Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas"

Transcripción

1 Capítulo 4 Aplicaciones Lineales y Multilineales Continuas La conexión entre las estructuras vectorial y topológica de los espacios normados, se pone claramente de manifiesto en el estudio de las aplicaciones lineales y n-lineales continuas. Los teoremas de caracterización para estas aplicaciones, que veremos en este capítulo, son consecuencias importantes de esa conexión. Puesto que no es nuestro objetivo en este curso profundizar en el conocimiento de los espacios normados, nos limitaremos a considerar, además de los teoremas de caracterización aludidos, sólo algunas técnicas de linealidad, que nos serán útiles después para el Cálculo Diferencial. Aplicaciones lineales continuas Proposición 4.1 Si E, F son dos espacios normados y T : E F es una aplicación lineal entre ellos, entonces son equivalentes: (a) T es continua. (b) T es continua en. (c) T está acotada en la bola unidad. (d) Existe una constante M tal que T (x) M x para todo x E. (e) T es lipschitziana. Demostración. (a) implica (b) trivialmente. (b) implica (c) La continuidad en garantiza que T (x) 1 siempre que x δ, para algún δ. Entonces, si x B[, 1] se tiene δx δ y por tanto T (δx) = δ T (x) 1, es decir T (x) 1/δ = M. 39

2 4 Linealidad 4.1 (c) implica (d) Supongamos T acotada por M en B[, 1] y sea x cualquiera. Entonces T (x/ x ) M y por tanto T (x) M x. (d) implica (e) Es evidente, debido a la linealidad de la aplicación T. (e) implica (a) Trivial. Ejercicio. Probar que los enunciados anteriores son también equivalentes a T es continua en algún punto. Ejemplo 4.2 Toda aplicación lineal entre espacios de dimensión finita es continua. En efecto, si T : R n F es una aplicación lineal, entonces T (x) = T ( x i e i ) x i T (e i ) M x 1, donde e i = (,.., 1,..) y M = max{ T (e i ) : i = 1, 2,.., n}. Ejemplo 4.3 Sea E = C[, 1] dotado de la norma de la convergencia uniforme, y consideremos la aplicación T : E R definida por T (f) = 1 f(t) dt. T es una aplicación lineal trivialmente, y es continua pues T (f) = 1 f(t) dt 1 f(t) dt f. Ejemplo 4.4 Consideremos ahora el operador derivación definido entre los espacios C 1 [, 1] y C[, 1], D(f) = f. Esta aplicación es claramente lineal, pero no es continua respecto a la norma de la convergencia uniforme, pues es bien conocido que aunque una función (derivable) sea límite uniforme de una sucesión de funciones derivables {f n }, la función derivada f no es en general el límite (ni siquiera puntual) de la sucesión {f n}. Norma de una aplicación lineal y continua Hemos demostrado que si T es una aplicación lineal y continua entre los espacios normados E y F, entonces T está acotada sobre la bola cerrada unidad, es decir el conjunto { T (x) : x 1} está acotado superiormente. Si denotamos por T al extremo superior (la menor de las cotas superiores) de este conjunto, es inmediato comprobar que, de esta forma, definimos una

3 4.5 Linealidad 41 norma en el espacio vectorial L (E, F ) de las aplicaciones lineales y continuas de E en F. Abreviadamente escribiremos T = sup T (x). x 1 Por otra parte, si se observa la demostración de que (c) implica (d) en la proposición anterior, es claro que lo que en realidad se demuestra allí es que cualquier cota superior de T en la bola unidad vale también como constante en la desigualdad (d) y como constante de Lipschitz para T (y recíprocamente, como fácilmente se comprueba). Por tanto T es también la menor constante de Lipschitz para la aplicación T. 4.5 Algunas de las propiedades elementales de la norma de una aplicación lineal son las siguientes: (a) T (x) T x, x E. (b) T M T (x) M x, x. (c) T = sup{ T (x) : x 1} = sup{ T (x) : x < 1} = sup{ T (x) : x = 1}. (d) T U T U. En (a) sólo dice que T es una constante de Lipschitz, lo cual forma parte de la definición de T. (b) T M, significa que M es una cota superior de T en la bola unidad, lo que, según establecimos antes, equivale a que M sea constante de Lipschitz para T o a que T (x) M x. (c) Hemos de demostrar que T es también la menor de las cotas superiores de cada uno de los conjuntos { T (x) : x = 1}, { T (x) : x < 1}. Como T es cota superior del conjunto { T (x) : x 1}, es evidente que es también cota superior de cada uno de los conjuntos anteriores. Demostremos primero que T es también la menor cota superior de { T (x) : x = 1}, es decir que si α es cota superior de { T (x) : x = 1} entonces T α. Teniendo en cuenta la definición de T, para que esto suceda bastará probar que α es cota de { T (x) : x 1}. En efecto, si x y x 1 entonces x/ x es un vector de norma 1, luego T (x/ x ) α (1/ x ) T (x) α T (x) α x α.

4 42 Linealidad 4.5 Veamos finalmente que T es también la menor cota superior de { T (x) : x < 1}, es decir que si β es cota superior de { T (x) : x < 1} entonces T β. Como antes, sólo habrá que demostrar que β es cota superior de { T (x) : x 1}. Sea x con x 1, entonces para cada < ε < 1, se tiene que εx < 1, luego T (εx) β. Por otra parte, es claro que T (x) = lim T (εx). ε 1 De ambas hechos se deduce entonces que T (x) β, que era lo que queríamos demostrar. (d) Aplicando dos veces (a) resulta (T U)(x) T U x, es decir que T U es una constante de Lipschitz para la aplicación lineal T U, luego T U T U. Aplicaciones multilineales continuas Para las aplicaciones multilineales continuas cabe hacer un estudio paralelo al anterior. Así pues, comenzaremos con un teorema de caracterización para estas aplicaciones, para pasar después a construir una norma canónica en el espacio vectorial que ellas forman. Una aplicación T : E 1 E 2... E n F se dice n-lineal cuando es lineal en cada coordenada, es decir T (..., λx i + µy i,...) = λ T (..., x i,...) + µ T (..., y i,...). Proposición 4.6. Para una aplicación n-lineal, las condiciones siguientes son equivalentes: (a) T es continua. (b) T es continua en. (c) T está acotada sobre la bola unidad. (d) Existe una constante M tal que T (x 1, x 2,..., x n ) M x 1 x 2... x n.

5 4.6 Linealidad 43 Demostración. Obviamente (a) implica (b). (b) implica (c). Por ser T continua en, existe un δ tal que T (x 1,..., x n ) 1 si x 1 δ,..., x n δ. Por tanto, si y 1,..., y n son puntos de la bola unidad se tiene que T (δy 1,..., δy n ) 1, lo que implica que T (y 1,..., y n ) M = 1 δ n. (c) implica (d). Sean x 1,.., x n puntos distintos de, entonces por (c) se tiene que T ( x 1 x 1,..., x n x n ) M T (x 1, x 2,..., x n ) M x 1 x 2... x n. (d) implica (a) Sea a = (a 1,.., a n ) un punto cualquiera. Para probar que T es continua en a basta hacer tender hacia a mediante puntos x = (x 1,.., x n ) de un entorno acotado de a. Así puede suponerse x 1 α,.., x n α, para alguna constante α. Entonces: T (x 1,..., x n ) T (a 1,..., a n ) T (x 1, x 2,..., x n ) T (a 1, x 2,..., x n ) + T (a 1, x 2,..., x n ) T (a 1, a 2, x 3,..., x n ) T (a 1,..., a n 1, x n ) T (a 1, a 2,..., a n ) = T (x 1 a 1,x 2,..., x n ) + T (a 1, x 2 a 2, x 3,..., x n ) T (a 1,...,a n 1, x n a n ) M α n 1 ( x 1 a x n a n ). De estas desigualdades se sigue que la función T es continua en a. Nota. A diferencia de las aplicaciones lineales, una aplicación n-lineal y continua no nula nunca es lipchitziana. Para simplificar, supongamos que T es una aplicación bilineal y sean u, v dos vectores tales que T (u, v). Que T no es lipschitziana se deduce entonces de la igualdad T (λu, µv) = λµt (u, v) y de que la aplicación bilineal de R R en R, (λ, µ) λµ, no es ni siquiera uniformemente continua (Ejercicio).

6 44 Linealidad Como para el caso lineal, la proposición anterior permite definir de forma natural una norma en el espacio L n (E 1... E n, F ) de las aplicaciones n-lineales continuas de E 1... E n en F : T = sup{ T (x 1,..., x n ) : x 1 1,..., x n 1}. Y, como antes, T es la menor de las constantes M para la que es cierta la desigualdad T (x 1, x 2,..., x n ) M x 1 x 2... x n, y por lo tanto se tiene T (x 1, x 2,..., x n ) T x 1 x 2... x n. Ejercicios 4A Considerar C[, 1], el espacio vectorial de las aplicaciones continuas sobre [, 1] que toman sus valores en R, y sea T : C[, 1] C[, 1] la aplicación T (f)(x) = p(x) f(x), donde p es una aplicación fija de C[, 1]. (a) Probar que T es una aplicación lineal y continua, tanto si en C[, 1] se tiene la norma de la convergencia uniforme como si se tiene la norma f 1 = 1 f(t) dt. (b) Obtener, para cada una de las normas anteriores, la norma de la aplicación T, suponiendo que p sea la función p(x) = x. Indicación (Para el apartado (b) en el caso que la norma sobre C[, 1] sea 1 ). Para conseguir una función f tal que 1 f(x) dx y 1 x f(x) dx se diferencien poco, pensar que bastaría con que f fuese distinta de sólo cerca del punto x = 1. 4B Sean E y F dos espacios normados. (a) Probar que la convergencia en el espacio L (E, F ) implica la convergencia puntual. (b) Si {T n } es una sucesión convergente de L (E, F ) y {x n } es una sucesión convergente de puntos de E, probar que {T n (x n )} es una sucesión convergente de puntos de F 4C Sea E un espacio normado y denotemos por E al espacio normado L (E, K) (que se le denomina dual topológico de E). Probar que E es un espacio de Banach. 4D Sea E = C[a, b], dotado de la norma de la convergencia uniforme, y sea T : E E la aplicación T (f)(x) = x a f(t)dt. (a) Probar que T es lineal y continua y hallar T.

7 4H Linealidad 45 4E 4F (b) Deducir de (a) el siguiente teorema: Si {f n } es una sucesión de funciones de clase C 1 sobre el intervalo [a, b] tal que 1. La sucesión {f n (a)} es convergente. 2. La sucesión de las derivadas {f n} converge uniformemente en [a, b] hacia alguna función g. Entonces la sucesión {f n } converge uniformemente en [a, b] hacia una función f de clase C 1 tal que f = g. (a) Sean E, F espacios normados, S un subespacio vectorial denso de E y T una aplicación lineal y continua de E en F. Probar que entonces T = T S, donde con T S se denota a la restricción de T a S. (b) Sea T : (R 2, 1 ) (R 2, 1 ) la aplicación lineal T (x, y) = (x + y, y). Determinar T y T S, siendo S = {(x, y): x = y}. (a) Sea E un espacio normado y T L (E, E). Probar que la imagen por T de la bola abierta unidad, T (B(, 1)), está contenida en B(, T ). (b) Sea T la aplicación lineal de R 2 en R 2 dada por la matriz ( ) Comprobar que T (B(, 1)) es un conjunto abierto, pero distinto de B(, T ). (c) Demostrar que si la imagen de la bola abierta unidad por una aplicación T L (E, F ) es un conjunto abierto, entonces la aplicación T es abierta e inversible. Indicación. La condición implica, en particular, que es interior al subespacio vectorial Im T, luego Im T = E. (d) Dar un ejemplo de aplicación T L (E, F ) tal que T (B(, 1)) no sea un conjunto abierto. 4G Sea T la aplicación lineal de R 3 en R definida por T (x, y, z) = ax + by + cz. Demostrar que a + b + c T = a2 + b 2 + c 2 max( a, b, c ) según que consideremos en R 3 respectivamente las normas, 2, 1. 4H Sea T la aplicación lineal de (R 2, i en (R 2, i dada por la matriz ( ) a 1 1 a siendo a un número real arbitrario. Probar que para i = 1, 2 y, T = 1 + a.

8 46 Linealidad 4I 4I Calcular la norma de: (a) La aplicación lineal T (x, y) = 2x y, según se considere en R 2 la norma 1 o la norma euclídea. (b) La aplicación lineal T : (R 2, ) (R 2, 1 ) dada por la matriz ( ) (c) La aplicación bilineal de (R 2, 1 ) R en R, T (x, y, z) = (2x + y)z (d) La aplicación lineal de C[, 1] en R T (f) = 1/2 1 f(x)dx f(x)dx 1/2 (Se supone en C[, 1] la norma de la convergencia uniforme)

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados

Parte I. Iniciación a los Espacios Normados Parte I Iniciación a los Espacios Normados Capítulo 1 Espacios Normados Conceptos básicos Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C indistintamente. Una norma sobre E es una aplicación de E

Más detalles

Aplicaciones lineales continuas

Aplicaciones lineales continuas Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas

Más detalles

1. Producto escalar, métrica y norma asociada

1. Producto escalar, métrica y norma asociada 1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la

Más detalles

Subconjuntos destacados en la

Subconjuntos destacados en la 2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales

Más detalles

1 Espacios y subespacios vectoriales.

1 Espacios y subespacios vectoriales. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto

Más detalles

El Teorema de existencia y unicidad de Picard

El Teorema de existencia y unicidad de Picard Tema 2 El Teorema de existencia y unicidad de Picard 1 Formulación integral del Problema de Cauchy El objetivo del presente Tema, y del siguiente, es analizar el Problema de Cauchy para un SDO de primer

Más detalles

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados

Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Capítulo 16 Variedades Diferenciables. Extremos Condicionados Vamos a completar lo visto en los capítulos anteriores sobre el teorema de las Funciones Implícitas y Funciones Inversas con un tema de iniciación

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por

Más detalles

Diferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005

Diferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Diferenciabilidad. 1. Definición de función diferenciable Después del estudio de los ites de funciones

Más detalles

Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo

Semana 08 [1/15] Axioma del Supremo. April 18, 2007. Axioma del Supremo Semana 08 [1/15] April 18, 2007 Acotamiento de conjuntos Semana 08 [2/15] Cota Superior e Inferior Antes de presentarles el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Anexo 1: Demostraciones

Anexo 1: Demostraciones 75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Aplicaciones abiertas y cerradas

Aplicaciones abiertas y cerradas 44 3. POSICIÓN DE UN PUNTO CON RESPECTO A UN CONJUNTO Tema 7. Aplicaciones abiertas y cerradas Hasta ahora nos hemos centrado en propiedades de puntos con respecto a conjuntos, y las únicas propiedades

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

Caracterización de los campos conservativos

Caracterización de los campos conservativos Lección 5 Caracterización de los campos conservativos 5.1. Motivación y enunciado del teorema Recordemos el cálculo de la integral de línea de un gradiente, hecho en la lección anterior. Si f : Ω R es

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Límite y continuidad de funciones de varias variables Límite y continuidad de funciones de varias variables 20 de marzo de 2009 1 Subconjuntos de R n y sus propiedades De nición 1. Dado x 2 R n y r > 0; la bola de centro x y radio r es B(x; r) = fy 2 R n

Más detalles

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad

Tema 3. Problemas de valores iniciales. 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Tema 3 Problemas de valores iniciales 3.1. Teoremas de existencia y unicidad Estudiaremos las soluciones aproximadas y su error para funciones escalares, sin que ésto no pueda extenderse para funciones

Más detalles

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una

Más detalles

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1

Campos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1 Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial

Más detalles

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES EN EL ESPACIO EUCLÍDEO March 25, 2010 CAPÍTULO 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONE EN EL EPACIO EUCLÍDEO 1. Producto Escalar en R n Definición 1.1. Dado x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n, su producto escalar está

Más detalles

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4

E 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4 Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),

Más detalles

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1;

elemento neutro y elemento unidad: inversa aditiva (opuesto): para todo λ K 0, existe un único µ K tal que λµ = 1; 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición de espacio vectorial Un cuerpo es una estructura algebraica (K, +, ) formada por un conjunto K no vacio y dos operaciones internas + y que verifican las siguientes

Más detalles

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g

(3) Regla del cociente: Si g(z 0 ) 0, f/g es derivable en z 0 y. (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ) . g Funciones holomorfas 2.1. Funciones variable compleja En este capítulo vamos a tratar con funciones f : Ω C C, donde Ω C es el dominio de definición. La forma habitual de expresar estas funciones es como

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 2: Espacios vectoriales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Espacios vectoriales. Ejercicios 1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) R 3 pertenezca al subespacio < (1,, 3), (1, 1, 1) >. Solución. (1, x,

Más detalles

Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices diagonalizacion.nb Diagonalización de matrices Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos ºA y ºB, 2005 Algo de teoría Qué es diagonalizar una matriz? Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla

Más detalles

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1

Cómo?: Resolviendo el sistema lineal homógeneo que satisfacen las componentes de cualquier vector de S. x4 = x 1 x 3 = x 2 x 1 . ESPACIOS VECTORIALES Consideremos el siguiente subconjunto de R 4 : S = {(x, x 2, x 3, x 4 )/x x 4 = 0 x 2 x 4 = x 3 a. Comprobar que S es subespacio vectorial de R 4. Para demostrar que S es un subespacio

Más detalles

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal

Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Construcción de bases en el núcleo e imagen de una transformación lineal Objetivos. Estudiar el algoritmo para construir una base del núcleo y una base de la imagen de una transformación lineal. Requisitos.

Más detalles

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.

1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim

Las Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.

Más detalles

Funciones de varias variables

Funciones de varias variables Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial

Más detalles

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3)

(Ec.1) 2α + β = b (Ec.4) (Ec.3) Problema 1. Hallar t R para que el vector x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores u = (1, 2, 3) y v = (1, 3, 1). Solución del problema 1. x L{ u, v} si, y sólo si, existen α,

Más detalles

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas

Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas Capítulo 5 Espacios vectoriales. Bases. Coordenadas OPERACIONES ENR n Recordemos que el producto cartesiano de dos conjuntos A y B consiste en los pares ordenados (a,b) tales que a A y b B. Cuando consideramos

Más detalles

Tema 3: Producto escalar

Tema 3: Producto escalar Tema 3: Producto escalar 1 Definición de producto escalar Un producto escalar en un R-espacio vectorial V es una operación en la que se operan vectores y el resultado es un número real, y que verifica

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes.

VECTORES EN EL ESPACIO. 1. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas sean linealmente dependientes. VECTORES EN EL ESPACIO. Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (,, t), 0, t, t) y(, 2, t) sean linealmente dependientes. Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podrá expresar

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos

Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Apuntes de Matemática Discreta 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos

Más detalles

Análisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz

Análisis Real: Primer Curso. Ricardo A. Sáenz Análisis Real: Primer Curso Ricardo A. Sáenz Índice general Introducción v Capítulo 1. Espacios Métricos 1 1. Métricas 1 2. Métricas en espacios vectoriales 4 3. Topología 9 Ejercicios 17 Capítulo 2.

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 2 Estructuras algebraicas básicas 2.1. Operación interna Definición 29. Dados tres conjuntos A, B y C, se llama ley de composición en los conjuntos A y B y resultado en el conjunto C, y se denota

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

1. Teorema del Valor Medio

1. Teorema del Valor Medio 1. l Valor Medio Uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real es el l Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Taylor y el estudio

Más detalles

Matrices equivalentes. El método de Gauss

Matrices equivalentes. El método de Gauss Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Transformaciones canónicas

Transformaciones canónicas apítulo 29 Transformaciones canónicas 29.1 Introducción onsideremos una transformación arbitraria de las coordenadas en el espacio de las fases de dimensión 2(3N k) (con el tiempo como un parámetro) Q

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Práctica de Aplicaciones Lineales

Práctica de Aplicaciones Lineales practica5.nb 1 Práctica de Aplicaciones Lineales Aplicaciones lineales y matrices Las matrices también desempeñan un papel muy destacado en el estudio de las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES )

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II PROBLEMAS (SOLUCIONES ) HOJA : Límites continuidad de funciones en R n. -. Dibuja cada uno de los subconjuntos de R siguientes. Dibuja su

Más detalles

Escenas de episodios anteriores

Escenas de episodios anteriores Clase 16/10/2013 Tomado y editado de los apuntes de Pedro Sánchez Terraf Escenas de episodios anteriores objetivo: estudiar formalmente el concepto de demostración matemática. caso de estudio: lenguaje

Más detalles

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales

Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales Estadística 38 Tema 3: Variables aleatorias y vectores aleatorios bidimensionales El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín

CAPÍTULO II. 4 El grupo afín CAPÍTULO II 4 El grupo afín En geometría clásica, antes de la aparición de los espacios vectoriales, se hablaba de puntos en lugar de vectores. Para nosotros serán términos sinónimos salvo que, cuando

Más detalles

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.

Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1

CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!

Más detalles

Listas de vectores y conjuntos de vectores

Listas de vectores y conjuntos de vectores Listas de vectores y conjuntos de vectores La explicación de los temas Dependencia lineal y Bases en el curso de Álgebra Lineal se puede basar en uno de los siguientes dos conceptos (o en ambos): ) listas

Más detalles

1.- Primitiva de una función (28.01.2015)

1.- Primitiva de una función (28.01.2015) 1.- Primitiva de una función (28.01.2015) 1.1. Definición. Sea f : I R. Se dice que F : I R es una primitiva de f si F es derivable y F = f en I. En ese caso escribimos F (x) = f(x)dx Si F es una primitiva

Más detalles

1 El espacio vectorial R n.

1 El espacio vectorial R n. Manuel Gutiérrez Departamento de Álgebra, Geometría y Topología Universidad de Málaga February 26, 2009 1 El espacio vectorial R n. La estructura de espacio vectorial es posiblemente la estructura más

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

Clasificación de métricas.

Clasificación de métricas. Clasificación de métricas. 1. El problema de clasificación. Como bien sabemos, el par formado por una métrica T 2 (esto es, un tensor 2-covariante simétrico) sobre un espacio vectorial E, (E, T 2 ), constituye

Más detalles

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.

1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n. Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1

C 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1 apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un

Más detalles

x : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3

x : N Q 1 x(1) = x 1 2 x(2) = x 2 3 x(3) = x 3 3 Sucesiones - Fernando Sánchez - - Cálculo I de números racionales 03 10 2015 Los números reales son aproximaciones que se van haciendo con números racionales. Estas aproximaciones se llaman sucesiones

Más detalles

Matrices invertibles. La inversa de una matriz

Matrices invertibles. La inversa de una matriz Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Un problema sobre repetidas apuestas al azar

Un problema sobre repetidas apuestas al azar Un problema sobre repetidas apuestas al azar Eleonora Catsigeras 1 10 de marzo de 2003. Resumen En estas notas se da el enunciado y una demostración de un conocido resultado sobre la probabilidad de éxito

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

Tema 5.2: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa

Tema 5.2: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa Tema 5.: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 8-9 Enrique de Amo, Universidad de Almería En

Más detalles

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10

Espacios de Hilbert. 10.1. Producto Escalar y Norma. Tema 10 Tema 10 Espacios de Hilbert Vamos a desarrollar en lo que sigue los resultados básicos acerca de los espacios de Hilbert, un tipo muy particular de espacios de Banach con propiedades especiales que están

Más detalles

Espacios generados, dependencia lineal y bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................

Más detalles