfica de un campo escalar de dos variables. Curvas de nivel. En el estudio de funciones reales de una variable f : I f( ), el análisis de su gráfica {(, f( )) : I} es un recurso útil a la hora de visualizar el comportamiento de la función. Algo similar ocurre para campos escalares de dos variables. DEFINICIÓN. Sea f :(, y) U una función escalar de dos variables. Su gráfica es el subconjunto de 3 constituido por aquellos puntos (, yz, ) tales que (, y) U y z = f(, z y), es decir, es el conjunto ( ) { yf y 3 y U },, (, ) :(, ). Este conjunto puede ser considerado como una superficie en 3 que se llama superficie de ecuación z = f(, y). 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. Normalmente no es fácil dibujar la gráfica de una función de dos variables; en ese caso, si queremos tener una idea de cómo es la función, podemos estudiar sus curvas de nivel. DEFINICIÓN. Sea f :(, y) U una función escalar de dos variables. Al conjunto de los puntos del plano donde la función f toma un valor constante c, es decir, se le llama curva de nivel. {( y) U f y = c}, : (, ), EJEMPLO. A continuación estudiaremos la gráfica y las curvas de nivel de f ( y, ) = + y. Es habitual, tal como ocurre en el caso de una variable cuando consideramos una función (o una curva) y = y ( ), denotar a la función f con la letra z. De esta forma, en lugar de z = f(, y) escribiremos simplemente z = z(, y) para representar la función que a cada punto (, y ) le asocia el valor zy (, ). En nuestro caso tendremos z = z(, y) = + y. Como sabes la gráfica de esta función es el paraboloide de ecuación z = + y. Observemos que la curva intersección de la superficie z =. Por otra parte, la curva inter- z = + y con el plano y = 0 (el plano OXZ ) es la parábola sección de la superficie z = + y con el plano 0 cortes de esta superficie con planos de ecuación z c, en el plano z = c con centro en el punto (0,0, c ) y radio. = (el plano OYZ ) es la parábola z = y. Los = siendo c > 0 constante, son circunferencias c Las curvas de nivel de esta función son circunferencias en el plano OXY centradas en el origen de coordenadas, que tiene por ecuación + y = c, siendo c cualquier constante positiva. Límites y continuidad de funciones de dos variables. La definición de límite de una función de varias variables es similar a la definición en el caso de una variable, pero con diferencias esenciales, como veremos a continuación. DEFINICIÓN. Sea f :(, y) U una función escalar y ( 0, y0) un punto del interior o de la frontera de U. Diremos que un número real L es el límite de f (, y ) cuando (, y ) tiende a ( 0, y 0), lo que escribimos lim f ( y, ) = L, si para cada ε > 0 eiste δ > 0 tal que f(, y) L < ε siempre que 0 < ( y, ) ( 0, y0) < δ. Esto significa que podemos obtener valores de f ( y, ) tan cercanos a L como queramos en todos los puntos que están suficientemente próimos a ( 0, y 0) pero son distintos de él. En lo que sigue no será necesario calcular muchos límites, pero si es muy conveniente que entiendas cómo se calculan los siguientes. Debes tener en cuenta que las propiedades de los límites de funciones de una variable que conoces son aplicables al caso de más variables. EJEMPLOS. ) Se verifica que lim = 0 y también que lim y = 0, puesto que, por una parte, ( y, ) (0,0) ( y, ) (0,0) tenemos que ( y, ) y, por otra, tenemos que y (, y). 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. ) Si f ( y, ) y gy (, ) son dos funciones que verifican f ( y, ) gy (, ) y entonces lim f(, y) = 0. lim gy (, ) = 0, 3) De los apartados anteriores sigue que lim lim y = = + y + y 0 ( y, ) (0,0) ( y, ) (0,0) puesto que + y = + y = = y, análogamente, también se verifica que y + y y. y y y y 4) Puesto que + y = + y = = del segundo apartado de este ejemplo, deducimos que lim y = 0. + y ( y, ) (0,0) y, 5) Por último, de forma similar a cómo hemos calculado los límites anteriores, se establece que ( a) ( y b) ( a)( y b) lim = lim = lim = 0. ( a) + ( y b) ( a) + ( y b) ( a) + ( y b) ( y, ) ( ab, ) ( y, ) ( ab, ) ( y, ) ( ab, ) (, y ) U, el dominio de definición de f, se dice que f es continua en ( 0, y 0) lim f ( y, ) = f(, y). Se dice que f es una función continua cuando es continua en DEFINICIÓN. Si 0 0 cuando 0 0 cada punto de su dominio de definición. Las propiedades de los límites de las sumas, productos, composiciones, etc., de funciones de dos variables son similares a las de los límites de funciones de una variable y, por tanto, lo mismo ocurre con la continuidad. En particular, los polinomios son funciones continuas en y la composi- ción de funciones continuas es continua, así que casi todas las funciones que se utilizan en la y práctica resultan ser continuas. Por ejemplo, la función f(, y) = e + es continua y también lo es la función gy (, ) = log( + y), claro está, en su dominio de definición. EJERCICIO. Para cada una de las siguientes funciones determina su dominio, encuentra su rango, describe sus curvas de nivel, determina la frontera del domino especificando si el domino es un conjunto abierto, cerrado (o ninguno de los dos). a) f ( y, ) = y, b) f ( y, ) = y, c) f y y y d) f ( y, ) = y, e) f ( y, ) = y, f) f(, y) =, (, ) = 4 + 9, 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0. g) j) f(, y) =, h) 6 y f y y (, ) 9, = i) f y= ( y ) (, ) log, y y f(, y) = e, k) f ( y, ) = arcsen( y ), l) f(, y) = arctan. EJERCICIO. Dibuja esquemáticamente la gráfica y las curvas de nivel de las siguientes funciones: a) d) g) f ( y, ) = y, b) f ( y, ) = 4 y, c) f ( y, ) = 4 y, f ( y, ) = + y, e) f(, y) =, f) f(, y) =, + y + y y f(, y) = e. 6