CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

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1 UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRÁCTICO 4 Campos escalares Límite continuidad Página de Cálculo Avanzado Ingeniería Area Matemática Cálculo Avanzado

2 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 DEFINICIONES Y RESULTADOS Campo escalar Llamaremos campo escalar a cualquier función f : R n R. Conjuntos de nivel Sean f : A R n R c R. El conjunto de nivel de valor c se define como f (c) = { A / f () = c} NOTA: para n = se llama curva de nivel para n = 3 superficie de nivel. El siguiente gráfico muestra el gráfico de una función f : R R el plano horizontal z = k la curva D, su intersección con el plano z = k C, la curva de nivel k de f z gráfico de f Plano z=k D C D C : curva intersección del gráfico de f con el plano z=k : curva de nivel k de f Cabe mencionar que C es la proección de D sobre el plano. Es conveniente recordar que la curva de nivel de una función está contenida en su dominio, no en su gráfico. Una situación similar se presenta con las superficies de nivel de una función F : R 3 R. Claro que en ese caso no la podríamos representar gráficamente debido a que el gráfico de F está en R 4.

3 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 Conceptos topológicos BOLA ABIERTA DE CENTRO a Y RADIO r > : B(a, r) = { R n / a < r} BOLA CERRADA DE CENTRO a Y RADIO r > : B(a, r) = { R n / a r} CONJUNTO ACOTADO: si está contenido en B(, r) para algún r > ENTORNO DE a R n : es un conjunto E que contiene una bola abierta centrada en a ENTORNO REDUCIDO DE a R n : es un conjunto E = E {a}, donde E es un entorno de a CONJUNTO ABIERTO: es un conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos. Es decir, un conjunto A R n es abierto si para cada a A eiste un r > tal que B(a, r) A. A a B(a,r) PUNTO INTERIOR: a A es un punto interior de A si eiste un entorno de a contenido en A. INTERIOR DE UN CONJUNTO: A = {a A / a es un punto interior de A} CONJUNTO CERRADO: es un conjunto cuo complemento es un conjunto abierto. Es decir, un conjunto A R n es cerrado si para cada a R n A eiste un r > tal que B(a, r) A =. B(a,r) a n R -A A FRONTERA: A = { R n / B(, r) A B(, r) (R n A) para todo r > } B(,r) A R n-a

4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 3 ADHERENCIA O CLAUSURA: A = A A CONJUNTO COMPACTO: es un conjunto cerrado acotado. CONJUNTO ARCOCONEXO: es un conjunto cuos puntos se pueden unir mediante caminos cuas trazas están contenidas en él. A B a g b f la imagen de f está contenida en A A es arcoconeo cualquier camino g que una 'a' con 'b' tiene parte de su imagen fuera de B B no es arcoconeo CONJUNTO CONEXO: un conjunto abierto se dice coneo si es arcoconeo. CONJUNTO CONVEXO: un conjunto se dice conveo si el segmento que une dos cualesquiera de sus puntos está totalmente contenido en él. CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO: un conjunto abierto se dice simplemente coneo si toda curva cerrada contenida en el conjunto se puede contraer a un punto sin salir de él. A C A C La curva C puede contraerse a un punto sin necesidad de salir del conjunto A A es simplemente coneo en R La curva C, por rodear el 'agujero', no puede contraerse a un punto sin pasar por el agujero; saliendo en consecuencia de A A no es simplemente coneo en R

5 4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 A C A C A es la esfera sólida La curva C, incluida en A puede contraerse a un punto sin necesidad de salir de la esfera A A es simplemente coneo en R3 A es el cilindro La curva C, incluida en A no puede contraerse a un punto sin salir del cilindro A A no es simplemente coneo en R 3 Proposición Sean a R n r >, entonces (i) B(a, r) es un conjunto abierto (ii) B(a, r) es un conjunto cerrado (iii) B(a, r) = B(a, r) (iv) B(a, r) = B(a, r) = { R n / a = r} Proposición Sea A R n. Se tiene (i) A es un conjunto abierto (ii) A es abierto si sólo si A = A Proposición Sea A R n. Se tiene (i) A es un conjunto cerrado (ii) A es cerrado si sólo si A = A

6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 5 Función acotada Sea f : A R n R. Se dice que f es acotada si eiste M > tal que f () M para todo A. Dicho de otro modo, f es acotada si su imagen es un conjunto acotado. Límite Continuidad Límite Sean f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A l R, decimos que el límite de f cuando tiende a a es l lo notamos lím f () = l cuando para todo ε > eiste δ > a tal que cada vez que A < a < δ resulta f () l < ε Proposición (Unicidad del límite) Sea f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A. Si lím f () = l lím f () = l, a a entonces l = l. Proposición Sea f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A α R. Si lím a f () = l > α (resp. l < α), entonces f () > α (resp. f () < α) para en un entorno de a, a. Proposición Sean f, g : A R, A R n abierto, a A α, β R. Entonces, si eisten l, l R tales que lím f () = l lím g() = l a a (i) lím a (α f + βg)() = αl + βl (ii) lím a f ()g() = l l (iii) lím a f () g() = l l (si l ) Proposición Sean f, g : A R, A R n abierto, a A tales que lím a g() = f es acotada en un entorno reducido de a. Entonces, lím f ()g() = a

7 6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 Proposición (límite de una composición) Sean f : A R, A R n abierto a A tales que lím a f () = l. Entonces, (i) si la función h está definida en un entorno del número l, toma valores en R satisface lím l h() = L, se tiene lím a h f () = L (ii) si la traectoria g está definida en un entorno del número t satisface lím t t g(t) = a, se tiene lím t t f g(t) = l Corolario Si g : (.) R n g : (, ) R n satisfacen que lím t g (t) = a = lím t g (t) lím t entonces no eiste lím a f (). f g (t) = l l = lím t f g (t) Ejemplo Consideremos la función f (, ) =. Para todo (a, b) (, ) esta función tiene límite 4 + a b vale dado que se cumplen las hipótesis de una proposición anterior. Supongamos a 4 + b ahora que queremos analizar lím f (, ) (,) (,) Como tanto el denominador como el numerador tienden a cero no contamos con ningún resultado que nos permita asegurar siquiera que eiste. Con el objeto de analizar cómo se comporta el gráfico de f cerca del origen nos vamos a acercar a este punto por dos curvas g (t) = (t, t) t (, ) g (t) = (t, t ) t (, ) imagen de g imagen de g

8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 7 Si calculamos los valores de f sobre estas curvas, cuas imágenes están en su dominio, las subimos a su gráfico nos quedan determinadas dos curvas en el espacio c (t) = (t, t, f (t, t)) c (t) = (t, t, f (t, t )) Miremos ahora sus imágenes junto con el gráfico de f imagen de g z / imagen de c imagen de c imagen de g Rotando un poco esta figura uno puede tener una mejor idea del gráfico de f De frente Desde arriba Queda claro a partir de aquí que la última coordenada de c (t) se acerca a cuando t pero en cambio la última coordenada de c (t) se mantiene constante en el valor por lo tanto se acerca a ese valor cuando t. Esto nos confirma que la función f no tiene límite cuando (, ) (, ). Hubíeramos llegado fácilmente a esta conclusión calculando f (g (t)) = f (t, t) = t3 t 4 + t = t t + f (g (t)) = f (t, t ) = t4 t 4 =

9 8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 pues entonces lím t f (g (t)) = = lím t f (g (t)) Observaciones. si reemplazamos g por cualquier otra recta que pase por el origen obtenemos que f (g (t)) sigue tendiendo a cero. la razón de haber elegido la parábola g es que de esa forma logramos equiparar los grados de de que están descompensados en la fórmula de la función. Sucesiones en R Una sucesión en R es una función a : N R A cada número natural k le asigna un par de números reales a(k) = ( k, k ). Usualmente se escribe en lugar de a(k). a k = ( k, k ) Por lo tanto, dar una sucesión en R es dar un par de sucesiones ( k ) e ( k ) en R. Decimos que la sucesión (a k ) converge al vector v si a k v cuando k tiende a. Las propiedades vistas, que vinculan a la norma de un vector con los módulos de sus componentes, nos permiten afirmar que una sucesión (a k ) en R converge a un vector v si sólo si cada una de sus componentes tiende a la respectiva componente de v. Proposición Sea f : A R, A R abierto a A. Entonces, lím a f () = l si sólo si f ( n, n ) l para toda sucesión ( ( n, n ) ) A, ( n, n ) a, que converge a a. NOTA: lo mismo vale para A R m (m N).

10 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 9 Corolario Sean (( n, n )), ((u n, v n )) dos sucesiones que convergen al punto (a, b) R para las cuales f ( n, n ) l f (u n, v n ) l con l l. Entonces no eiste el límite de f cuando (, ) (a, b). NOTA: lo mismo vale en R m (m N). Continuidad Sea f : A R, A R n abierto. Se dice que f es continua en a A si lím a f () = f (a). Se dice que f es continua en A si es continua en cada uno de sus puntos. Proposición Sean f, g : A R n R continuas en a A α, β R. Entonces, (i) α f + βg es continua en a (ii) f g es continua en a (iii) f g es continua en a siempre que g(a) (iv) si h : ( f (a) ε, f (a) + ε) R es continua en f (a), h f es continua en a. Proposición Sea T : R n R una transformación lineal. Entonces, (i) Eisten escalares a,..., a n R tales que: T(,..., n ) = a + + a n n. (ii) Eiste A R tal que T() A para todo R n (iii) T() T( ) A para todo, R n (iv) Toda transformación lineal, asociada a una matriz no nula, es un polinomio de grado con todos sus monomios de grado (v) T es una función continua Teorema Sea f : A R n R una función continua A un conjunto compacto. Entonces, (i) f es acotada (ii) eisten, A tales que f ( ) f () f ( ) para todo A; es decir, f alcanza un valor máimo absoluto f ( ) un valor mínimo absoluto f ( ) en el conjunto A.

11 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 PROBLEMAS. Para cada una de las siguientes funciones, hallar su dominio gráficarlo a) f (,, z) = b) f (,, z) = + + z + c) f (,, z) = d) f (, ) = ln( ) e) f (, ) = (3 + ) + ( ) f) f (, ) = + sen g) f (,, z) = arctg + π h) f (,, z) = arcsen(9 ) ln(z ) + cos i) f (,, z) = z j) f (,, z) = ( ) sen z. Una empresa petroquímica está diseñando un depósito cilíndrico con etremos semiesféricos para utilizarlo en el transporte de sus productos. Epresar el volumen del depósito en función de su radio r la longitud h de su porción cilíndrica. 3. Para cada una de las siguientes funciones (i) clasificar sus curvas de nivel graficar tres de cada tipo (ii) para cada k elegido, graficar la intersección de su gráfico de con el plano z = k (iii) utilizando la información obtenida en (ii) esbozar su gráfico a) f (, ) = b) f (, ) = 3 c) f (, ) = + d) f (, ) = + e) f (, ) = 3 f) f (, ) = e g) f (, ) = sen En los casos: d), f) g) intersecar el gráfico de f con horizontales para.

12 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 4. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones a) f (,, z) = + + z b) f (,, z) = + + z c) f (,, z) = z (considerar niveles:, ) d) f (,, z) = z e) f (,, z) = z + 5. a) Se sabe que el punto P = (, ) está en una curva de nivel de la función g(, ) = sen(π) ( ). Cuál es la ecuación de esta curva? b) Se sabe que el punto P = (,, ) está en una superficie de nivel de la función h(,, z) = sen(z) z 3. Cuál es la ecuación de esta superficie? 6. a) La intensidad E de un campo eléctrico en el punto (,, z) viene dada por E(,, z) = k + z donde k es una constante positiva. Describir las superficies de nivel de E. b) Una fina placa metálica está situada en el plano. La temperatura T (en grados centígrados) en el punto (, ) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. (i) Epresar T en función de e (ii) Describir las curvas de nivel dibujar un conjunto representativo. NOTA: las curvas de nivel de T se llaman isotermas. Los puntos de una isoterma tienen la misma temperatura. (iii) Suponer que la temperatura en el punto (, ) es 5 o. Cuál es la temperatura en el punto (4, 3)? c) La fórmula V(, ) = k r donde k r son constantes positivas, da el potencial eléctrico (en voltios) en el punto (, ) del plano. Describir las curvas de nivel de V dibujar un conjunto representativo. NOTA: las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Todos los puntos de una curva equipotencial tienen el mismo potencial eléctrico. 7. Encontrar la relación entre los elementos de los tres grupos siguientes: funciones, mapas de curvas de nivel gráficos. FUNCIONES. f (, ) = + 4. f (, ) = sen sen 3. f (, ) = e ( + ) /

13 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 4. f (, ) = 3 5. f (, ) = cos( + ),, 6. f (, ) = sen, π CURVAS DE NIVEL a b c d. e

14 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 3 f GRÁFICOS A B C D

15 4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 E F Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que son abiertos a) A = {(, ) R / < + < 7} b) B = {(, ) R / + > } c) C = {(, ) R /, } d) D = R {(, )} Alguno de estos conjuntos es simplemente coneo? Y coneo? 9. Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que son cerrados a) A = {(, ) R /, } b) B = {(, ) R / + } c) C = {(, ) R / = o = } Alguno de estos conjuntos es compacto?. Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que no son abiertos ni cerrados a) A = {(, ) R / < + 7} b) B = {(, ) R /, = }. a) Comprobar gráficamente que el parelelepípedo P dado por: < <, < <, < z < 3 es un conjunto abierto. b) Calcular la adherencia de P c) Es P simplemente coneo?

16 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 5. a) Determinar cuáles de las siguientes regiones planas son simplemente coneas (i) A = {(, ) R / + < 3} (ii) B = {(, ) R / < + < 3} (iii) C = {(, ) R / < + < 3} (iv) D = {(, ) R / + > 3} (v) E = {(, ) R / > } b) Determinar cuáles de las siguientes regiones del espacio son simplemente coneas cuáles son sólo coneas (i) A = {(,, z) R 3 / + + z < 3} (ii) B = {(,, z) R 3 / < + + z < 3} (iii) C = {(,, z) R 3 / z > + } (iv) D = {(,, z) R 3 / + = 3} (v) E = {(,, z) R 3 / < + + z < 3} 3. Probar las siguientes afirmaciones usando la definición de límite a) lím 4 7 = b) lím = 4 c) lím = d) lím cos + + = Sugerencia: si no recuerda este tema, consulte la sección Apuntes de la página de la materia. 4. Hallar en cada caso un par de sucesiones que muestren que las siguientes funciones no tienen límite cuando tiende al punto indicado a) sen cuando + b) sen cuando c) arctg + sen cuando 5. Se sabe que f no tiene límite cuando. Determinar en cada caso si eiste el límite. Justificar la respuesta calcular el límite cuando corresponda. a) g() = sen + f () b) g() = f () (suponiendo en este caso que f es acotada cerca del origen) c) g() = sen f () d) g() = f () ( qué propiedad de le permitión llegar a esa conclusión?) + + e) g() = f () h() (suponiendo que h tampoco tiene límite cuando )

17 6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 6. Probar usando la definición que a) lím (,) (,) + = b) lím = 9 (,) (,9) sen( ) c) lím = (,) (,) + Sugerencia: consulte la sección Apuntes de la página de la materia. 7. Utilizando resultados mencionados en la parte teórica de esta práctica el valor de ciertos límites de funciones de una variable justificar las siguientes afirmaciones a) Sea f : R R tal que lím f (, ) =. Entonces, (,) (a,b) sen( f (, )) lím (,) (a,b) f (, ) = b) Sea f : R R tal que lím f (, ) = +. Entonces, (,) (a,b) ln( f (, )) lím (,) (a,b) f (, ) = c) Sea f : R R tal que lím f (, ) =. Entonces, (,) (a,b) e f (,) lím (,) (a,b) f (, ) = d) Calcular sen( + ) lím, lím (,) (,) + (,) (,) ( + ) ln( + ), lím e En cada uno de los casos siguientes (i) Observar cuidadosamente el gráfico de f (, ) determinar si eiste lím f (, ) (,) (a,b) (ii) En los casos en que no eista dicho límite, dibujar sobre el gráfico dos curvas que ilustren ese hecho

18 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 7 z a) f (, ) = + (a, b) = (, ) z (,,) b) f (, ) = (a, b) = (, ) sen 3 + ( ) z c) f (, ) = + (a, b) = (, )

19 8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 z d) f (, ) = + (a, b) = (, ) z (-,,) e) f (, ) = (a, b) = (, ) cos( + π/) ( + ) + (-,,) (-,,-) sen( ) f) f (, ) = (a, b) = (, ) (a, b) = (, ) z = z= 9. Calcular el dominio de las siguientes funciones analizar la eistencia de límite en el origen: a) f (, ) = + z b) f (,, z) = + + z

20 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 9 c) f (, ) = + sen + 7 d) f (, ) = e) f (, ) = cos f) f (, ) = cos g) f (, ) = Sugerencia: considere las sucesiones (e n, n ) ( n, n ) sen( + ) h) f (, ) = + sen( + ) i) f (, ) = + cos( + ) j) f (, ) = ( + ) k) f (, ) = l) f (, ) = + m) f (, ) = n) f (, ) = 4 sen o) f (, ) = p) f (, ) = q) f (, ) = sen( ) + Sugerencia: sen t t para todo t R. r) f (,, z) = sen( + z 4 ) + + z s) f (,, z) = sen( + z ) + + z t) f (, ) = + + u) f (, ) = + + v) f (, ) = + + w) f (, ) =

21 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 ) f (, ) = + z ) f (,, z) = + + z + 9, (, ) (, ) z) f (, ) = 4, (, ) = (, ). Determinar si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados a) f (, ) = arctg() + sen z en (,, 3) + si (, ) (, ) b) f (, ) = + + en (, ) en (, ) si (, ) = (, ) sen( ) si (, ) (, ) c) f (, ) = + si (, ) = (, ) en (, ) en (, 3) sen( ) si (, ) (, ) d) f (, ) = + si (, ) = (, ) en (, ) en (, 3) sen( ) si e) f (, ) = si = en (a, a), a R cos si f) f (, ) = si = en (, ) en (, ) cos si g) f (, ) = si = en (, ) en (, ) si (, ) (, ) h) f (, ) = 4 + si (, ) = (, ) en (, ). Dada la función f (, ) = sen( ) sen( ), a) calcular su dominio b) definirla si es posible en R Dom( f ) de modo que resulte continua en todo R.. Hallar el dominio los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones a) f (, ) = + 4 sen( ) si b) f (, ) = si =

22 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 sen( ) si c) f (, ) = si = ln( + ) si (, ) (, ) d) f (, ) = si (, ) = (, ) e) f (, ) = ln( + ) ln( + ) si (, ) (, ) f) f (, ) = si (, ) = (, ) 3. Hallar el dominio los puntos de contiuidad de las siguientes funciones + si a) f (, ) = + + si < si b) f (, ) = si < + si c) f (, ) = + + si < Sugerencia: graficar f + si ( ) + 4 d) f (, ) = + 3 si ( ) + > 4 Sugerencia: graficar f + si < e) f (, ) = 3 si

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