CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CALCULO AVANZADO. Campos escalares. Límite y continuidad UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA"

Transcripción

1 UCA FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRÁCTICO 4 Campos escalares Límite continuidad Página de Cálculo Avanzado Ingeniería Area Matemática Cálculo Avanzado

2 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 DEFINICIONES Y RESULTADOS Campo escalar Llamaremos campo escalar a cualquier función f : R n R. Conjuntos de nivel Sean f : A R n R c R. El conjunto de nivel de valor c se define como f (c) = { A / f () = c} NOTA: para n = se llama curva de nivel para n = 3 superficie de nivel. El siguiente gráfico muestra el gráfico de una función f : R R el plano horizontal z = k la curva D, su intersección con el plano z = k C, la curva de nivel k de f z gráfico de f Plano z=k D C D C : curva intersección del gráfico de f con el plano z=k : curva de nivel k de f Cabe mencionar que C es la proección de D sobre el plano. Es conveniente recordar que la curva de nivel de una función está contenida en su dominio, no en su gráfico. Una situación similar se presenta con las superficies de nivel de una función F : R 3 R. Claro que en ese caso no la podríamos representar gráficamente debido a que el gráfico de F está en R 4.

3 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 Conceptos topológicos BOLA ABIERTA DE CENTRO a Y RADIO r > : B(a, r) = { R n / a < r} BOLA CERRADA DE CENTRO a Y RADIO r > : B(a, r) = { R n / a r} CONJUNTO ACOTADO: si está contenido en B(, r) para algún r > ENTORNO DE a R n : es un conjunto E que contiene una bola abierta centrada en a ENTORNO REDUCIDO DE a R n : es un conjunto E = E {a}, donde E es un entorno de a CONJUNTO ABIERTO: es un conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos. Es decir, un conjunto A R n es abierto si para cada a A eiste un r > tal que B(a, r) A. A a B(a,r) PUNTO INTERIOR: a A es un punto interior de A si eiste un entorno de a contenido en A. INTERIOR DE UN CONJUNTO: A = {a A / a es un punto interior de A} CONJUNTO CERRADO: es un conjunto cuo complemento es un conjunto abierto. Es decir, un conjunto A R n es cerrado si para cada a R n A eiste un r > tal que B(a, r) A =. B(a,r) a n R -A A FRONTERA: A = { R n / B(, r) A B(, r) (R n A) para todo r > } B(,r) A R n-a

4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 3 ADHERENCIA O CLAUSURA: A = A A CONJUNTO COMPACTO: es un conjunto cerrado acotado. CONJUNTO ARCOCONEXO: es un conjunto cuos puntos se pueden unir mediante caminos cuas trazas están contenidas en él. A B a g b f la imagen de f está contenida en A A es arcoconeo cualquier camino g que una 'a' con 'b' tiene parte de su imagen fuera de B B no es arcoconeo CONJUNTO CONEXO: un conjunto abierto se dice coneo si es arcoconeo. CONJUNTO CONVEXO: un conjunto se dice conveo si el segmento que une dos cualesquiera de sus puntos está totalmente contenido en él. CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO: un conjunto abierto se dice simplemente coneo si toda curva cerrada contenida en el conjunto se puede contraer a un punto sin salir de él. A C A C La curva C puede contraerse a un punto sin necesidad de salir del conjunto A A es simplemente coneo en R La curva C, por rodear el 'agujero', no puede contraerse a un punto sin pasar por el agujero; saliendo en consecuencia de A A no es simplemente coneo en R

5 4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 A C A C A es la esfera sólida La curva C, incluida en A puede contraerse a un punto sin necesidad de salir de la esfera A A es simplemente coneo en R3 A es el cilindro La curva C, incluida en A no puede contraerse a un punto sin salir del cilindro A A no es simplemente coneo en R 3 Proposición Sean a R n r >, entonces (i) B(a, r) es un conjunto abierto (ii) B(a, r) es un conjunto cerrado (iii) B(a, r) = B(a, r) (iv) B(a, r) = B(a, r) = { R n / a = r} Proposición Sea A R n. Se tiene (i) A es un conjunto abierto (ii) A es abierto si sólo si A = A Proposición Sea A R n. Se tiene (i) A es un conjunto cerrado (ii) A es cerrado si sólo si A = A

6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 5 Función acotada Sea f : A R n R. Se dice que f es acotada si eiste M > tal que f () M para todo A. Dicho de otro modo, f es acotada si su imagen es un conjunto acotado. Límite Continuidad Límite Sean f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A l R, decimos que el límite de f cuando tiende a a es l lo notamos lím f () = l cuando para todo ε > eiste δ > a tal que cada vez que A < a < δ resulta f () l < ε Proposición (Unicidad del límite) Sea f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A. Si lím f () = l lím f () = l, a a entonces l = l. Proposición Sea f : A R un campo escalar, A R n abierto, a A α R. Si lím a f () = l > α (resp. l < α), entonces f () > α (resp. f () < α) para en un entorno de a, a. Proposición Sean f, g : A R, A R n abierto, a A α, β R. Entonces, si eisten l, l R tales que lím f () = l lím g() = l a a (i) lím a (α f + βg)() = αl + βl (ii) lím a f ()g() = l l (iii) lím a f () g() = l l (si l ) Proposición Sean f, g : A R, A R n abierto, a A tales que lím a g() = f es acotada en un entorno reducido de a. Entonces, lím f ()g() = a

7 6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 Proposición (límite de una composición) Sean f : A R, A R n abierto a A tales que lím a f () = l. Entonces, (i) si la función h está definida en un entorno del número l, toma valores en R satisface lím l h() = L, se tiene lím a h f () = L (ii) si la traectoria g está definida en un entorno del número t satisface lím t t g(t) = a, se tiene lím t t f g(t) = l Corolario Si g : (.) R n g : (, ) R n satisfacen que lím t g (t) = a = lím t g (t) lím t entonces no eiste lím a f (). f g (t) = l l = lím t f g (t) Ejemplo Consideremos la función f (, ) =. Para todo (a, b) (, ) esta función tiene límite 4 + a b vale dado que se cumplen las hipótesis de una proposición anterior. Supongamos a 4 + b ahora que queremos analizar lím f (, ) (,) (,) Como tanto el denominador como el numerador tienden a cero no contamos con ningún resultado que nos permita asegurar siquiera que eiste. Con el objeto de analizar cómo se comporta el gráfico de f cerca del origen nos vamos a acercar a este punto por dos curvas g (t) = (t, t) t (, ) g (t) = (t, t ) t (, ) imagen de g imagen de g

8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 7 Si calculamos los valores de f sobre estas curvas, cuas imágenes están en su dominio, las subimos a su gráfico nos quedan determinadas dos curvas en el espacio c (t) = (t, t, f (t, t)) c (t) = (t, t, f (t, t )) Miremos ahora sus imágenes junto con el gráfico de f imagen de g z / imagen de c imagen de c imagen de g Rotando un poco esta figura uno puede tener una mejor idea del gráfico de f De frente Desde arriba Queda claro a partir de aquí que la última coordenada de c (t) se acerca a cuando t pero en cambio la última coordenada de c (t) se mantiene constante en el valor por lo tanto se acerca a ese valor cuando t. Esto nos confirma que la función f no tiene límite cuando (, ) (, ). Hubíeramos llegado fácilmente a esta conclusión calculando f (g (t)) = f (t, t) = t3 t 4 + t = t t + f (g (t)) = f (t, t ) = t4 t 4 =

9 8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 pues entonces lím t f (g (t)) = = lím t f (g (t)) Observaciones. si reemplazamos g por cualquier otra recta que pase por el origen obtenemos que f (g (t)) sigue tendiendo a cero. la razón de haber elegido la parábola g es que de esa forma logramos equiparar los grados de de que están descompensados en la fórmula de la función. Sucesiones en R Una sucesión en R es una función a : N R A cada número natural k le asigna un par de números reales a(k) = ( k, k ). Usualmente se escribe en lugar de a(k). a k = ( k, k ) Por lo tanto, dar una sucesión en R es dar un par de sucesiones ( k ) e ( k ) en R. Decimos que la sucesión (a k ) converge al vector v si a k v cuando k tiende a. Las propiedades vistas, que vinculan a la norma de un vector con los módulos de sus componentes, nos permiten afirmar que una sucesión (a k ) en R converge a un vector v si sólo si cada una de sus componentes tiende a la respectiva componente de v. Proposición Sea f : A R, A R abierto a A. Entonces, lím a f () = l si sólo si f ( n, n ) l para toda sucesión ( ( n, n ) ) A, ( n, n ) a, que converge a a. NOTA: lo mismo vale para A R m (m N).

10 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 9 Corolario Sean (( n, n )), ((u n, v n )) dos sucesiones que convergen al punto (a, b) R para las cuales f ( n, n ) l f (u n, v n ) l con l l. Entonces no eiste el límite de f cuando (, ) (a, b). NOTA: lo mismo vale en R m (m N). Continuidad Sea f : A R, A R n abierto. Se dice que f es continua en a A si lím a f () = f (a). Se dice que f es continua en A si es continua en cada uno de sus puntos. Proposición Sean f, g : A R n R continuas en a A α, β R. Entonces, (i) α f + βg es continua en a (ii) f g es continua en a (iii) f g es continua en a siempre que g(a) (iv) si h : ( f (a) ε, f (a) + ε) R es continua en f (a), h f es continua en a. Proposición Sea T : R n R una transformación lineal. Entonces, (i) Eisten escalares a,..., a n R tales que: T(,..., n ) = a + + a n n. (ii) Eiste A R tal que T() A para todo R n (iii) T() T( ) A para todo, R n (iv) Toda transformación lineal, asociada a una matriz no nula, es un polinomio de grado con todos sus monomios de grado (v) T es una función continua Teorema Sea f : A R n R una función continua A un conjunto compacto. Entonces, (i) f es acotada (ii) eisten, A tales que f ( ) f () f ( ) para todo A; es decir, f alcanza un valor máimo absoluto f ( ) un valor mínimo absoluto f ( ) en el conjunto A.

11 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 PROBLEMAS. Para cada una de las siguientes funciones, hallar su dominio gráficarlo a) f (,, z) = b) f (,, z) = + + z + c) f (,, z) = d) f (, ) = ln( ) e) f (, ) = (3 + ) + ( ) f) f (, ) = + sen g) f (,, z) = arctg + π h) f (,, z) = arcsen(9 ) ln(z ) + cos i) f (,, z) = z j) f (,, z) = ( ) sen z. Una empresa petroquímica está diseñando un depósito cilíndrico con etremos semiesféricos para utilizarlo en el transporte de sus productos. Epresar el volumen del depósito en función de su radio r la longitud h de su porción cilíndrica. 3. Para cada una de las siguientes funciones (i) clasificar sus curvas de nivel graficar tres de cada tipo (ii) para cada k elegido, graficar la intersección de su gráfico de con el plano z = k (iii) utilizando la información obtenida en (ii) esbozar su gráfico a) f (, ) = b) f (, ) = 3 c) f (, ) = + d) f (, ) = + e) f (, ) = 3 f) f (, ) = e g) f (, ) = sen En los casos: d), f) g) intersecar el gráfico de f con horizontales para.

12 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 4. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones a) f (,, z) = + + z b) f (,, z) = + + z c) f (,, z) = z (considerar niveles:, ) d) f (,, z) = z e) f (,, z) = z + 5. a) Se sabe que el punto P = (, ) está en una curva de nivel de la función g(, ) = sen(π) ( ). Cuál es la ecuación de esta curva? b) Se sabe que el punto P = (,, ) está en una superficie de nivel de la función h(,, z) = sen(z) z 3. Cuál es la ecuación de esta superficie? 6. a) La intensidad E de un campo eléctrico en el punto (,, z) viene dada por E(,, z) = k + z donde k es una constante positiva. Describir las superficies de nivel de E. b) Una fina placa metálica está situada en el plano. La temperatura T (en grados centígrados) en el punto (, ) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen. (i) Epresar T en función de e (ii) Describir las curvas de nivel dibujar un conjunto representativo. NOTA: las curvas de nivel de T se llaman isotermas. Los puntos de una isoterma tienen la misma temperatura. (iii) Suponer que la temperatura en el punto (, ) es 5 o. Cuál es la temperatura en el punto (4, 3)? c) La fórmula V(, ) = k r donde k r son constantes positivas, da el potencial eléctrico (en voltios) en el punto (, ) del plano. Describir las curvas de nivel de V dibujar un conjunto representativo. NOTA: las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales. Todos los puntos de una curva equipotencial tienen el mismo potencial eléctrico. 7. Encontrar la relación entre los elementos de los tres grupos siguientes: funciones, mapas de curvas de nivel gráficos. FUNCIONES. f (, ) = + 4. f (, ) = sen sen 3. f (, ) = e ( + ) /

13 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 4. f (, ) = 3 5. f (, ) = cos( + ),, 6. f (, ) = sen, π CURVAS DE NIVEL a b c d. e

14 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 3 f GRÁFICOS A B C D

15 4 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 E F Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que son abiertos a) A = {(, ) R / < + < 7} b) B = {(, ) R / + > } c) C = {(, ) R /, } d) D = R {(, )} Alguno de estos conjuntos es simplemente coneo? Y coneo? 9. Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que son cerrados a) A = {(, ) R /, } b) B = {(, ) R / + } c) C = {(, ) R / = o = } Alguno de estos conjuntos es compacto?. Dibujar los siguientes subconjuntos de R verificar gráficamente que no son abiertos ni cerrados a) A = {(, ) R / < + 7} b) B = {(, ) R /, = }. a) Comprobar gráficamente que el parelelepípedo P dado por: < <, < <, < z < 3 es un conjunto abierto. b) Calcular la adherencia de P c) Es P simplemente coneo?

16 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 5. a) Determinar cuáles de las siguientes regiones planas son simplemente coneas (i) A = {(, ) R / + < 3} (ii) B = {(, ) R / < + < 3} (iii) C = {(, ) R / < + < 3} (iv) D = {(, ) R / + > 3} (v) E = {(, ) R / > } b) Determinar cuáles de las siguientes regiones del espacio son simplemente coneas cuáles son sólo coneas (i) A = {(,, z) R 3 / + + z < 3} (ii) B = {(,, z) R 3 / < + + z < 3} (iii) C = {(,, z) R 3 / z > + } (iv) D = {(,, z) R 3 / + = 3} (v) E = {(,, z) R 3 / < + + z < 3} 3. Probar las siguientes afirmaciones usando la definición de límite a) lím 4 7 = b) lím = 4 c) lím = d) lím cos + + = Sugerencia: si no recuerda este tema, consulte la sección Apuntes de la página de la materia. 4. Hallar en cada caso un par de sucesiones que muestren que las siguientes funciones no tienen límite cuando tiende al punto indicado a) sen cuando + b) sen cuando c) arctg + sen cuando 5. Se sabe que f no tiene límite cuando. Determinar en cada caso si eiste el límite. Justificar la respuesta calcular el límite cuando corresponda. a) g() = sen + f () b) g() = f () (suponiendo en este caso que f es acotada cerca del origen) c) g() = sen f () d) g() = f () ( qué propiedad de le permitión llegar a esa conclusión?) + + e) g() = f () h() (suponiendo que h tampoco tiene límite cuando )

17 6 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 6. Probar usando la definición que a) lím (,) (,) + = b) lím = 9 (,) (,9) sen( ) c) lím = (,) (,) + Sugerencia: consulte la sección Apuntes de la página de la materia. 7. Utilizando resultados mencionados en la parte teórica de esta práctica el valor de ciertos límites de funciones de una variable justificar las siguientes afirmaciones a) Sea f : R R tal que lím f (, ) =. Entonces, (,) (a,b) sen( f (, )) lím (,) (a,b) f (, ) = b) Sea f : R R tal que lím f (, ) = +. Entonces, (,) (a,b) ln( f (, )) lím (,) (a,b) f (, ) = c) Sea f : R R tal que lím f (, ) =. Entonces, (,) (a,b) e f (,) lím (,) (a,b) f (, ) = d) Calcular sen( + ) lím, lím (,) (,) + (,) (,) ( + ) ln( + ), lím e En cada uno de los casos siguientes (i) Observar cuidadosamente el gráfico de f (, ) determinar si eiste lím f (, ) (,) (a,b) (ii) En los casos en que no eista dicho límite, dibujar sobre el gráfico dos curvas que ilustren ese hecho

18 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 7 z a) f (, ) = + (a, b) = (, ) z (,,) b) f (, ) = (a, b) = (, ) sen 3 + ( ) z c) f (, ) = + (a, b) = (, )

19 8 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 z d) f (, ) = + (a, b) = (, ) z (-,,) e) f (, ) = (a, b) = (, ) cos( + π/) ( + ) + (-,,) (-,,-) sen( ) f) f (, ) = (a, b) = (, ) (a, b) = (, ) z = z= 9. Calcular el dominio de las siguientes funciones analizar la eistencia de límite en el origen: a) f (, ) = + z b) f (,, z) = + + z

20 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 9 c) f (, ) = + sen + 7 d) f (, ) = e) f (, ) = cos f) f (, ) = cos g) f (, ) = Sugerencia: considere las sucesiones (e n, n ) ( n, n ) sen( + ) h) f (, ) = + sen( + ) i) f (, ) = + cos( + ) j) f (, ) = ( + ) k) f (, ) = l) f (, ) = + m) f (, ) = n) f (, ) = 4 sen o) f (, ) = p) f (, ) = q) f (, ) = sen( ) + Sugerencia: sen t t para todo t R. r) f (,, z) = sen( + z 4 ) + + z s) f (,, z) = sen( + z ) + + z t) f (, ) = + + u) f (, ) = + + v) f (, ) = + + w) f (, ) =

21 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 ) f (, ) = + z ) f (,, z) = + + z + 9, (, ) (, ) z) f (, ) = 4, (, ) = (, ). Determinar si las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados a) f (, ) = arctg() + sen z en (,, 3) + si (, ) (, ) b) f (, ) = + + en (, ) en (, ) si (, ) = (, ) sen( ) si (, ) (, ) c) f (, ) = + si (, ) = (, ) en (, ) en (, 3) sen( ) si (, ) (, ) d) f (, ) = + si (, ) = (, ) en (, ) en (, 3) sen( ) si e) f (, ) = si = en (a, a), a R cos si f) f (, ) = si = en (, ) en (, ) cos si g) f (, ) = si = en (, ) en (, ) si (, ) (, ) h) f (, ) = 4 + si (, ) = (, ) en (, ). Dada la función f (, ) = sen( ) sen( ), a) calcular su dominio b) definirla si es posible en R Dom( f ) de modo que resulte continua en todo R.. Hallar el dominio los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones a) f (, ) = + 4 sen( ) si b) f (, ) = si =

22 FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO SEGUNDO CUATRIMESTRE 8 TRABAJO PRACTICO 4 sen( ) si c) f (, ) = si = ln( + ) si (, ) (, ) d) f (, ) = si (, ) = (, ) e) f (, ) = ln( + ) ln( + ) si (, ) (, ) f) f (, ) = si (, ) = (, ) 3. Hallar el dominio los puntos de contiuidad de las siguientes funciones + si a) f (, ) = + + si < si b) f (, ) = si < + si c) f (, ) = + + si < Sugerencia: graficar f + si ( ) + 4 d) f (, ) = + 3 si ( ) + > 4 Sugerencia: graficar f + si < e) f (, ) = 3 si

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA : Límites continuidad de funciones en R n. -. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R siguientes. Dibuja su

Más detalles

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad.

1. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Funciones de varias variables: representaciones gráficas, límites y continuidad. En el análisis de los problemas de la ciencia y de la técnica, las cantidades

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones de varias variables

Límites y Continuidad de funciones de varias variables 1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los etremos de un cilindro circular recto. Epresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del cilindro y de su altura h..-

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS TEMA 4 EJERCICIOS TEMA 4 3 TOPOLOGÍA Ejercicio 1 Sea el conjunto A = 0; 1) [ fg. Hallar A, A, A 0 fra). Solución: A = 0; 1); A = [0; 1] [ fg;

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares.

2. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples.. Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Supongamos que tenemos una función f :(, ) f(, ) continua positiva cuo dominio

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS RESUELTOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Ingeriería Técnica Industrial. Especialidad en Mecánica. Boletin 6. Funciones de Varias Variables EJERCICIOS RESUELTOS Curso 003-004 1. En cada apartado, calcular

Más detalles

Funciones de varias variables reales

Funciones de varias variables reales Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades 5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio

Más detalles

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6

Más detalles

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias variables 1 Funciones de varias variables Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables atodafunciónf : R n R. Y llamaremos función vectorial

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

164 Ecuaciones diferenciales

164 Ecuaciones diferenciales 64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

1. Derivadas parciales

1. Derivadas parciales Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para

Más detalles

1. Funciones de varias variables

1. Funciones de varias variables Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Límite y continuidad de funciones de varias variables Límite y continuidad de funciones de varias variables 20 de marzo de 2009 1 Subconjuntos de R n y sus propiedades De nición 1. Dado x 2 R n y r > 0; la bola de centro x y radio r es B(x; r) = fy 2 R n

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N)

TEORÍA TEMA 9. 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 1. Definición de Viga de alma llena TEORÍA TEMA 9 2. Definición de ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS ( Mf.; Q; N) 3. Determinación de los esfuerzos característicos i. Concepto de Polígonos de Presiones ii. Caso

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 7 transformaciones lineales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación. Distinguirá cuándo una transformación es lineal. Encontrará

Más detalles

Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación

Más detalles

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN

Funciones analíticas CAPÍTULO 2 2.1 INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 2 Funciones analíticas 2.1 INTRODUCCIÓN Para definir las series de potencias y la noción de analiticidad a que conducen, sólo se necesitan las operaciones de suma y multiplicación y el concepto

Más detalles

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Concepto de campo Energía potencial Concepto de potencial Relaciones entre fuerzas y campos Relaciones entre campo y diferencia de potencial Trabajo realizado

Más detalles

1. Teorema del Valor Medio

1. Teorema del Valor Medio 1. l Valor Medio Uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real es el l Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Taylor y el estudio

Más detalles

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad 1 Funciones de varias variables Observación 1.1 Conviene repasar,enestepunto,lodadoeneltema8paratopología en R n : bolas,

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto: Matemática II 7 Modulo Límites continuidad En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos

Más detalles

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones

Más detalles

1. Definición y representaciones gráficas

1. Definición y representaciones gráficas Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones

Más detalles

Diferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005

Diferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Diferenciabilidad. 1. Definición de función diferenciable Después del estudio de los ites de funciones

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................

Más detalles

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para resolver límites que involucran funciones circulares directas, resulta conveniente conocer los límites de las

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

Funciones uno-uno, sobre y biunívocas

Funciones uno-uno, sobre y biunívocas Funciones uno-uno, sobre y biunívocas La inversa (biunívocas) de una función es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa deshace o invierte lo

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES

Más detalles

Segunda Parcial Lapso 2013-1 175-176-177 1/8

Segunda Parcial Lapso 2013-1 175-176-177 1/8 Segunda Parcial Lapso 2013-1 175-176-177 1/8 Universidad Nacional Abierta Matemática I (175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126 236 280 508 521 542 610 611 612 613 Área De Matemática Fecha:

Más detalles

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados

Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES.

VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES. VECTORES ING. MARTA LIDIA MERLOS ARAGÓN Resumen. Los vectores son de vital importancia para el estudio de la Estática, la Dinámica, Mecánica de los Fluidos, Electricidad magnetismo, entre otras aplicaciones

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. La aplicación de Poincaré ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 9. SISTEMAS PLANOS. TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON. La aplicación de Poincaré Recordemos que un subconjunto H de R n es una subvariedad de codimensión uno (o una

Más detalles

Cap. 24 La Ley de Gauss

Cap. 24 La Ley de Gauss Cap. 24 La Ley de Gauss Una misma ley física enunciada desde diferentes puntos de vista Coulomb Gauss Son equivalentes Pero ambas tienen situaciones para las cuales son superiores que la otra Aquí hay

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

Aplicaciones lineales continuas

Aplicaciones lineales continuas Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas

Más detalles

Prof. Susana López 1. UniversidadAutónomadeMadrid. 1 Definición y clasificación de funciones reales de una variable real. f B

Prof. Susana López 1. UniversidadAutónomadeMadrid. 1 Definición y clasificación de funciones reales de una variable real. f B Prof. Susana López 1 UniversidadAutónomadeMadrid Tema 1: Introducción a las funciones de varias variables 1 Definición clasificación de funciones reales de una variable real Definición 1 UnafunciónfesunareglaqueasignaacadaelementodeunconjuntoA

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014 Optimización sin restricciones Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Optimización sin restricciones 1 / 32 Formulación del problema

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y 4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada

Más detalles

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 7 Funciones reales de una variable real Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Funciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m

Funciones vectoriales de variable vectorial. Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m Funciones vectoriales de variable vectorial Son aplicaciones entre espacios eucĺıdeos, IR n, f : X IR n Y IR m x y x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y m ) e y j = f j (x 1, x 2,, x n ), 1 j n n =

Más detalles