Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

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1 Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones lineales y n-lineales continuas. Los teoremas de caracterización para estas aplicaciones, que veremos en este capítulo, son consecuencias importantes de esa conexión. Puesto que no es nuestro objetivo en este curso profundizar en el conocimiento de los espacios normados, nos limitaremos a considerar, además de los teoremas de caracterización aludidos, sólo algunas técnicas de linealidad, que nos serán útiles después para el Cálculo Diferencial. Aplicaciones lineales continuas Proposición 4.1 Si E, F son dos espacios normados y T : E F es una aplicación lineal entre ellos, entonces son equivalentes: (a) T es continua. (b) T es continua en. (c) T está acotada en la bola unidad. (d) Existe una constante M tal que T (x) M x para todo x E. (e) T es lipschitziana. Demostración. (a) implica (b) trivialmente. (b) implica (c) La continuidad en garantiza que T (x) 1 siempre que x δ, para algún δ. Entonces, si x B[, 1] se tiene δx δ y por tanto T (δx) = δ T (x) 1, es decir T (x) 1/δ = M. 39

2 4 Linealidad 4.1 (c) implica (d) Supongamos T acotada por M en B[, 1] y sea x cualquiera. Entonces T (x/ x ) M y por tanto T (x) M x. (d) implica (e) Es evidente, debido a la linealidad de la aplicación T. (e) implica (a) Trivial. Ejercicio. Probar que los enunciados anteriores son también equivalentes a T es continua en algún punto. Ejemplo 4.2 Toda aplicación lineal entre espacios de dimensión finita es continua. En efecto, si T : R n F es una aplicación lineal, entonces T (x) = T ( x i e i ) x i T (e i ) M x 1, donde e i = (,.., 1,..) y M = max{ T (e i ) : i = 1, 2,.., n}. Ejemplo 4.3 Sea E = C[, 1] dotado de la norma de la convergencia uniforme, y consideremos la aplicación T : E R definida por T (f) = 1 f(t) dt. T es una aplicación lineal trivialmente, y es continua pues T (f) = 1 f(t) dt 1 f(t) dt f. Ejemplo 4.4 Consideremos ahora el operador derivación definido entre los espacios C 1 [, 1] y C[, 1], D(f) = f. Esta aplicación es claramente lineal, pero no es continua respecto a la norma de la convergencia uniforme, pues es bien conocido que aunque una función (derivable) sea límite uniforme de una sucesión de funciones derivables {f n }, la función derivada f no es en general el límite (ni siquiera puntual) de la sucesión {f n}. Norma de una aplicación lineal y continua Hemos demostrado que si T es una aplicación lineal y continua entre los espacios normados E y F, entonces T está acotada sobre la bola cerrada unidad, es decir el conjunto { T (x) : x 1} está acotado superiormente. Si denotamos por T al extremo superior (la menor de las cotas superiores) de este conjunto, es inmediato comprobar que, de esta forma, definimos una

3 4.5 Linealidad 41 norma en el espacio vectorial L (E, F ) de las aplicaciones lineales y continuas de E en F. Abreviadamente escribiremos T = sup T (x). x 1 Por otra parte, si se observa la demostración de que (c) implica (d) en la proposición anterior, es claro que lo que en realidad se demuestra allí es que cualquier cota superior de T en la bola unidad vale también como constante en la desigualdad (d) y como constante de Lipschitz para T (y recíprocamente, como fácilmente se comprueba). Por tanto T es también la menor constante de Lipschitz para la aplicación T. 4.5 Algunas de las propiedades elementales de la norma de una aplicación lineal son las siguientes: (a) T (x) T x, x E. (b) T M T (x) M x, x. (c) T = sup{ T (x) : x 1} = sup{ T (x) : x < 1} = sup{ T (x) : x = 1}. (d) T U T U. En (a) sólo dice que T es una constante de Lipschitz, lo cual forma parte de la definición de T. (b) T M, significa que M es una cota superior de T en la bola unidad, lo que, según establecimos antes, equivale a que M sea constante de Lipschitz para T o a que T (x) M x. (c) Hemos de demostrar que T es también la menor de las cotas superiores de cada uno de los conjuntos { T (x) : x = 1}, { T (x) : x < 1}. Como T es cota superior del conjunto { T (x) : x 1}, es evidente que es también cota superior de cada uno de los conjuntos anteriores. Demostremos primero que T es también la menor cota superior de { T (x) : x = 1}, es decir que si α es cota superior de { T (x) : x = 1} entonces T α. Teniendo en cuenta la definición de T, para que esto suceda bastará probar que α es cota de { T (x) : x 1}. En efecto, si x y x 1 entonces x/ x es un vector de norma 1, luego T (x/ x ) α (1/ x ) T (x) α T (x) α x α.

4 42 Linealidad 4.5 Veamos finalmente que T es también la menor cota superior de { T (x) : x < 1}, es decir que si β es cota superior de { T (x) : x < 1} entonces T β. Como antes, sólo habrá que demostrar que β es cota superior de { T (x) : x 1}. Sea x con x 1, entonces para cada < ε < 1, se tiene que εx < 1, luego T (εx) β. Por otra parte, es claro que T (x) = lim T (εx). ε 1 De ambas hechos se deduce entonces que T (x) β, que era lo que queríamos demostrar. (d) Aplicando dos veces (a) resulta (T U)(x) T U x, es decir que T U es una constante de Lipschitz para la aplicación lineal T U, luego T U T U. Aplicaciones multilineales continuas Para las aplicaciones multilineales continuas cabe hacer un estudio paralelo al anterior. Así pues, comenzaremos con un teorema de caracterización para estas aplicaciones, para pasar después a construir una norma canónica en el espacio vectorial que ellas forman. Una aplicación T : E 1 E 2... E n F se dice n-lineal cuando es lineal en cada coordenada, es decir T (..., λx i + µy i,...) = λ T (..., x i,...) + µ T (..., y i,...). Proposición 4.6. Para una aplicación n-lineal, las condiciones siguientes son equivalentes: (a) T es continua. (b) T es continua en. (c) T está acotada sobre la bola unidad. (d) Existe una constante M tal que T (x 1, x 2,..., x n ) M x 1 x 2... x n.

5 4.6 Linealidad 43 Demostración. Obviamente (a) implica (b). (b) implica (c). Por ser T continua en, existe un δ tal que T (x 1,..., x n ) 1 si x 1 δ,..., x n δ. Por tanto, si y 1,..., y n son puntos de la bola unidad se tiene que T (δy 1,..., δy n ) 1, lo que implica que T (y 1,..., y n ) M = 1 δ n. (c) implica (d). Sean x 1,.., x n puntos distintos de, entonces por (c) se tiene que T ( x 1 x 1,..., x n x n ) M T (x 1, x 2,..., x n ) M x 1 x 2... x n. (d) implica (a) Sea a = (a 1,.., a n ) un punto cualquiera. Para probar que T es continua en a basta hacer tender hacia a mediante puntos x = (x 1,.., x n ) de un entorno acotado de a. Así puede suponerse x 1 α,.., x n α, para alguna constante α. Entonces: T (x 1,..., x n ) T (a 1,..., a n ) T (x 1, x 2,..., x n ) T (a 1, x 2,..., x n ) + T (a 1, x 2,..., x n ) T (a 1, a 2, x 3,..., x n ) T (a 1,..., a n 1, x n ) T (a 1, a 2,..., a n ) = T (x 1 a 1,x 2,..., x n ) + T (a 1, x 2 a 2, x 3,..., x n ) T (a 1,...,a n 1, x n a n ) M α n 1 ( x 1 a x n a n ). De estas desigualdades se sigue que la función T es continua en a. Nota. A diferencia de las aplicaciones lineales, una aplicación n-lineal y continua no nula nunca es lipchitziana. Para simplificar, supongamos que T es una aplicación bilineal y sean u, v dos vectores tales que T (u, v). Que T no es lipschitziana se deduce entonces de la igualdad T (λu, µv) = λµt (u, v) y de que la aplicación bilineal de R R en R, (λ, µ) λµ, no es ni siquiera uniformemente continua (Ejercicio).

6 44 Linealidad Como para el caso lineal, la proposición anterior permite definir de forma natural una norma en el espacio L n (E 1... E n, F ) de las aplicaciones n-lineales continuas de E 1... E n en F : T = sup{ T (x 1,..., x n ) : x 1 1,..., x n 1}. Y, como antes, T es la menor de las constantes M para la que es cierta la desigualdad T (x 1, x 2,..., x n ) M x 1 x 2... x n, y por lo tanto se tiene T (x 1, x 2,..., x n ) T x 1 x 2... x n. Ejercicios 4A Considerar C[, 1], el espacio vectorial de las aplicaciones continuas sobre [, 1] que toman sus valores en R, y sea T : C[, 1] C[, 1] la aplicación T (f)(x) = p(x) f(x), donde p es una aplicación fija de C[, 1]. (a) Probar que T es una aplicación lineal y continua, tanto si en C[, 1] se tiene la norma de la convergencia uniforme como si se tiene la norma f 1 = 1 f(t) dt. (b) Obtener, para cada una de las normas anteriores, la norma de la aplicación T, suponiendo que p sea la función p(x) = x. Indicación (Para el apartado (b) en el caso que la norma sobre C[, 1] sea 1 ). Para conseguir una función f tal que 1 f(x) dx y 1 x f(x) dx se diferencien poco, pensar que bastaría con que f fuese distinta de sólo cerca del punto x = 1. 4B Sean E y F dos espacios normados. (a) Probar que la convergencia en el espacio L (E, F ) implica la convergencia puntual. (b) Si {T n } es una sucesión convergente de L (E, F ) y {x n } es una sucesión convergente de puntos de E, probar que {T n (x n )} es una sucesión convergente de puntos de F 4C Sea E un espacio normado y denotemos por E al espacio normado L (E, K) (que se le denomina dual topológico de E). Probar que E es un espacio de Banach. 4D Sea E = C[a, b], dotado de la norma de la convergencia uniforme, y sea T : E E la aplicación T (f)(x) = x a f(t)dt. (a) Probar que T es lineal y continua y hallar T.

7 4H Linealidad 45 4E 4F (b) Deducir de (a) el siguiente teorema: Si {f n } es una sucesión de funciones de clase C 1 sobre el intervalo [a, b] tal que 1. La sucesión {f n (a)} es convergente. 2. La sucesión de las derivadas {f n} converge uniformemente en [a, b] hacia alguna función g. Entonces la sucesión {f n } converge uniformemente en [a, b] hacia una función f de clase C 1 tal que f = g. (a) Sean E, F espacios normados, S un subespacio vectorial denso de E y T una aplicación lineal y continua de E en F. Probar que entonces T = T S, donde con T S se denota a la restricción de T a S. (b) Sea T : (R 2, 1 ) (R 2, 1 ) la aplicación lineal T (x, y) = (x + y, y). Determinar T y T S, siendo S = {(x, y): x = y}. (a) Sea E un espacio normado y T L (E, E). Probar que la imagen por T de la bola abierta unidad, T (B(, 1)), está contenida en B(, T ). (b) Sea T la aplicación lineal de R 2 en R 2 dada por la matriz ( ) Comprobar que T (B(, 1)) es un conjunto abierto, pero distinto de B(, T ). (c) Demostrar que si la imagen de la bola abierta unidad por una aplicación T L (E, F ) es un conjunto abierto, entonces la aplicación T es abierta e inversible. Indicación. La condición implica, en particular, que es interior al subespacio vectorial Im T, luego Im T = E. (d) Dar un ejemplo de aplicación T L (E, F ) tal que T (B(, 1)) no sea un conjunto abierto. 4G Sea T la aplicación lineal de R 3 en R definida por T (x, y, z) = ax + by + cz. Demostrar que a + b + c T = a2 + b 2 + c 2 max( a, b, c ) según que consideremos en R 3 respectivamente las normas, 2, 1. 4H Sea T la aplicación lineal de (R 2, i en (R 2, i dada por la matriz ( ) a 1 1 a siendo a un número real arbitrario. Probar que para i = 1, 2 y, T = 1 + a.

8 46 Linealidad 4I 4I Calcular la norma de: (a) La aplicación lineal T (x, y) = 2x y, según se considere en R 2 la norma 1 o la norma euclídea. (b) La aplicación lineal T : (R 2, ) (R 2, 1 ) dada por la matriz ( ) (c) La aplicación bilineal de (R 2, 1 ) R en R, T (x, y, z) = (2x + y)z (d) La aplicación lineal de C[, 1] en R T (f) = 1/2 1 f(x)dx f(x)dx 1/2 (Se supone en C[, 1] la norma de la convergencia uniforme)

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