CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA
|
|
- David Toro Páez
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRÁCTICO 4 Campos escalares Límite continuidad Página de Cálculo Avanzado Ingeniería Area Matemática Cálculo Avanzado
2 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 DEFINICIONES Y RESULTADOS Campo escalar Llamaremos campo escalar a cualquier función f : R n R. Conjuntos de nivel Sean f : A R n R c R. El conjunto de nivel de valor c se define como f (c) = { A / f () = c} NOTA: para n = se llama curva de nivel para n = 3 superficie de nivel. El siguiente gráfico muestra el gráfico de una función f : R R el plano horizontal z = k la curva D, su intersección con el plano z = k C, la curva de nivel k de f z gráfico de f Plano z=k D C D C : curva intersección del gráfico de f con el plano z=k : curva de nivel k de f Cabe mencionar que C es la proección de D sobre el plano. Es conveniente recordar que la curva de nivel de una función está contenida en su dominio, no en su gráfico. Una situación similar se presenta con las superficies de nivel de una función F : R 3 R. Claro que en ese caso no la podríamos representar gráficamente debido a que el gráfico de F está en R 4.
3 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 Conceptos topológicos BOLA ABIERTA DE CENTRO a Y RADIO r > : B(a, r) = { R n / a < r} BOLA CERRADA DE CENTRO a Y RADIO r > : B(a, r) = { R n / a r} CONJUNTO ACOTADO: si está contenido en B(, r) para algún r > ENTORNO DE a R n : es un conjunto E que contiene una bola abierta centrada en a ENTORNO REDUCIDO DE a R n : es un conjunto E = E {a}, donde E es un entorno de a CONJUNTO ABIERTO: es un conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos. Es decir, un conjunto A R n es abierto si para cada a A eiste un r > tal que B(a, r) A. A a B(a,r) PUNTO INTERIOR: a A es un punto interior de A si eiste un entorno de a contenido en A. INTERIOR DE UN CONJUNTO: A = {a A / a es un punto interior de A} CONJUNTO CERRADO: es un conjunto cuo complemento es un conjunto abierto. Es decir, un conjunto A R n es cerrado si para cada a R n A eiste un r > tal que B(a, r) A =. B(a,r) a n R -A A FRONTERA: A = { R n / B(, r) A B(, r) (R n A) para todo r > } B(,r) A R n-a
4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 3 ADHERENCIA O CLAUSURA: A = A A CONJUNTO COMPACTO: es un conjunto cerrado acotado. CONJUNTO ARCOCONEXO: es un conjunto cuos puntos se pueden unir mediante caminos cuas trazas están contenidas en él. A B a g b f la imagen de f está contenida en A A es arcoconeo cualquier camino g que una 'a' con 'b' tiene parte de su imagen fuera de B B no es arcoconeo CONJUNTO CONEXO: un conjunto abierto se dice coneo si es arcoconeo. CONJUNTO CONVEXO: un conjunto se dice conveo si el segmento que une dos cualesquiera de sus puntos está totalmente contenido en él. CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO: un conjunto abierto se dice simplemente coneo si toda curva cerrada contenida en el conjunto se puede contraer a un punto sin salir de él. A C A C La curva C puede contraerse a un punto sin necesidad de salir del conjunto A A es simplemente coneo en R La curva C, por rodear el 'agujero', no puede contraerse a un punto sin pasar por el agujero; saliendo en consecuencia de A A no es simplemente coneo en R
5 4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 A C A C A es la esfera sólida La curva C, incluida en A puede contraerse a un punto sin necesidad de salir de la esfera A A es simplemente coneo en R3 A es el cilindro La curva C, incluida en A no puede contraerse a un punto sin salir del cilindro A A no es simplemente coneo en R 3 Proposición Sean a R n r >, entonces (i) B(a, r) es un conjunto abierto (ii) B(a, r) es un conjunto cerrado (iii) B(a, r) = B(a, r) (iv) B(a, r) = B(a, r) = { R n / a = r} Proposición Sea A R n. Se tiene (i) A es un conjunto abierto (ii) A es abierto si sólo si A = A Proposición Sea A R n. Se tiene (i) A es un conjunto cerrado (ii) A es cerrado si sólo si A = A
6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 5 Función acotada Sea f : A R n R. Se dice que f es acotada si eiste M > tal que f () M para todo A. Dicho de otro modo, f es acotada si su imagen es un conjunto acotado. Límite Continuidad Límite Sean f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A l R, decimos que el límite de f cuando tiende a a es l lo notamos lím f () = l cuando para todo ε > eiste δ > a tal que cada vez que A < a < δ resulta f () l < ε Proposición (Unicidad del límite) Sea f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A. Si lím f () = l lím f () = l, a a entonces l = l. Proposición Sea f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A α R. Si lím a f () = l > α (resp. l < α), entonces f () > α (resp. f () < α) para en un entorno de a, a. Proposición Sean f, g : A R, A R n abierto, a A α, β R. Entonces, si eisten l, l R tales que lím f () = l lím g() = l a a (i) lím a (α f + βg)() = αl + βl (ii) lím a f ()g() = l l (iii) lím a f () g() = l l (si l ) Proposición Sean f, g : A R, A R n abierto, a A tales que lím a g() = f es acotada en un entorno reducido de a. Entonces, lím f ()g() = a
7 6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 Proposición (límite de una composición) Sean f : A R, A R n abierto a A tales que lím a f () = l. Entonces, (i) si la función h está definida en un entorno del número l, toma valores en R satisface lím l h() = L, se tiene lím a h f () = L (ii) si la traectoria g está definida en un entorno del número t satisface lím t t g(t) = a, se tiene lím t t f g(t) = l Corolario Si g : (.) R n g : (, ) R n satisfacen que lím t g (t) = a = lím t g (t) lím t entonces no eiste lím a f (). f g (t) = l l = lím t f g (t) Ejemplo Consideremos la función f (, ) =. Para todo (a, b) (, ) esta función tiene límite 4 + a b vale dado que se cumplen las hipótesis de una proposición anterior. Supongamos a 4 + b ahora que queremos analizar lím f (, ) (,) (,) Como tanto el denominador como el numerador tienden a cero no contamos con ningún resultado que nos permita asegurar siquiera que eiste. Con el objeto de analizar cómo se comporta el gráfico de f cerca del origen nos vamos a acercar a este punto por dos curvas g (t) = (t, t) t (, ) g (t) = (t, t ) t (, ) imagen de g imagen de g
8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 7 Si calculamos los valores de f sobre estas curvas, cuas imágenes están en su dominio, las subimos a su gráfico nos quedan determinadas dos curvas en el espacio c (t) = (t, t, f (t, t)) c (t) = (t, t, f (t, t )) Miremos ahora sus imágenes junto con el gráfico de f imagen de g z / imagen de c imagen de c imagen de g Rotando un poco esta figura uno puede tener una mejor idea del gráfico de f De frente Desde arriba Queda claro a partir de aquí que la última coordenada de c (t) se acerca a cuando t pero en cambio la última coordenada de c (t) se mantiene constante en el valor por lo tanto se acerca a ese valor cuando t. Esto nos confirma que la función f no tiene límite cuando (, ) (, ). Hubíeramos llegado fácilmente a esta conclusión calculando f (g (t)) = f (t, t) = t3 t 4 + t = t t + f (g (t)) = f (t, t ) = t4 t 4 =
9 8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 pues entonces lím t f (g (t)) = = lím t f (g (t)) Observaciones. si reemplazamos g por cualquier otra recta que pase por el origen obtenemos que f (g (t)) sigue tendiendo a cero. la razón de haber elegido la parábola g es que de esa forma logramos equiparar los grados de de que están descompensados en la fórmula de la función. Sucesiones en R Una sucesión en R es una función a : N R A cada número natural k le asigna un par de números reales a(k) = ( k, k ). Usualmente se escribe en lugar de a(k). a k = ( k, k ) Por lo tanto, dar una sucesión en R es dar un par de sucesiones ( k ) e ( k ) en R. Decimos que la sucesión (a k ) converge al vector v si a k v cuando k tiende a. Las propiedades vistas, que vinculan a la norma de un vector con los módulos de sus componentes, nos permiten afirmar que una sucesión (a k ) en R converge a un vector v si sólo si cada una de sus componentes tiende a la respectiva componente de v. Proposición Sea f : A R, A R abierto a A. Entonces, lím a f () = l si sólo si f ( n, n ) l para toda sucesión ( ( n, n ) ) A, ( n, n ) a, que converge a a. NOTA: lo mismo vale para A R m (m N).
10 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 9 Corolario Sean (( n, n )), ((u n, v n )) dos sucesiones que convergen al punto (a, b) R para las cuales f ( n, n ) l f (u n, v n ) l con l l. Entonces no eiste el límite de f cuando (, ) (a, b). NOTA: lo mismo vale en R m (m N). Continuidad Sea f : A R, A R n abierto. Se dice que f es continua en a A si lím a f () = f (a). Se dice que f es continua en A si es continua en cada uno de sus puntos. Proposición Sean f, g : A R n R continuas en a A α, β R. Entonces, (i) α f + βg es continua en a (ii) f g es continua en a (iii) f g es continua en a siempre que g(a) (iv) si h : ( f (a) ε, f (a) + ε) R es continua en f (a), h f es continua en a. Proposición Sea T : R n R una transformación lineal. Entonces, (i) Eisten escalares a,..., a n R tales que: T(,..., n ) = a + + a n n. (ii) Eiste A R tal que T() A para todo R n (iii) T() T( ) A para todo, R n (iv) Toda transformación lineal, asociada a una matriz no nula, es un polinomio de grado con todos sus monomios de grado (v) T es una función continua Teorema Sea f : A R n R una función continua A un conjunto compacto. Entonces, (i) f es acotada (ii) eisten, A tales que f ( ) f () f ( ) para todo A; es decir, f alcanza un valor máimo absoluto f ( ) un valor mínimo absoluto f ( ) en el conjunto A.
11 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 PROBLEMAS. Para cada una de las siguientes funciones, hallar su dominio gráficarlo a) f (,, z) = b) f (,, z) = + + z + c) f (,, z) = d) f (, ) = ln( ) e) f (, ) = (3 + ) + ( ) f) f (, ) = + sen g) f (,, z) = arctg + π h) f (,, z) = arcsen(9 ) ln(z ) + cos i) f (,, z) = z j) f (,, z) = ( ) sen z. Una empresa petroquímica está diseñando un depósito cilíndrico con etremos semiesféricos para utilizarlo en el transporte de sus productos. Epresar el volumen del depósito en función de su radio r la longitud h de su porción cilíndrica. 3. Para cada una de las siguientes funciones (i) clasificar sus curvas de nivel graficar tres de cada tipo (ii) para cada k elegido, graficar la intersección de su gráfico de con el plano z = k (iii) utilizando la información obtenida en (ii) esbozar su gráfico a) f (, ) = b) f (, ) = 3 c) f (, ) = + d) f (, ) = + e) f (, ) = 3 f) f (, ) = e g) f (, ) = sen En los casos: d), f) g) intersecar el gráfico de f con horizontales para.
12 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 4. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones a) f (,, z) = + + z b) f (,, z) = + + z c) f (,, z) = z (considerar niveles:, ) d) f (,, z) = z e) f (,, z) = z + 5. a) Se sabe que el punto P = (, ) está en una curva de nivel de la función g(, ) = sen(π) ( ). Cuál es la ecuación de esta curva? b) Se sabe que el punto P = (,, ) está en una superficie de nivel de la función h(,, z) = sen(z) z 3. Cuál es la ecuación de esta superficie? 6. a) La intensidad E de un campo eléctrico en el punto (,, z) viene dada por E(,, z) = k + z donde k es una constante positiva. Describir las superficies de nivel de E. b) Una fina placa metálica está situada en el plano. La temperatura T (en grados centígrados) en el punto (, ) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. (i) Epresar T en función de e (ii) Describir las curvas de nivel dibujar un conjunto representativo. NOTA: las curvas de nivel de T se llaman isotermas. Los puntos de una isoterma tienen la misma temperatura. (iii) Suponer que la temperatura en el punto (, ) es 5 o. Cuál es la temperatura en el punto (4, 3)? c) La fórmula V(, ) = k r donde k r son constantes positivas, da el potencial eléctrico (en voltios) en el punto (, ) del plano. Describir las curvas de nivel de V dibujar un conjunto representativo. NOTA: las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Todos los puntos de una curva equipotencial tienen el mismo potencial eléctrico. 7. Encontrar la relación entre los elementos de los tres grupos siguientes: funciones, mapas de curvas de nivel gráficos. FUNCIONES. f (, ) = + 4. f (, ) = sen sen 3. f (, ) = e ( + ) /
13 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 4. f (, ) = 3 5. f (, ) = cos( + ),, 6. f (, ) = sen, π CURVAS DE NIVEL a b c d. e
14 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 3 f GRÁFICOS A B C D
15 4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 E F Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que son abiertos a) A = {(, ) R / < + < 7} b) B = {(, ) R / + > } c) C = {(, ) R /, } d) D = R {(, )} Alguno de estos conjuntos es simplemente coneo? Y coneo? 9. Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que son cerrados a) A = {(, ) R /, } b) B = {(, ) R / + } c) C = {(, ) R / = o = } Alguno de estos conjuntos es compacto?. Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que no son abiertos ni cerrados a) A = {(, ) R / < + 7} b) B = {(, ) R /, = }. a) Comprobar gráficamente que el parelelepípedo P dado por: < <, < <, < z < 3 es un conjunto abierto. b) Calcular la adherencia de P c) Es P simplemente coneo?
16 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 5. a) Determinar cuáles de las siguientes regiones planas son simplemente coneas (i) A = {(, ) R / + < 3} (ii) B = {(, ) R / < + < 3} (iii) C = {(, ) R / < + < 3} (iv) D = {(, ) R / + > 3} (v) E = {(, ) R / > } b) Determinar cuáles de las siguientes regiones del espacio son simplemente coneas cuáles son sólo coneas (i) A = {(,, z) R 3 / + + z < 3} (ii) B = {(,, z) R 3 / < + + z < 3} (iii) C = {(,, z) R 3 / z > + } (iv) D = {(,, z) R 3 / + = 3} (v) E = {(,, z) R 3 / < + + z < 3} 3. Probar las siguientes afirmaciones usando la definición de límite a) lím 4 7 = b) lím = 4 c) lím = d) lím cos + + = Sugerencia: si no recuerda este tema, consulte la sección Apuntes de la página de la materia. 4. Hallar en cada caso un par de sucesiones que muestren que las siguientes funciones no tienen límite cuando tiende al punto indicado a) sen cuando + b) sen cuando c) arctg + sen cuando 5. Se sabe que f no tiene límite cuando. Determinar en cada caso si eiste el límite. Justificar la respuesta calcular el límite cuando corresponda. a) g() = sen + f () b) g() = f () (suponiendo en este caso que f es acotada cerca del origen) c) g() = sen f () d) g() = f () ( qué propiedad de le permitión llegar a esa conclusión?) + + e) g() = f () h() (suponiendo que h tampoco tiene límite cuando )
17 6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 6. Probar usando la definición que a) lím (,) (,) + = b) lím = 9 (,) (,9) sen( ) c) lím = (,) (,) + Sugerencia: consulte la sección Apuntes de la página de la materia. 7. Utilizando resultados mencionados en la parte teórica de esta práctica el valor de ciertos límites de funciones de una variable justificar las siguientes afirmaciones a) Sea f : R R tal que lím f (, ) =. Entonces, (,) (a,b) sen( f (, )) lím (,) (a,b) f (, ) = b) Sea f : R R tal que lím f (, ) = +. Entonces, (,) (a,b) ln( f (, )) lím (,) (a,b) f (, ) = c) Sea f : R R tal que lím f (, ) =. Entonces, (,) (a,b) e f (,) lím (,) (a,b) f (, ) = d) Calcular sen( + ) lím, lím (,) (,) + (,) (,) ( + ) ln( + ), lím e En cada uno de los casos siguientes (i) Observar cuidadosamente el gráfico de f (, ) determinar si eiste lím f (, ) (,) (a,b) (ii) En los casos en que no eista dicho límite, dibujar sobre el gráfico dos curvas que ilustren ese hecho
18 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 7 z a) f (, ) = + (a, b) = (, ) z (,,) b) f (, ) = (a, b) = (, ) sen 3 + ( ) z c) f (, ) = + (a, b) = (, )
19 8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 z d) f (, ) = + (a, b) = (, ) z (-,,) e) f (, ) = (a, b) = (, ) cos( + π/) ( + ) + (-,,) (-,,-) sen( ) f) f (, ) = (a, b) = (, ) (a, b) = (, ) z = z= 9. Calcular el dominio de las siguientes funciones analizar la eistencia de límite en el origen: a) f (, ) = + z b) f (,, z) = + + z
20 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 9 c) f (, ) = + sen + 7 d) f (, ) = e) f (, ) = cos f) f (, ) = cos g) f (, ) = Sugerencia: considere las sucesiones (e n, n ) ( n, n ) sen( + ) h) f (, ) = + sen( + ) i) f (, ) = + cos( + ) j) f (, ) = ( + ) k) f (, ) = l) f (, ) = + m) f (, ) = n) f (, ) = 4 sen o) f (, ) = p) f (, ) = q) f (, ) = sen( ) + Sugerencia: sen t t para todo t R. r) f (,, z) = sen( + z 4 ) + + z s) f (,, z) = sen( + z ) + + z t) f (, ) = + + u) f (, ) = + + v) f (, ) = + + w) f (, ) =
21 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 ) f (, ) = + z ) f (,, z) = + + z + 9, (, ) (, ) z) f (, ) = 4, (, ) = (, ). Determinar si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados a) f (, ) = arctg() + sen z en (,, 3) + si (, ) (, ) b) f (, ) = + + en (, ) en (, ) si (, ) = (, ) sen( ) si (, ) (, ) c) f (, ) = + si (, ) = (, ) en (, ) en (, 3) sen( ) si (, ) (, ) d) f (, ) = + si (, ) = (, ) en (, ) en (, 3) sen( ) si e) f (, ) = si = en (a, a), a R cos si f) f (, ) = si = en (, ) en (, ) cos si g) f (, ) = si = en (, ) en (, ) si (, ) (, ) h) f (, ) = 4 + si (, ) = (, ) en (, ). Dada la función f (, ) = sen( ) sen( ), a) calcular su dominio b) definirla si es posible en R Dom( f ) de modo que resulte continua en todo R.. Hallar el dominio los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones a) f (, ) = + 4 sen( ) si b) f (, ) = si =
22 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 sen( ) si c) f (, ) = si = ln( + ) si (, ) (, ) d) f (, ) = si (, ) = (, ) e) f (, ) = ln( + ) ln( + ) si (, ) (, ) f) f (, ) = si (, ) = (, ) 3. Hallar el dominio los puntos de contiuidad de las siguientes funciones + si a) f (, ) = + + si < si b) f (, ) = si < + si c) f (, ) = + + si < Sugerencia: graficar f + si ( ) + 4 d) f (, ) = + 3 si ( ) + > 4 Sugerencia: graficar f + si < e) f (, ) = 3 si
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA : Límites continuidad de funciones en R n. -. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R siguientes. Dibuja su
Más detalles1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detallesMarch 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO
March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesLímites y Continuidad de funciones de varias variables
1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h..-
Más detalles3. Operaciones con funciones.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente
Más detallesLección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas
Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano
Más detallesEjercicios de Análisis propuestos en Selectividad
Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesEJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 EJERCICIOS TEMA 4 3 TOPOLOGÍA Ejercicio 1 Sea el conjunto A = 0; 1) [ fg. Hallar A, A, A 0 fra). Solución: A = 0; 1); A = [0; 1] [ fg;
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detallesTema 3. Espacios vectoriales
Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesTeóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales
Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento
Más detallesM a t e m á t i c a s I I 1
Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la
Más detallesObjetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:
Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente
Más detallesEjemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)
Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es
Más detalles2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples.. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una función f :(, ) f(, ) continua positiva cuo dominio
Más detallesUNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.
UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado
Más detallesSe llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en
Más detallesFunciones de varias variables reales
Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesTEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detalles, o más abreviadamente: f ( x)
TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura
Más detallesTeoría de Conjuntos y Funciones
Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos
Más detalles164 Ecuaciones diferenciales
64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación
Más detallesFunciones uno-uno, sobre y biunívocas
Funciones uno-uno, sobre y biunívocas La inversa (biunívocas) de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa deshace o invierte lo
Más detalles1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
Más detallesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial
Más detalles5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades
5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio
Más detallesJuan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada
FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones
Más detallesUniversidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesJesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014
Optimización sin restricciones Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Optimización sin restricciones 1 / 32 Formulación del problema
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos
Más detallesCampo y potencial eléctrico de una carga puntual
Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Concepto de campo Energía potencial Concepto de potencial Relaciones entre fuerzas y campos Relaciones entre campo y diferencia de potencial Trabajo realizado
Más detallesParte I. Iniciación a los Espacios Normados
Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E
Más detalles1. Funciones de varias variables
Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos
Más detalles1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:
F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3
Más detallesSubespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Más detallesCap. 24 La Ley de Gauss
Cap. 24 La Ley de Gauss Una misma ley física enunciada desde diferentes puntos de vista Coulomb Gauss Son equivalentes Pero ambas tienen situaciones para las cuales son superiores que la otra Aquí hay
Más detallesDiferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Diferenciabilidad. 1. Definición de función diferenciable Después del estudio de los ites de funciones
Más detallesLímite y continuidad de funciones de varias variables
Límite y continuidad de funciones de varias variables 20 de marzo de 2009 1 Subconjuntos de R n y sus propiedades De nición 1. Dado x 2 R n y r > 0; la bola de centro x y radio r es B(x; r) = fy 2 R n
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detalles1. Teorema del Valor Medio
1. l Valor Medio Uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real es el l Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Taylor y el estudio
Más detallesAplicaciones Lineales y Multilineales Continuas
Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones
Más detalles1. Derivadas parciales
Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para
Más detallesb) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0
ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio
Más detallesa y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z
TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido
Más detallesApoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores
Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación
Más detallesDOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:
Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela
Más detallesEstudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009
Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................
Más detallesMuchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8
Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesUNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.
UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE LOS TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Juan Jesús Pascual TEOREMAS DEL VALOR MEDIO. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f( x) = x 5x 6 en [ 0, 5 ]? El teorema de Rolle
Más detallesx : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3
3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones
Más detalles1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:
Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detalles4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6
Más detallesUna función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y
4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular
Más detallesEsta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:
Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.
Más detallesTema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor
Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesTema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables
Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial
Más detallesDefinición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Más detalles(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.
TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa
Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Más detallesGeometría Tridimensional
Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,
Más detallesMatemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones
Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C
Más detallesCapítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados
Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)
Más detalles(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA Esta clasiicación obedece a la orma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio.
Más detallesMATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado
Más detalles3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector
3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado
Más detallesTema 9. Funciones de varias variables.
Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación
Más detallesI. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }
I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas
Más detalles(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las
Más detalles1. Funciones y sus gráficas
FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada
Más detallesLímites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim
Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim
Más detallesTEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N)
1. Definición de Viga de alma llena TEORÍA TEMA 9 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 3. Determinación de los esfuerzos característicos i. Concepto de Polígonos de Presiones ii. Caso
Más detallesFunciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m
Funciones vectoriales de variable vectorial Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m x y x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y m ) e y j = f j (x 1, x 2,, x n ), 1 j n n =
Más detallesCAPÍTULO III. FUNCIONES
CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN
Más detallesEspacios generados, dependencia lineal y bases
Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesNivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción
Más detallesNivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que
Más detallesContinuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í
Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesCampos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1
Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial
Más detalles